Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Hindi

(C) एक बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ यूनिट सेल में परमाणुओं की संख्या:
$(1/8 \times 8) + 1 = 2 \text{ परमाणु}$.
$39 \ g$ पोटेशियम में मोल की संख्या:
$n = \frac{39 \ g}{39 \ g/mol} = 1 \text{ mol}$.
$39 \ g$ पोटेशियम में कुल परमाणुओं की संख्या:
$1 \times 6.023 \times 10^{23} = 6.023 \times 10^{23} \text{ परमाणु}$.
चूंकि प्रत्येक $BCC$ यूनिट सेल में $2$ परमाणु होते हैं,इसलिए यूनिट सेल की संख्या:
$\frac{6.023 \times 10^{23}}{2} = 3.011 \times 10^{23} \text{ यूनिट सेल}$.

(B) $NaCl$ प्रकार की संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल सूत्र इकाइयों की संख्या $(Z)$ $4$ है।
इकाई सेल की कोर लंबाई $(a)$ $a = 2(r_{A^+} + r_{B^-}) = 2(0.5 + 1.5) \ \mathring{A} = 4 \ \mathring{A} = 4 \times 10^{-8} \ cm$ द्वारा दी जाती है।
घनत्व $( ho)$ की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
मान रखने पर: $\rho = \frac{4 \times 48}{6 \times 10^{23} \times (4 \times 10^{-8})^3} \ g/cc$.
$\rho = \frac{192}{6 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}} \ g/cc$.
$\rho = \frac{192}{6 \times 64 \times 10^{-1}} \ g/cc = \frac{192}{38.4} \ g/cc = 5 \ g/cc$.

(A) $bcc$ संरचना के लिए, निकटतम आयनों के बीच की दूरी (जो बॉडी सेंटर और कोने पर होते हैं) $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a$ इकाई सेल की कोर लंबाई है।
दिया गया है कि $d = 1.73 \, \mathring{A} = 173 \, pm$.
मान रखने पर: $173 = \frac{\sqrt{3}}{2} a$.
$a = \frac{173 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{173 \times 2}{1.732} \approx 200 \, pm$.
अतः, इकाई सेल की कोर लंबाई $200 \, pm$ है।

(B) घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^{3}}$ है।
परमाणु द्रव्यमान $(M)$ के लिए सूत्र: $M = \frac{d \times N_{A} \times a^{3}}{Z}$.
$fcc$ जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
दिया गया है: $d = 10.5 \ g \ cm^{-3}$,$a = 4.077 \ \mathring{A} = 4.077 \times 10^{-8} \ cm$,और $N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $M = \frac{10.5 \times 6.022 \times 10^{23} \times (4.077 \times 10^{-8})^{3}}{4}$.
$M = \frac{10.5 \times 6.022 \times 10^{23} \times 67.77 \times 10^{-24}}{4}$.
$M = \frac{428.4}{4} \approx 107.1 \ g \ mol^{-1}$.

(B) घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
दिया गया है: $d = 2.70 \ g \ cm^{-3}$,$M = 27.0 \ g \ mol^{-1}$,$a = 405 \ pm = 405 \times 10^{-10} \ cm$,और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $2.70 = \frac{Z \times 27.0}{(6.022 \times 10^{23}) \times (405 \times 10^{-10})^3}$.
आयतन $a^3 = (4.05 \times 10^{-8})^3 \approx 6.643 \times 10^{-23} \ cm^3$ की गणना करने पर.
$Z = \frac{2.70 \times 6.022 \times 10^{23} \times 6.643 \times 10^{-23}}{27.0} \approx 4$.
चूंकि $Z = 4$,एकक कोष्ठिका $Face \ centered \ cubic \ (FCC)$ है।

(B) घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
दिया गया है: $d = 2.72 \ g \ cm^{-3}$,$M = 27 \ g \ mol^{-1}$,$a = 404 \ pm = 404 \times 10^{-10} \ cm$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $2.72 = \frac{Z \times 27}{6.022 \times 10^{23} \times (404 \times 10^{-10})^3}$.
$Z$ की गणना करने पर: $Z = \frac{2.72 \times 6.022 \times 10^{23} \times 6.60 \times 10^{-23}}{27} \approx 4$.
चूंकि $Z = 4$ है,इसलिए इकाई सेल $fcc$ (फलक-केंद्रित क्यूबिक) है।
$fcc$ जालक में समन्वय संख्या $12$ होती है।

