Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Hindi

(B) इकाई सेल का घनत्व $(d)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A} \ g \ cm^{-3}$
जहाँ:
$Z$ = प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या
$M$ = मोलर द्रव्यमान
$a$ = इकाई सेल के किनारे की लंबाई
$N_A$ = आवोगाद्रो संख्या
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) ब्रैग का नियम समीकरण $n\lambda = 2d\sin \theta$ द्वारा दिया जाता है (जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है)।
यह तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$,क्रमिक परमाणु तलों के बीच की दूरी $(d)$ और परावर्तन कोण $(\theta)$ के बीच संबंध को दर्शाता है।

(A) $fcc$ क्रिस्टल के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(z)$ $4$ है。
एक इकाई सेल का आयतन $V = a^3 = (100 \ pm)^3 = (100 \times 10^{-10} \ cm)^3 = 10^{-24} \ cm^3$ है。
एक इकाई सेल का द्रव्यमान $m = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = 10 \ g/cm^3 \times 10^{-24} \ cm^3 = 10^{-23} \ g$ है。
$100 \ g$ में इकाई सेलों की संख्या $N_{cells} = \frac{100 \ g}{10^{-23} \ g/unit cell} = 10^{25} \ unit cells$ है。
चूंकि प्रत्येक $fcc$ इकाई सेल में $4$ परमाणु होते हैं, इसलिए परमाणुओं की कुल संख्या $4 \times 10^{25}$ है。

(A) $NaCl$ का मोलर द्रव्यमान $23 + 35.5 = 58.5 \ g/mol$ है।
$1.00 \ g$ $NaCl$ में सूत्र इकाइयों की संख्या $= \frac{1.00 \ g}{58.5 \ g/mol} \times 6.022 \times 10^{23} \text{ सूत्र इकाइयाँ/मोल} = 1.029 \times 10^{22}$ सूत्र इकाइयाँ।
चूंकि $NaCl$ के एक इकाई सेल में $4$ सूत्र इकाइयाँ होती हैं,इसलिए इकाई सेल की संख्या $= \frac{1.029 \times 10^{22}}{4} = 2.57 \times 10^{21}$ इकाई सेल।

(B) ब्रैग का समीकरण $n\lambda = 2d \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण में, $n$ परावर्तन का क्रम दर्शाता है, जो एक पूर्णांक $(n = 1, 2, 3, \dots)$ है।
अतः, सही विकल्प $(B)$ है।

(A) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ जालक के लिए,कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध है: $4r = \sqrt{3} a$.
दिया गया है $a = 4.29 \ \mathring{A}$.
$r = \frac{\sqrt{3} \times 4.29}{4} \ \mathring{A}$.
$r = \frac{1.732 \times 4.29}{4} \ \mathring{A} = 1.8574 \ \mathring{A}$.
चूंकि $1 \ \mathring{A} = 10^{-8} \ cm$,इसलिए त्रिज्या $1.8574 \times 10^{-8} \ cm$ है।

(D) $bcc$ संरचना के लिए,निकटतम पड़ोसी की दूरी $d$ और कोर की लंबाई $a$ के बीच संबंध $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ है।
अतः,$a = \frac{2d}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 4.52 \ \mathring{A}}{1.732} \approx 5.219 \ \mathring{A} = 5.219 \times 10^{-10} \ m$.
$bcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है।
घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
मान रखने पर: $\rho = \frac{2 \times 39 \ g/mol}{(6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}) \times (5.219 \times 10^{-10} \ m)^3}$.
$\rho = \frac{78}{6.022 \times 10^{23} \times 1.421 \times 10^{-28}} \approx 911.5 \ kg \ m^{-3}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,घनत्व $910 \ kg \ m^{-3}$ है।

