Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Hindi

(A) $bcc$ इकाई कोष्ठिका के लिए,प्रति इकाई कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $(Z) = 2$ होती है।
इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या का सूत्र: $\text{इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या} = \frac{\text{कुल परमाणुओं की संख्या}}{Z} = \frac{W \times N_A}{M \times Z}$.
दिया गया है: $W = 1 \, g$,$M = 23 \, g/mol$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$,$Z = 2$.
$\text{इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या} = \frac{1 \times 6.022 \times 10^{23}}{23 \times 2} = \frac{6.022 \times 10^{23}}{46} \approx 1.309 \times 10^{22}$.
अतः,इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या $1.3 \times 10^{22}$ है।

(B) $fcc$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
दिया गया है: द्रव्यमान $W = 100 \, g$, घनत्व $d = 10 \, g/cm^3$, कोर की लंबाई $a = 200 \, pm = 2 \times 10^{-8} \, cm$।
$100 \, g$ में इकाई सेलों की संख्या $N_{unit cells} = \frac{W}{d \times a^3}$ द्वारा दी जाती है।
$N_{unit cells} = \frac{100}{10 \times (2 \times 10^{-8})^3} = \frac{10}{8 \times 10^{-24}} = 1.25 \times 10^{24}$।
परमाणुओं की कुल संख्या $= Z \times N_{unit cells} = 4 \times 1.25 \times 10^{24} = 5 \times 10^{24} = 0.5 \times 10^{25}$।

(B) $bcc$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $z = 2$ है।
दिया गया है: परमाणु द्रव्यमान $M = 100 \ g/mol$,कोर की लंबाई $a = 400 \ pm = 400 \times 10^{-10} \ cm$,और आवोगाद्रो संख्या $N_A = 6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
मान रखने पर: $\rho = \frac{2 \times 100}{6.023 \times 10^{23} \times (400 \times 10^{-10})^3}$।
$\rho = \frac{200}{6.023 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}} = \frac{200}{38.5472} \approx 5.188 \ g/cm^3$।

(C) $bcc$ जालक में,परमाणु बॉडी विकर्ण (body diagonal) के अनुदिश एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $4r = \sqrt{3}a$ है।
यहाँ $a = 4.29 \ \mathring{A}$ दिया गया है।
$r = \frac{\sqrt{3} \times 4.29}{4}$.
$r = \frac{1.732 \times 4.29}{4} \approx 1.857 \ \mathring{A}$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $1.86 \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(C) $bcc$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z_{bcc} = 2$ है और कोर की लंबाई $a$ तथा परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $4r = \sqrt{3}a$ है,इसलिए $a_{bcc} = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
$fcc$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z_{fcc} = 4$ है और कोर की लंबाई $a$ तथा परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $4r = \sqrt{2}a$ है,इसलिए $a_{fcc} = \frac{4r}{\sqrt{2}}$.
घनत्व $d$ का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{d_{bcc}}{d_{fcc}} = \frac{Z_{bcc}}{Z_{fcc}} \times (\frac{a_{fcc}}{a_{bcc}})^3$.
मान रखने पर: $\frac{d_{bcc}}{d_{fcc}} = \frac{2}{4} \times (\frac{4r/\sqrt{2}}{4r/\sqrt{3}})^3 = \frac{1}{2} \times (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^3 = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$.

$(A)$ यूनिट सेल का आयतन $= (288 \, pm)^{3} = (288 \times 10^{-10} \, cm)^{3} = 2.3887872 \times 10^{-23} \, cm^{3}$.
तत्व के $208 \, g$ का आयतन $= \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{208 \, g}{7.2 \, g \, cm^{-3}} = 28.888 \, cm^{3}$.
इस आयतन में यूनिट सेल की संख्या $= \frac{28.888 \, cm^{3}}{2.3887872 \times 10^{-23} \, cm^{3}/\text{यूनिट सेल}} \approx 12.093 \times 10^{23} \, \text{यूनिट सेल}$.
चूंकि प्रत्येक $bcc$ यूनिट सेल में $2$ परमाणु होते हैं, इसलिए परमाणुओं की कुल संख्या $= 2 \times 12.093 \times 10^{23} \approx 2.418 \times 10^{24} \, \text{परमाणु}$.

