Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Hindi

(C) $BCC$ इकाई सेल के लिए,त्रिज्या $r$ और कोर की लंबाई $a$ के बीच संबंध $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ है।
एक गोलाकार कण का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a \right)^3 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{3 \sqrt{3} a^3}{64} \right) = \frac{\sqrt{3} \pi a^3}{16}$.

(B) घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
इकाई कोशिका में परमाणुओं की संख्या $(n)$ के लिए: $n = \frac{\rho \times N_A \times a^3}{M}$.
दिया गया है: $\rho = 4 \ g \ cm^{-3}$,$M = 149 \ g \ mol^{-1}$,$a = 5 \times 10^{-8} \ cm$,और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $n = \frac{4 \times 6.022 \times 10^{23} \times (5 \times 10^{-8})^3}{149}$.
$n = \frac{301.1}{149} \approx 2.02$.
चूंकि $n \approx 2$,इसलिए क्रिस्टल संरचना काय-केंद्रित घनीय $(BCC)$ है।

(C) इकाई सेल का द्रव्यमान घनत्व $(\rho)$ और आयतन $(a^3)$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है,जो $\rho \times a^3 = 3 \times 10^{-22} \ g$ है।
इकाई सेल की संख्या = $\frac{\text{धातु का कुल द्रव्यमान}}{\text{एक इकाई सेल का द्रव्यमान}}$
इकाई सेल की संख्या = $\frac{0.9 \ g}{3 \times 10^{-22} \ g}$
इकाई सेल की संख्या = $0.3 \times 10^{22} = 3.0 \times 10^{21}$.

(C) धातु का द्रव्यमान $m = 0.4 \ g$ दिया गया है।
घनत्व $(\rho)$ और इकाई कोष्ठिका के आयतन $(V = a^3)$ का गुणनफल $\rho \times a^3 = 1.2 \times 10^{-22} \ g$ है।
इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या = $\frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{एक इकाई कोष्ठिका का द्रव्यमान}} = \frac{m}{\rho \times a^3}$.
मान रखने पर: $\frac{0.4 \ g}{1.2 \times 10^{-22} \ g} = 3.33 \times 10^{21}$.
अतः,इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या $3.3 \times 10^{21}$ है।

(A) सरल घनीय एकक कोष्ठिका के लिए, कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $a = 2r$ होता है।
अतः, $r = \frac{a}{2}$।
दिया गया है $a = 334.7 \ pm$।
$r = \frac{334.7 \ pm}{2} = 167.35 \ pm$।

(B) इकाई सेल के लिए घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{M \cdot n}{a^3 \cdot N_A}$ है।
$fcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(n)$ $4$ होती है।
दिया गया है: $\rho = 21 \ g \ cm^{-3}$ और $a^3 \cdot N_A = 36 \ cm^3 \ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $21 = \frac{M \times 4}{36}$।
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{21 \times 36}{4} = 21 \times 9 = 189.00 \ g \ mol^{-1}$।

(C) $fcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 4$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \cdot N_A}$ है।
दिया गया है $\rho = 2.7 \ g \ cm^{-3}$ और $a^3 \cdot N_A = 40 \ cm^3 \ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $2.7 = \frac{M \times 4}{40}$।
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{2.7 \times 40}{4} = 27 \ g \ mol^{-1}$।

(B) $bcc$ इकाई कोशिका के लिए, त्रिज्या $r$ और कोर लंबाई $a$ के बीच का संबंध $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ है।
इसलिए, $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
दिए गए मान $r = 173 \ pm$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{4 \times 173}{1.732} \approx 400 \ pm$.
सेंटीमीटर में बदलने पर:
$a = 400 \times 10^{-10} \ cm = 4.00 \times 10^{-8} \ cm$.

(B) मोल की संख्या $= \frac{0.6 \ g}{60 \ g \ mol^{-1}} = 0.01 \ mol$
परमाणुओं की कुल संख्या $= 0.01 \times 6.022 \times 10^{23} = 6.022 \times 10^{21} \ {\text{परमाणु}}$
प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $= 4$
इकाई सेलों की संख्या $= \frac{\text{परमाणुओं की कुल संख्या}}{\text{प्रति इकाई सेल परमाणु}} = \frac{6.022 \times 10^{21}}{4} \approx 1.5 \times 10^{21} \ {\text{इकाई सेल}}$

(C) $BCC$ इकाई सेल के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है。
घनत्व का सूत्र: $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र: $M = \frac{\rho \times a^3 \times N_A}{n}$
दिया गया है: $\rho = 10 \ g \ cm^{-3}$, $a = 300 \ pm = 3 \times 10^{-8} \ cm$, $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$, $n = 2$.
$M = \frac{10 \times (3 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$
$M = \frac{10 \times 27 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$
$M = \frac{162.594}{2} \approx 81.3 \ g \ mol^{-1}$.