(C) घनत्व $(d)$ का सूत्र है: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times V}$
$Z$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $Z = \frac{d \times N_A \times V}{M}$
आयतन $(V)$ = $a \times b \times c = 4.2 \times 8.6 \times 8.3 \times 10^{-24} \, cm^3 = 299.712 \times 10^{-24} \, cm^3$
मान रखने पर: $Z = \frac{3.3 \times 6.022 \times 10^{23} \times 299.712 \times 10^{-24}}{155}$
$Z = \frac{3.3 \times 6.022 \times 29.9712}{155} \approx \frac{595.6}{155} \approx 3.84$
चूँकि $Z$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए प्रति इकाई सेल सूत्र इकाइयों की संख्या $4$ है।

(A) इकाई सेल के लिए घनत्व का सूत्र: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
यहाँ,$d = 4.0 \ g \ cm^{-3}$,$M (FeO) = 72 \ g \ mol^{-1}$,$a = 5.0 \times 10^{-8} \ cm$,और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $4.0 = \frac{Z \times 72}{6.022 \times 10^{23} \times (5.0 \times 10^{-8})^3}$.
गणना करने पर $Z \approx 4$ प्राप्त होता है।
$FeO$ का अनुपात $1:1$ होने के कारण,प्रत्येक इकाई सेल में $4$ $Fe^{2+}$ और $4$ $O^{2-}$ आयन होंगे।

(B) $bcc$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(n)$ = $2$ है。
दिया गया है: परमाणु द्रव्यमान $(M)$ = $100 \ g/mol$, कोर की लंबाई $(a)$ = $400 \ pm = 400 \times 10^{-10} \ cm$, आवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ = $6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
घनत्व $(\rho)$ का सूत्र: $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$.
मान रखने पर: $\rho = \frac{2 \times 100}{(400 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$\rho = \frac{200}{64 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}} = \frac{200}{38.54} \approx 5.189 \ g/cm^3$.
अतः, सही विकल्प $(B)$ है।

(C) $NaCl$ क्रिस्टल के लिए,घनत्व $d = 2.165 \, g \, cm^{-3}$ है।
$NaCl$ की संरचना $fcc$ होती है,इसलिए प्रति इकाई सेल सूत्र इकाइयों की संख्या $Z = 4$ है।
$Na^+$ और $Cl^-$ आयनों के बीच की दूरी $d_{ion} = a/2$ है,जहाँ $a$ किनारे की लंबाई है।
$281 \, pm = a/2 \implies a = 562 \, pm = 562 \times 10^{-10} \, cm$.
$NaCl$ का मोलर द्रव्यमान $M = 23 + 35.5 = 58.5 \, g \, mol^{-1}$ है।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
मान रखने पर: $2.165 = \frac{4 \times 58.5}{(562 \times 10^{-10})^3 \times N_A}$.
$N_A = \frac{4 \times 58.5}{(562 \times 10^{-10})^3 \times 2.165}$.
$N_A = \frac{234}{1.775 \times 10^{-22} \times 2.165} \approx 6.09 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.

(B) घनत्व का सूत्र $d = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
दिया गया है:
$d = 7.2 \, g \, cm^{-3}$
$a = 289 \, pm = 289 \times 10^{-10} \, cm$
$M = 52 \, g \, mol^{-1}$
$N_A = 6.02 \times 10^{23} \, mol^{-1}$
$n$ के लिए गणना करने पर:
$n = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$
$n = \frac{7.2 \times (289 \times 10^{-10})^3 \times 6.02 \times 10^{23}}{52}$
$n = \frac{7.2 \times 2.41 \times 10^{-23} \times 6.02 \times 10^{23}}{52}$
$n = \frac{7.2 \times 2.41 \times 6.02}{52} \approx 2$
चूंकि प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है, इसलिए यह $BCC$ (Body-Centered Cubic) प्रकार का इकाई सेल है।

