Crystal packing Questions in Hindi

(B) फलक-केंद्रित घनीय $(fcc)$ इकाई सेल में,परमाणु फलक विकर्ण पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
मान लीजिए $a$ इकाई सेल की कोर लंबाई है और $r$ परमाणु त्रिज्या है।
फलक विकर्ण की लंबाई $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ द्वारा दी जाती है।
इस विकर्ण पर चार परमाणु त्रिज्याएँ होती हैं (प्रत्येक कोने के परमाणु से एक त्रिज्या और फलक-केंद्रित परमाणु का पूरा व्यास),इसलिए $4r = a\sqrt{2}$।
अतः,$r = \frac{a\sqrt{2}}{4} = \frac{a}{2\sqrt{2}}$।

(B) एक अष्टफलकीय रिक्ति (octahedral void) में,रिक्ति की त्रिज्या $(r_v)$ और गोले की त्रिज्या $(r)$ रिक्ति की ज्यामिति से संबंधित होती है।
अष्टफलकीय रिक्ति के लिए,संबंध $r_v + r = r \sqrt{2}$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $r_v = r(\sqrt{2} - 1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $r_v = r(1.414 - 1) = 0.414r$।

(C) एक फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ इकाई कोशिका में,परमाणुओं की कुल संख्या $(Z)$ $= 4$ होती है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या इकाई कोशिका में उपस्थित परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है।
इसलिए,$\text{चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या} = 2 \times Z = 2 \times 4 = 8$।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) $ABC ABC......$ क्लोज पैकिंग का पैटर्न क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(ccp)$ संरचना के अनुरूप है,जो फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ जालक के समान है।

(D) $ABC ABC ABC ...$ पैटर्न घनीय निविड संकुलन $(ccp)$ या फलक केंद्रित घनीय $(fcc)$ जालक संरचना को दर्शाता है।
इस व्यवस्था में,तीसरी परत को दूसरी परत के रिक्त स्थानों में इस प्रकार रखा जाता है कि यह पहली या दूसरी परत के साथ संरेखित नहीं होती है,जिससे तीन परतों का एक पुनरावर्ती क्रम बनता है।

(C) हेक्सागोनल क्लोज पैक्ड $(HCP)$ संरचना में,तीसरी परत के गोले पहली परत के गोलों के ठीक ऊपर स्थित होते हैं।
इसके परिणामस्वरूप परतों का एक दोहराव वाला पैटर्न बनता है जिसे $ABAB...$ पैटर्न के रूप में जाना जाता है।
इसलिए,हेक्सागोनल क्लोज पैक्ड व्यवस्था के लिए सही विवरण $ABAB AB$ है।

(B) क्यूबिक क्लोज पैकिंग $(ccp)$ या फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ लैटिस में,प्रति यूनिट सेल परमाणुओं की संख्या $4$ होती है।
लैटिस में प्रत्येक परमाणु दो टेट्राहेड्रल वॉइड्स (छिद्र) बनाता है।
इसलिए,टेट्राहेड्रल छिद्रों की संख्या $4 \times 2 = 8$ है।
क्लोज-पैक्ड परमाणुओं और टेट्राहेड्रल छिद्रों का अनुपात $4 : 8$ है,जिसे सरल करने पर $1 : 2$ प्राप्त होता है।

(C) $CCP$ (क्यूबिक क्लोज पैकिंग) व्यवस्था में,अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,जबकि चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है।
मान लीजिए कि $CCP$ व्यवस्था में $Z$ परमाणुओं की संख्या $n$ है।
तो,चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2n$ होगी।
चूंकि $X$ परमाणु सभी चतुष्फलकीय रिक्तियों पर स्थित हैं,इसलिए $X$ परमाणुओं की संख्या $2n$ है।
$X:Z$ परमाणुओं का अनुपात $2n:n$ है,जो $2:1$ के रूप में सरल होता है।
इसलिए,यौगिक का सूत्र $X_2Z$ है।

(B) षट्कोणीय क्लोज पैकिंग $(HCP)$ संरचना की समन्वय संख्या (coordination number) $12$ होती है।
दिए गए विकल्पों में से,$Mg$ (मैग्नीशियम) $HCP$ संरचना में क्रिस्टलीकृत होता है,जिसकी समन्वय संख्या भी $12$ होती है।
$Na$ (सोडियम) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ संरचना में और $Al$ (एल्युमीनियम) फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(FCC)$ संरचना में क्रिस्टलीकृत होता है।