(D) $bcc$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) यूनिट सेल में,परमाणु बॉडी डायगोनल (काय विकर्ण) के साथ एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
बॉडी डायगोनल की लंबाई $\sqrt{3} a$ होती है।
चूंकि बॉडी डायगोनल में कोने वाले परमाणुओं की दो त्रिज्याएँ और केंद्रीय परमाणु का एक पूरा व्यास शामिल होता है,इसलिए $\sqrt{3} a = 4r$ होता है।
किनारे की लंबाई $a$ के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(C) $fcc$ क्रिस्टल संरचना के लिए, त्रिज्या $r$ और कोर लंबाई $a$ के बीच संबंध $r = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} a$ है।
दिया गया है $a = 405 \ pm$।
मान रखने पर: $r = \frac{1.414 \times 405}{4} = \frac{572.67}{4} = 143.1675 \ pm \approx 143.2 \ pm$।

(A) सरल घनीय एकक कोष्ठिका के लिए,प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $n = 1$ है।
घनत्व $(\rho)$ का सूत्र $\rho = \frac{M \cdot n}{a^3 \cdot N_A}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $9.3 = \frac{M \cdot 1}{22.6}$।
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए हल करने पर: $M = 9.3 \times 22.6 = 210.2 \ g \ mol^{-1}$।

(A) $bcc$ एकक कोष्ठिका के लिए,प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $n = 2$ होती है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{M \cdot n}{a^3 \cdot N_{A}}$ है।
दिया गया है: $\rho = 7.8 \ g \ cm^{-3}$ और $a^3 \cdot N_{A} = 16.2 \ cm^3 \ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $7.8 = \frac{M \times 2}{16.2}$।
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{7.8 \times 16.2}{2} = 63.18 \ g \ mol^{-1}$।

(B) सरल घनीय एकक कोष्ठिका में, परमाणु घन की कोर के अनुदिश एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
अतः, कोर की लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $a = 2r$ है।
दिया गया है $r = 167.3 \ pm$।
इस प्रकार, $a = 2 \times 167.3 \ pm = 334.6 \ pm$।

(A) घनत्व $\rho$ का सूत्र है: $\rho = \frac{M \times Z}{a^3 \cdot N_A}$
$fcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ होती है।
दिया गया है: $M = 27 \ g \ mol^{-1}$ और $a^3 \cdot N_A = 38.5 \ cm^3 \ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $\rho = \frac{27 \ g \ mol^{-1} \times 4}{38.5 \ cm^3 \ mol^{-1}}$
$\rho = \frac{108}{38.5} \ g \ cm^{-3} \approx 2.8 \ g \ cm^{-3}$।

(A) $bcc$ इकाई सेल के लिए, त्रिज्या $r$ और कोर लंबाई $a$ के बीच का संबंध $4r = \sqrt{3}a$ है।
$a = 287 \ pm$ का मान रखने पर:
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 287$
$r = \frac{1.732 \times 287}{4} = 124.27 \ pm$.

(B) $bcc$ इकाई सेल के लिए, परमाणु की त्रिज्या $(r)$ और कोर लंबाई $(a)$ के बीच का संबंध $4r = \sqrt{3}a$ है।
दी गई कोर लंबाई $a = 450 \ pm$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \frac{\sqrt{3} \times 450}{4} = \frac{1.732 \times 450}{4} = 194.85 \ pm$.

(A) $fcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(n)$ $4$ होती है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$ है।
इकाई सेल के आयतन $(a^3)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$a^3 = \frac{M \times n}{\rho \times N_A}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $M = 180 \ g \ mol^{-1}$,$n = 4$,और $\rho \cdot N_A = 120 \times 10^{21} \ g \ cm^{-3} \ mol^{-1}$।
$a^3 = \frac{180 \times 4}{120 \times 10^{21}} = \frac{720}{120 \times 10^{21}} = 6.00 \times 10^{-21} \ cm^3$.