(B) घनीय इकाई कोशिका का आयतन $V = a^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ कोर की लंबाई है।
दिया गया है $a = 3.04 \ \mathring{A} = 3.04 \times 10^{-8} \ cm$.
$V = (3.04 \times 10^{-8} \ cm)^3$.
$V = 28.101 \times 10^{-24} \ cm^3 = 2.81 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(A) $BCC$ संरचना के लिए,कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध है: $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$।
दिया गया है,$a = 4.29 \ \overset{o}{A} = 4.29 \times 10^{-8} \ cm$।
मान रखने पर: $r = \frac{\sqrt{3} \times 4.29 \times 10^{-8}}{4}$।
$r = \frac{1.732 \times 4.29 \times 10^{-8}}{4} = 1.857 \times 10^{-8} \ cm$।

(A) दिया गया है: कोर लंबाई $a = 4.077 \times 10^{-8} \ cm$,घनत्व $d = 10.5 \ g \ cm^{-3}$,$fcc$ जालक के लिए,प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $Z = 4$,और आवोगाद्रो संख्या $N_A = 6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
घनत्व सूत्र का उपयोग करने पर: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z}$
$M = \frac{10.5 \times (4.077 \times 10^{-8})^3 \times 6.023 \times 10^{23}}{4}$
$M = \frac{10.5 \times 67.76 \times 10^{-24} \times 6.023 \times 10^{23}}{4}$
$M = \frac{428.56}{4} = 107.14 \ g \ mol^{-1}$।

(C) $CsCl$ एक $BCC$ (Body-Centered Cubic) जालक संरचना में क्रिस्टलीकृत होता है।
$BCC$ इकाई सेल में,आयन काय विकर्ण (body diagonal) के साथ एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
काय विकर्ण की लंबाई $\sqrt{3}a$ होती है,जहाँ $a$ इकाई सेल की कोर की लंबाई है।
केंद्र में स्थित आयन $(Cs^+)$ और कोने पर स्थित आयन $(Cl^-)$ के बीच की दूरी काय विकर्ण की आधी होती है।
अतः,अंतर-आयनिक दूरी $d = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ है।

(B) $FCC$ (फलक-केंद्रित घनीय) इकाई सेल में,परमाणु फलक विकर्ण पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
फलक विकर्ण की लंबाई $d = \sqrt{2}a$ होती है,जहाँ $a$ कोर की लंबाई है।
साथ ही,फलक विकर्ण $4r$ के बराबर होता है,जहाँ $r$ परमाणु की त्रिज्या है।
इसलिए,$4r = \sqrt{2}a$।
$a$ के लिए हल करने पर,हमें $a = \frac{4r}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) $fcc$ इकाई सेल में परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
$24 \times 10^{23}$ परमाणुओं का द्रव्यमान = $200 \, g$ है।
इकाई सेल का द्रव्यमान = $\frac{200 \times 4}{24 \times 10^{23}} \, g$ है।
इकाई सेल का आयतन = $a^3 = (200 \times 10^{-10} \, cm)^3 = 8 \times 10^{-24} \, cm^3$ है।
घनत्व $\rho = \frac{\text{इकाई सेल का द्रव्यमान}}{\text{इकाई सेल का आयतन}}$।
$\rho = \frac{200 \times 4}{24 \times 10^{23} \times 8 \times 10^{-24}} = 41.67 \, g \, cm^{-3}$।

(B) एक क्यूबिक यूनिट सेल में,फलक विकर्ण का सूत्र $d = a\sqrt{2}$ होता है,जहाँ $a$ कोर की लंबाई है।
दिया गया है कि फलक विकर्ण $4 \ \mathring{A}$ है।
इसलिए,$a\sqrt{2} = 4 \ \mathring{A}$.
$a = \frac{4}{\sqrt{2}} \ \mathring{A}$.
$a = \frac{4}{1.414} \ \mathring{A} \approx 2.83 \ \mathring{A}$.

