First Order reaction Questions in Gujarati

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$x$ જેટલો અંશ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t_x = \frac{1}{k} \ln(\frac{1}{1-x})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_{1/2}$ માટે,$x = 1/2$,તેથી $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$.
$t_{3/4}$ માટે,$x = 3/4$,તેથી $t_{3/4} = \frac{1}{k} \ln(\frac{1}{1-3/4}) = \frac{\ln 4}{k} = \frac{2 \ln 2}{k} = 2 t_{1/2}$. આમ,$t_{3/4} / t_{1/2} = 2$.
$t_{7/8}$ માટે,$x = 7/8$,તેથી $t_{7/8} = \frac{1}{k} \ln(\frac{1}{1-7/8}) = \frac{\ln 8}{k} = \frac{3 \ln 2}{k} = 3 t_{1/2}$. આમ,$t_{7/8} / t_{1/2} = 3$.
$t_{15/16}$ માટે,$x = 15/16$,તેથી $t_{15/16} = \frac{1}{k} \ln(\frac{1}{1-15/16}) = \frac{\ln 16}{k} = \frac{4 \ln 2}{k} = 4 t_{1/2}$. આમ,$t_{15/16} / t_{1/2} = 4$.
બધા વિકલ્પો $A, B, D$ પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે સાચા છે.

(A) પ્રક્રિયા માટે: $((CH_3)_2CHN)_2N_{2(g)} \rightarrow N_{2(g)} + C_6H_{14(g)}$
ધારો કે $t = 0$ સમયે પ્રક્રિયકનું શરૂઆતનું દબાણ $P_o$ છે.
સમય $t$ પર,ધારો કે પ્રક્રિયકનું વિઘટન થયેલ દબાણ $x$ છે.
શરૂઆતમાં: $P_o, 0, 0$
સમય $t$ પર: $(P_o - x), x, x$
કુલ દબાણ $P_t = (P_o - x) + x + x = P_o + x$.
તેથી,$x = P_t - P_o$.
સમય $t$ પર બાકી રહેલ પ્રક્રિયકનું દબાણ $P_{reactant} = P_o - x = P_o - (P_t - P_o) = 2P_o - P_t$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $K$ નીચે મુજબ છે:
$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_{initial}}{P_{remaining}}$
$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_o}{2P_o - P_t}$

(D) પ્રક્રિયા $A_{(g)} \to 3B_{(g)}$ માટે:
$t = 0$ સમયે: $P_A = P_0$,$P_B = 0$. કુલ દબાણ $P_0$.
$t = t$ સમયે: $P_A = P_0 - x$,$P_B = 3x$. કુલ દબાણ $P_t = P_0 + 2x$.
$t = \infty$ સમયે: $P_A = 0$,$P_B = 3P_0$. કુલ દબાણ $P_\infty = 3P_0$,તેથી $P_0 = \frac{P_\infty}{3}$.
$P_t = P_0 + 2x$ પરથી,$x = \frac{P_t - P_0}{2}$.
સમય $t$ પર $A$ નું આંશિક દબાણ $P_A = P_0 - x = \frac{3P_0 - P_t}{2}$.
$P_0 = \frac{P_\infty}{3}$ મૂકતા,$P_A = \frac{P_\infty - P_t}{2}$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$K = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{P_0}{P_A} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{2P_\infty}{3(P_\infty - P_t)} \right)$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ:
$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
આપેલ છે:
$k = 15 \times 10^{-3} \ s^{-1}$
$[A]_0 = 5.0 \ g$
$[A]_t = 3.0 \ g$
કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{2.303}{15 \times 10^{-3}} \log \left( \frac{5.0}{3.0} \right)$
$t = 153.53 \times 0.2218$
$t \approx 34.07 \ s$

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $K$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$K = \frac{2.303}{(t_2 - t_1)} \log \frac{[A_1]}{[A_2]}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{2.303}{(1600 - 800)} \log \frac{1.45}{0.88}$
$K = \frac{2.303}{800} \log(1.6477)$
$K = \frac{2.303}{800} \times 0.2169$
$K = 6.24 \times 10^{-4} \ s^{-1}$

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
અહીં $t = 1 \ hr$ અને $[A]_t = 25\% \text{ of } [A]_0$ હોવાથી,$\frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{100}{25} = 4$.
$k = \frac{2.303}{1} \log 4 = 2.303 \times 0.6020 = 1.386 \ hr^{-1}$.
અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ છે.
$t_{1/2} = \frac{0.693}{1.386} = 0.5 \ hr$.