(D) इकाई सेल का घनत्व $\rho = \frac{M \cdot n}{a^3 \cdot N_A}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$M = 56 \ g \ mol^{-1}$,$n = 2$ ($bcc$ संरचना के लिए),और $\rho \cdot N_A = 4.8 \times 10^{24} \ g \ cm^{-3} \ mol^{-1}$ है।
इकाई सेल का आयतन $V = a^3 = \frac{M \cdot n}{\rho \cdot N_A}$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{56 \times 2}{4.8 \times 10^{24}} \ cm^3$.
$V = \frac{112}{4.8} \times 10^{-24} \ cm^3 = 23.33 \times 10^{-24} \ cm^3 = 2.33 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(A) सरल घनीय एकक कोष्ठिका के लिए,प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $(n) = 1$ है।
घनत्व $(\rho)$ का सूत्र: $\rho = \frac{n \cdot M}{a^3 \cdot N_{A}}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\rho = \frac{1 \times 210}{21.5} \ g \ cm^{-3}$।
$\rho = 9.77 \ g \ cm^{-3}$।

(B) $bcc$ इकाई सेल के लिए, त्रिज्या $r$ और कोर लंबाई $a$ के बीच संबंध $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ है।
इसलिए, $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
$r = 227 \ pm$ का मान रखने पर:
$a = \frac{4 \times 227}{1.732} \approx 524.83 \ pm$.
$pm$ को $cm$ में बदलने पर: $1 \ pm = 10^{-10} \ cm$.
$a = 524.83 \times 10^{-10} \ cm = 5.2483 \times 10^{-8} \ cm$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें $5.24 \times 10^{-8} \ cm$ प्राप्त होता है।

(D) एकक कोष्ठिका के लिए घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
यहाँ,$d = 22.24 \ g \ cm^{-3}$,$Z = 4$,$a^3 = 5.6 \times 10^{-23} \ cm^3$,और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ है।
मान रखने पर: $22.24 = \frac{4 \times M}{5.6 \times 10^{-23} \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$22.24 = \frac{4 \times M}{5.6 \times 6.022}$.
$M = \frac{22.24 \times 5.6 \times 6.022}{4}$.
$M = 187.43 \ g \ mol^{-1}$.

(B) सरल घनीय संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या, $Z = 1$.
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
दिया गया है: $d = 9.8 \ g \ cm^{-3}$, $a = 340 \ pm = 3.40 \times 10^{-8} \ cm$, $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $9.8 = \frac{1 \times M}{(3.40 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$M = 9.8 \times (3.9304 \times 10^{-23}) \times 6.022 \times 10^{23} \approx 231.97 \ g \ mol^{-1}$.
$20 \ g$ में मोल की संख्या $= \frac{20}{231.97} \approx 0.08622 \ mol$.
परमाणुओं की संख्या $= \text{मोल} \times N_A = 0.08622 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 5.19 \times 10^{22}$ परमाणु।

(D) इकाई सेल के घनत्व $(d)$ का सूत्र है: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_{A}}$
$bcc$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $2$ है।
मोलर द्रव्यमान $(M)$ = $56 \ g \ mol^{-1}$.
कोर की लंबाई $(a)$ = $288 \ pm = 288 \times 10^{-10} \ cm$.
एवोगाद्रो संख्या $(N_{A})$ = $6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर:
$d = \frac{2 \times 56}{(288 \times 10^{-10} \ cm)^3 \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}}$
$d = \frac{112}{2.3887 \times 10^{-23} \times 6.022 \times 10^{23}}$
$d = \frac{112}{14.385} \approx 7.78 \ g \ cm^{-3}$

(B) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र है: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_{A}}$
दिया गया है: $d = 19.7 \ g \ cm^{-3}$,$Z = 4$,$a = 4 \times 10^{-8} \ cm$,$N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर:
$19.7 = \frac{4 \times M}{(4 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$
$M = 189.8 \ g \ mol^{-1}$.

