Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Hindi

(C) $BCC$ इकाई कोशिका के लिए, कोर लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $4r = \sqrt{3}a$ है।
दिया गया है $a = 352 \ pm$.
मान रखने पर: $r = \frac{\sqrt{3} \times 352}{4}$.
$r = \frac{1.732 \times 352}{4} = 152.4 \ pm$.

(A) इकाई सेल के लिए घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \cdot M}{N_A \cdot a^3}$ है।
$BCC$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है।
दिया गया है: $d = 8.55 \ g \ cm^{-3}$,$M = 93 \ g \ mol^{-1}$,$N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$a^3$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $a^3 = \frac{Z \cdot M}{d \cdot N_A}$.
मान रखने पर: $a^3 = \frac{2 \times 93}{8.55 \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 3.61 \times 10^{-23} \ cm^3$.
अतः,कोर की लंबाई $a = (3.61 \times 10^{-23})^{1/3} \ cm$ है।

(A) घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \cdot M}{N_{A} \cdot a^3}$ है。
$Z$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $Z = \frac{d \cdot N_{A} \cdot a^3}{M}$。
दिया गया है: $d = 7 \ g \ cm^{-3}$, $a = 300 \ pm = 3 \times 10^{-8} \ cm$, $M = 52 \ g \ mol^{-1}$, और $N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$。
मान रखने पर: $Z = \frac{7 \times 6.022 \times 10^{23} \times (3 \times 10^{-8})^3}{52} \approx 2$。
चूंकि $Z = 2$ है, इसलिए इकाई सेल बॉडी सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ है।

(A) $\text{धातु का आयतन} = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{38.6 \ g}{19.3 \ g \ cm^{-3}} = 2 \ cm^{3}$
$\text{इकाई सेलों की संख्या} = \frac{\text{धातु का कुल आयतन}}{\text{एक इकाई सेल का आयतन}}$
$\text{इकाई सेलों की संख्या} = \frac{2 \ cm^{3}}{6.18 \times 10^{-23} \ cm^{3}} \approx 3.236 \times 10^{22}$

(A) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ इकाई कोशिका के लिए,कोर लंबाई $(a)$ और त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $\sqrt{3} a = 4r$ है।
दिया गया है $r = 1.86 \times 10^{-8} \text{ cm}$।
$a = \frac{4r}{\sqrt{3}} = \frac{4 \times 1.86 \times 10^{-8}}{1.732} \approx 4.3 \times 10^{-8} \text{ cm}$।

(D) एक एकक कोष्ठिका का आयतन $= (a)^{3} = (100 \ pm)^{3} = (100 \times 10^{-10} \ cm)^{3} = 10^{-24} \ cm^{3}$.
$100 \ g$ तत्व का कुल आयतन $= \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{100 \ g}{10 \ g/cm^{3}} = 10 \ cm^{3}$.
एकक कोष्ठिकाओं की संख्या $= \frac{\text{कुल आयतन}}{\text{एक एकक कोष्ठिका का आयतन}} = \frac{10 \ cm^{3}}{10^{-24} \ cm^{3}} = 1 \times 10^{25}$ एकक कोष्ठिका।

(D) $bcc$ क्रिस्टल के लिए,परमाणु त्रिज्या $r$ और किनारे की लंबाई $a$ के बीच संबंध है: $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$
अतः,$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
दिए गए मान $r = 1.33 \times 10^{-8} \ cm$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{4 \times 1.33 \times 10^{-8} \ cm}{1.732} = \frac{5.32 \times 10^{-8} \ cm}{1.732} \approx 3.07 \times 10^{-8} \ cm$.