(A) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ यूनिट सेल के लिए,किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $\sqrt{3} a = 4r$ है।
परमाणु का व्यास $(d)$,$2r$ के बराबर होता है।
संबंध $\sqrt{3} a = 4r$ से,हम लिख सकते हैं $2r = \frac{\sqrt{3}}{2} a$.
दिया गया है $a = 4 \times 10^{-10} \ m$,इसलिए व्यास $d = 2r = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 \times 10^{-10} \ m$.
$d = 1.732 \times 2 \times 10^{-10} \ m = 3.464 \times 10^{-10} \ m$.

(D) घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
$fcc$ जालक के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
दी गई कोर लंबाई $a = 404 \, pm = 404 \times 10^{-10} \, cm$ है।
दिया गया घनत्व $\rho = 2.72 \, g \, cm^{-3}$ और $N_A = 6.02 \times 10^{23} \, mol^{-1}$ है।
मान रखने पर: $2.72 = \frac{4 \times M}{6.02 \times 10^{23} \times (404 \times 10^{-10})^3}$.
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{2.72 \times 6.02 \times 10^{23} \times 66.0 \times 10^{-24}}{4} \approx 27 \, g \, mol^{-1}$.

(A) $fcc$ जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
दिया गया है: कोर लंबाई $a = 4.077 \times 10^{-8} \ cm$,घनत्व $d = 10.5 \ g \ cm^{-3}$,आवोगाद्रो संख्या $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
परमाणु द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z}$।
$M = \frac{10.5 \times (4.077 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$।
$M = \frac{10.5 \times 67.77 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$।
$M = \frac{428.55}{4} \approx 107.14 \ g \ mol^{-1}$।

(C) $CsCl$ क्रिस्टल संरचना में,$Cl^{-}$ आयन एक सरल घनीय इकाई सेल के कोनों पर स्थित होते हैं और $Cs^{+}$ आयन काय केंद्र (body center) पर स्थित होता है।
काय विकर्ण (body diagonal) के अनुदिश,$Cs^{+}$ आयन और कोनों पर स्थित $Cl^{-}$ आयन एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
काय विकर्ण की लंबाई $\sqrt{3} a$ होती है।
चूंकि काय विकर्ण में दो $Cl^{-}$ त्रिज्याएँ और एक $Cs^{+}$ व्यास (दो $Cs^{+}$ त्रिज्याएँ) शामिल होते हैं,इसलिए:
$2 r_c + 2 r_a = \sqrt{3} a$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r_c + r_a = \frac{\sqrt{3} a}{2}$

(A) एक एकक कोष्ठिका का आयतन $V = a^3 = (2.88 \times 10^{-8} \, cm)^3 = 23.8878 \times 10^{-24} \, cm^3$ है।
एक एकक कोष्ठिका का द्रव्यमान $m = \text{घनत्व} \times V = 7.2 \, g/cm^3 \times 23.8878 \times 10^{-24} \, cm^3 = 171.99 \times 10^{-24} \, g$ है।
धातु का कुल द्रव्यमान $7.2 \, mg = 7.2 \times 10^{-3} \, g$ है।
एकक कोष्ठिकाओं की संख्या $= \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{एक एकक कोष्ठिका का द्रव्यमान}} = \frac{7.2 \times 10^{-3} \, g}{171.99 \times 10^{-24} \, g} \approx 4.186 \times 10^{19}$ है।
अतः,एकक कोष्ठिकाओं की संख्या लगभग $4.19 \times 10^{19}$ है।

(A) $b.c.c.$ संरचना में,परमाणु काय विकर्ण (body diagonal) पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
काय विकर्ण की लंबाई $\sqrt{3} a$ होती है।
केंद्र के परमाणु और कोने के परमाणु के बीच की दूरी $\frac{\sqrt{3} a}{2}$ होती है।
यहाँ,$a = 4.3 \ \mathring{A}$ है।
न्यूनतम अंतर-आयनिक दूरी $(r_{Cs^+} + r_{Br^-}) = \frac{\sqrt{3} \times 4.3}{2}$ है।
$(r_{Cs^+} + r_{Br^-}) = \frac{1.732 \times 4.3}{2} = 3.7236 \ \mathring{A} \approx 3.72 \ \mathring{A}$.

