Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Hindi

(C) ब्रैग के समीकरण $n \lambda = 2 d \sin \theta$ के अनुसार।
$(100)$ तल के लिए,अंतर-तलीय दूरी $d_{100} = \frac{a}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}} = a = 6 \mathring{A}$ है।
दिए गए $n=2, \lambda=3 \mathring{A}, \theta=30^{\circ}$ के लिए,समीकरण संतुष्ट होता है: $2 \times 3 = 2 \times 6 \times \sin 30^{\circ} = 6 \times 1 = 6$।
$(200)$ तल के लिए,अंतर-तलीय दूरी $d_{200} = \frac{a}{\sqrt{2^2+0^2+0^2}} = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \mathring{A}$ है।
समान तरंगदैर्ध्य $\lambda = 3 \mathring{A}$ के साथ प्रथम कोटि के विवर्तन $(n=1)$ के लिए,$1 \times 3 = 2 \times 3 \times \sin \theta$।
$3 = 6 \sin \theta$ $\Rightarrow \sin \theta = 0.5$ $\Rightarrow \theta = 30^{\circ}$।

(B) क्यूबिक लैटिस के लिए अंतर-तलीय दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$
दिया गया है,क्यूबिक लैटिस की कोर की लंबाई $a = 450 \, pm$ है。
$(2, 2, 1)$ तल के लिए,मिलर सूचकांक $h=2, k=2, l=1$ हैं。
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \frac{450}{\sqrt{(2)^2+(2)^2+(1)^2}}$
$d = \frac{450}{\sqrt{4+4+1}}$
$d = \frac{450}{\sqrt{9}}$
$d = \frac{450}{3} = 150 \, pm$
अतः,सही विकल्प $B$ है。

(C) ब्रैग के समीकरण के अनुसार,$n\lambda = 2d\sin\theta$।
दिया गया है कि अंतर-तलीय दूरी $d = \lambda$ है और प्रथम कोटि के विवर्तन $(n = 1)$ को मानते हुए।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $1 \times \lambda = 2 \times \lambda \times \sin\theta$।
दोनों पक्षों को $\lambda$ से विभाजित करने पर,हमें $1 = 2\sin\theta$ प्राप्त होता है,जो $\sin\theta = \frac{1}{2}$ में सरल हो जाता है।
अतः,$\theta = 30^{\circ}$।

(C) सही विकल्प $C$ है।
दिया गया है, धातु की परमाणु त्रिज्या, $r = 141.4 \, pm$.
फलक-केंद्रित घनीय $(fcc)$ संरचना के लिए, कोर की लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ है।
$a$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $a = 2\sqrt{2}r$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $a = 2 \times 1.414 \times 141.4 = 400 \, pm$.
इकाई सेल का आयतन $V = a^3$ है।
$V = (400 \, pm)^3 = 64,000,000 \, pm^3 = 64 \times 10^6 \, pm^3$.
इसे $6.4 \times 10^7 \, pm^3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(D) इकाई सेल के लिए घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^3}$ है।
यहाँ,$d = 4.0 \ g \ cm^{-3}$,$M = 56 + 16 = 72 \ g \ mol^{-1}$,$a = 5.0 \ \mathring{A} = 5.0 \times 10^{-8} \ cm$,और $N_{A} = 6.0 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ है।
मान रखने पर: $4.0 = \frac{Z \times 72}{6.0 \times 10^{23} \times (5.0 \times 10^{-8})^3}$.
$4.0 = \frac{Z \times 72}{6.0 \times 10^{23} \times 125 \times 10^{-24}}$.
$4.0 = \frac{Z \times 72}{0.075}$.
$Z = \frac{4.0 \times 0.075}{72} \approx 4.166$.
प्रति इकाई सेल $FeO$ इकाइयों की संख्या के लिए निकटतम पूर्णांक $4$ है।