(D) $bcc$ यूनिट सेल के लिए, प्रति यूनिट सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
दिया गया घनत्व $\rho = 4 \ g \ cm^{-3}$ और कोर की लंबाई $a = 500 \ pm = 500 \times 10^{-10} \ cm = 5 \times 10^{-8} \ cm$ है।
यूनिट सेल का आयतन $a^{3} = (5 \times 10^{-8} \ cm)^{3} = 125 \times 10^{-24} \ cm^{3}$ है।
परमाणु द्रव्यमान $M$ का सूत्र $M = \frac{\rho \times a^{3} \times N_{A}}{n}$ है।
मान रखने पर: $M = \frac{4 \times 125 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{2} = 150.55 \ g \ mol^{-1}$।
अतः, परमाणु द्रव्यमान लगभग $150.5 \ g \ mol^{-1}$ है।

(D) $fcc$ इकाई कोशिका के लिए,परमाणु की त्रिज्या $(r)$ और इकाई कोशिका की कोर की लंबाई $(a)$ के बीच का संबंध है: $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
दिया गया है,$a = 0.3524 \ nm$.
सूत्र में $a$ का मान रखने पर:
$r = \frac{0.3524 \ nm}{2 \times 1.414} = \frac{0.3524 \ nm}{2.828} = 0.1246 \ nm$.

(B) $fcc$ प्रकार की एकक कोष्ठिका के लिए, कोर लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $r = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ है।
$a$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $a = 2 \sqrt{2} \times r$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $r = 127.6 \ pm$, मान रखने पर:
$a = 2 \times 1.414 \times 127.6 \ pm = 360.85 \ pm$।
निकटतम पूर्णांक में, $a \approx 361 \ pm$।

(D) घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{n \times M}{a^{3} \times N_{A}}$ है।
दिया गया है: $a = 4 \ \mathring{A} = 4 \times 10^{-8} \ cm$,$\rho = 2.7 \ g \ cm^{-3}$,$M = 27 \ g \ mol^{-1}$,$N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$n$ के लिए सूत्र: $n = \frac{\rho \times a^{3} \times N_{A}}{M}$.
मान रखने पर: $n = \frac{2.7 \times (4 \times 10^{-8})^{3} \times 6.022 \times 10^{23}}{27}$.
$n = \frac{2.7 \times 64 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{27} = 0.1 \times 64 \times 0.6022 \approx 3.85$.
चूंकि प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए $n \approx 4$,जो फलक केंद्रित घनीय $(FCC)$ इकाई सेल को दर्शाता है।

(A) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ इकाई कोशिका के लिए, त्रिज्या $(r)$ और किनारे की लंबाई $(a)$ के बीच का संबंध $r = \frac{\sqrt{3} a}{4}$ है。
यहाँ किनारे की लंबाई $a = 351 \ pm$ दी गई है。
सूत्र में $a$ का मान रखने पर:
$r = \frac{\sqrt{3} \times 351}{4} = \frac{1.732 \times 351}{4} = \frac{607.932}{4} = 151.98 \ pm$.

(B) फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ यूनिट सेल के लिए, कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $r = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ है।
इसलिए, कोर की लंबाई $a = 2 \sqrt{2} \times r$ है।
दिया गया है कि $r = 125 \text{ pm}$, इसलिए $a = 2 \times 1.414 \times 125 \text{ pm} = 353.5 \text{ pm}$।

(D) दिया गया है: सेल कोर $a = 250 \ pm = 2.5 \times 10^{-8} \ cm$.
परमाणु द्रव्यमान $M = 90.3 \ g \ mol^{-1}$.
$fcc$ जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 4$.
एवोगैड्रो संख्या $N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{n \times M}{a^{3} \times N_{A}}$ है।
मान रखने पर: $\rho = \frac{4 \times 90.3}{(2.5 \times 10^{-8})^{3} \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$\rho = \frac{361.2}{15.625 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}} = \frac{361.2}{9.409} \approx 38.40 \ g \ cm^{-3}$.

(C) दिया गया है: घनत्व $(\rho)$ = $2.8 \ g \ cm^{-3}$,कोर लंबाई $(a)$ = $4 \times 10^{-8} \ cm$,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(n)$ = $4$ ($fcc$ के लिए),आवोगाद्रो संख्या $(N_{A})$ = $6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
सूत्र: $\rho = \frac{n \times M}{a^{3} \times N_{A}}$.
मोलर द्रव्यमान $(M)$ के लिए सूत्र: $M = \frac{\rho \times a^{3} \times N_{A}}{n}$.
मान रखने पर: $M = \frac{2.8 \times (4 \times 10^{-8})^{3} \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M = \frac{2.8 \times 64 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M = 0.7 \times 64 \times 0.6022 = 26.97896 \approx 27 \ g \ mol^{-1}$.