(A) $FCC$ इकाई कोशिका के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है।
दिया गया है $a = 620 \ pm$।
अतः, $r = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{620}{2 \times 1.414} = 219.23 \ pm$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर $219.85 \ pm$ है।

(C) क्लोज पैक्ड संरचना (जैसे $ccp$ या $hcp$) में,यदि घटक कणों की संख्या $N$ है,तो अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $N$ होती है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N$ होती है।
अतः,चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या की दुगुनी होती है।

(C) एक चतुष्फलकीय रिक्ति तब बनती है जब एक गोले को एक परत में एक-दूसरे के संपर्क में स्थित तीन गोलों द्वारा बनाई गई जगह में रखा जाता है।
इस प्रकार,रिक्ति $4$ गोलों से घिरी होती है जो एक नियमित चतुष्फलक के कोनों पर व्यवस्थित होते हैं।
अतः,सही विवरण यह है कि रिक्ति चार गोलों द्वारा चतुष्फलकीय व्यवस्था में घिरी होती है।

(C) क्रिस्टल संरचनाओं में,क्लोज-पैक्ड संरचनाएं वे होती हैं जिनमें परमाणु खाली स्थान को कम करने के लिए यथासंभव कुशलतापूर्वक पैक किए जाते हैं।
$hcp$ (हेक्सागोनल क्लोज-पैक्ड),$ccp$ (क्यूबिक क्लोज-पैक्ड),और $fcc$ (फेस-सेंटर्ड क्यूबिक) सभी $74\%$ की पैकिंग दक्षता वाली क्लोज-पैक्ड संरचनाओं के उदाहरण हैं।
$bcc$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) की पैकिंग दक्षता $68\%$ होती है,जो क्लोज-पैक्ड संरचनाओं से कम है।
इसलिए,$bcc$ को क्लोज-पैक्ड संरचना नहीं माना जाता है।

(B) फलक-केंद्रित घनीय $(FCC)$ एकक कोष्ठिका में,परमाणु फलक विकर्ण पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
मान लीजिए कि एकक कोष्ठिका की कोर की लंबाई $a$ है और परमाणु की त्रिज्या $r$ है।
फलक विकर्ण की लंबाई $\sqrt{2}a$ होती है।
चूंकि परमाणु फलक विकर्ण पर स्पर्श करते हैं,इसलिए फलक विकर्ण की लंबाई $4r$ के बराबर होती है (प्रत्येक कोने के परमाणु से एक त्रिज्या और फलक-केंद्रित परमाणु से दो त्रिज्या)।
अतः,$\sqrt{2}a = 4r$।
$a$ के लिए हल करने पर,हमें $a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$ प्राप्त होता है।

(A) $ABAB...$ प्रकार की पैकिंग में,तीसरी परत पहली परत के ठीक ऊपर रखी जाती है,जिससे हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग $(hcp)$ संरचना प्राप्त होती है।
$ABCABC...$ प्रकार की पैकिंग में,चौथी परत पहली परत के ठीक ऊपर रखी जाती है,जिससे क्यूबिक क्लोज पैकिंग $(ccp)$ या फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ संरचना प्राप्त होती है।
अतः,$ABAB...$ को $hcp$ और $ABCABC...$ को $ccp$ कहा जाता है।

(C) $ccp$ या $fcc$ जालक (lattice) में,अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या जालक में उपस्थित गोलों की संख्या के बराबर होती है।
यदि गोलों की संख्या $N$ है,तो अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $N$ होगी।

(A) $bcc$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) इकाई सेल में पैकिंग दक्षता $68\%$ होती है।
खाली स्थान (रिक्त स्थान) की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{खाली स्थान} = 100\% - \text{पैकिंग दक्षता}$
$\text{खाली स्थान} = 100\% - 68\% = 32\%$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) एक क्लोज-पैक्ड संरचना में,यदि परमाणुओं की संख्या $N$ है,तो अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $N$ होती है और चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N$ होती है।
अतः,प्रति परमाणु चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N / N = 2$ है।

(C) क्लोज पैक्ड संरचना में,चतुष्फलकीय रिक्ति की त्रिज्या $(r_t)$ और गोले की त्रिज्या $(R)$ के बीच का संबंध $r_t = 0.225R$ है।
अष्टफलकीय रिक्ति की त्रिज्या $(r_o)$ और गोले की त्रिज्या $(R)$ के बीच का संबंध $r_o = 0.414R$ है।
दोनों मानों की तुलना करने पर,$0.414R > 0.225R$,जिसका अर्थ है कि अष्टफलकीय रिक्ति का आकार चतुष्फलकीय रिक्ति से बड़ा होता है।