$(A)$ $bcc$ इकाई सेल के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
दिया गया है: घनत्व $d = 6.8 \ g \ cm^{-3}$, कोर लंबाई $a = 290 \ pm = 290 \times 10^{-10} \ cm$।
सूत्र $d = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$ का उपयोग करने पर, जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है:
$6.8 = \frac{2 \times M}{(290 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$।
$M = \frac{6.8 \times (2.4389 \times 10^{-23}) \times 6.022 \times 10^{23}}{2} \approx 50 \ g \ mol^{-1}$।
$200 \ g$ में परमाणुओं की संख्या $= \frac{\text{द्रव्यमान}}{M} \times N_A = \frac{200}{50} \times 6.022 \times 10^{23} = 4 \times 6.022 \times 10^{23} = 2.4088 \times 10^{24} \approx 2.4 \times 10^{24}$ $\text{परमाणु}$।

(C) क्यूबिक क्लोज़ पैक $(fcc)$ संरचना के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$4r = \sqrt{2}a$
दिया गया है, $r = 125 \ pm = 125 \times 10^{-10} \ cm$।
$a$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$
$a = 2 \times 1.414 \times 125 \times 10^{-10} \ cm$
$a = 353.5 \times 10^{-10} \ cm$
$a = 3.535 \times 10^{-8} \ cm$
निकटतम विकल्प के अनुसार, $a = 3.53 \times 10^{-8} \ cm$।

(A) घनत्व का सूत्र $d = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
दिया गया है:
$d = 2.75 \, g \, cm^{-3}$
$a = 654 \, pm = 654 \times 10^{-10} \, cm$
$M = 39 + 80 = 119 \, g \, mol^{-1}$
$N_A = 6.023 \times 10^{23} \, mol^{-1}$
$n$ के लिए गणना करने पर:
$n = \frac{2.75 \times (654 \times 10^{-10})^3 \times 6.023 \times 10^{23}}{119}$
$n \approx 4$
चूंकि प्रति इकाई सेल सूत्र इकाइयों की संख्या $4$ है, इसलिए क्रिस्टल संरचना $\text{फलक केंद्रित घनीय } (FCC)$ है।

(C) घनीय क्रिस्टल के लिए अंतर-तलीय दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$ है।
यहाँ $a = 0.556 \ nm$ और मिलर सूचकांक $(h, k, l) = (1, 1, 1)$ हैं।
मान रखने पर: $d_{111} = \frac{0.556}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$.
$d_{111} = \frac{0.556}{\sqrt{3}} \approx \frac{0.556}{1.732} \approx 0.321 \ nm$.

(A) फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ इकाई सेल के लिए,परमाणु त्रिज्या $(r)$ और किनारे की लंबाई $(a)$ के बीच का संबंध है:
$r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$
अतः,$a = 2\sqrt{2} \times r$.
यहाँ $r = 0.144 \ nm$ दिया गया है:
$a = 2 \times 1.414 \times 0.144 \ nm$
$a = 0.407 \ nm$.

(B) इकाई सेल का आयतन $V = a^3 = (200 \times 10^{-10} \ cm)^3 = 8 \times 10^{-24} \ cm^3$ है।
इकाई सेल का द्रव्यमान $m = V \times \text{घनत्व} = 8 \times 10^{-24} \ cm^3 \times 10 \ g \ cm^{-3} = 8 \times 10^{-23} \ g$ है।
$FCC$ इकाई सेल में परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
$100 \ g$ में इकाई सेल की संख्या $= \frac{100}{8 \times 10^{-23}} = 1.25 \times 10^{24}$ है।
कुल परमाणुओं की संख्या $= 4 \times 1.25 \times 10^{24} = 0.5 \times 10^{25}$।

(A) $bcc$ जालक के लिए,कोर लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच का संबंध $4r = \sqrt{3}a$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $r = \frac{\sqrt{3} \times a}{4}$.
$r = \frac{1.732 \times 4.29}{4} = \frac{7.43028}{4} = 1.85757 \ \mathring{A} \approx 1.86 \ \mathring{A}$.