(A) कोर की लंबाई $a = 16 \times 10^{-8} \ cm$.
एक इकाई सेल का आयतन $= a^{3} = (16 \times 10^{-8} \ cm)^{3} = 4096 \times 10^{-24} \ cm^{3}$.
चूंकि इकाई सेल में $24$ अणु होते हैं,इसलिए $24$ अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन $4096 \times 10^{-24} \ cm^{3}$ है।
$1$ मोल अणुओं का आयतन $= (24 \text{ अणुओं का आयतन} / 24) \times N_{A}$.
$1$ मोल का आयतन $= (4096 \times 10^{-24} / 24) \times 6.022 \times 10^{23} \ cm^{3} \ mol^{-1}$.
$1$ मोल का आयतन $\approx 170.67 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 102.77 \ cm^{3} \ mol^{-1}$.

(A) $bcc$ इकाई सेल के लिए,त्रिज्या $r$ और कोर लंबाई $a$ के बीच संबंध $r = \frac{\sqrt{3} a}{4}$ है।
$a$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a = \frac{4 r}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $r = 1.86 \times 10^{-8} \ cm$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{4 \times 1.86 \times 10^{-8} \ cm}{1.732} = 4.29 \times 10^{-8} \ cm$।

(B) दी गई कोर लंबाई $a = 300 \ pm = 3 \times 10^{-8} \ cm$ है।
$bcc$ इकाई सेल के लिए, त्रिज्या $r$ और कोर लंबाई $a$ के बीच संबंध $r = \frac{\sqrt{3} a}{4}$ है।
मान रखने पर: $r = \frac{1.732 \times 3 \times 10^{-8} \ cm}{4}$.
$r = \frac{5.196 \times 10^{-8} \ cm}{4} = 1.299 \times 10^{-8} \ cm$.

(B) $1$. किनारे की लंबाई $a = 3 \mathring{A} = 3 \times 10^{-8} \ cm$.
$2$. इकाई सेल का आयतन $V = a^{3} = (3 \times 10^{-8} \ cm)^{3} = 27 \times 10^{-24} \ cm^{3}$.
$3$. एक इकाई सेल का द्रव्यमान = $\text{आयतन} \times \text{घनत्व} = 27 \times 10^{-24} \ cm^{3} \times 8 \ g/cm^{3} = 216 \times 10^{-24} \ g$.
$4$. $100 \ g$ में इकाई सेलों की संख्या = $\frac{100 \ g}{216 \times 10^{-24} \ g/\text{इकाई सेल}} = 0.4629 \times 10^{24} = 4.63 \times 10^{23}$ इकाई सेल।

(A) $fcc$ इकाई सेल के लिए, कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $r = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ है।
दिया गया है कि कोर लंबाई $a = 620 \ pm$ है।
मान रखने पर: $r = \frac{620}{2 \times 1.414} = \frac{620}{2.828} \approx 219.2 \ pm$।
अतः, $Xe$ परमाणु की त्रिज्या $219.2 \ pm$ है।

(B) $fcc$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
घनत्व $d = \frac{Z \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$।
कोर लंबाई $a$ के लिए सूत्र: $a^3 = \frac{Z \cdot M}{d \cdot N_A}$।
मान रखने पर: $a^3 = \frac{4 \times 98.99}{3.4 \times 6.022 \times 10^{23}}$।
$a^3 = 193.389 \times 10^{-24} \text{ cm}^3$।
$a = \sqrt[3]{193.389} \times 10^{-8} \text{ cm} = 5.783 \times 10^{-8} \text{ cm}$।
चूंकि $1 \text{ cm} = 10^8 \mathring A$,इसलिए $a = 5.783 \mathring A$।