(D) इकाई सेल का घनत्व $d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^3}$,जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$N_{A}$ आवोगाद्रो संख्या है और $a$ कोर की लंबाई है।
$fcc$ के लिए,$Z = 4$ और $a = 2.0 \ \mathring{A}$ है।
$bcc$ के लिए,$Z = 2$ और $a = 2.5 \ \mathring{A}$ है।
घनत्व का अनुपात: $\frac{d_{fcc}}{d_{bcc}} = \frac{4 \times M / (N_{A} \times 2.0^3)}{2 \times M / (N_{A} \times 2.5^3)}$.
$\frac{d_{fcc}}{d_{bcc}} = \frac{4}{8} \times \frac{15.625}{1} = 0.5 \times 15.625 = 7.8125$.
निकटतम पूर्णांक $8$ है।

(C) फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(FCC)$ संरचना के लिए:
$FCC$ में,परमाणु फेस डायगोनल पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
फेस डायगोनल $a \sqrt{2} = 4 r$ है।
अतः,$a = 2 \sqrt{2} r$ या $r = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$।
बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ संरचना के लिए:
$BCC$ में,परमाणु बॉडी डायगोनल पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
बॉडी डायगोनल $a \sqrt{3} = 4 r$ है।
अतः,$r = \frac{\sqrt{3} a}{4}$ या $4 r = \sqrt{3} a$।
इस प्रकार,सही संबंध $2 \sqrt{2} r = a$ और $4 r = \sqrt{3} a$ है।

(D) घनीय इकाई कोष्ठिका के लिए घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^3}$ है।
दिए गए मान:
$d = 3.0 \ g \ cm^{-3}$
$M = 12 \ g \ mol^{-1}$
$a = 300 \ pm = 3 \times 10^{-8} \ cm$
$N_{A} = 6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
$Z$ के लिए सूत्र:
$Z = \frac{d \times N_{A} \times a^3}{M}$
मान रखने पर:
$Z = \frac{3.0 \times 6.02 \times 10^{23} \times (3 \times 10^{-8})^3}{12}$
$Z \approx 4.06$
निकटतम पूर्णांक $4$ है।

(D) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ जालक के लिए,कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध है: $\sqrt{3} \ a = 4 \ r$.
दिया गया है $a = 4 \ \mathring{A}$,समीकरण में मान रखने पर:
$\sqrt{3} \times 4 = 4 \ r$.
$r = \sqrt{3} \ \mathring{A} \approx 1.732 \ \mathring{A}$.
इसे $..... \times 10^{-1} \ \mathring{A}$ के रूप में व्यक्त करने के लिए:
$r = 17.32 \times 10^{-1} \ \mathring{A}$.
निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,हमें $17 \times 10^{-1} \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(C) घनत्व के लिए सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है。
दिया है: $\rho = 2 \ g/cm^3$, $M = 75 \ g/mol$, $a = 5 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-8} \ cm$, $N_A = 6 \times 10^{23}$.
$Z$ की गणना:
$Z = \frac{\rho \times N_A \times a^3}{M} = \frac{2 \times 6 \times 10^{23} \times (5 \times 10^{-8})^3}{75} = \frac{12 \times 10^{23} \times 125 \times 10^{-24}}{75} = \frac{1500 \times 10^{-1}}{75} = \frac{150}{75} = 2$.
चूंकि $Z = 2$ है, इसलिए क्रिस्टल संरचना बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ है。
$BCC$ संरचना के लिए, त्रिज्या $r$ और कोर लंबाई $a$ के बीच संबंध $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ है。
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5 \ \mathring{A} = 1.732 \times 1.25 \ \mathring{A} = 2.165 \ \mathring{A}$.
$pm$ में बदलने पर: $2.165 \ \mathring{A} = 2.165 \times 100 \ pm = 216.5 \ pm$.