(C) $1$. तत्व का मोलर द्रव्यमान $(M)$ ज्ञात करें:
परमाणुओं की संख्या $(N)$ = $2.03 \times 10^{24}$
द्रव्यमान $(w)$ = $135 \ g$
एवोगाड्रो संख्या $(N_A)$ = $6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
मोल $(n)$ = $N / N_A = (2.03 \times 10^{24}) / (6.022 \times 10^{23}) \approx 3.37 \ mol$
मोलर द्रव्यमान $(M)$ = $w / n = 135 / 3.37 \approx 40 \ g \ mol^{-1}$.
$2$. घनत्व $(d)$ की गणना सूत्र द्वारा करें:
$d = (Z \times M) / (N_A \times a^3)$
$FCC$ जालक के लिए, $Z = 4$.
भुजा की लंबाई $(a)$ = $150 \ pm = 150 \times 10^{-10} \ cm = 1.5 \times 10^{-8} \ cm$.
$a^3 = (1.5 \times 10^{-8})^3 = 3.375 \times 10^{-24} \ cm^3$.
$d = (4 \times 40) / (6.022 \times 10^{23} \times 3.375 \times 10^{-24})$
$d = 160 / 2.0324 \approx 78.72 \ g \ cm^{-3}$.
निकटतम विकल्प के अनुसार, घनत्व $78.8 \ g \ cm^{-3}$ है।

(A) $bcc$ इकाई सेल के लिए,कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध है: $\sqrt{3} \ a = 4 \ r$।
दिया गया है $a = 4 \times 10^{-10} \ m$।
सूत्र में $a$ का मान रखने पर:
$r = \frac{\sqrt{3} \times a}{4} = \frac{\sqrt{3} \times 4 \times 10^{-10}}{4} = \sqrt{3} \times 10^{-10} \ m$।

(A) $NaCl$ का मोलर द्रव्यमान $58.5 \ g/mol$ है।
$NaCl$ की एक एकक कोष्ठिका में $4$ $NaCl$ इकाइयाँ होती हैं।
एक एकक कोष्ठिका का द्रव्यमान: $\frac{4 \times 58.5}{6.022 \times 10^{23}} \ g = 3.886 \times 10^{-22} \ g$.
$1.00 \ g$ $NaCl$ में एकक कोष्ठिकाओं की संख्या: $\frac{1.00}{3.886 \times 10^{-22}} \approx 2.57 \times 10^{21}$.

(B) $NaCl$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल सूत्र इकाइयों की संख्या $(Z)$ $4$ होती है।
घनत्व का सूत्र: $\rho = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^3}$
कोर लंबाई $(a)$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a = \left[ \frac{Z \times M}{\rho \times N_{A}} \right]^{1/3}$
दिया गया है: $Z = 4$,$M = 119 \ g \ mol^{-1}$,$\rho = 2.75 \ g \ cm^{-3}$,$N_{A} = 6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
$a = \left[ \frac{4 \times 119}{2.75 \times 6.023 \times 10^{23}} \right]^{1/3}$
$a \approx 6.6 \times 10^{-8} \ cm$

(D) $bcc$ संरचना में,निकटतम पड़ोसी की दूरी $d$ और कोर की लंबाई $a$ के बीच का संबंध $d = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ है।
दिया गया है $d = 4.52 \ \mathring{A}$,इसलिए $a = \frac{2 \times 4.52}{\sqrt{3}} \ \mathring{A} = 5.233 \ \mathring{A} = 5.233 \times 10^{-10} \ m$.
$bcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है।
घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
मान रखने पर: $M = 39 \ g \ mol^{-1} = 0.039 \ kg \ mol^{-1}$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$\rho = \frac{2 \times 0.039}{(6.022 \times 10^{23}) \times (5.233 \times 10^{-10})^3} \ kg \ m^{-3}$.
$\rho \approx 908 \ kg \ m^{-3}$.