$(A)$ $bcc$ इकाई कोशिका के लिए, प्रति इकाई कोशिका परमाणुओं की संख्या $(n)$ $2$ है।
कोर की लंबाई $(a)$ $288 \ pm = 2.88 \times 10^{-8} \ cm$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{n \times M}{a^{3} \times N_{A}}$ है।
मोलर द्रव्यमान $(M)$ के लिए सूत्र: $M = \frac{\rho \times a^{3} \times N_{A}}{n}$।
मान रखने पर: $M = \frac{7.2 \times (2.88 \times 10^{-8})^{3} \times 6.022 \times 10^{23}}{2} \approx 51.78 \ g \ mol^{-1}$।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(B) फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ इकाई सेल के लिए, कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $a = 2 \sqrt{2} r$ या $r = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ है।
दी गई कोर लंबाई $a = 316.5 \text{ pm}$ है।
मान रखने पर: $r = \frac{316.5 \text{ pm}}{2 \times 1.414} = \frac{316.5 \text{ pm}}{2.828} \approx 111.91 \text{ pm}$ है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) $bcc$ जालक के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
दिया गया है: कोर की लंबाई $a = 500 \ pm = 5 \times 10^{-8} \ cm$, घनत्व $\rho = 7.5 \ g \ cm^{-3}$, द्रव्यमान $m = 300 \ g$।
इकाई सेल का आयतन $a^{3} = (5 \times 10^{-8} \ cm)^{3} = 125 \times 10^{-24} \ cm^{3}$।
घनत्व सूत्र $\rho = \frac{nM}{a^{3} N_{A}}$ का उपयोग करके, हम मोलर द्रव्यमान $M$ ज्ञात करते हैं:
$M = \frac{\rho \times a^{3} \times N_{A}}{n} = \frac{7.5 \times 125 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{2} \approx 282.3 \ g \ mol^{-1}$।
$300 \ g$ धातु में परमाणुओं की संख्या = $\frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} \times N_{A} = \frac{300}{282.3} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 6.4 \times 10^{23} \ \text{परमाणु}$।

(A) दिए गए नमूने का आयतन इस प्रकार है: $\text{Volume} = \frac{\text{Mass}}{\text{Density}} = \frac{36 \ g}{7.2 \ g \ cm^{-3}} = 5 \ cm^{3}$.
नमूने में इकाई सेलों की संख्या नमूने के कुल आयतन और एक इकाई सेल के आयतन के अनुपात द्वारा प्राप्त की जाती है:
$\text{Number of unit cells} = \frac{\text{Total Volume}}{\text{Volume of one unit cell}} = \frac{5 \ cm^{3}}{24.99 \times 10^{-24} \ cm^{3}}$.
$\text{Number of unit cells} \approx 0.20008 \times 10^{24} = 2.0 \times 10^{23}$.

(B) $bcc$ (काय-केंद्रित घनीय) संरचना के लिए,कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$
दिया गया है,$a = 4.29 \times 10^{-8} \ cm$।
$a$ का मान रखने पर:
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4.29 \times 10^{-8} \ cm$
$r = 0.433 \times 4.29 \times 10^{-8} \ cm$
$r \approx 1.857 \times 10^{-8} \ cm$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$r \approx 1.86 \times 10^{-8} \ cm$ प्राप्त होता है।

(B) इकाई सेल के लिए घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{nM}{a^3 N_{A}}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.96 = \frac{n \times 23}{48}$।
$n$ के लिए हल करने पर: $n = \frac{0.96 \times 48}{23}$।
$n = \frac{46.08}{23} \approx 2.003$।
अतः,इकाई सेल में उपस्थित परमाणुओं की संख्या $2$ है।

(D) इकाई कोशिका के घनत्व $(\rho)$ का सूत्र है: $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$
जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है,$n$ प्रति इकाई कोशिका परमाणुओं की संख्या है,$a^3$ इकाई कोशिका का आयतन है और $N_A$ आवोगाद्रो स्थिरांक है।
दिया गया है: $\rho = 20 \ g \ cm^{-3}$,$M = 190 \ g \ mol^{-1}$,और $a^3 \cdot N_A = 38 \ cm^3 \ mol^{-1}$।
सूत्र में मान रखने पर: $20 = \frac{190 \times n}{38}$
$n = \frac{20 \times 38}{190}$
$n = \frac{760}{190} = 4$
अतः,इकाई कोशिका में उपस्थित परमाणुओं की संख्या $4$ है।