(A) सरल घनीय संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या, $Z = 1$ है।
कोर की लंबाई $a = 336 \ pm = 3.36 \times 10^{-8} \ cm$ है।
मोलर द्रव्यमान $M$ की गणना दिए गए आंकड़ों से की जा सकती है: $2.64 \times 10^{23}$ परमाणुओं का द्रव्यमान $90 \ g$ है। इसलिए, $6.022 \times 10^{23}$ परमाणुओं (एवोगैड्रो संख्या, $N_A$) का द्रव्यमान $M = \frac{90 \times 6.022 \times 10^{23}}{2.64 \times 10^{23}} \approx 205.3 \ g \ mol^{-1}$ होगा।
घनत्व सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ का उपयोग करने पर:
$d = \frac{1 \times 205.3}{(3.36 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 8.98 \ g \ cm^{-3}$।

(A) सरल घनीय एकक कोष्ठिका के लिए, प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या, $Z = 1$ है।
एक एकक कोष्ठिका का आयतन, $V = a^3 = (336 \times 10^{-10} \ cm)^3 = 3.793 \times 10^{-23} \ cm^3$ है।
एक एकक कोष्ठिका का द्रव्यमान $m_{uc} = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = 9.4 \ g \ cm^{-3} \times 3.793 \times 10^{-23} \ cm^3 = 3.565 \times 10^{-22} \ g$ है।
$3 \ g$ धातु में एकक कोष्ठिकाओं की संख्या = $\frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{एक एकक कोष्ठिका का द्रव्यमान}} = \frac{3 \ g}{3.565 \times 10^{-22} \ g} \approx 8.41 \times 10^{21}$ है।

(B) इकाई सेल का घनत्व $(d)$ ज्ञात करने का सूत्र: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_{A}}$
दिया गया है: $Z = 4$,$M = 27 \ g \ mol^{-1}$,$a = 405 \ pm = 4.05 \times 10^{-8} \ cm$,$N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
मान रखने पर: $d = \frac{4 \times 27}{(4.05 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$
$d = \frac{108}{66.43 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}$
$d = \frac{108}{40.01} \approx 2.699 \ g \ cm^{-3}$
अतः,घनत्व लगभग $2.69 \ g \ cm^{-3}$ है।

(C) $BCC$ इकाई सेल के लिए,कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध है: $\sqrt{3} a = 4 r$।
दिया गया है: $r = 2.17 \times 10^{-8} \ cm$ और $\sqrt{3} = 1.732$।
मान रखने पर: $a = \frac{4 \times 2.17 \times 10^{-8}}{1.732} \ cm$।
$a = \frac{8.68 \times 10^{-8}}{1.732} \ cm = 5.011 \times 10^{-8} \ cm$।
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,$a = 5.0 \times 10^{-8} \ cm$ प्राप्त होता है।

(D) घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
दिया गया है: $d = 7.2 \ g \ cm^{-3}$, $a = 2.88 \times 10^{-8} \ cm$, $M = 52 \ g \ mol^{-1}$, $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर:
$7.2 = \frac{Z \times 52}{(2.88 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$
$Z \approx 2$.
चूंकि प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है, इसलिए क्रिस्टल की संरचना बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ है।

(A) इकाई सेल का घनत्व,इकाई सेल के द्रव्यमान और इकाई सेल के आयतन का अनुपात होता है।
इकाई सेल का द्रव्यमान $\frac{n \times M}{N_A}$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
घनीय इकाई सेल का आयतन $a^3$ है।
अतः,घनत्व $\rho = \frac{n M}{a^3 N_A}$ है।

(D) घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_{A}}$ है।
$bcc$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है।
कोर लंबाई $a = 288 \ pm = 2.88 \times 10^{-8} \ cm$.
एवोगैड्रो स्थिरांक $N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $7.8 = \frac{2 \times M}{(2.88 \times 10^{-8} \ cm)^3 \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}}$.
$M = \frac{7.8 \times (2.88 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$.
$M \approx 56.1 \ g \ mol^{-1}$.

(C) सरल घनीय एकक कोष्ठिका के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $a = 2r$ है।
दिया गया है कि $r = 174 \ pm$ है।
अतः, $a = 2 \times 174 \ pm = 348 \ pm$।

(C) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{V \times N_A}$ है।
दिया गया है: $Z = 4$,$d = 19.0 \ g \ cm^{-3}$,$M = 190 \ g \ mol^{-1}$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $19.0 = \frac{4 \times 190}{V \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$V$ के लिए हल करने पर: $V = \frac{4 \times 190}{19.0 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$V = \frac{40}{6.022} \times 10^{-23} \ cm^3$.
$V \approx 6.64 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(B) घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
$bcc$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है।
कोर की लंबाई $a = 420 \ pm = 4.20 \times 10^{-8} \ cm$ है।
आवोगाद्रो संख्या $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ है।
मान रखने पर: $1 = \frac{2 \times M}{(4.20 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$M = \frac{1 \times (74.088 \times 10^{-24}) \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$.
$M = \frac{44.61}{2} \approx 22.3 \ g \ mol^{-1}$.