(A) $hcp$ (षट्कोणीय निविड संकुलन) और $ccp$ (घनीय निविड संकुलन) दोनों संरचनाओं में,गोले यथासंभव कुशलतापूर्वक व्यवस्थित होते हैं।
$hcp$ और $ccp$ दोनों के लिए संकुलन क्षमता $74\%$ होती है।
इसका अर्थ है कि कुल आयतन का $74\%$ भाग गोलों द्वारा घेरा जाता है,जबकि शेष $26\%$ भाग रिक्त स्थान (voids) होता है।

(A) मान लीजिए कि $ccp$ जालक में $Y$ परमाणुओं की संख्या $n$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2n$ है।
$X$ परमाणु चतुष्फलकीय रिक्तियों का $2/3$ भाग घेरते हैं,इसलिए $X$ परमाणुओं की संख्या $= \frac{2}{3} \times 2n = \frac{4n}{3}$ है।
$X:Y$ का अनुपात $= \frac{4n}{3} : n = 4:3$ है।
अतः,यौगिक का सूत्र $X_4Y_3$ है।

(B) एक क्लोज-पैक्ड संरचना में (जैसे $fcc$ या $ccp$ जो $ABCABC$ स्टैकिंग अनुक्रम का पालन करती है),प्रति इकाई कोशिका परमाणुओं की संख्या $z = 4$ होती है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या हमेशा इकाई कोशिका में मौजूद परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है।
इसलिए,चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या = $2 \times z = 2z$।

(A) सरल घनीय $(SC)$ एकक कोष्ठिका के लिए,कोर की लंबाई $a$ और त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $a = 2r$ है,अतः $r = \frac{a}{2}$ है।
काय-केंद्रित घनीय $(BCC)$ एकक कोष्ठिका के लिए,संबंध $\sqrt{3}a = 4r$ है,अतः $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$ है।
फलक-केंद्रित घनीय $(FCC)$ एकक कोष्ठिका के लिए,संबंध $\sqrt{2}a = 4r$ है,अतः $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ है।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{a}{2} : \frac{\sqrt{3}a}{4} : \frac{a}{2\sqrt{2}}$ है।

(C) हेक्सागोनल क्लोज पैक्ड $(HCP)$ संरचना में,गोले $ABABAB...$ पैटर्न में व्यवस्थित होते हैं।
इसका अर्थ है कि तीसरी परत पहली परत के समान होती है,चौथी परत दूसरी परत के समान होती है,और इसी प्रकार आगे।
इसके विपरीत,$ABCABC...$ पैटर्न क्यूबिक क्लोज पैक्ड $(CCP)$ या फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(FCC)$ संरचना को दर्शाता है।

(C) माना कि $HCP$ जालक में $B$ तत्व के परमाणुओं की संख्या $n$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2n$ होती है,और $A$ तत्व इन रिक्तियों का $2/3$ भाग घेरते हैं:
$A$ के परमाणुओं की संख्या $= \frac{2}{3} \times 2n = \frac{4n}{3}$.
$A:B$ का अनुपात $= \frac{4n}{3} : n = 4:3$.
अतः,यौगिक का सूत्र $A_4B_3$ है।

(A) क्यूबिक क्लोज पैक्ड $(CCP)$ संरचना में पैकिंग दक्षता $74\%$ होती है। अतः,खाली स्थान (रिक्ति) का प्रतिशत $100\% - 74\% = 26\%$ है।
बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ संरचना में पैकिंग दक्षता $68\%$ होती है। अतः,खाली स्थान (रिक्ति) का प्रतिशत $100\% - 68\% = 32\%$ है।
इस प्रकार,खाली स्थान का प्रतिशत क्रमशः $26\%$ और $32\%$ है।

(C) एक चतुष्फलकीय रिक्ति $4$ गोलों की चतुष्फलकीय व्यवस्था द्वारा बनती है।
ये $4$ गोले रिक्ति के सीधे संपर्क में होते हैं,इसीलिए चतुष्फलकीय रिक्ति की समन्वय संख्या (coordination number) $4$ होती है।