(C) વેગ અચળાંક $(k)$ એ આપેલ તાપમાને પ્રક્રિયાનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તે પ્રક્રિયકોની સાંદ્રતા પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો પ્રક્રિયકોની સાંદ્રતા $x$ ના ગુણાંકમાં વધારવામાં આવે,તો વેગ અચળાંક $(k)$ બદલાતો નથી,એટલે કે તે $k$ જ રહે છે.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ નું સૂત્ર: $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$ છે.
કારણ કે $\ln 2 \approx 0.693$,તેથી તેને $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.
નોંધો કે પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય પ્રક્રિયકની પ્રારંભિક સાંદ્રતા પર આધારિત નથી. તેથી,$0.5 \ M$ નું મૂલ્ય અર્ધ-આયુષ્ય સમયને અસર કરતું નથી.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગનો નિયમ આ મુજબ છે: $r = k[N_2O_5]$.
આપેલ છે,$k = 6.2 \times 10^{-4} \ s^{-1}$ અને $[N_2O_5] = 1.25 \ mol \ L^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $r = (6.2 \times 10^{-4} \ s^{-1}) \times (1.25 \ mol \ L^{-1})$.
$r = 7.75 \times 10^{-4} \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$t$ સમયે સાંદ્રતા $[A]_t = [A]_0 e^{-kt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $[A]_0 = 1 \ M$,$k = 10^{-2} \ sec^{-1}$,$t = 1 \ minute = 60 \ sec$.
$[A]_t = 1 \times e^{-(10^{-2} \times 60)} = e^{-0.6}$.
$e^{-0.6} \approx 0.5488 \ M$ નો ઉપયોગ કરતા.
$t$ સમયે પ્રક્રિયાનો વેગ $Rate = k[A]_t$ છે.
$Rate = 10^{-2} \ sec^{-1} \times 0.5488 \ M = 5.488 \times 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ sec^{-1} \approx 5.5 \times 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ sec^{-1}$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $t_{1/2}$ એ પ્રારંભિક સાંદ્રતા $[A_0]$ થી સ્વતંત્ર છે,જે આલેખ $(i)$ ને અનુરૂપ છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે સંકલિત વેગ સમીકરણ $\log \frac{[A_0]}{[A]} = \frac{kt}{2.303}$ છે. $\log \frac{[A_0]}{[A]}$ વિરુદ્ધ સમય $t$ નો આલેખ દોરતા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા મળે છે જેનો ઢાળ $\frac{k}{2.303}$ છે,જે આલેખ $(iii)$ ને અનુરૂપ છે.
આલેખ $(ii)$ શૂન્ય ક્રમની પ્રક્રિયા દર્શાવે છે જ્યાં $t_{1/2} \propto [A_0]$.
તેથી,આલેખ $(i)$ અને $(iii)$ પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે છે.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{V_{\infty}}{V_{\infty} - V_t} \right)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$V_{\infty}$ એ પ્રક્રિયાના અંતે ઉત્પન્ન થયેલ $O_2$ નું કુલ કદ $(35 \ mL)$ છે અને $V_t$ એ $t = 15 \ min$ સમયે ઉત્પન્ન થયેલ $O_2$ નું કદ $(9 \ mL)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $k = \frac{1}{15} \ln \left( \frac{35}{35 - 9} \right)$.
$k = \frac{1}{15} \ln \left( \frac{35}{26} \right)$.