(N/A) $fcc$ जालक के लिए,प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $z = 4$ है।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{z M}{N_{A} a^{3}}$ है,जहाँ $M$ परमाणु द्रव्यमान है।
$M$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{d N_{A} a^{3}}{z}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \frac{8.92 \ g \ cm^{-3} \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1} \times (3.608 \times 10^{-8} \ cm)^{3}}{4}$.
$M = \frac{8.92 \times 6.022 \times 10^{23} \times 46.97 \times 10^{-24}}{4}$.
$M = \frac{2523.36}{40} \approx 63.1 \ g / mol$.
अतः,कॉपर का परमाणु द्रव्यमान $63.1 \ u$ है।

चूंकि जालक $ccp$ है, इसलिए प्रति इकाई कोशिका सिल्वर परमाणुओं की संख्या $z = 4$ है।
सिल्वर का मोलर द्रव्यमान $(M)$ $= 107.9 \,g \,mol^{-1} = 107.9 \times 10^{-3} \,kg \,mol^{-1}$।
इकाई कोशिका के किनारे की लंबाई $(a)$ $= 408.6 \,pm = 408.6 \times 10^{-12} \,m$।
घनत्व $(d)$ की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $d = \frac{z \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$।
मान रखने पर: $d = \frac{4 \times (107.9 \times 10^{-3} \,kg \,mol^{-1})}{(408.6 \times 10^{-12} \,m)^3 \times (6.022 \times 10^{23} \,mol^{-1})}$।
$d = 10.5 \,g \,cm^{-3}$।

(A) दिया गया है:
घनत्व, $d = 2.7 \times 10^{3} \,kg \,m^{-3}$
मोलर द्रव्यमान, $M = 2.7 \times 10^{-2} \,kg \,mol^{-1}$
किनारे की लंबाई, $a = 405 \,pm = 4.05 \times 10^{-10} \,m$
एवोगाद्रो संख्या, $N_A = 6.022 \times 10^{23} \,mol^{-1}$
इकाई सेल के घनत्व के सूत्र का उपयोग करने पर:
$d = \frac{z \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$
$z$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$z = \frac{d \cdot a^3 \cdot N_A}{M}$
मान रखने पर:
$z = \frac{(2.7 \times 10^{3}) \cdot (4.05 \times 10^{-10})^3 \cdot (6.022 \times 10^{23})}{2.7 \times 10^{-2}}$
$z \approx 4$
चूंकि प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $4$ है, इसलिए इकाई सेल फलक-केंद्रित घनीय $(fcc)$ है।

(N/A) किसी अज्ञात धातु के घनत्व और उसके इकाई सेल के आयामों को जानकर,धातु का परमाणु द्रव्यमान निर्धारित किया जा सकता है।
मान लीजिए $a$ क्रिस्टल के इकाई सेल की किनारे की लंबाई है,$d$ धातु का घनत्व है,$M$ धातु का परमाणु द्रव्यमान है,$z$ इकाई सेल में परमाणुओं की संख्या है,और $N_{A}$ आवोगाद्रो संख्या है।
इकाई सेल का घनत्व इस प्रकार दिया जाता है:
$d = \frac{z \times M}{a^{3} \times N_{A}}$
परमाणु द्रव्यमान $(M)$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$M = \frac{d \times a^{3} \times N_{A}}{z}$
घनत्व $(d)$,किनारे की लंबाई $(a)$,आवोगाद्रो संख्या $(N_{A})$,और क्रिस्टल संरचना के आधार पर प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(z)$ (जैसे,सरल घनीय के लिए $z=1$,$BCC$ के लिए $z=2$,$FCC$ के लिए $z=4$) के ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करके,परमाणु द्रव्यमान $(M)$ की गणना की जा सकती है।

(N/A) दिया गया है: कोर की लंबाई,$a = 4.07 \times 10^{-8} \ cm$
घनत्व,$d = 10.5 \ g \ cm^{-3}$
$fcc$ जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या,$z = 4$
आवोगाद्रो संख्या,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
सूत्र का उपयोग करते हुए: $d = \frac{z M}{a^3 N_A}$
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{d a^3 N_A}{z}$
$M = \frac{10.5 \ g \ cm^{-3} \times (4.07 \times 10^{-8} \ cm)^3 \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}}{4}$
$M = \frac{10.5 \times 67.419 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$
$M = \frac{426.37}{4} \approx 106.59 \ g \ mol^{-1}$
अतः,सिल्वर का परमाणु द्रव्यमान लगभग $106.59 \ u$ है।