(B) $FCC$ जालक में,प्रति इकाई सेल $A$ परमाणुओं की संख्या $4$ है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या जालक में परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,इसलिए $B$ परमाणुओं की संख्या $4$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या जालक में परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है,जो $2 \times 4 = 8$ है।
$C$ के परमाणु $25\%$ चतुष्फलकीय रिक्तियों को घेरते हैं,इसलिए $C$ परमाणुओं की संख्या $8 \times 0.25 = 2$ है।
$A:B:C$ परमाणुओं का अनुपात $4:4:2$ है,जिसे सरल करने पर $2:2:1$ प्राप्त होता है।
अतः,आणविक सूत्र $A_2B_2C$ है।

(C) $bcc$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) यूनिट सेल में,प्रति यूनिट सेल परमाणुओं की संख्या $(n)$ $2$ होती है।
पैकिंग दक्षता $(P.E.)$ की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
$P.E. = \frac{n \times \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3}$
$bcc$ के लिए,किनारे की लंबाई $(a)$ और त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$ है,जिसका अर्थ है $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$।
मान रखने पर:
$P.E. = \frac{2 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{(\frac{4r}{\sqrt{3}})^3} = \frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{\frac{64r^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{8\pi}{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{64} = \frac{\sqrt{3}\pi}{8}$
$P.E. \approx 0.68$ या $68\%$।

(B) एक क्रिस्टल जालक में,यदि क्लोज-पैक्ड परमाणुओं की संख्या $N$ है,तो अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $N$ और चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N$ होती है।
अतः,प्रति परमाणु चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $\frac{2N}{N} = 2$ है।

(D) $HCP$ या $CCP$ संरचनाओं में,प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की प्रभावी संख्या $(Z)$ $4$ होती है।
एक परमाणु का आयतन $\frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
इसलिए,एकक कोष्ठिका में परमाणुओं द्वारा घेरा गया कुल आयतन $Z \times \text{एक परमाणु का आयतन} = 4 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{16\pi r^3}{3}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) द्विविमीय परत में,परमाणुओं को दो तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है:
$1$. वर्गाकार क्लोज पैकिंग: प्रत्येक गोला चार अन्य गोलों के संपर्क में होता है।
$2$. षट्कोणीय क्लोज पैकिंग: प्रत्येक गोला छह अन्य गोलों के संपर्क में होता है।
षट्कोणीय क्लोज पैकिंग अधिक कुशल है क्योंकि यह वर्गाकार क्लोज पैकिंग $(78.5\%)$ की तुलना में अधिक स्थान $(90.6\%)$ घेरती है,जो इसे एक परत में एकसमान पैकिंग के लिए सबसे उपयुक्त बनाती है।

(C) मान लीजिए कि $ccp$ व्यवस्था में $Q$ परमाणुओं की संख्या $n$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2n$ के बराबर होती है।
चूंकि सभी चतुष्फलकीय रिक्तियां $P$ परमाणुओं द्वारा भरी जाती हैं,इसलिए $P$ परमाणुओं की संख्या $2n$ होगी।
$P:Q$ का अनुपात $2n:n$ है,जो $2:1$ के बराबर है।
अतः,यौगिक का सूत्र $P_2Q$ है।

(A) $hcp$ (हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग) और $ccp$ (क्यूबिक क्लोज पैकिंग) दोनों संरचनाओं में पैकिंग दक्षता $74\%$ होती है।
इसलिए,रिक्त स्थान का प्रतिशत इस प्रकार है:
$\text{Void space} = 100\% - 74\% = 26\%$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) $CCP$ संरचना में $8$ कोने और $6$ फलक केंद्र होते हैं।
प्रारंभ में कोनों पर $A$ परमाणुओं की संख्या $= 8 \times \frac{1}{8} = 1$.
चूंकि $A$ के $2$ परमाणु कोनों से गायब हैं,$A$ परमाणुओं की प्रभावी संख्या $= 1 - (2 \times \frac{1}{8}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
फलक केंद्रों पर $B$ परमाणुओं की संख्या $= 6 \times \frac{1}{2} = 3$.
अनुपात $A:B = \frac{3}{4} : 3 = 3:12 = 1:4$.
इसलिए,आणविक सूत्र $AB_4$ है।

(B) विभिन्न क्रिस्टल जालकों की पैकिंग दक्षता इस प्रकार है:
$1$. सरल घनीय $(SC)$: $52.4\%$
$2$. अंत: केंद्रित घनीय $(BCC)$: $68\%$
$3$. फलक केंद्रित घनीय $(FCC)$: $74\%$
अतः,फलक केंद्रित घनीय $(FCC)$ जालक में पैकिंग दक्षता अधिकतम होती है।