(C) फलक-केंद्रित घनीय $(FCC)$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $4$ होती है।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है, जहाँ $a = 400 \ pm = 400 \times 10^{-10} \ cm$ है।
मान रखने पर: $8 = \frac{4 \times M}{6.022 \times 10^{23} \times (400 \times 10^{-10})^3}$.
मोलर द्रव्यमान $(M)$ के लिए हल करने पर: $M = 76.8 \ g \ mol^{-1}$ प्राप्त होता है।
$256 \ g$ में परमाणुओं की संख्या = $\frac{256}{76.8} \times 6.022 \times 10^{23} = 2.007 \times 10^{24}$।
अतः, $N = 2$।

(B) $bcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
इकाई सेल का द्रव्यमान घनत्व $(\rho)$ और आयतन $(a^3)$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है,जो $\rho \times a^3 = 3 \times 10^{-22} \ g$ है।
$0.3 \ g$ धातु में इकाई सेलों की संख्या $= \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{एक इकाई सेल का द्रव्यमान}} = \frac{0.3 \ g}{3 \times 10^{-22} \ g} = 1.0 \times 10^{21}$ इकाई सेल।
चूंकि प्रत्येक $bcc$ इकाई सेल में $2$ परमाणु होते हैं,इसलिए परमाणुओं की कुल संख्या $2 \times (1.0 \times 10^{21}) = 2.0 \times 10^{21}$ परमाणु है।

(A) $X$-Ray Diffraction $(XRD)$:
- यह एक प्रयोगात्मक तकनीक है जिसका उपयोग क्रिस्टल की परमाणु और आणविक संरचना निर्धारित करने के लिए किया जाता है,जिसमें क्रिस्टलीय जालक आपतित $X$-ray किरणों को कई विशिष्ट दिशाओं में विवर्तित (diffract) करता है।
- इसका उपयोग मुख्य रूप से क्रिस्टल की त्रि-आयामी आणविक संरचना प्राप्त करने के लिए किया जाता है।
- उच्च सांद्रता वाले शुद्ध नमूने को क्रिस्टलीकृत किया जाता है और विवर्तन पैटर्न का विश्लेषण करने के लिए इन क्रिस्टलों को $X$-ray बीम के संपर्क में लाया जाता है।

(C) $X$-ray क्रिस्टलोग्राफी का उपयोग क्रिस्टल की आणविक और परमाणु संरचना की पहचान करने के लिए किया जाता है।
क्रिस्टल आपतित $X$-ray बीम को विवर्तित (diffract) करता है।
इन विवर्तित बीमों की तीव्रता और कोणों को मापकर,क्रिस्टल की आणविक संरचना का मूल्यांकन किया जा सकता है।
इस उपकरण को $X$-ray डिफ्रेक्टोमीटर के रूप में जाना जाता है।

(C) एक सरल घनीय इकाई सेल में,प्रति इकाई सेल कणों की संख्या $(Z)$ $1$ होती है।
इकाई सेल का आयतन $(V_{cell})$ कण द्वारा घेरे गए आयतन $(V_{particle})$ से इस प्रकार संबंधित है: $V_{cell} = Z \times V_{particle}$।
दिया गया है $Z = 1$ और $V_{particle} = 2.1 \times 10^{-23} \ cm^3$।
अतः,$V_{cell} = 1 \times 2.1 \times 10^{-23} \ cm^3 = 2.1 \times 10^{-23} \ cm^3$।
इसकी तुलना $x \times 10^{-23} \ cm^3$ से करने पर,हमें $x = 2.1$ प्राप्त होता है।
नोट: यदि हम सरल घनीय इकाई सेल के ज्यामितीय संबंध $V = 8r^3$ का उपयोग करते हैं,तो $x \approx 4.0$ प्राप्त होता है।

(A) $fcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $4$ होती है।
इकाई सेल का द्रव्यमान इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{इकाई सेल का द्रव्यमान} = \frac{Z \times M}{N_A}$,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
$M$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{\text{इकाई सेल का द्रव्यमान} \times N_A}{Z}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $M = \frac{1.8 \times 10^{-22} \ g \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}}{4}$।
$M = \frac{108.396}{4} \ g \ mol^{-1} = 27.099 \ g \ mol^{-1} \approx 27.0 \ g \ mol^{-1}$।