(A) $fcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(n)$ = $4$ है।
कोर की लंबाई $(a)$ = $3.61 \times 10^{-8} \, cm$ है।
$Cu$ का परमाणु द्रव्यमान $(M_w)$ = $63.5 \, g \, mol^{-1}$ है।
एवोगैड्रो संख्या $(N_A)$ = $6.023 \times 10^{23} \, mol^{-1}$ है।
घनत्व $(d)$ = $\frac{n \times M_w}{a^3 \times N_A}$।
$d = \frac{4 \times 63.5}{(3.61 \times 10^{-8})^3 \times 6.023 \times 10^{23}}$।
$d = \frac{254}{47.0458 \times 10^{-24} \times 6.023 \times 10^{23}}$।
$d = \frac{254}{28.339} \approx 8.96 \, g \, cm^{-3}$।

(C) $bcc$ (काय-केंद्रित घनीय) संरचना के लिए, निकटतम परमाणुओं के बीच की दूरी $(d)$ का सूत्र $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ है, जहाँ $a$ इकाई सेल की कोर की लंबाई है।
दिया गया है कि निकटतम परमाणुओं के बीच की दूरी $d = 1.73 \ \mathring{A}$ है।
चूंकि $\sqrt{3} \approx 1.732$, मानों को सूत्र में रखने पर: $1.73 = \frac{1.732}{2} a$ प्राप्त होता है।
$a$ के लिए हल करने पर: $a = \frac{1.73 \times 2}{1.732} \approx \frac{3.46}{1.732} \approx 1.9976 \ \mathring{A} \approx 2 \ \mathring{A}$।
कोर की लंबाई को $\mathring{A}$ से $pm$ में बदलने के लिए, हम रूपांतरण कारक $1 \ \mathring{A} = 100 \ pm$ का उपयोग करते हैं।
अतः, $a = 2 \ \mathring{A} \times 100 \ pm/\mathring{A} = 200 \ pm$।

(B) $1$. घनत्व सूत्र का उपयोग करके इकाई सेल का आयतन ज्ञात करें: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
$2$. सबसे पहले, मोलर द्रव्यमान $(M)$ ज्ञात करें: $M = \frac{\text{द्रव्यमान} \times N_A}{\text{परमाणुओं की संख्या}} = \frac{200 \ g \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}}{4.12 \times 10^{24}} \approx 29.23 \ g \ mol^{-1}$.
$3$. $fcc$ संरचना के लिए, $Z = 4$.
$4$. $a^3$ के लिए घनत्व सूत्र को व्यवस्थित करें: $a^3 = \frac{Z \times M}{\rho \times N_A} = \frac{4 \times 29.23}{7.2 \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 2.697 \times 10^{-23} \ cm^3$.
$5$. $a$ की गणना करें: $a = \sqrt[3]{2.697 \times 10^{-23}} \approx 2.999 \times 10^{-8} \ cm = 299.9 \ pm$.

(B) दिया गया है: घनत्व $(d)$ = $8.55 \ g \ cm^{-3}$,$M_w = 93 \ g \ mol^{-1}$,$Z = 2$ ($BCC$ संरचना के लिए),$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
घनत्व सूत्र का उपयोग करते हुए: $d = \frac{Z \times M_w}{a^3 \times N_A}$.
$a^3 = \frac{Z \times M_w}{d \times N_A} = \frac{2 \times 93}{8.55 \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 3.61 \times 10^{-23} \ cm^3$.
$a = (36.1 \times 10^{-24})^{1/3} \approx 3.305 \times 10^{-8} \ cm$.
$BCC$ संरचना के लिए,त्रिज्या $(r)$ और किनारे की लंबाई $(a)$ के बीच संबंध $4r = \sqrt{3}a$ है।
$r = \frac{\sqrt{3} \times a}{4} = \frac{1.732 \times 3.305 \times 10^{-8}}{4} \approx 1.43 \times 10^{-8} \ cm$.

