નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)$

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store
(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
પગલું $1$: ત્રીજી સ્તંભને સમાન બનાવવા માટે $C_3$ ને $C_2$ માં ઉમેરો.
$C_2 \rightarrow C_2 + C_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha+\beta+\gamma & \beta+\gamma \\ \beta & \alpha+\beta+\gamma & \gamma+\alpha \\ \gamma & \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
પગલું $2$: $C_2$ માંથી $(\alpha+\beta+\gamma)$ સામાન્ય લો.
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \left|\begin{array}{ccc}\alpha & 1 & \beta+\gamma \\ \beta & 1 & \gamma+\alpha \\ \gamma & 1 & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
પગલું $3$: $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ કરો.
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \left|\begin{array}{ccc}\alpha & 1 & \beta+\gamma \\ \beta-\alpha & 0 & \alpha-\beta \\ \gamma-\alpha & 0 & \beta-\gamma\end{array}\right|$.
પગલું $4$: $C_2$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \cdot (-1) \cdot [(\beta-\alpha)(\beta-\gamma) - (\alpha-\beta)(\gamma-\alpha)]$.
આમ,આપેલ પરિણામ સાબિત થાય છે.

Explore More

Similar Questions

જો $a, b, c$ બધા શૂન્યથી અલગ હોય અને $\left| \begin{array}{ccc} 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c \end{array} \right| = 0$ હોય,તો $a^{-1} + b^{-1} + c^{-1}$ ની કિંમત શોધો.

Difficult
View Solution

$\left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1+ac & 1+bc \\ 1 & 1+ad & 1+bd \\ 1 & 1+ae & 1+be \end{array}} \right| = $

ધારો કે $a, b, c$ એવા છે કે $(b+c) \neq 0$ અને $\left|\begin{array}{ccc} a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} a+1 & b+1 & c-1 \\ a-1 & b-1 & c+1 \\ (-1)^{n+2} a & (-1)^{n-1} b & (-1)^n c \end{array}\right|=0$ તો $n$ ની કિંમત શું છે?

જો $a, b, c$ અસમાન હોય,તો નીચેના નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય તે માટેની શરત શું છે? $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 + 1 \\ b & b^2 & b^3 + 1 \\ c & c^2 & c^3 + 1 \end{array} \right|$

શૂન્યતર $a, b, c$ માટે,જો $\Delta = \begin{vmatrix} 1 + a & 1 & 1 \\ 1 & 1 + b & 1 \\ 1 & 1 & 1 + c \end{vmatrix} = 0$ હોય,તો $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ ની કિંમત =

Difficult
View Solution

Vedclass Products

For Students

Vedclass Test Series

Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.

Start Free Trial
For Teachers

Exam Paper Generator

Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.

Try Free
For Institutes

Online Exam Module

Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.

See Demo