(A) एकक कोष्ठिका का आयतन $V_{cell} = a^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ एकक कोष्ठिका के किनारे की लंबाई है।
दिया गया है $a = 4.0 \times 10^{-8} \ cm$,इसलिए $V_{cell} = (4.0 \times 10^{-8} \ cm)^3 = 64 \times 10^{-24} \ cm^3 = 6.4 \times 10^{-23} \ cm^3$.
$1 \ cm^3$ आयतन में एकक कोष्ठिकाओं की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{एकक कोष्ठिकाओं की संख्या} = \frac{\text{कुल आयतन}}{\text{एक एकक कोष्ठिका का आयतन}} = \frac{1 \ cm^3}{6.4 \times 10^{-23} \ cm^3} = 0.15625 \times 10^{23} = 1.5625 \times 10^{22}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) इकाई सेल का घनत्व $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$N_A$ आवोगाद्रो संख्या है,और $a^3$ इकाई सेल का आयतन $(V)$ है।
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\rho \times V = \frac{Z \times M}{N_A}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि एक परमाणु का द्रव्यमान $m = \frac{M}{N_A} = 4.4 \times 10^{-23} \ g$ है।
दिया गया है $\rho \times V = 1.792 \times 10^{-22} \ g$.
मान रखने पर: $1.792 \times 10^{-22} = Z \times (4.4 \times 10^{-23})$.
$Z = \frac{1.792 \times 10^{-22}}{4.4 \times 10^{-23}} = \frac{17.92}{4.4} \approx 4.07$.
चूंकि $Z \approx 4$,इकाई सेल एक Face centred unit cell $(FCC)$ है।

(C) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times V}$ है,जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$N_A$ आवोगाद्रो संख्या है और $V$ इकाई सेल का आयतन है।
दिया गया है कि घनत्व $(\rho)$ और आयतन $(V)$ का गुणनफल $1.8 \times 10^{-22} \ g$ है,इसलिए $\rho \times V = 1.8 \times 10^{-22} \ g$.
हम जानते हैं कि इकाई सेल का द्रव्यमान = $\rho \times V$.
साथ ही,इकाई सेल का द्रव्यमान = परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $\times$ एक परमाणु का द्रव्यमान $(m_{atom})$.
इसलिए,$Z \times m_{atom} = \rho \times V$.
मान रखने पर: $Z \times (4.5 \times 10^{-23} \ g) = 1.8 \times 10^{-22} \ g$.
$Z = \frac{1.8 \times 10^{-22}}{4.5 \times 10^{-23}} = 4$.
अतः,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $4$ है.

(D) $fcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z) = 4$ है।
एक इकाई सेल का द्रव्यमान घनत्व $(\varrho)$ और आयतन $(a^3)$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है,जो $\varrho \times a^3 = \frac{Z \times M}{N_A}$ है।
दिया गया है $\varrho \times a^3 = 6.8 \times 10^{-22} \ g$,जो एक इकाई सेल का द्रव्यमान दर्शाता है।
तत्व के $1 \ g$ में इकाई सेलों की संख्या $\frac{1 \ g}{6.8 \times 10^{-22} \ g/\text{unit cell}} \approx 1.4706 \times 10^{21} \ \text{unit cells}$ है।
चूंकि प्रत्येक $fcc$ इकाई सेल में $4$ परमाणु होते हैं,इसलिए $1 \ g$ में परमाणुओं की कुल संख्या $4 \times 1.4706 \times 10^{21} = 5.8824 \times 10^{21}$ परमाणु है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $fcc$ क्रिस्टल संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $4$ है।
घनत्व का सूत्र $\varrho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या $(6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ है।
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $M = \frac{\varrho \times a^3 \times N_A}{Z}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $M = \frac{1.728 \times 10^{-22} \times 6.022 \times 10^{23}}{4} = \frac{104.06}{4} = 26.015 \ g/mol$.
$1 \ g$ धातु में परमाणुओं की संख्या इस प्रकार गणना की जाती है: $\text{परमाणुओं की संख्या} = \frac{\text{द्रव्यमान}}{M} \times N_A = \frac{1}{26.015} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 2.315 \times 10^{22}$ परमाणु।