(D) एक $CsCl$ आयन युग्म के अनुरूप घन का आयतन $V = 7.014 \times 10^{-23} \ cm^{3}$ दिया गया है।
प्रश्न के अनुसार,सबसे छोटी $Cs^{+}-Cs^{+}$ अंतर-परमाणु दूरी $(a)$ इस घन की भुजा की लंबाई के बराबर है।
इसलिए,$a^{3} = 7.014 \times 10^{-23} \ cm^{3}$ है।
$a = (7.014 \times 10^{-23})^{1/3} \ cm$.
$a = 4.124 \times 10^{-8} \ cm$.
चूंकि $1 \ \mathring{A} = 10^{-8} \ cm$,इसलिए $a = 4.124 \ \mathring{A}$ है।
निकटतम मान के अनुसार,दूरी लगभग $4.1 \ \mathring{A}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) सरल घनीय एकक कोष्ठिका के लिए,त्रिज्या '$r$' और कोर लंबाई '$a$' के बीच संबंध $r = \frac{a}{2}$ है।
काय-केंद्रित घनीय $(bcc)$ एकक कोष्ठिका के लिए,संबंध $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ है।
फलक-केंद्रित घनीय $(fcc)$ एकक कोष्ठिका के लिए,संबंध $r = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ है।
अतः,सरल घनीय : $bcc$ : $fcc$ की त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{1}{2} \ a : \frac{\sqrt{3}}{4} \ a : \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ a$ होगा।

(D) फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(FCC)$ क्रिस्टल के लिए, प्रति यूनिट सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
कोर लंबाई $a = 300 \ pm = 300 \times 10^{-10} \ cm = 3 \times 10^{-8} \ cm$.
घनत्व $d = 10 \ g \ cm^{-3}$.
घनत्व सूत्र का उपयोग करते हुए: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$, जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
$M = \frac{d \times N_A \times a^3}{Z} = \frac{10 \times 6.022 \times 10^{23} \times (3 \times 10^{-8})^3}{4}$.
$M = \frac{10 \times 6.022 \times 10^{23} \times 27 \times 10^{-24}}{4} = \frac{162.594}{4} = 40.6485 \ g \ mol^{-1}$.
अब, $4.5 \ g$ में परमाणुओं की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{परमाणुओं की संख्या} = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} \times N_A = \frac{4.5}{40.6485} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 6.66 \times 10^{22}$ परमाणु।

(C) दिया गया है,धात्विक त्रिज्या $r = \sqrt{3} \ \mathring{A} = \sqrt{3} \times 10^{-10} \ m$।
बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ जालक के लिए,त्रिज्या $r$ और किनारे की लंबाई $a$ के बीच संबंध $r = \frac{\sqrt{3} a}{4}$ है।
$a$ के लिए गणना करने पर: $a = \frac{4r}{\sqrt{3}} = \frac{4 \times \sqrt{3} \times 10^{-10} \ m}{\sqrt{3}} = 4 \times 10^{-10} \ m$।
इकाई सेल का आयतन $V = a^3 = (4 \times 10^{-10} \ m)^3 = 64 \times 10^{-30} \ m^3 = 6.4 \times 10^{-29} \ m^3$ है।

(A) दिया गया है कि धातु $bcc$ जालक में क्रिस्टलीकृत होती है, इसलिए $Z = 2$।
किनारे की लंबाई $a = 300 \ pm = 300 \times 10^{-10} \ cm$।
घनत्व $d = 6.15 \ g \ cm^{-3}$।
घनत्व का सूत्र: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$।
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z}$।
मान रखने पर: $M = \frac{6.15 \times (300 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$।
$M = \frac{6.15 \times 27 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{2} = \frac{99.965}{2} \approx 49.98 \ g \ mol^{-1}$।
अतः, मोलर द्रव्यमान लगभग $50 \ g \ mol^{-1}$ है।