(A) $NaCl$ क्रिस्टल ($fcc$ संरचना) के लिए,$Na^+$ और $Cl^-$ आयनों के बीच की दूरी $(d)$,$d = a/2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ इकाई सेल की कोर की लंबाई है।
दिया गया है $d = 2.814 \ \overset{\circ}{A}$,इसलिए $a = 2 \times 2.814 = 5.628 \ \overset{\circ}{A} = 5.628 \times 10^{-8} \ cm$.
घनत्व का सूत्र $\rho = (Z \times M) / (N_A \times a^3)$ है।
$NaCl$ के लिए,$Z = 4$ और $M = 58.5 \ g/mol$.
मान रखने पर: $2.167 = (4 \times 58.5) / (N_A \times (5.628 \times 10^{-8})^3)$.
$N_A = (4 \times 58.5) / (2.167 \times 178.28 \times 10^{-24})$.
$N_A = 234 / (386.33 \times 10^{-24}) \approx 6.057 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.

(A) काय-केंद्रित घनीय $(BCC)$ इकाई सेल के लिए, परमाणु त्रिज्या $(r)$ और किनारे की लंबाई $(a)$ के बीच का संबंध है: $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$.
दिया गया है, $a = 351 \ pm$.
मान रखने पर: $r = \frac{1.732 \times 351}{4} \ pm$.
$r = \frac{607.932}{4} \ pm$.
$r \approx 151.98 \ pm \approx 152 \ pm$.

(C) दिया गया है: कोर लंबाई $(a) = 200 \, pm = 2 \times 10^{-8} \, cm$.
इकाई कोशिका का आयतन $(V) = a^3 = (2 \times 10^{-8} \, cm)^3 = 8 \times 10^{-24} \, cm^3$.
$f.c.c.$ के लिए प्रति इकाई कोशिका परमाणुओं की संख्या $(Z) = 4$.
तत्व का द्रव्यमान $(m) = 200 \, g$.
परमाणुओं की कुल संख्या $(N) = 24 \times 10^{23}$.
घनत्व $(\rho) = \frac{Z \times m}{V \times N}$.
$\rho = \frac{4 \times 200 \, g}{8 \times 10^{-24} \, cm^3 \times 24 \times 10^{23}}$.
$\rho = \frac{800}{8 \times 24 \times 10^{-1}} = \frac{800}{19.2} = 41.66 \approx 41.7 \, \text{g cm}^{-3}$.

(B) $bcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $= 2$ है।
इकाई सेल का द्रव्यमान $m = \frac{Z \times M}{N_A}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है,जहाँ $M = 50 \, g \, mol^{-1}$ और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$ है।
$m = \frac{2 \times 50}{6.022 \times 10^{23}} \approx 166.06 \times 10^{-24} \, g$ है।
इकाई सेल का आयतन $(V)$ $V = \frac{m}{d}$ द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $d = 5.96 \, g \, cm^{-3}$ है।
$V = \frac{166.06 \times 10^{-24}}{5.96} \approx 27.86 \times 10^{-24} \, cm^3$ है।
अतः,इकाई सेल का आयतन लगभग $27.8 \times 10^{-24} \, cm^3$ है।

(A) $FCC$ इकाई सेल के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध है: $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
दिया गया है $a = 508 \text{ pm}$.
मान रखने पर: $r = \frac{508}{2\sqrt{2}} = \frac{254}{\sqrt{2}}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर, $r = \frac{254}{1.414} \approx 179.6 \text{ pm}$ प्राप्त होता है।