(A) $bcc$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) संरचना में, निकटतम आयन बॉडी डायगोनल पर स्थित होते हैं।
$bcc$ इकाई सेल के लिए, निकटतम आयनों के बीच की दूरी (जो कोने के परमाणु और बॉडी-सेंटर्ड परमाणु के बीच की दूरी है) $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ द्वारा दी जाती है, जहां $a$ कोर की लंबाई है।
दिया गया है $d = 1.73 \ \mathring{A}$।
चूंकि $1 \ \mathring{A} = 100 \ pm$, $d = 1.73 \times 100 = 173 \ pm$।
मान रखने पर: $173 = \frac{\sqrt{3}}{2} a$।
$a = \frac{173 \times 2}{\sqrt{3}}$।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर, $a = \frac{173 \times 2}{1.732} \approx 200 \ pm$।

(B) घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
आणविक द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z}$.
दिया गया है: $d = 1.287 \, g \, cm^{-3}$,$a = 12.3 \, nm = 12.3 \times 10^{-7} \, cm$,$Z = 4$ ($FCC$ के लिए),और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
मान रखने पर: $M = \frac{1.287 \times (12.3 \times 10^{-7})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M \approx 3.6 \times 10^5 \, g \, mol^{-1}$.

(A) घनीय प्रणाली के लिए अंतरा-तलीय दूरी $d$ का सूत्र है: $d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$
$(100)$,$(110)$ और $(111)$ तलों के लिए,दूरियाँ हैं:
$d_{100} = \frac{a}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = a$
$d_{110} = \frac{a}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$
$d_{111} = \frac{a}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$
अतः,$d_{100} : d_{110} : d_{111}$ का अनुपात है:
$a : \frac{a}{\sqrt{2}} : \frac{a}{\sqrt{3}} = 1 : \frac{1}{\sqrt{2}} : \frac{1}{\sqrt{3}}$

(D) ब्रैग के नियम का उपयोग करते हुए: $n \lambda = 2d \sin \theta$
दिया गया है: $n = 2$,$\lambda = 1 \ \mathring{A}$,$\theta = 60^{\circ}$
मान रखने पर:
$2 \times 1 = 2 \times d \times \sin 60^{\circ}$
$2 = 2 \times d \times (\frac{\sqrt{3}}{2})$
$d = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx \frac{2}{1.732} \approx 1.15 \ \mathring{A}$

(B) ब्रैग के नियम के अनुसार: $n \lambda = 2d \sin \theta$
दिया गया है: $n = 1$,$\lambda = 2.29 \times 10^{-10} \ m$,$\theta = 27^\circ 8'$.
यहाँ $\sin(27^\circ 8') \approx 0.45$ लेने पर:
$d = \frac{n \lambda}{2 \sin \theta} = \frac{1 \times 2.29 \times 10^{-10}}{2 \times 0.45}$
$d = \frac{2.29 \times 10^{-10}}{0.9} \approx 2.5 \times 10^{-10} \ m$.

(A) दिया गया है: विवर्तन का क्रम $n = 2$,$2\theta = 90^{\circ} \Rightarrow \theta = 45^{\circ}$,तलों के बीच की दूरी $d = 2.28 \ \mathring{A}$।
ब्रैग के नियम का उपयोग करते हुए: $n\lambda = 2d \sin \theta$.
मान रखने पर: $2 \times \lambda = 2 \times 2.28 \times \sin(45^{\circ})$.
$\lambda = 2.28 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\lambda = 2.28 \times 0.707 = 1.612 \ \mathring{A} \approx 1.62 \ \mathring{A}$.