(D) एक इकाई कोष्ठिका का द्रव्यमान उसके घनत्व $(\rho)$ और उसके आयतन $(V)$ के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है: $\rho \times V = 1.58 \times 10^{-22} \ g$.
धातु का कुल द्रव्यमान = $0.79 \ g$.
इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या = $\frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{एक इकाई कोष्ठिका का द्रव्यमान}}$.
इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या = $\frac{0.79 \ g}{1.58 \times 10^{-22} \ g} = 0.5 \times 10^{22} = 5.0 \times 10^{21}$.

(C) $bcc$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) इकाई सेल के लिए,कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $4r = \sqrt{3}a$ है।
अतः,$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
दिया गया है $r = 1.86 \times 10^{-8} \ cm$.
$a = \frac{4 \times 1.86 \times 10^{-8}}{\sqrt{3}} \approx 4.2956 \times 10^{-8} \ cm$.
इकाई सेल का आयतन $(V)$ $a^3$ होता है।
$V = (4.2956 \times 10^{-8} \ cm)^3 \approx 7.928 \times 10^{-23} \ cm^3$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,सही उत्तर $7.951 \times 10^{-23} \ cm^3$ है।

$(A)$ $fcc$ (फलक-केंद्रित घनीय) एकक कोष्ठिका के लिए, कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है।
दिया गया है $r = 128 \ pm$.
$a = 2 \times 1.414 \times 128 \ pm = 361.98 \ pm \approx 362 \ pm$.
$pm$ को $cm$ में बदलने पर: $362 \ pm = 362 \times 10^{-10} \ cm = 3.62 \times 10^{-8} \ cm$.
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(C) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र है: $\varrho = \frac{Z \times m}{a^3}$,जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल कणों की संख्या है,$m$ एक कण का द्रव्यमान है और $a^3$ इकाई सेल का आयतन है।
$Z$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $Z = \frac{\varrho \times a^3}{m}$.
दिए गए मान: $\varrho \times a^3 = 3.2 \times 10^{-22} \ g$ और $m = 8.0 \times 10^{-23} \ g$.
मान रखने पर: $Z = \frac{3.2 \times 10^{-22}}{8.0 \times 10^{-23}} = 4$.
अतः,प्रति इकाई सेल कणों की संख्या $4$ है।

(C) एक यूनिट सेल का आयतन $V_{cell} = a^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ यूनिट सेल की कोर की लंबाई है।
दिया गया है $a = 1.25 \times 10^{-8} \ cm$।
$V_{cell} = (1.25 \times 10^{-8} \ cm)^3 = 1.953125 \times 10^{-24} \ cm^3$।
कुल आयतन $V_{total} = 1 \ cm^3$ में यूनिट सेल की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{यूनिट सेल की संख्या} = \frac{V_{total}}{V_{cell}} = \frac{1 \ cm^3}{1.953125 \times 10^{-24} \ cm^3} \approx 5.12 \times 10^{23}$।

(A) $bcc$ (काय-केंद्रित घनीय) एकक कोष्ठिका के लिए, कोर की लंबाई $(a)$ और कण की त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $4r = \sqrt{3}a$ है, अर्थात $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
यहाँ $r = 186 \ pm$ दिया गया है।
$a = \frac{4 \times 186}{\sqrt{3}} \ pm = \frac{744}{1.732} \ pm \approx 429.56 \ pm$.
$pm$ को $cm$ में बदलने पर: $1 \ pm = 10^{-10} \ cm$.
अतः, $a = 429.56 \times 10^{-10} \ cm = 4.2956 \times 10^{-8} \ cm \approx 4.296 \times 10^{-8} \ cm$.