(A) $NaCl$ प्रकार की संरचना के लिए,कोर की लंबाई $a = 2(r_{cation} + r_{anion})$ द्वारा दी जाती है।
$NaCl$ के लिए: $a_{NaCl} = 2(r_{Na^+} + r_{Cl^-}) = 2r_{Cl^-} (0.55 + 1) = 2r_{Cl^-} (1.55)$.
$KCl$ के लिए: $a_{KCl} = 2(r_{K^+} + r_{Cl^-}) = 2r_{Cl^-} (0.74 + 1) = 2r_{Cl^-} (1.74)$.
कोर की लंबाई का अनुपात $\frac{a_{KCl}}{a_{NaCl}} = \frac{1.74}{1.55} \approx 1.123$ है।

(A) $bcc$ इकाई सेल के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(n)$ = $2$ है。
परमाणु द्रव्यमान $(M)$ = $50 \ \text{g/mol}$.
कोर की लंबाई $(a)$ = $290 \ pm = 2.9 \times 10^{-8} \ cm$.
एवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ = $6.022 \times 10^{23} \ \text{mol}^{-1}$.
घनत्व $(d)$ का सूत्र: $d = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$.
मान रखने पर: $d = \frac{2 \times 50}{(2.9 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$d = \frac{100}{14.687} \approx 6.81 \ \text{g/cm}^{-3}$.

(B) $BCC$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
दिया गया है: घनत्व $\rho = 10.3 \ g \ cm^{-3}$,मोलर द्रव्यमान $M = 95.94 \ g \ mol^{-1}$,आवोगाद्रो संख्या $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$।
$a^3$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $a^3 = \frac{n \times M}{\rho \times N_A} = \frac{2 \times 95.94}{10.3 \times 6.022 \times 10^{23}}$।
$a^3 = \frac{191.88}{62.0266 \times 10^{23}} \approx 3.0935 \times 10^{-23} \ cm^3$।
$a = (30.935 \times 10^{-24})^{1/3} \approx 3.139 \times 10^{-8} \ cm$।
$pm$ में बदलने पर: $a = 3.139 \times 10^{-8} \ cm \times 10^{10} \ pm/cm = 313.9 \ pm$।

(C) $NaCl$ का मोलर द्रव्यमान $58.5 \ g/mol$ है।
$NaCl$ की एक एकक कोष्ठिका में $4$ $NaCl$ सूत्र इकाइयाँ होती हैं।
एक एकक कोष्ठिका का द्रव्यमान: $\text{द्रव्यमान} = \frac{4 \times 58.5}{6.022 \times 10^{23}} \ g$।
$1.00 \ g$ में एकक कोष्ठिकाओं की संख्या:
$\text{एकक कोष्ठिकाओं की संख्या} = \frac{1.00 \ g}{(4 \times 58.5) / (6.022 \times 10^{23}) \ g} = \frac{6.022 \times 10^{23}}{234} \approx 2.57 \times 10^{21} \ \text{एकक कोष्ठिका}$।

(B) मोलर द्रव्यमान $M$ की गणना: $M = \frac{200 \, g}{24 \times 10^{23} \, \text{atoms}} \times 6.022 \times 10^{23} \, \text{atoms/mol} \approx 50.18 \, g/mol$.
$fcc$ इकाई सेल के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 4$ है।
कोर की लंबाई $a = 200 \, pm = 200 \times 10^{-10} \, cm$ है।
आयतन $V = a^3 = (200 \times 10^{-10} \, cm)^3 = 8 \times 10^{-24} \, cm^3$ है।
घनत्व $\rho = \frac{n \times M}{V \times N_A} = \frac{4 \times 50.18}{8 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 4.16 \, g/cm^3$.