(B) इकाई सेल का घनत्व $(d)$ ज्ञात करने का सूत्र: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
जहाँ:
$Z = 4$ (प्रति इकाई सेल कणों की संख्या)
$M = 192 \ g \ mol^{-1}$ (मोलर द्रव्यमान)
$a^3 = 64 \times 10^{-24} \ cm^3$ (इकाई सेल का आयतन)
$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ (एवोगाद्रो स्थिरांक)
मान रखने पर:
$d = \frac{4 \times 192}{64 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}$
$d = \frac{768}{38.5408} \approx 19.93 \ g \ cm^{-3}$

(A) सरल घनीय एकक कोष्ठिका के लिए, प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $(z)$ $= 1$ है।
कोर की लंबाई $(a)$ $= 336 \ pm = 3.36 \times 10^{-8} \ cm$ है।
घनत्व $(d)$ $= \frac{z \times M}{a^3 \times N_A}$, जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या $(6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ है।
$9.4 = \frac{1 \times M}{(3.36 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$।
$M = 9.4 \times (3.793 \times 10^{-23}) \times 6.022 \times 10^{23} \approx 214.65 \ g \ mol^{-1}$।
$5 \ g$ में परमाणुओं की संख्या $= \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} \times N_A = \frac{5}{214.65} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 1.4 \times 10^{22}$ परमाणु।

(A) $bcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $2$ होती है।
एक परमाणु का द्रव्यमान $\frac{\text{मोलर द्रव्यमान}}{N_A} = \frac{56}{6.022 \times 10^{23}} \ g$ द्वारा दिया जाता है।
इकाई सेल का द्रव्यमान $Z \times \text{एक परमाणु का द्रव्यमान} = 2 \times \frac{56}{6.022 \times 10^{23}} \ g$ है।
$= \frac{112}{6.022 \times 10^{23}} \ g \approx 1.86 \times 10^{-22} \ g$.

(D) $BCC$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \cdot M}{N_A \cdot a^3}$ है।
दिया गया है: $d = 10 \ g \ cm^{-3}$, $a = 200 \ pm = 2 \times 10^{-8} \ cm$, और $N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $10 = \frac{2 \times M}{6.022 \times 10^{23} \times (2 \times 10^{-8})^3}$।
$M = 24.0 \ g \ mol^{-1}$ प्राप्त होता है।

(D) पोटेशियम $(K)$ का परमाणु द्रव्यमान $39 \ g/mol$ है।
पोटेशियम के मोलों की संख्या $= \frac{3.9 \ g}{39 \ g/mol} = 0.1 \ mol$.
परमाणुओं की संख्या $= \text{मोल} \times N_{A} = 0.1 \ N_{A}$.
$BCC$ इकाई कोष्ठिका में,प्रति इकाई कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $(n)$ $2$ होती है।
अतः,इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या $= \frac{\text{परमाणुओं की कुल संख्या}}{n} = \frac{0.1 \ N_{A}}{2} = \frac{N_{A}}{20}$.

(C) दिया गया है: मोलर द्रव्यमान $M = 180 \ g \ mol^{-1}$,घनत्व $\rho = 18 \ g \ cm^{-3}$,आवोगाद्रो स्थिरांक $N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
$BCC$ क्रिस्टल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $z = 2$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{M \times z}{a^3 \times N_A}$ है।
किनारे की लंबाई $a$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $a^3 = \frac{M \times z}{\rho \times N_A}$।
मान रखने पर: $a^3 = \frac{180 \times 2}{18 \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 33.2 \times 10^{-24} \ cm^3$।
अतः,$a = \sqrt[3]{33.2} \times 10^{-8} \ cm$।

(B) एक सरल घनीय संरचना में,परमाणु इकाई सेल की कोर (edge) पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
इसलिए,कोर लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $a = 2r$ है।
दिया गया है $a = 3.86 \ \mathring{A}$।
$r = \frac{a}{2} = \frac{3.86 \ \mathring{A}}{2} = 1.93 \ \mathring{A}$।
सेंटीमीटर में बदलने पर: $1 \ \mathring{A} = 10^{-8} \ cm$।
अतः,$r = 1.93 \times 10^{-8} \ cm$।