(N/A) दिया गया है: घनत्व $(d)$ = $8.55 \, g \, cm^{-3}$,परमाणु द्रव्यमान $(M)$ = $93 \, g \, mol^{-1}$,$z$ ($bcc$ के लिए) = $2$,आवोगाद्रो संख्या $(N_{A})$ = $6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
घनत्व के सूत्र का उपयोग करते हुए: $d = \frac{z \cdot M}{a^{3} \cdot N_{A}}$.
कोर की लंबाई $(a)$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a^{3} = \frac{z \cdot M}{d \cdot N_{A}} = \frac{2 \times 93}{8.55 \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 3.612 \times 10^{-23} \, cm^{3}$.
घनमूल लेने पर: $a \approx 3.306 \times 10^{-8} \, cm$.
$bcc$ संरचना के लिए,त्रिज्या $(r)$ और कोर की लंबाई $(a)$ के बीच संबंध है: $r = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a$.
$a$ का मान रखने पर: $r = \frac{1.732}{4} \times 3.306 \times 10^{-8} \, cm \approx 1.432 \times 10^{-8} \, cm$ या $0.1432 \, nm$.

कोर की लंबाई,$a = 3.61 \times 10^{-8} \, cm$.
चूंकि जालक $fcc$ प्रकार का है,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या,$z = 4$.
कॉपर का परमाणु द्रव्यमान,$M = 63.5 \, g \, mol^{-1}$.
एवोगाद्रो संख्या,$N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
घनत्व सूत्र का उपयोग करने पर:
$d = \frac{z \times M}{a^{3} \times N_{A}}$
$d = \frac{4 \times 63.5 \, g \, mol^{-1}}{(3.61 \times 10^{-8} \, cm)^{3} \times 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}}$
$d = \frac{254}{47.045881 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}} \, g \, cm^{-3}$
$d = \frac{254}{28.33} \, g \, cm^{-3} \approx 8.97 \, g \, cm^{-3}$.
परिकलित घनत्व $8.97 \, g \, cm^{-3}$ मापे गए मान $8.92 \, g \, cm^{-3}$ के साथ निकटता से सहमत है।

(N/A) फलक-केंद्रित एकक कोष्ठिका $(fcc)$ के लिए:
$a = 2 \sqrt{2} r$
दिया गया है कि परमाणु त्रिज्या,$r = 0.144 \, nm$ है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$a = 2 \times 1.414 \times 0.144 \, nm$
$a = 0.407232 \, nm$
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,कोष्ठिका के किनारे की लंबाई $0.407 \, nm$ है।

$(i)$ क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(ccp)$ संरचना के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और धात्विक त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है।
$r = 125 \ pm$ का मान रखने पर:
$a = 2 \times 1.414 \times 125 \ pm = 353.55 \ pm \approx 354 \ pm$.
$(ii)$ एक इकाई सेल का आयतन $a^3 = (354 \ pm)^3 = (354 \times 10^{-10} \ cm)^3 = 4.436 \times 10^{-23} \ cm^3$ है।
$1.00 \ cm^3$ में इकाई सेल की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{इकाई सेल की संख्या} = \frac{1.00 \ cm^3}{4.436 \times 10^{-23} \ cm^3} = 2.254 \times 10^{22}$.

(A) बर्फ की क्रिस्टल संरचना की जांच आमतौर पर $X$-रे विवर्तन ($X$-ray diffraction) तकनीकों का उपयोग करके की जाती है। $X$-रे विवर्तन वैज्ञानिकों को बर्फ के क्रिस्टल जालक में पानी के अणुओं की व्यवस्था निर्धारित करने की अनुमति देता है,जो वायुमंडलीय दबाव पर इसकी षट्कोणीय समरूपता को प्रकट करता है।

(B) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ यूनिट सेल में,परमाणु काय विकर्ण के अनुदिश एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
मान लीजिए कि घन की भुजा की लंबाई $a$ है।
घन का फलक विकर्ण $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ होता है।
काय विकर्ण,फलक विकर्ण और घन की भुजा द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज का कर्ण है।
अतः,काय विकर्ण की लंबाई = $\sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

(B) एक सरल घनीय एकक कोष्ठिका में,परमाणु केवल घन के कोनों पर उपस्थित होते हैं।
ये परमाणु घन के किनारे के अनुदिश एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
इसलिए,कोर की लंबाई $(a)$ दो निकटवर्ती परमाणुओं की त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है।
$a = r + r = 2r$.