(B) $FCC$ यूनिट सेल के लिए,किनारे की लंबाई $a$ और धात्विक त्रिज्या $r$ के बीच का संबंध $4r = \sqrt{2}a$ है।
दिया गया है $r = \sqrt{2} \ \mathring{A}$.
$r$ का मान रखने पर: $a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = \frac{4 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4 \ \mathring{A}$.
यूनिट सेल का आयतन $V = a^{3} = (4 \ \mathring{A})^{3} = 64 \ \mathring{A}^{3}$ है।
चूंकि $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,इसलिए $1 \ \mathring{A}^{3} = 10^{-30} \ m^{3}$.
अतः,$V = 64 \times 10^{-30} \ m^{3} = 6.4 \times 10^{-29} \ m^{3}$.

(C) $BCC$ क्रिस्टल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या,$Z = 2$ है।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
दिया गया है: $d = 10 \ g \ cm^{-3}$,$a = 200 \ pm = 2 \times 10^{-8} \ cm$,$N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,$Z = 2$.
मोलर द्रव्यमान $(M)$ की गणना:
$M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z} = \frac{10 \times (2 \times 10^{-8})^3 \times 6 \times 10^{23}}{2} = 24 \ g \ mol^{-1}$.
$2.4 \ g$ में मोल की संख्या = $\frac{2.4}{24} = 0.1 \ mol$.
परमाणुओं की संख्या = $0.1 \times 6 \times 10^{23} = 6 \times 10^{22}$ $\text{परमाणु}$।

(C) घन के काय विकर्ण का सूत्र $\sqrt{3} \times a$ होता है, जहाँ $a$ घन की कोर की लंबाई है。
दिया गया है, $a = 300 \ pm$.
काय विकर्ण $= \sqrt{3} \times 300 \ pm$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर:
काय विकर्ण $= 1.732 \times 300 \ pm = 519.6 \ pm$.

(D) $B.C.C.$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) जालक के लिए,कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ है।
दी गई कोर की लंबाई $a = 4.29 \ \mathring{A}$ है।
सूत्र में $a$ का मान रखने पर:
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4.29$
$r = 0.433 \times 4.29$
$r \approx 1.857 \ \mathring{A}$.

(C) $bcc$ जालक के लिए,कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $4r = \sqrt{3}a$ है,जिसका अर्थ है $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
दिया गया है $r = 2.598 \ \mathring{A} = 2.598 \times 10^{-8} \ cm$.
$r$ का मान रखने पर: $a = \frac{4 \times 2.598 \times 10^{-8}}{\sqrt{3}} = 6 \times 10^{-8} \ cm$.
इकाई सेल का आयतन $V = a^3 = (6 \times 10^{-8} \ cm)^3 = 2.16 \times 10^{-22} \ cm^3$ है।

(C) सरल घनीय जालक में, परमाणु घन के कोनों पर स्थित होते हैं।
सरल घनीय इकाई सेल के लिए, किनारे की लंबाई $a$ और परमाणु की त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $a = 2r$ होता है।
दिया गया है कि धातु परमाणु की त्रिज्या $r = x \ pm$ है।
इसलिए, किनारे की लंबाई $a = 2 \times x = 2x \ pm$ होगी।
इकाई सेल का आयतन $V = a^3$ द्वारा दिया जाता है।
$a$ का मान रखने पर, हमें $V = (2x)^3 = 8x^3 \ pm^3$ प्राप्त होता है।

(C) ब्रैग के नियम के अनुसार: $n \lambda = 2 d \sin \theta$.
दिया गया है: $n = 1$,$\lambda = 1.54 \mathring{A}$,और $2 \theta = 60^{\circ}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$.
सूत्र में मान रखने पर: $1 \times 1.54 \mathring{A} = 2 \times d \times \sin 30^{\circ}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए: $1.54 \mathring{A} = 2 \times d \times 0.5$.
$1.54 \mathring{A} = d$.
$\mathring{A}$ को $cm$ में बदलने पर $(1 \mathring{A} = 10^{-8} \ cm)$:
$d = 1.54 \times 10^{-8} \ cm$.