(B) ब्रेग के नियम $(n=1)$ का उपयोग करते हुए:
$n \lambda = 2d \sin \theta$
$\lambda = 2 \times (2.64 \times 10^{-10} \ m) \times \sin(7.75^{\circ})$
$\lambda = 5.28 \times 10^{-10} \times 0.1349 \approx 7.123 \times 10^{-11} \ m$
ऊर्जा का अंतर $\Delta E$ इस प्रकार है:
$\Delta E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (3 \times 10^8 \ m/s)}{7.123 \times 10^{-11} \ m}$
$\Delta E \approx 2.79 \times 10^{-15} \ J$
अतः,सही विकल्प $2.788 \times 10^{-15} \ J$ है।

(A) घनीय प्रणाली के लिए अंतर-तलीय दूरी $d_{hkl}$ का सूत्र है: $d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$।
दिया गया है: $a = 450 \, pm$, $h = 2$, $k = 2$, $l = 0$।
मान रखने पर: $d_{220} = \frac{450}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2}}$।
$d_{220} = \frac{450}{\sqrt{4 + 4 + 0}} = \frac{450}{\sqrt{8}}$।
$d_{220} = \frac{450}{2\sqrt{2}} = \frac{225}{\sqrt{2}}$।
$\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर, $d_{220} = \frac{225}{1.414} \approx 159.12 \, pm$।
अतः, दूरी लगभग $159 \, pm$ है।

(C) घनीय क्रिस्टल के लिए अंतःतलीय दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$
यहाँ, कोर लंबाई $a = 300 \, pm$ और मिलर सूचकांक $(hkl) = (111)$ है।
मान रखने पर: $d = \frac{300}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{300}{\sqrt{3}}$
$d = \frac{300}{1.732} \approx 173.2 \, pm$ (दिए गए विकल्पों के अनुसार $172.2 \, pm$ सबसे निकटतम मान है)।

(C) $bcc$ संरचना के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध है:
$4r = \sqrt{3}a$
यहाँ $a = 400 \, pm$ और $\sqrt{3} \approx 1.732$ है।
$r = \frac{\sqrt{3} \times 400}{4} = 1.732 \times 100 = 173.2 \, pm$.
अतः, परमाणु त्रिज्या $173 \, pm$ होगी।

(B) $ccp$ (घनीय निविड संकुलन) संरचना के लिए, इकाई सेल के किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$4r = \sqrt{2}a$
यहाँ $a = 407 \ pm$ दिया गया है।
$r = \frac{\sqrt{2} \times 407}{4} = \frac{1.414 \times 407}{4} \approx 143.8 \ pm$
निकटतम पूर्णांक में, उत्तर $144 \ pm$ है।

(B) $bcc$ एकक कोष्ठिका के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध है:
$4r = \sqrt{3}a$
दिया गया है $a = 386 \ pm$।
$r = \frac{\sqrt{3} \times a}{4}$
$r = \frac{1.732 \times 386}{4}$
$r = \frac{668.552}{4} \approx 167.14 \ pm$
निकटतम पूर्णांक में, परमाणु त्रिज्या $167 \ pm$ है।

(B) $fcc$ इकाई सेल के लिए, कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$4r = \sqrt{2}a$
यहाँ $a = 361 \, pm$ दिया गया है।
$r = \frac{\sqrt{2} \times 361}{4} = \frac{1.414 \times 361}{4} \approx 127.6 \, pm$
निकटतम पूर्णांक में, त्रिज्या $127 \, pm$ होगी।

(D) $bcc$ इकाई सेल के लिए,काय विकर्ण (body diagonal) $\sqrt{3}a$ होता है।
$bcc$ संरचना में,परमाणु काय विकर्ण पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,जिसमें धनायन और ऋणायन की त्रिज्याएँ शामिल होती हैं: $2r_{+} + 2r_{-} = \sqrt{3}a$.
अतः,धनायन और ऋणायन की त्रिज्याओं का योग $r_{+} + r_{-} = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ है।

(A) $bcc$ जालक के लिए, केंद्र और कोने के आयन के बीच की दूरी $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ होती है।
$NH_4Cl$ ($bcc$ संरचना) में, विपरीत आवेशित आयनों के बीच की दूरी $(r_+ + r_-)$ $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ के बराबर होती है।
दिया गया है: $a = 387 \, pm$.
दूरी $d = \frac{\sqrt{3} \times 387}{2}$.
$d = \frac{1.732 \times 387}{2} = 335.14 \, pm \approx 335 \, pm$.