(A) $bcc$ इकाई सेल के लिए, कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ है।
दी गई कोर की लंबाई $a = 4.3 \times 10^{-8} \ cm$ है।
$a$ को $pm$ में बदलने पर: $a = 4.3 \times 10^{-8} \ cm = 4.3 \times 10^{-8} \times 10^{10} \ pm = 430 \ pm$।
अब, सूत्र में $a$ का मान रखने पर: $r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 430 \ pm$।
$r = 0.433 \times 430 \ pm = 186.19 \ pm \approx 186.2 \ pm$।

(C) एक एकक कोष्ठिका का आयतन $V_{cell} = a^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ किनारे की लंबाई है।
दिया गया है $a = 2.0 \times 10^{-8} \ cm$.
$V_{cell} = (2.0 \times 10^{-8} \ cm)^3 = 8.0 \times 10^{-24} \ cm^3$.
$1 \ cm^3$ में एकक कोष्ठिकाओं की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{एकक कोष्ठिकाओं की संख्या} = \frac{\text{कुल आयतन}}{\text{एक एकक कोष्ठिका का आयतन}} = \frac{1 \ cm^3}{8.0 \times 10^{-24} \ cm^3} = 0.125 \times 10^{24} = 1.25 \times 10^{23}$.

(A) $fcc$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $4$ होती है।
घनत्व का सूत्र $\varrho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है,जिसे $M = \frac{\varrho \times a^3 \times N_A}{Z}$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
दिया गया है $\varrho \times a^3 = 7.2 \times 10^{-22} \ g$,$Z = 4$,और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
मोलर द्रव्यमान $M = \frac{7.2 \times 10^{-22} \times 6.022 \times 10^{23}}{4} \approx 108.4 \ g/mol$।
मोलों की संख्या $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{M} = \frac{5.4}{108.4} \approx 0.0498 \ mol$।
परमाणुओं की संख्या $= n \times N_A = 0.0498 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 3.0 \times 10^{22}$ परमाणु।

$(A)$ सरल घनीय एकक कोष्ठिका के लिए, कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $a = 2r$ है।
दिया गया है, $r = 170 \ pm$.
अतः, $a = 2 \times 170 \ pm = 340 \ pm$.
कोर की लंबाई को $pm$ से $cm$ में बदलने के लिए:
$1 \ pm = 10^{-10} \ cm$.
$a = 340 \times 10^{-10} \ cm = 3.40 \times 10^{-8} \ cm$.

(C) $fcc$ इकाई सेल के लिए, कोर लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $\sqrt{2} a = 4 r$ है।
$a$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $a = 2 \sqrt{2} r$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $r = 139 \ pm = 139 \times 10^{-10} \ cm$।
मान रखने पर: $a = 2 \times 1.414 \times 139 \ pm = 393.1 \ pm$।
सेंटीमीटर में बदलने पर: $a = 393.1 \times 10^{-10} \ cm = 3.93 \times 10^{-8} \ cm$।

(B) $fcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 4$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_{A}}$ है,जहाँ $a^3$ इकाई सेल का आयतन $(V)$ है।
$V$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $V = a^3 = \frac{n \times M}{\rho \times N_{A}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $V = \frac{4 \times 27 \ g \ mol^{-1}}{16.0 \times 10^{23} \ g \ cm^{-3} \ mol^{-1}}$.
$V = \frac{108}{16.0 \times 10^{23}} \ cm^3 = 6.75 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(A) धातु का द्रव्यमान $m = 10.8 \ g$ है।
एक इकाई कोष्ठिका का द्रव्यमान घनत्व $(\rho)$ और आयतन $(a^3)$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है,जो $\rho a^3 = 7.2 \times 10^{-22} \ g$ है।
इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या धातु के कुल द्रव्यमान को एक इकाई कोष्ठिका के द्रव्यमान से विभाजित करके ज्ञात की जाती है:
$\text{इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या} = \frac{m}{\rho a^3} = \frac{10.8 \ g}{7.2 \times 10^{-22} \ g} = 1.5 \times 10^{22}$.