(N/A) मान लीजिए कि एक घनीय क्रिस्टल के इकाई सेल की कोर की लंबाई $a$ है,जिसे $X$-रे विवर्तन द्वारा निर्धारित किया गया है। मान लीजिए ठोस का घनत्व $= d$ और मोलर द्रव्यमान $= M$ है।
इकाई सेल का आयतन $= a^3$
इकाई सेल का द्रव्यमान $= z \times m$
जहाँ,$z =$ एक इकाई सेल में उपस्थित परमाणुओं की संख्या और $m =$ एक एकल परमाणु का द्रव्यमान।
इकाई सेल में एक परमाणु का द्रव्यमान $m = \frac{M}{N_A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M =$ मोलर द्रव्यमान और $N_A =$ आवोगाद्रो स्थिरांक है।
इकाई सेल का घनत्व $= \frac{\text{इकाई सेल का द्रव्यमान}}{\text{इकाई सेल का आयतन}}$
$d = \frac{z \cdot m}{a^3}$
$m$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$d = \frac{z \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$
इकाई सेल का घनत्व पदार्थ के घनत्व के समान होता है।
इस प्रकार,ठोस का घनत्व $z, M, a,$ और $N_A$ का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

(N/A) $1$. मान लीजिए कि इकाई सेल की कोर की लंबाई $a \ cm$ है।
$2$. इकाई सेल का आयतन $V = a^3 \ cm^3$ है।
$3$. मान लीजिए कि $z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है और $M$ पदार्थ का मोलर द्रव्यमान है।
$4$. एक परमाणु का द्रव्यमान $\frac{M}{N_A}$ है,जहाँ $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
$5$. इकाई सेल का कुल द्रव्यमान $z \times \frac{M}{N_A}$ है।
$6$. घनत्व $(d) = \frac{\text{इकाई सेल का द्रव्यमान}}{\text{इकाई सेल का आयतन}} = \frac{z \times M}{a^3 \times N_A}$.

(C) दिया गया है: घनत्व $(d) = 2.75 \, g/cm^3$,कोर की लंबाई $(a) = 654 \, pm = 654 \times 10^{-10} \, cm$,$KBr$ का मोलर द्रव्यमान $(M) = 39 + 80 = 119 \, g/mol$,आवोगाद्रो संख्या $(N_A) = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$.
$Z = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M} = \frac{2.75 \times (654 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{119}$.
$Z = \frac{2.75 \times 279.77 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{119} \approx 3.89 \approx 4$.
चूंकि $Z = 4$,इकाई सेल $fcc$ (फलक-केंद्रित घनीय) प्रकार का है।

(A) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
$fcc$ चरण के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z_{fcc} = 4$ और कोर लंबाई $a_1 = 3.5 \ \mathring{A}$ है।
$bcc$ चरण के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z_{bcc} = 2$ और कोर लंबाई $a_2 = 3.0 \ \mathring{A}$ है।
घनत्व का अनुपात: $\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = \frac{Z_{fcc}}{Z_{bcc}} \times \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^3$.
मान रखने पर: $\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = \frac{4}{2} \times \left(\frac{3.0}{3.5}\right)^3 = 2 \times (0.857)^3$.
$\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = 2 \times 0.6296 \approx 1.26$.

(A) $Li$ $\text{बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक}$ $(BCC)$ संरचना में क्रिस्टलीकृत होता है।
$BCC$ एकक कोष्ठिका के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $4r = \sqrt{3}a$ है।
दिया गया है: $a = 351 \, pm$.
$r = \frac{\sqrt{3} \times 351}{4} \, pm$.
$r = \frac{1.732 \times 351}{4} \, pm$.
$r = \frac{607.932}{4} \, pm$.
$r = 151.98 \, pm \approx 152 \, pm$.

(A) $fcc$ (फलक-केंद्रित घनीय) इकाई कोशिका के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध है:
$a = 2\sqrt{2}r$
इसलिए, $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$
दिया गया है $a = 361 \ pm$:
$r = \frac{361}{2 \times 1.414} \approx \frac{361}{2.828} \approx 127.6 \ pm$
अतः, $Cu$ परमाणु की त्रिज्या लगभग $127.6 \ pm$ है।

(A) $bcc$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) संरचना के लिए,किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $4r = \sqrt{3}a$ है।
यहाँ $a = 4.29 \ \mathop A\limits^o$ दिया गया है।
मान रखने पर: $r = \frac{\sqrt{3} \times 4.29}{4}$.
$r = \frac{1.732 \times 4.29}{4} \approx 1.857 \ \mathop A\limits^o$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$r = 1.86 \ \mathop A\limits^o$ प्राप्त होता है।

(A) $bcc$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
मान रखने पर: $8.55 = \frac{2 \times 93}{6.022 \times 10^{23} \times a^3}$.
$a^3 = \frac{186}{8.55 \times 6.022 \times 10^{23}} = 3.614 \times 10^{-23} \, cm^3$.
$a = (36.14 \times 10^{-24})^{1/3} = 3.306 \times 10^{-8} \, cm = 330.6 \, pm$.
$bcc$ के लिए, त्रिज्या $r$ और किनारे की लंबाई $a$ के बीच संबंध $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ है।
$r = \frac{1.732}{4} \times 330.6 \, pm = 0.433 \times 330.6 \, pm = 143.15 \, pm$.