(C) $fcc$ इकाई सेल के लिए,किनारे की लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच का संबंध $4r = \sqrt{2}a$ है।
$fcc$ जालक में दो निकटतम परमाणुओं के बीच की दूरी $2r$ के बराबर होती है।
संबंध $4r = \sqrt{2}a$ से,हमें $2r = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a = 4.07 \ \mathring{A}$ दिया गया है,इसलिए दूरी $d = \frac{4.07}{1.414} \approx 2.878 \ \mathring{A}$ होगी।
अतः,दूरी लगभग $2.87 \ \mathring{A}$ है।

(A) $bcc$ संरचना के लिए, निकटतम आयनों (धनायन और ऋणायन) के बीच की दूरी $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a$ इकाई सेल के किनारे की लंबाई है。
दिया गया है कि निकटतम आयनों के बीच की दूरी $d = 173 \, pm$ है。
अतः, $173 = \frac{\sqrt{3}}{2} a$.
$a = \frac{173 \times 2}{\sqrt{3}}$.
चूँकि $\sqrt{3} \approx 1.73$, इसलिए $a = \frac{173 \times 2}{1.73} = 100 \times 2 = 200 \, pm$.

(B) $NaCl$ क्रिस्टल संरचना के लिए, किनारे की लंबाई $a$ और आयनिक त्रिज्याओं के बीच संबंध है: $a = 2(r_{+} + r_{-})$।
दिया गया है: $r_{+} = 95 \, pm$ और $r_{-} = 180 \, pm$।
मान रखने पर: $a = 2(95 + 180) \, pm$।
$a = 2(275) \, pm = 550 \, pm$।

(B) दिया गया है: $Z = 4$,$M = 58.5 \, \text{g/mol}$,$a = 0.564 \, nm = 5.64 \times 10^{-8} \, cm$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}$.
घनत्व का सूत्र: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
मान रखने पर: $d = \frac{4 \times 58.5}{(6.022 \times 10^{23}) \times (5.64 \times 10^{-8})^3}$.
$d = \frac{234}{6.022 \times 10^{23} \times 179.44 \times 10^{-24}}$.
$d = \frac{234}{108.06} \approx 2.16 \, \text{g/cm}^3$.

(A) $bcc$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या, $Z = 2$ है।
दिया गया है: $a = 287 \, pm = 2.87 \times 10^{-8} \, cm$.
$Cr$ का परमाणु द्रव्यमान, $M = 51.99 \, \text{g/mol} \approx 52 \, \text{g/mol}$.
एवोगैड्रो संख्या, $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}$.
घनत्व $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
$d = \frac{2 \times 52}{(6.022 \times 10^{23}) \times (2.87 \times 10^{-8})^3}$.
$d = \frac{104}{14.236} \approx 7.305 \, \text{g/cm}^3$.

(B) $bcc$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है।
दिया गया है: कोर लंबाई $a = 400 \, pm = 4 \times 10^{-8} \, cm$, परमाणु भार $M = 100 \, \text{g/mol}$, आवोगाद्रो संख्या $N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}$।
घनत्व $d$ का सूत्र: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$।
मान रखने पर: $d = \frac{2 \times 100}{6.022 \times 10^{23} \times (4 \times 10^{-8})^3} \approx \frac{200}{38.54} \approx 5.189 \, \text{g/cm}^3$।
अतः, घनत्व लगभग $5.188 \, \text{g/cm}^3$ है।

(C) $CsCl$ के $bcc$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल सूत्र इकाइयों की संख्या $Z = 1$ है।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
दिया गया है: $d = 3.988 \, g/cm^3$,$M = 168.4 \, g/mol$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$।
$a^3$ के लिए गणना करने पर: $a^3 = \frac{Z \times M}{N_A \times d} = \frac{1 \times 168.4}{6.022 \times 10^{23} \times 3.988}$।
$a^3 \approx \frac{168.4}{24.015 \times 10^{23}} \approx 7.012 \times 10^{-23} \, cm^3$।
$a = \sqrt[3]{70.12 \times 10^{-24}} \approx 4.12 \times 10^{-8} \, cm$।

(B) $ccp$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
घनत्व $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$,जहाँ $M = 197 \, g/mol$ और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$ है।
$a^3 = \frac{Z \times M}{d \times N_A} = \frac{4 \times 197}{19.3 \times 6.022 \times 10^{23}} = \frac{788}{116.22 \times 10^{23}} \approx 6.78 \times 10^{-23} \, cm^3 = 67.8 \times 10^{-24} \, cm^3$.
$a = \sqrt[3]{67.8 \times 10^{-24}} \approx 4.078 \times 10^{-8} \, cm$.
$ccp$ संरचना के लिए,$4r = \sqrt{2}a$,इसलिए $r = \frac{\sqrt{2} \times a}{4} = \frac{1.414 \times 4.078 \times 10^{-8}}{4} \approx 1.44 \times 10^{-8} \, cm$.