(B) $hcp$ (हेक्सागोनल क्लोज़-पैक्ड) संरचना $Mg$,$Zn$,$Be$ और $Ti$ जैसी धातुओं द्वारा प्रदर्शित की जाती है।
$Al$,$Cu$ और $Ni$ $fcc$ (फेस-सेंटर्ड क्यूबिक) या $ccp$ (क्यूबिक क्लोज़-पैक्ड) संरचना में क्रिस्टलीकृत होते हैं।
अतः,$Mg$ सही उत्तर है।

(D) यह इकाई सेल एक द्वि-आयामी वर्ग है जिसमें एक परमाणु केंद्र में और चार परमाणु कोनों पर स्थित हैं।
परमाणुओं की संख्या $(n)$ = $1 + (4 \times \frac{1}{4}) = 2$.
वर्ग का विकर्ण $(d)$ = $4r$,जहाँ $r$ परमाणु की त्रिज्या है।
$d = \sqrt{2}a = 4r$,इसलिए $a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$.
पैकिंग दक्षता $(P.E.)$ = $\frac{\text{परमाणुओं का क्षेत्रफल}}{\text{इकाई सेल का क्षेत्रफल}} \times 100$.
$P.E. = \frac{n \times \pi r^2}{a^2} \times 100 = \frac{2 \times \pi r^2}{(2\sqrt{2}r)^2} \times 100$.
$P.E. = \frac{2\pi r^2}{8r^2} \times 100 = \frac{\pi}{4} \times 100 \approx 78.54\%$.

(B) $AB AB AB$ परतों का अनुक्रम हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग $(HCP)$ के अनुरूप है।
$HCP$ (साथ ही $CCP/FCC$) में,पैकिंग दक्षता $74\%$ होती है।
रिक्त स्थान (void volume) का प्रतिशत $100\% - \text{पैकिंग दक्षता}$ के रूप में गणना की जाती है।
रिक्त स्थान $= 100\% - 74\% = 26\%$.

(C) $bcc$ जालक की संकुलन क्षमता $68\%$ होती है।
रिक्त स्थान की गणना इस प्रकार की जाती है: $100\% - \text{संकुलन क्षमता} = 100\% - 68\% = 32\%$।

(A) क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(CCP)$ या फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(FCC)$ संरचना में,अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या इकाई सेल में मौजूद परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है।
यदि प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $N$ है,तो अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $N$ होती है।
इसलिए,प्रति परमाणु अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $\frac{N}{N} = 1$ होती है।

(D) $ccp$ जालक में,प्रति यूनिट सेल ऑक्साइड आयनों $(O^{2-})$ की संख्या $4$ होती है।
$ccp$ संरचना के लिए,चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2 \times 4 = 8$ और अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $4$ होती है।
दिया गया है कि $A$ आयन चतुष्फलकीय रिक्तियों का $\frac{1}{4}$ भाग घेरते हैं,इसलिए $A$ आयनों की संख्या $= \frac{1}{4} \times 8 = 2$ है।
दिया गया है कि $B$ आयन सभी अष्टफलकीय रिक्तियों को घेरते हैं,इसलिए $B$ आयनों की संख्या $= 4$ है।
$A : B : O$ का अनुपात $2 : 4 : 4$ है,जिसे सरल करने पर $1 : 2 : 2$ प्राप्त होता है।
अतः,ऑक्साइड का सूत्र $AB_2O_2$ है।

(D) $bcc$ यूनिट सेल में,परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है।
यूनिट सेल में परमाणुओं का आयतन $(v) = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
$bcc$ संरचना के लिए,त्रिज्या $(r)$ और किनारे की लंबाई $(a)$ के बीच संबंध $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ है।
आयतन के सूत्र में $r$ का मान रखने पर: $v = 2 \times \frac{4}{3} \pi (\frac{\sqrt{3}}{4} a)^3 = \frac{\sqrt{3}}{8} \pi a^3 \approx 0.68 a^3$।
यूनिट सेल का आयतन $(V) = a^3$ है।
पैकिंग दक्षता (घेरे गए आयतन का प्रतिशत) $= \frac{v}{V} \times 100 = 68 \%$ है।
अतः,खाली स्थान का प्रतिशत $= 100 \% - 68 \% = 32 \%$ है।

(A) एक सरल घनीय इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $1$ होती है।
कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $a = 2r$ या $r = \frac{a}{2}$ है।
एक परमाणु का आयतन $V_{atom} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{a}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{a^3}{8} = \frac{\pi a^3}{6}$ है।
पैकिंग अंश को परमाणुओं के आयतन और इकाई सेल के कुल आयतन $(a^3)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\text{Packing Fraction} = \frac{Z \times V_{atom}}{a^3} = \frac{1 \times \frac{\pi a^3}{6}}{a^3} = \frac{\pi}{6}$.