(A) घनत्व $\rho$ का सूत्र: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
दिया है: कोर की लंबाई $a = 200 \, pm = 2 \times 10^{-8} \, cm$.
$fcc$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$.
कुल परमाणुओं की संख्या $N = 24 \times 10^{23}$ और कुल द्रव्यमान $m = 200 \, g$.
मोलर द्रव्यमान $M = \frac{m \times N_A}{N} = \frac{200 \times 6.022 \times 10^{23}}{24 \times 10^{23}} \approx 5.018 \, g/mol$.
घनत्व $\rho = \frac{4 \times 5.018}{(6.022 \times 10^{23}) \times (2 \times 10^{-8})^3} \approx 4.16 \, g/cm^3$.
(नोट: गणना के अनुसार उत्तर $4.16 \, g/cm^3$ है, लेकिन विकल्पों के आधार पर $41.6 \, g/cm^3$ सही उत्तर माना गया है।)

(A) दिया गया है: $bcc$ संरचना,$Z = 2$,$a = 250 \, pm = 250 \times 10^{-10} \, cm$,$d = 8 \, g/cm^3$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ का उपयोग करते हुए:
$M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z} = \frac{8 \times (250 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$.
$M = 4 \times 15.625 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23} = 37.6375 \approx 37.64 \, g/mol$.
$bcc$ संरचना के लिए,त्रिज्या $r$ और कोर की लंबाई $a$ के बीच संबंध $r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a$ है।
$r = \frac{1.732}{4} \times 250 \, pm = 0.433 \times 250 = 108.25 \, pm$.

(A) $bcc$ इकाई सेल के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
यहाँ, $d = 7.874 \,g/cm^3$, $Z = 2$, $M = 55.845 \,g/mol$, और $a = 286.65 \,pm = 286.65 \times 10^{-10} \,cm$ है।
$N_A$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $N_A = \frac{Z \times M}{d \times a^3}$।
$N_A = \frac{2 \times 55.845}{7.874 \times (286.65 \times 10^{-10})^3}$।
$N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \,mol^{-1}$।

(A) यूनिट सेल की कोर लंबाई $X$-ray diffraction तकनीक का उपयोग करके निर्धारित की जाती है। क्रिस्टल लैटिस पर आपतित $X$-rays के विवर्तन कोणों को मापकर,Bragg के नियम $n\lambda = 2d \sin \theta$ का उपयोग करके अंतर-तलीय दूरी $(d)$ की गणना की जा सकती है। इन दूरियों से,यूनिट सेल के आयाम (कोर लंबाई $a$) प्राप्त किए जाते हैं।

(N/A) $1.$ इकाई सेल का घनत्व $(d)$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$,जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$a$ इकाई सेल की कोर की लंबाई है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
$2.$ इकाई सेल में उपस्थित परमाणुओं का द्रव्यमान $(m)$ इस प्रकार है: $m = \frac{Z \times M}{N_A}$,जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है,$M$ मोलर द्रव्यमान है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।

(D) घनत्व का सूत्र $d = \frac{z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
दिया गया है: $M = 2.7 \times 10^{-2} \ kg \ mol^{-1}$,$a = 405 \times 10^{-12} \ m$,$d = 2.7 \times 10^3 \ kg \ m^{-3}$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $2.7 \times 10^3 = \frac{z \times 2.7 \times 10^{-2}}{6.022 \times 10^{23} \times (405 \times 10^{-12})^3}$.
$z$ के लिए हल करने पर: $z = \frac{2.7 \times 10^3 \times 6.022 \times 10^{23} \times 6.643 \times 10^{-29}}{2.7 \times 10^{-2}} \approx 4$.
चूंकि $z = 4$ है,इसलिए यूनिट सेल फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ है।
$fcc$ के लिए,किनारे की लंबाई $a$ और त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है,इसलिए $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
$r = \frac{405 \times 10^{-12}}{2 \times 1.414} = \frac{405 \times 10^{-12}}{2.828} \approx 143.2 \times 10^{-12} \ m$.
निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर,$r = 143 \times 10^{-12} \ m$।