(C) इकाई सेल का घनत्व $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है, $M$ मोलर द्रव्यमान है, $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है, और $a$ कोर की लंबाई है।
$bcc$ के लिए, $Z_1 = 2$ और $a_1 = 300 \ pm$.
$fcc$ के लिए, $Z_2 = 4$ और $a_2 = 380 \ pm$.
घनत्वों का अनुपात $\frac{d_{bcc}}{d_{fcc}} = \frac{Z_1}{Z_2} \times \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^3$ है।
मान रखने पर: $\frac{d_{bcc}}{d_{fcc}} = \frac{2}{4} \times \left(\frac{380}{300}\right)^3 = 0.5 \times (1.266)^3$.
$\frac{d_{bcc}}{d_{fcc}} = 0.5 \times 2.03 = 1.015 \approx 1.01$.

(B) $NaCl$ प्रकार की संरचना के लिए, $Z = 4$ है। $KF$ का मोलर द्रव्यमान $M = 39 + 19 = 58 \, g/mol$ है।
घनत्व सूत्र का उपयोग करने पर: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$
$2.48 = \frac{4 \times 58}{6.022 \times 10^{23} \times a^3}$
$a^3 = \frac{232}{2.48 \times 6.022 \times 10^{23}} = 155.35 \times 10^{-24} \, cm^3$
$a = 537.5 \, pm$.
$NaCl$ प्रकार की संरचना में, धनायन और ऋणायन के बीच की दूरी $r_+ + r_- = \frac{a}{2}$ होती है।
$r_+ + r_- = \frac{537.5}{2} \approx 268.75 \, pm \approx 270 \, pm$.

(D) दिया गया है: परमाणु द्रव्यमान $M = 96 \, g/mol$, घनत्व $d = 10.3 \, g/cm^3$, किनारे की लंबाई $a = 314 \, pm = 3.14 \times 10^{-8} \, cm$, आवोगाद्रो संख्या $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
घनत्व का सूत्र: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
मान रखने पर: $10.3 = \frac{Z \times 96}{6.022 \times 10^{23} \times (3.14 \times 10^{-8})^3}$.
$10.3 = \frac{Z \times 96}{18.64}$.
$Z = \frac{10.3 \times 18.64}{96} \approx 2$.
चूंकि प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है, इसलिए क्रिस्टल संरचना $bcc$ (काय-केंद्रित घनीय) प्रकार की है।

(B) $Ag$ फलक केंद्रित घनीय $(FCC)$ जालक में क्रिस्टलीकृत होता है।
$FCC$ जालक में,दो निकटतम परमाणुओं के बीच की दूरी $d = \frac{a}{\sqrt{2}}$ होती है,जहाँ $a$ कोर की लंबाई है।
दिया गया है $d = 2.5 \times 10^{-8} \ cm$,इसलिए $a = d \times \sqrt{2} = 2.5 \times 10^{-8} \times 1.414 = 3.535 \times 10^{-8} \ cm$.
$FCC$ के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
मान रखने पर: $d = \frac{4 \times 108}{6.022 \times 10^{23} \times (3.535 \times 10^{-8})^3}$.
$d = \frac{432}{6.022 \times 10^{23} \times 44.17 \times 10^{-24}} = \frac{432}{26.6} \approx 16.24 \ g/cm^3$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $16.8 \ g/cm^3$ है।