$(A)$ घनत्व का सूत्र $d = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
दिया गया है: $a = 288 \, pm = 288 \times 10^{-10} \, cm$, $d = 7.2 \, g \, cm^{-3}$, $n = 2$ ($BCC$ के लिए), और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$।
मान रखने पर: $7.2 = \frac{2 \times M}{(288 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$।
$M = \frac{7.2 \times (288 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$।
$M \approx 51.8 \, g \, mol^{-1}$।

(A) $1$. घनीय एकक कोष्ठिका के लिए घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
$2$. $NaCl$ प्रकार की संरचना के लिए,$Z = 4$ है। $KF$ का मोलर द्रव्यमान $M = 39 + 19 = 58 \ g \ mol^{-1}$ है।
$3$. दिया गया है: $\rho = 2.48 \ g \ cm^{-3}$ और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
$4$. $a^3 = \frac{Z \times M}{\rho \times N_A} = \frac{4 \times 58}{2.48 \times 6.022 \times 10^{23}} = 155.3 \times 10^{-24} \ cm^3$।
$5$. $a = \sqrt[3]{155.3 \times 10^{-24}} = 5.375 \times 10^{-8} \ cm = 537.5 \ pm$।
$6$. $NaCl$ प्रकार की संरचना में,धनायन और ऋणायन के बीच की दूरी $d = \frac{a}{2}$ होती है।
$7$. $d = \frac{537.5 \ pm}{2} = 268.75 \ pm \approx 268.8 \ pm$।

(B) $BCC$ इकाई सेल के लिए,किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ है।
यहाँ $r = 75 \, pm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $a = \frac{4 \times 75}{1.732} = \frac{300}{1.732} \approx 173.2 \, pm$.

$(A)$ $BCC$ जालक के लिए, कोर लंबाई $(a)$ और आयनिक त्रिज्याओं ($r^+$ और $r^-$) के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$2(r^+ + r^-) = \sqrt{3}a$
$r^+ + r^- = \frac{\sqrt{3}a}{2}$
यहाँ $a = 390 \ pm$ और $r^- = 180 \ pm$ दिया गया है:
$r^+ + 180 = \frac{1.732 \times 390}{2}$
$r^+ + 180 = 337.74$
$r^+ = 337.74 - 180 = 157.74 \ pm \approx 158 \ pm$
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(D) $fcc$ जालक के लिए, कोर लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ है。
यहाँ $a = 361 \ pm$ दिया गया है。
मान रखने पर: $r = \frac{361}{2 \times 1.414} = \frac{361}{2.828} \approx 127.65 \ pm$.
निकटतम पूर्णांक में, हमें $128 \ pm$ प्राप्त होता है。

(C) दिया गया है: $FCC$ संरचना, अतः $n = 4$.
घनत्व $(d)$ = $1.984 \ g \ cm^{-3}$.
कोर की लंबाई $(a)$ = $630 \ pm = 6.3 \times 10^{-8} \ cm$.
एवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ = $6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
सूत्र: $d = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$.
मोलर द्रव्यमान $(M)$ के लिए: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{n}$.
$M = \frac{1.984 \times (6.3 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M = 74.70 \ g \ mol^{-1}$.

(A) $bcc$ संरचना के लिए, आयनों के बीच निकटतम दूरी $(d)$ का सूत्र है: $d = \frac{\sqrt{3}a}{2}$, जहाँ $a$ इकाई सेल की कोर लंबाई है।
दिया गया है $d = 173 \ pm$।
मान रखने पर: $173 = \frac{\sqrt{3}a}{2}$।
$a = \frac{173 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{346}{1.732} \approx 200 \ pm$।

(A) इकाई सेल के लिए घनत्व का सूत्र: $d = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$
दिए गए मान:
$d = 0.53 \ g/cm^3$
$a = 3.5 \ \mathop A\limits^o = 3.5 \times 10^{-8} \ cm$
$M = 6.94 \ g \ mol^{-1}$
$N_A = 6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
$n$ ज्ञात करने के लिए सूत्र:
$n = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$
मान रखने पर:
$n = \frac{0.53 \times (3.5 \times 10^{-8})^3 \times 6.02 \times 10^{23}}{6.94}$
$n \approx 2$
अतः,इकाई सेल में $Li$ परमाणुओं की संख्या $2$ है।