(C) घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है, जहाँ $bcc$ संरचना के लिए $Z = 2$ है।
दिया गया है: $\rho = 6.17 \ g \ cm^{-3}$, $a = 300 \ pm = 300 \times 10^{-10} \ cm$, और $N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $6.17 = \frac{2 \times M}{6 \times 10^{23} \times (300 \times 10^{-10})^3}$.
$6.17 = \frac{2 \times M}{6 \times 10^{23} \times 27 \times 10^{-24}} = \frac{2 \times M}{16.2}$.
$M = \frac{6.17 \times 16.2}{2} \approx 50 \ g \ mol^{-1}$.
अणुओं की संख्या $= \frac{\text{द्रव्यमान}}{M} \times N_A = \frac{200 \ g}{50 \ g \ mol^{-1}} \times N_A = 4 \ N_A$.

(B) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ संरचना के लिए, परमाणु त्रिज्या $(r)$ और किनारे की लंबाई $(a)$ के बीच का संबंध है: $\sqrt{3} a = 4 r$.
यहाँ किनारे की लंबाई $a = 288 \ pm$ दी गई है, इसलिए त्रिज्या $r$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a$
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 288 \ pm$.

(B) दिया गया है:
घनत्व $(\rho) = 8.55 \ g \ cm^{-3}$
परमाणु द्रव्यमान $(M) = 93 \ g \ mol^{-1}$
$bcc$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z) = 2$ है।
एवोगैड्रो संख्या $(N_A) = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
$8.55 = \frac{2 \times 93}{a^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$
$a^3 = \frac{186}{8.55 \times 6.022 \times 10^{23}} = 3.614 \times 10^{-23} \ cm^3$
$a = (3.614 \times 10^{-23})^{1/3} \ cm = 3.306 \times 10^{-8} \ cm = 330.6 \ pm$
$bcc$ संरचना के लिए, त्रिज्या $(r)$ और किनारे की लंबाई $(a)$ के बीच संबंध है: $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$
$r = \frac{1.732}{4} \times 330.6 \ pm = 0.433 \times 330.6 \ pm \approx 143 \ pm$.

(A) $bcc$ जालक के लिए,कोर लंबाई $a_1$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $\sqrt{3} a_1 = 4 r$ है,इसलिए $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a_1$.
दिया गया है $a_1 = 27 \mathring{A}$,$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 27$.
$fcc$ जालक के लिए,कोर लंबाई $a_2$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $\sqrt{2} a_2 = 4 r$ है,इसलिए $a_2 = \frac{4 r}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} r$.
$r$ का मान रखने पर: $a_2 = 2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 27 = \frac{\sqrt{6}}{2} \times 27$.
$\sqrt{6} = \sqrt{2} \times \sqrt{3} = 1.41 \times 1.73 = 2.4393$ का उपयोग करने पर.
$a_2 = \frac{2.4393}{2} \times 27 = 1.21965 \times 27 = 32.93$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $33 \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(C) $FCC$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $4$ है।
घनत्व $(d)$ का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^{3}}$ है।
दिया गया है: $Z = 4$,$M = 63.54 \, g/mol = 0.06354 \, kg/mol$,$N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$,और $a = 3.596 \, \mathring{A} = 3.596 \times 10^{-10} \, m$.
मान रखने पर: $d = \frac{4 \times 0.06354}{6.022 \times 10^{23} \times (3.596 \times 10^{-10})^{3}} \approx 9076.6 \, kg/m^{3}$.
अतः,घनत्व लगभग $9077 \, kg/m^{3}$ है।

(A) $CCP$ जालक के लिए,प्रति इकाई कोशिका परमाणुओं की संख्या $z = 4$ है।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{z \times M}{N_{A} \times a^{3}}$ है।
दिया गया है: $d = 7.62 \ g \ cm^{-3}$,$a = 0.4518 \ nm = 0.4518 \times 10^{-7} \ cm$,$N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{d \times N_{A} \times a^{3}}{z}$.
$M = \frac{7.62 \times 6.022 \times 10^{23} \times (0.4518 \times 10^{-7})^{3}}{4}$.
$M = \frac{7.62 \times 6.022 \times 10^{23} \times 9.223 \times 10^{-23}}{4} \approx 105.8 \ g \ mol^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $106 \ g \ mol^{-1}$ प्राप्त होता है।

एकक कोष्ठिका का घनत्व निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है:
$d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^{3} \times 10^{-30}} \text{ g/cm}^{3}$
जहाँ:
$Z = \text{प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या}$
$M = \text{मोलर द्रव्यमान (g/mol में)}$
$N_{A} = \text{आवोगाद्रो संख्या } (6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1})$
$a = \text{एकक कोष्ठिका के किनारे की लंबाई (पिकोमीटर में)}$
$d = \text{एकक कोष्ठिका का घनत्व (g/cm}^{3} \text{ में)}$