(B) $NaCl$ प्रकार की संरचना के लिए,कोर की लंबाई $a = 2(r_+ + r_-)$ होती है।
दिया गया है $\frac{r_{Na^+}}{r_{Cl^-}} = 0.5 \Rightarrow r_{Na^+} = 0.5 r_{Cl^-}$.
अतः,$a_{NaCl} = 2(r_{Na^+} + r_{Cl^-}) = 2(0.5 r_{Cl^-} + r_{Cl^-}) = 3 r_{Cl^-}$.
दिया गया है $\frac{r_{Na^+}}{r_{K^+}} = 0.7 \Rightarrow r_{K^+} = \frac{r_{Na^+}}{0.7} = \frac{5}{7} r_{Cl^-}$.
अतः,$a_{KCl} = 2(r_{K^+} + r_{Cl^-}) = 2(\frac{5}{7} r_{Cl^-} + r_{Cl^-}) = \frac{24}{7} r_{Cl^-}$.
घनत्व का अनुपात $\frac{d_{NaCl}}{d_{KCl}} = \frac{M_{NaCl}}{M_{KCl}} \times (\frac{a_{KCl}}{a_{NaCl}})^3$.
$\frac{d_{NaCl}}{d_{KCl}} = \frac{58.5}{74.5} \times (\frac{8}{7})^3 = 1.118$.

(A) $bcc$ के लिए,निकटतम पड़ोसियों के बीच की दूरी $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a_1$ है,इसलिए $a_1 = \frac{2d}{\sqrt{3}}$.
$fcc$ के लिए,निकटतम पड़ोसियों के बीच की दूरी $d = \frac{a_2}{\sqrt{2}}$ है,इसलिए $a_2 = d\sqrt{2}$.
घनत्व का अनुपात $\frac{\rho_{bcc}}{\rho_{fcc}} = \frac{Z_1 \times M / (N_A \times a_1^3)}{Z_2 \times M / (N_A \times a_2^3)} = \frac{Z_1}{Z_2} \times (\frac{a_2}{a_1})^3$.
$Z_1 = 2$ $(bcc)$ और $Z_2 = 4$ $(fcc)$ रखने पर:
$\frac{\rho_{bcc}}{\rho_{fcc}} = \frac{2}{4} \times (\frac{d\sqrt{2}}{2d/\sqrt{3}})^3 = \frac{1}{2} \times (\frac{\sqrt{6}}{2})^3 = \frac{1}{2} \times \frac{6\sqrt{6}}{8} = \frac{3\sqrt{6}}{8} \approx 0.918$.
अतः,अनुपात लगभग $0.91$ है।

(A) इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या का सूत्र है: $\text{इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या} = \frac{\text{द्रव्यमान} \times N_A}{Z \times M}$.
यहाँ,$\text{द्रव्यमान} = 1 \, g$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$,$M = 58.5 \, g/mol$,और $NaCl$ की $fcc$ संरचना के लिए प्रति इकाई कोष्ठिका सूत्र इकाइयों की संख्या $Z = 4$ है।
मान रखने पर: $\text{इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या} = \frac{1 \times 6.022 \times 10^{23}}{4 \times 58.5}$.
$= \frac{6.022 \times 10^{23}}{234} \approx 2.57 \times 10^{21}$.

(C) $NaCl$ का मोलर द्रव्यमान $58.5 \, g/mol$ है।
दिया गया द्रव्यमान $W = 58.5 \, g$.
मोलों की संख्या $n = \frac{W}{M} = \frac{58.5}{58.5} = 1 \, mol$.
$NaCl$ की कुल इकाइयों की संख्या $= n \times N_A = 1 \times 6 \times 10^{23} = 6 \times 10^{23}$.
$fcc$ संरचना में,प्रति इकाई कोष्ठिका इकाइयों की संख्या $(Z)$ $4$ होती है।
इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या $= \frac{\text{कुल इकाइयाँ}}{Z} = \frac{6 \times 10^{23}}{4} = 1.5 \times 10^{23}$.

(D) इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या $= \frac{W \times N_A}{Z \times M}$
यहाँ $W = 10 \, g$,$N_A = 6 \times 10^{23}$,$Z = 1$,और $M = 168.5 \, g/mol$ है।
मान रखने पर: $\frac{10 \times 6 \times 10^{23}}{1 \times 168.5} = 3.56 \times 10^{22}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $3.38 \times 10^{22}$ है।