(C) सरल घनीय एकक कोष्ठिका के लिए, कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $a = 2r$ होता है।
दी गई कोर लंबाई $(a) = 380 \ pm$ है।
अतः, त्रिज्या $(r) = \frac{a}{2} = \frac{380 \ pm}{2} = 190 \ pm$।

(B) $FCC$ जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 4$ है।
घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_{A}}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\rho = \frac{63 \ g \ mol^{-1} \times 4}{28 \ cm^3 \ mol^{-1}}$.
$\rho = \frac{252}{28} \ g \ cm^{-3} = 9.0 \ g \ cm^{-3}$.

(D) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_{A}}$ है।
यहाँ,$fcc$ संरचना के लिए प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 4$ है।
मोलर द्रव्यमान $M = 63.5 \ g \ mol^{-1}$ दिया गया है।
इकाई सेल का आयतन $V = a^3$ है।
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a^3 = \frac{n \times M}{\rho \times N_{A}}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $a^3 = \frac{4 \times 63.5}{5.5 \times 10^{24}}$।
$a^3 = \frac{254}{5.5 \times 10^{24}} = 4.618 \times 10^{-23} \ cm^3$।

(A) $bcc$ इकाई सेल के लिए, कोर लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ है।
$r$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ प्राप्त होता है।
दी गई मान $a = 530 \ pm$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \frac{530 \times \sqrt{3}}{4} \approx \frac{530 \times 1.732}{4} = \frac{917.96}{4} \approx 229.5 \ pm$.
अतः, धातु परमाणु की त्रिज्या $229.5 \ pm$ है।

(B) $bcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
घनत्व $(\rho)$ का सूत्र $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_{A}}$ है।
दिया गया है: $\rho = 8.6 \ g \ cm^{-3}$ और $a^3 \times N_{A} = 22.0 \ cm^3 \ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $8.6 \ g \ cm^{-3} = \frac{M \times 2}{22.0 \ cm^3 \ mol^{-1}}$।
अतः,$M = \frac{8.6 \times 22.0}{2} = \frac{189.2}{2} = 94.6 \ g \ mol^{-1}$।

(B) $BCC$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) इकाई सेल में,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $2$ होती है।
परमाणु की त्रिज्या $(r)$ और कोर की लंबाई $(a)$ के बीच संबंध $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$ है।
एक परमाणु का आयतन $V_{atom} = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
परमाणुओं द्वारा घेरा गया कुल आयतन $(V)$ $Z \times V_{atom} = 2 \times \frac{4}{3} \pi \left( \frac{\sqrt{3}a}{4} \right)^3$ है।
$V = \frac{8}{3} \pi \left( \frac{3 \sqrt{3} a^3}{64} \right) = \frac{\sqrt{3} \pi a^3}{8}$।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(D) $bcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$ है।
इकाई सेल का आयतन $a^3 = \frac{M \times n}{\rho \times N_A}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $a^3 = \frac{23 \ g \ mol^{-1} \times 2}{1 \ g \ cm^{-3} \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}}$.
$a^3 = \frac{46}{6.022 \times 10^{23}} \ cm^3 \approx 7.638 \times 10^{-23} \ cm^3$.
अतः,आयतन लगभग $7.6 \times 10^{-23} \ cm^3$ है।

$(C)$ $fcc$ $\text{एकक कोष्ठिका के लिए, कोर की लंबाई } a \text{ और त्रिज्या } r \text{ के बीच संबंध } a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r \text{ है।}
\text{दिया गया है } r = 106.05 \ pm, \text{अतः } a = 2 \times 1.414 \times 106.05 \approx 300 \ pm।
\text{सेंटीमीटर में बदलने पर: } a = 300 \times 10^{-10} \ cm = 3 \times 10^{-8} \ cm।
\text{एकक कोष्ठिका का आयतन } V = a^3 = (3 \times 10^{-8} \ cm)^3 = 27 \times 10^{-24} \ cm^3 = 2.7 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(B) $bcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5.6 \ g \ cm^{-3} = \frac{M \times 2}{75 \ cm^3 \ mol^{-1}}$.
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{5.6 \times 75}{2} = 210 \ g \ mol^{-1}$.