माना कि एकक कोष्ठिका के किनारे की लंबाई $a \ pm$ है।
$\therefore$ एकक कोष्ठिका का आयतन $= a^{3} \times 10^{-30} \ cm^{3}$ है।
माना कि प्रति एकक कोष्ठिका उपस्थित परमाणुओं की संख्या $Z$ है।
एक परमाणु का द्रव्यमान $m = \frac{M}{N_{A}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है और $N_{A}$ आवोगाद्रो संख्या है।
एकक कोष्ठिका का कुल द्रव्यमान $\frac{Z \times M}{N_{A}}$ है।
एकक कोष्ठिका के घनत्व $(d)$ को एकक कोष्ठिका के कुल द्रव्यमान और एकक कोष्ठिका के कुल आयतन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$d = \frac{\text{एकक कोष्ठिका का कुल द्रव्यमान}}{\text{एकक कोष्ठिका का कुल आयतन}} = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^{3} \times 10^{-30}} \ g/cm^{3}$.

(A) दिया गया है: कोर लंबाई $(a) = 437 \ pm = 437 \times 10^{-10} \ cm$.
घनत्व $(d) = 4.24 \ g \ cm^{-3}$.
$CsBr$ का मोलर द्रव्यमान $(M) = 133 + 80 = 213 \ g \ mol^{-1}$.
एवोगाड्रो संख्या $(N_A) = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
घनत्व सूत्र का उपयोग करते हुए: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$.
$Z$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $Z = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$.
मान रखने पर: $Z = \frac{4.24 \times (437 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{213}$.
$Z = \frac{4.24 \times 83.45 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{213} \approx \frac{213.1}{213} \approx 1$.
चूंकि प्रति इकाई सेल सूत्र इकाइयों की संख्या $(Z) = 1$ है, इसलिए क्रिस्टल संरचना $CsCl$ प्रकार की है, जो कि बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ जालक है।

(D) घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
$fcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
कोर की लंबाई $a = 3.608 \times 10^{-8} \, cm$ है।
एवोगैड्रो संख्या $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$ है।
मान रखने पर: $8.92 = \frac{4 \times M}{6.022 \times 10^{23} \times (3.608 \times 10^{-8})^3}$.
$8.92 = \frac{4 \times M}{6.022 \times 10^{23} \times 46.96 \times 10^{-24}}$.
$M = \frac{8.92 \times 6.022 \times 10^{23} \times 46.96 \times 10^{-24}}{4}$.
$M = 63.1 \, g \, mol^{-1}$.
अतः,कॉपर का परमाणु द्रव्यमान $63.1 \, u$ है।

(D) $NaCl$ क्रिस्टल के लिए,प्रति इकाई सेल सूत्र इकाइयों की संख्या $Z = 4$ है।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^{3}}$ है।
मान रखने पर: $2.165 = \frac{4 \times 58.5}{6.02 \times 10^{23} \times a^{3}}$.
$a^{3} = \frac{234}{2.165 \times 6.02 \times 10^{23}} \approx 179.5 \times 10^{-24} \ cm^{3}$.
$a = \sqrt[3]{179.5} \times 10^{-8} \ cm \approx 5.64 \times 10^{-8} \ cm = 5.64 \times 10^{-10} \ m$.
$Na^{+}$ और $Cl^{-}$ आयनों के बीच की दूरी $r_{Na^{+}} + r_{Cl^{-}} = \frac{a}{2}$ है।
दूरी $= \frac{5.64 \times 10^{-10}}{2} = 2.82 \times 10^{-10} \ m$.
निकटतम पूर्णांक $3$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$28$ संभवतः $2.8$ के संदर्भ में है।

(D) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ यूनिट सेल के लिए,प्रति यूनिट सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ होती है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M_{atomic}}{N_A \times a^3}$ है।
दिया गया है: $\rho = 6.0 \, g \, cm^{-3}$,$a = 300 \, pm = 300 \times 10^{-10} \, cm = 3 \times 10^{-8} \, cm$.
$6.0 = \frac{2 \times M_{atomic}}{6.022 \times 10^{23} \times (3 \times 10^{-8})^3}$.
$6.0 = \frac{2 \times M_{atomic}}{6.022 \times 10^{23} \times 27 \times 10^{-24}} = \frac{2 \times M_{atomic}}{16.2594}$.
$M_{atomic} = \frac{6.0 \times 16.2594}{2} = 48.7782 \, g \, mol^{-1}$.
$180 \, g$ में मोलों की संख्या $= \frac{180}{48.7782} \approx 3.6902 \, mol$.
परमाणुओं की संख्या $= \text{मोल} \times N_A = 3.6902 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 22.22 \times 10^{23}$.
निकटतम पूर्णांक $22$ है।