(A) मान लीजिए कि $ccp$ जालक में तत्व $Y$ के परमाणुओं की संख्या $n = 4$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2n = 2 \times 4 = 8$ है।
तत्व $X$ चतुष्फलकीय रिक्तियों का $2/3$ भाग घेरता है,इसलिए $X$ परमाणुओं की संख्या $= 8 \times \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$ है।
$X:Y$ का अनुपात $\frac{16}{3} : 4$ है।
$3$ से गुणा करने पर,हमें $16:12$ का अनुपात प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4:3$ हो जाता है।
अतः,यौगिक का सूत्र $X_4Y_3$ है।

(B) पैकिंग अंश को यूनिट सेल के उस आयतन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है जो गोलों द्वारा घेरा जाता है।
$ccp$ (क्यूबिक क्लोज पैकिंग) के लिए पैकिंग दक्षता $74 \%$ है,इसलिए खाली स्थान $100 \% - 74 \% = 26 \%$ है।
$bcc$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) के लिए पैकिंग दक्षता $68 \%$ है,इसलिए खाली स्थान $100 \% - 68 \% = 32 \%$ है।
अतः,$ccp$ और $bcc$ में खाली स्थान का प्रतिशत क्रमशः $26 \%$ और $32 \%$ है।

(D) फलक-केंद्रित घनीय $(fcc)$ इकाई कोष्ठिका में,परमाणु फलक विकर्ण पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
मान लीजिए परमाणुओं की त्रिज्या $r$ है और इकाई कोष्ठिका के किनारे की लंबाई $a$ है।
घन का फलक विकर्ण $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2} a$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि परमाणु फलक विकर्ण पर स्पर्श करते हैं,इसलिए फलक विकर्ण की लंबाई $4r$ के बराबर होती है।
अतः,$4r = \sqrt{2} a$,जिससे $r = \frac{\sqrt{2} a}{4} = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
दो परमाणुओं के बीच की निकटतम दूरी उनके केंद्रों के बीच की दूरी है,जो $2r$ है।
इस प्रकार,$2r = 2 \times \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

(A) $ABABAB$ प्रकार की पैकिंग हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग $(HCP)$ को दर्शाती है।
$HCP$ के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $6$ होती है।
$HCP$ इकाई सेल का आयतन $V = 24\sqrt{2} \cdot r^3$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $r = 100\sqrt{2} \ pm = \sqrt{2} \times 10^{-8} \ cm$.
$V = 24\sqrt{2} \times (\sqrt{2} \times 10^{-8})^3 = 96 \times 10^{-24} \ cm^3$.
घनत्व सूत्र $d = \frac{Z \cdot M}{N_A \cdot V}$ का उपयोग करने पर:
$5.0 = \frac{6 \cdot M}{6 \times 10^{23} \times 96 \times 10^{-24}}$.
$M = 48 \ g/mol$.

(C) $1$. कोनों पर $A$ परमाणुओं की संख्या = $8 \times \frac{1}{8} = 1$.
$2$. फलक-केंद्रों पर $B$ परमाणुओं की संख्या = $6 \times \frac{1}{2} = 3$.
$3$. किनारों के केंद्रों पर $C$ परमाणुओं की संख्या = $12 \times \frac{1}{4} = 3$.
$4$. $A$ और $B$ परमाणुओं की कुल संख्या $1 + 3 = 4$ है। $4$ परमाणुओं द्वारा निर्मित चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2 \times 4 = 8$ है। अतः,$D = 8$.
$5$. $A:B:C:D$ का अनुपात $1:3:3:8$ है।
$6$. यौगिक का सूत्र $AB_3C_3D_8$ है।

(B) माना कि $hcp$ जालक में $O^{2-}$ आयनों की संख्या $n$ है।
चूंकि अष्टफलकीय रिक्तियों $(OHV)$ की संख्या जालक बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है,इसलिए $OHV$ की संख्या $= n$ होगी।
धातु आयन अष्टफलकीय रिक्तियों का $2/3$ भाग घेरते हैं,अतः धातु आयनों की संख्या $= \frac{2}{3}n$ होगी।
धातु आयनों और ऑक्साइड आयनों का अनुपात $M:O = \frac{2}{3}n : n = 2:3$ है।
अतः,ऑक्साइड का सरलतम सूत्र $M_2O_3$ है।