(B) घनीय इकाई सेल के घनत्व $(\rho)$ का सूत्र $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$ है।
यहाँ,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$n$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है,$a^3$ इकाई सेल का आयतन है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
$n$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $n = \frac{\rho \times a^3 \times N_A}{M}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $n = \frac{8.6 \ g \ cm^{-3} \times 21.5 \ cm^3 \ mol^{-1}}{92.0 \ g \ mol^{-1}}$.
$n = \frac{184.9}{92.0} \approx 2$.
अतः,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $2$ है।

(C) $bcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$ है।
इकाई सेल के आयतन $(a^3)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$a^3 = \frac{M \times n}{\rho \times N_A}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $a^3 = \frac{92 \ g \ mol^{-1} \times 2}{5.0 \times 10^{24} \ g \ cm^{-3} \ mol^{-1}}$.
$a^3 = \frac{184}{5.0 \times 10^{24}} \ cm^3 = 36.8 \times 10^{-24} \ cm^3 = 3.68 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(D) $fcc$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या,$n = 4$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_{A}}$ है।
दिया गया है: $M = 197 \ g \ mol^{-1}$ और $a^3 \times N_{A} = 40 \ cm^3 \ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $\rho = \frac{4 \times 197 \ g \ mol^{-1}}{40 \ cm^3 \ mol^{-1}} = 19.7 \ g \ cm^{-3}$।

(B) सरल घनीय एकक कोष्ठिका के लिए,कोर की लंबाई $a$ और त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $r = \frac{a}{2}$ होता है।
अतः,$a = 2r = 2 \times 400 \ pm = 800 \ pm$ है।
कोर की लंबाई को सेंटीमीटर में बदलने पर: $a = 800 \ pm = 800 \times 10^{-10} \ cm = 8 \times 10^{-8} \ cm$ है।
एकक कोष्ठिका का आयतन $V = a^3 = (8 \times 10^{-8} \ cm)^3$ होगा।
$V = 512 \times 10^{-24} \ cm^3 = 5.12 \times 10^{-22} \ cm^3$।

(A) $fcc$ प्रकार की इकाई सेल के लिए, कोर लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ है。
$a$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $a = 2\sqrt{2} \times r$ प्राप्त होता है。
दिया गया है $r = 144 \ pm$, तो $a = 2 \times 1.414 \times 144 \ pm = 407.23 \ pm$。
सेंटीमीटर में बदलने पर: $407.23 \ pm = 407.23 \times 10^{-10} \ cm = 4.07 \times 10^{-8} \ cm$。

(D) $bcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$ है।
दिया गया है: $\rho = 10 \ g \ cm^{-3}$,$a = 4 \times 10^{-8} \ cm$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $10 = \frac{M \times 2}{(4 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$M = \frac{10 \times 64 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$.
$M = \frac{10 \times 64 \times 0.1 \times 6.022}{2} = \frac{385.4}{2} \approx 192.7 \ g \ mol^{-1}$.
अतः,मोलर द्रव्यमान लगभग $193 \ g \ mol^{-1}$ है।

(A) $BCC$ इकाई सेल के लिए, परमाणु त्रिज्या $(r)$ और कोर लंबाई $(a)$ के बीच का संबंध है: $4r = \sqrt{3}a$।
दी गई $a = 287 \ pm$ का मान रखने पर:
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 287$
$r = \frac{1.732 \times 287}{4}$
$r = \frac{497.084}{4} \approx 124.27 \ pm$।
निकटतम पूर्णांक में, परमाणु त्रिज्या $124 \ pm$ है।