(C) इकाई कोशिका के घनत्व $(d)$ का सूत्र है: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
जहाँ $Z$ प्रति इकाई कोशिका परमाणुओं की संख्या है,$M$ मोलर द्रव्यमान $(23 \ g \ mol^{-1})$,$a$ कोर की लंबाई $(5 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-8} \ cm)$,और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या $(6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ है।
$Z$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $Z = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$
मान रखने पर: $Z = \frac{0.613 \times (5 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{23}$
गणना करने पर: $Z \approx 2$
अतः,प्रति इकाई कोशिका परमाणुओं की प्रभावी संख्या $2$ है।

(B) $fcc$ जालक के लिए,कोर लंबाई $a = 4 \ \mathring{A} = 4 \times 10^{-8} \ cm$.
$1$. $fcc$ जालक में परमाणुओं के बीच की निकटतम दूरी $(x)$ $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा दी जाती है।
$x = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ \mathring{A} \approx 2.828 \ \mathring{A}$.
$2$. घनत्व $(y)$ सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ द्वारा दिया जाता है।
$fcc$ के लिए,$Z = 4$. दिया गया है $M = 197 \ g \ mol^{-1}$,$N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,और $a = 4 \times 10^{-8} \ cm$.
$y = \frac{4 \times 197}{6 \times 10^{23} \times (4 \times 10^{-8})^3} = \frac{788}{6 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}} = \frac{788}{38.4} \approx 20.52 \ g \ cm^{-3}$.
अतः,$x = 2\sqrt{2}$ और $y = 20.52$.

(C) सरल घनीय जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $1$ होती है।
घनत्व $(d)$ का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है,जहाँ $M$ परमाणु भार है,$N_A$ आवोगाद्रो संख्या है,और $a$ कोर की लंबाई है।
मान रखने पर: $7.2 = \frac{1 \times 250}{6.02 \times 10^{23} \times a^3}$.
$a^3 = \frac{250}{7.2 \times 6.02 \times 10^{23}} \approx 5.767 \times 10^{-23} \ cm^3$.
$a = (57.67 \times 10^{-24})^{1/3} \approx 3.86 \times 10^{-8} \ cm = 3.86 \ \mathring{A}$.
सरल घनीय जालक के लिए,त्रिज्या $(r)$ और कोर की लंबाई $(a)$ के बीच संबंध $r = \frac{a}{2}$ होता है।
$r = \frac{3.86}{2} = 1.93 \ \mathring{A}$.

(A) $1$. $BCC$ इकाई सेल के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $2$ है।
$2$. कोर की लंबाई $(a)$ $288 \ pm = 288 \times 10^{-10} \ cm$ है।
$3$. इकाई सेल का आयतन $(V)$ $a^3 = (288 \times 10^{-10} \ cm)^3 \approx 2.39 \times 10^{-23} \ cm^3$ है।
$4$. घनत्व $(\rho)$ का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
$5$. मोलर द्रव्यमान $(M)$ ज्ञात करने के लिए: $M = \frac{\rho \times N_A \times a^3}{Z} = \frac{7.2 \times 6.022 \times 10^{23} \times 2.39 \times 10^{-23}}{2} \approx 51.8 \ g \ mol^{-1}$ है।
$6$. $208 \ g$ में मोलों की संख्या $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{M} = \frac{208}{51.8} \approx 4.015 \ mol$ है।
$7$. परमाणुओं की संख्या $n \times N_A = 4.015 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 24.18 \times 10^{23} \approx 24.2 \times 10^{23}$ है।

(B) सरल घनीय जालक के लिए, कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु की त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $a = 2r$ है।
इकाई सेल का आयतन $(V)$, $V = a^3$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $V = 6.4 \times 10^7 \ pm^3$।
इसलिए, $a^3 = 6.4 \times 10^7 \ pm^3$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर, $a = (64 \times 10^6)^{1/3} \ pm = 400 \ pm$।
चूंकि $a = 2r$, इसलिए $r = a / 2 = 400 / 2 = 200 \ pm$।