(D) $FCC$ जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या,$Z = 4$ है।
दी गई कोर लंबाई,$a = 4.0 \times 10^{-8} \ cm$ है।
घनत्व,$d = 9.03 \ g \ cm^{-3}$ है।
एवोगाड्रो संख्या,$N_{A} = 6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ है।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^{3}}$ है।
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{d \times N_{A} \times a^{3}}{Z}$।
मान रखने पर: $M = \frac{9.03 \times 6.02 \times 10^{23} \times (4.0 \times 10^{-8})^{3}}{4}$।
$M = \frac{9.03 \times 6.02 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}}{4}$।
$M = \frac{9.03 \times 6.02 \times 6.4}{4} = 86.97 \ g/mol$।
निकटतम पूर्णांक में,$M \approx 87 \ g/mol$ है।

(A) जिस क्रिस्टल में ऋणायन क्यूबिक क्लोज पैकिंग $(CCP)$ बनाता है और धनायन सभी अष्टफलकीय रिक्तियों पर कब्जा करता है,वह $NaCl$ प्रकार की संरचना होती है।
$NaCl$ प्रकार की संरचना के लिए,इकाई कोशिका की कोर लंबाई $a$ और आयनिक त्रिज्याओं ($r_{+}$ और $r_{-}$) के बीच संबंध है: $a = 2(r_{+} + r_{-})$।
दिया गया है: $r_{+} = 102 \ pm$ और $r_{-} = 181 \ pm$।
मान रखने पर: $a = 2(102 \ pm + 181 \ pm)$।
$a = 2(283 \ pm) = 566 \ pm$।

(B) सरल घनीय संरचना $(SCC)$ के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z) = 1$ होती है।
घनत्व $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$.
दिया गया है: $\rho = 9.32 \ g \ cm^{-3}$, $M = 209 \ g \ mol^{-1}$, और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$a^3 = \frac{1 \times 209}{9.32 \times 6.022 \times 10^{23}} = 3.724 \times 10^{-23} \ cm^3 = 37.24 \times 10^{-24} \ cm^3$.
$a = \sqrt[3]{37.24 \times 10^{-24}} \approx 3.34 \times 10^{-8} \ cm$.
चूंकि $1 \ cm = 10^{10} \ pm$, इसलिए $a \approx 3.34 \times 10^{-8} \times 10^{10} \ pm = 334 \ pm$.

(C) दिया गया है,कॉपर जालक का घनत्व $\rho = 8.93 \, g \, cm^{-3}$ है।
$fcc$ जालक में परमाणुओं की संख्या,$Z = 4$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए,$\rho = \frac{M \times Z}{N_{A} \times a^{3}}$
$a^{3} = \frac{M \times Z}{\rho \times N_{A}} = \frac{63.5 \times 4}{8.93 \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 47.2 \times 10^{-24} \, cm^{3}$ है।
$a = (47.2 \times 10^{-24})^{1/3} \approx 3.61 \times 10^{-8} \, cm = 361 \, pm$ है।
$fcc$ जालक में,कोर की लंबाई $a$ और त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ होता है।
$r = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{361}{2 \times 1.414} \approx 127.8 \, pm$ है।

(C) $KCl$ फलक केंद्रित घनीय $(FCC)$ संरचना में क्रिस्टलीकृत होता है,जहाँ कोर की लंबाई $a$ और आयनिक त्रिज्याओं के बीच संबंध $a = 2(r_{K^{+}} + r_{Cl^{-}})$ है।
दिया गया है,$r_{K^{+}} = 133 \ pm$ और $r_{Cl^{-}} = 181 \ pm$.
$a = 2(133 + 181) = 2(314) = 628 \ pm$.
कोर की लंबाई को सेंटीमीटर में बदलने पर: $a = 628 \times 10^{-10} \ cm = 6.28 \times 10^{-8} \ cm$.
इकाई कोशिका का आयतन $V = a^{3}$ है।
$V = (6.28 \times 10^{-8} \ cm)^{3} = 247.97 \times 10^{-24} \ cm^{3} \approx 2.48 \times 10^{-22} \ cm^{3}$.