(C) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र है: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$,जहाँ $a^3$ इकाई सेल का आयतन $(V)$ है।
$BCC$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $2$ होती है।
दिया गया है: परमाणु द्रव्यमान $(M)$ = $25 \ g \ mol^{-1}$,घनत्व $(\rho)$ = $3 \ g \ cm^{-3}$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
आयतन $(V)$ के लिए सूत्र: $V = \frac{Z \times M}{\rho \times N_A}$.
मान रखने पर: $V = \frac{2 \times 25}{3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$V = \frac{50}{18.066 \times 10^{23}} \approx 2.767 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(C) $BCC$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या,$Z = 2$ है।
कोर की लंबाई $a = 400 \ pm = 400 \times 10^{-10} \ cm = 4 \times 10^{-8} \ cm$ है।
मोलर द्रव्यमान $M = 100 \ g \ mol^{-1}$ है।
घनत्व $d$ का सूत्र है: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$।
मान रखने पर: $d = \frac{2 \times 100}{6.022 \times 10^{23} \times (4 \times 10^{-8})^3}$।
$d = \frac{200}{6.022 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}}$।
$d = \frac{200}{6.022 \times 64 \times 10^{-1}} = \frac{200}{38.54} \approx 5.18 \ g \ cm^{-3}$।

(B) $68 \%$ पैकिंग दक्षता एक $BCC$ इकाई सेल को दर्शाती है।
$BCC$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है।
कोर की लंबाई $a = 3.3 \ \mathring{A} = 3.3 \times 10^{-8} \ cm$ है।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \cdot M}{N_A \cdot a^3}$ है,जहाँ $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ है।
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र: $M = \frac{d \cdot N_A \cdot a^3}{Z}$ है।
मान रखने पर: $M = \frac{8.57 \times 6.022 \times 10^{23} \times (3.3 \times 10^{-8})^3}{2}$ है।
गणना करने पर $M \approx 93 \ g \ mol^{-1}$ प्राप्त होता है।

(D) इकाई सेल का घनत्व $(d)$ सूत्र: $d = \frac{Z \times \text{एक परमाणु का द्रव्यमान}}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
$bcc$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है।
दिया गया है: $d = 9 \ g \ cm^{-3}$,$V = 2.7 \times 10^{-23} \ cm^3$,और कुल द्रव्यमान $= 2.43 \ g$ है।
मान लीजिए $N$ परमाणुओं की कुल संख्या है।
एक परमाणु का द्रव्यमान $= \frac{2.43}{N}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $9 = \frac{2 \times (2.43 / N)}{2.7 \times 10^{-23}}$।
$N$ के लिए हल करने पर: $N = \frac{2 \times 2.43}{9 \times 2.7 \times 10^{-23}} = 2.0 \times 10^{22}$ परमाणु।

(D) घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \cdot M}{N_A \cdot a^3}$ है。
दिया गया है:
$Z = 2$ ($\text{BCC}$ $\text{संरचना के लिए}$)
$a = 400 \ pm = 400 \times 10^{-10} \ cm = 4 \times 10^{-8} \ cm$
$d = 4 \ g \ cm^{-3}$
$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र:
$M = \frac{d \cdot N_A \cdot a^3}{Z}$
मान रखने पर:
$M = \frac{4 \cdot 6.022 \times 10^{23} \cdot (4 \times 10^{-8})^3}{2}$
$M = \frac{4 \cdot 6.022 \times 10^{23} \cdot 64 \times 10^{-24}}{2}$
$M = 2 \cdot 6.022 \cdot 64 \cdot 10^{-1}$
$M = 77.08 \ g \ mol^{-1} \approx 77 \ g \ mol^{-1}$.

(A) दिया गया है: कोर लंबाई $a = 500 \ pm = 500 \times 10^{-10} \ cm = 5 \times 10^{-8} \ cm$.
घनत्व $d = 4 \ g \ cm^{-3}$.
$BCC$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$.
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{d \times N_A \times a^3}{Z}$.
मान रखने पर: $M = \frac{4 \times 6.022 \times 10^{23} \times (5 \times 10^{-8})^3}{2}$.
$M = \frac{4 \times 6.022 \times 10^{23} \times 125 \times 10^{-24}}{2}$.
$M = 2 \times 6.022 \times 125 \times 10^{-1} = 150.55 \ g \ mol^{-1} \approx 150 \ g \ mol^{-1}$.

(B) सरल घनीय संरचना के लिए, कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $a = 2r$ है।
दिया गया है कि कोर लंबाई $a = 336 \ pm$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $336 \ pm = 2r$।
अतः, $r = \frac{336 \ pm}{2} = 168 \ pm$।