(A) घनीय क्रिस्टल के लिए घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
दिए गए मान $\rho = 7.6 \ g \ cm^{-3}$,$M = 56 \ g \ mol^{-1}$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,और $a = 290 \ pm = 290 \times 10^{-10} \ cm$ हैं।
$Z$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $Z = \frac{\rho \times N_A \times a^3}{M}$।
मान रखने पर: $Z = \frac{7.6 \times 6.022 \times 10^{23} \times (290 \times 10^{-10})^3}{56}$।
गणना करने पर $Z \approx 1.99$ प्राप्त होता है।
अतः,$Z$ का मान लगभग $2$ है।

(C) $CCP$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{ZM}{N_A a^3}$ है।
$a^3$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a^3 = \frac{ZM}{N_A d} = \frac{4 \times 107.9}{(6.022 \times 10^{23}) \times 10.5}$
$a^3 = \frac{431.6}{63.231 \times 10^{23}} \approx 6.825 \times 10^{-23} \ cm^3$
$cm^3$ को $\mathring{A}^3$ में बदलने पर: $1 \ cm^3 = (10^8 \ \mathring{A})^3 = 10^{24} \ \mathring{A}^3$
$a^3 = 6.825 \times 10^{-23} \times 10^{24} \ \mathring{A}^3 = 68.25 \ \mathring{A}^3$
अतः,$a = \sqrt[3]{68.25} \ \mathring{A}$.

(B) दिया गया है: घनत्व $(d) = 8.92 \ g \ cm^{-3}$,कोर की लंबाई $(a) = 3.61 \times 10^{-8} \ cm$,आवोगाद्रो संख्या $(N_A) = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$fcc$ जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z) = 4$.
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है,जहाँ $M$ परमाणु भार है।
$M$ के लिए सूत्र: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z}$.
मान रखने पर: $M = \frac{8.92 \times (3.61 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M = \frac{8.92 \times 47.0458 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M = \frac{252.712}{4} = 63.178 \ u$.

(A) $210 \ g$ $A$ में परमाणुओं की संख्या $\frac{210}{M_A} \times N_A$ है और $594 \ g$ $B$ में $\frac{594}{M_B} \times N_A$ है,जहाँ $M_A$ और $M_B$ मोलर द्रव्यमान हैं।
दिया गया है: $\frac{210}{M_A} = \frac{594}{M_B} \implies \frac{M_B}{M_A} = \frac{594}{210} = 2.828$.
घनत्व का सूत्र: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
$A$ ($fcc$,$Z=4$) के लिए: $7 = \frac{4 \times M_A}{N_A \times a^3}$.
$B$ ($bcc$,$Z=2$) के लिए: $d_B = \frac{2 \times M_B}{N_A \times a^3}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{d_B}{7} = \frac{2 \times M_B}{4 \times M_A} = \frac{1}{2} \times \frac{M_B}{M_A}$.
अनुपात प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d_B}{7} = \frac{1}{2} \times \frac{594}{210} = 1.414$.
$d_B = 7 \times 1.414 = 9.9 \ g \ cm^{-3}$.

(C) $fcc$ इकाई सेल में परमाणुओं की प्रभावी संख्या $Z = 4$ है।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^3}$ है।
दिया गया है: $d = 11.21 \ g \ cm^{-3}$,$a = 4 \ \mathring{A} = 4 \times 10^{-8} \ cm$,$N_{A} = 6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
मोलर द्रव्यमान $(M)$ के लिए सूत्र: $M = \frac{d \times N_{A} \times a^3}{Z}$।
$M = \frac{11.21 \times 6.023 \times 10^{23} \times (4 \times 10^{-8})^3}{4}$।
$M = \frac{11.21 \times 6.023 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}}{4}$।
$M = 11.21 \times 6.023 \times 16 \times 0.1 = 108.0 \ g \ mol^{-1}$।