(A) પ્રક્રિયા $A_{(g)} \to 2B_{(g)}$ માટે,ધારો કે $t = 0$ સમયે $A$ નું શરૂઆતનું દબાણ $P_i$ છે.
$t$ સમયે,ધારો કે $A$ નું દબાણ $x$ જેટલું ઘટે છે.
તેથી,$A$ નું દબાણ $(P_i - x)$ થાય છે અને $B$ નું દબાણ $2x$ થાય છે.
કુલ દબાણ $P_t = (P_i - x) + 2x = P_i + x$.
તેથી,$x = P_t - P_i$.
$t$ સમયે $A$ નું દબાણ $P_A = P_i - x = P_i - (P_t - P_i) = 2P_i - P_t$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$k = \frac{1}{t} \ln \frac{P_i}{P_A}$.
$P_A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $k = \frac{1}{t} \ln \frac{P_i}{2P_i - P_t}$ મળે છે.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_{1/8}$ માટે,બાકી રહેલી સાંદ્રતા પ્રારંભિક સાંદ્રતા $[A]_0$ ના $\frac{1}{8}$ છે,તેથી $[A]_t = \frac{[A]_0}{8}$.
$k t_{1/8} = 2.303 \log \frac{[A]_0}{[A]_0/8} = 2.303 \log 8 = 2.303 \times 3 \log 2$.
$t_{1/10}$ માટે,બાકી રહેલી સાંદ્રતા પ્રારંભિક સાંદ્રતા $[A]_0$ ના $\frac{1}{10}$ છે,તેથી $[A]_t = \frac{[A]_0}{10}$.
$k t_{1/10} = 2.303 \log \frac{[A]_0}{[A]_0/10} = 2.303 \log 10 = 2.303 \times 1$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{t_{1/8}}{t_{1/10}} = \frac{3 \log 2}{1} = 3 \times 0.30 = 0.9$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{[A]_0}{[A]_t} \right)$ છે.
$t_{1/4}$ સમયે,પ્રક્રિયકનો વપરાયેલ જથ્થો પ્રારંભિક સાંદ્રતા $[A]_0$ ના $\frac{1}{4}$ ભાગ જેટલો હોય છે.
તેથી,બાકી રહેલી સાંદ્રતા $[A]_t = [A]_0 - \frac{1}{4}[A]_0 = \frac{3}{4}[A]_0$ થાય.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$k = \frac{2.303}{t_{1/4}} \log \left( \frac{[A]_0}{\frac{3}{4}[A]_0} \right)$
$k = \frac{2.303}{t_{1/4}} \log \left( \frac{4}{3} \right)$
તેથી,$t_{1/4} = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{4}{3} \right)$ મળે છે.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} = 14 \, sec$ છે.
તેથી,$k = \frac{\ln 2}{14}$.
સાંદ્રતા તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{8}$ ભાગ સુધી ઘટવા માટે જરૂરી સમય $t$ $(a_t = \frac{a_0}{8})$ સંકલિત વેગ સમીકરણ દ્વારા મળે છે:
$k = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{a_0}{a_t} \right) = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{a_0}{a_0/8} \right) = \frac{1}{t} \ln 8$.
કારણ કે $\ln 8 = \ln(2^3) = 3 \ln 2$,તેથી:
$k = \frac{3 \ln 2}{t}$.
$k$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\ln 2}{14} = \frac{3 \ln 2}{t}$.
$t$ માટે ઉકેલતા:
$t = 14 \times 3 = 42 \, sec$.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ સમીકરણ: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
આપેલ છે: $k = 1.5 \times 10^{-3} \ s^{-1}$,$[A]_0 = 5.0 \ g$,$[A]_t = 3.0 \ g$
કિંમતો મૂકતા: $1.5 \times 10^{-3} = \frac{2.303}{t} \log \frac{5.0}{3.0}$
$t = \frac{2.303}{1.5 \times 10^{-3}} \log(1.666)$
$t = 1535.33 \times 0.2218 \approx 340.5 \ s$
નોંધ: જો વેગ અચળાંક $15 \times 10^{-3} \ s^{-1}$ હોય,તો $t \approx 34.05 \ s$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ: $\ln([A]_t / [A]_0) = -kt$ છે.
આપેલ છે:
શરૂઆતની સાંદ્રતા $[A]_0 = 0.05\, M$.
વેગ અચળાંક $k = 6.7 \times 10^{-4}\,s^{-1}$.
સમય $t = 30\, min = 30 \times 60\, s = 1800\, s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\ln([A]_t / 0.05) = -(6.7 \times 10^{-4}\,s^{-1}) \times (1800\, s)$.
$\ln([A]_t / 0.05) = -1.206$.
બંને બાજુ એક્સપોનેન્શિયલ લેતા:
$[A]_t / 0.05 = e^{-1.206} \approx 0.299$.
$[A]_t = 0.05 \times 0.299 \approx 0.01495\, M \approx 0.015\, M$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,પ્રક્રિયા પૂર્ણ થવા માટે જરૂરી સમય $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_{1/2}$ (અર્ધ-આયુષ્ય) માટે,$[A]_t = \frac{[A]_0}{2}$,તેથી $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$.
$t_{3/4}$ માટે,બાકી રહેલી સાંદ્રતા $[A]_t = [A]_0 - \frac{3}{4}[A]_0 = \frac{1}{4}[A]_0$ છે.
આમ,$t_{3/4} = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_0 / 4} = \frac{2.303}{k} \log 4 = \frac{2.303}{k} \times 2 \log 2$.
જેથી $t_{3/4} = 2 \times t_{1/2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{t_{3/4}}{t_{1/2}} = 2 : 1$ થાય છે.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_{1/2} = 4 \ min$,તેથી $k = \frac{0.693}{4} \ min^{-1}$.
પ્રક્રિયા પૂર્ણ થવા માટે જરૂરી સમય $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
$99.9 \%$ પૂર્ણતા માટે,$[A]_t = [A]_0 - 0.999[A]_0 = 0.001[A]_0$.
તેથી,$\frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{1}{0.001} = 1000 = 10^3$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303 \times 4}{0.693} \log(10^3) = \frac{2.303 \times 4}{0.693} \times 3$.
કારણ કે $\frac{2.303}{0.693} \approx 3.32$,તેથી $t \approx 3.32 \times 4 \times 3 \approx 39.84 \approx 40 \ min$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે સંકલિત વેગ સમીકરણ: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
આપેલ છે: $k = 10^{-3} \ min^{-1}$,$t = 200 \ min$.
કિંમતો મૂકતા: $10^{-3} = \frac{2.303}{200} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
$\log \frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{10^{-3} \times 200}{2.303} = \frac{0.2}{2.303} \approx 0.0868$
બંને બાજુ એન્ટિલોગ લેતા: $\frac{[A]_0}{[A]_t} = 10^{0.0868} \approx 1.221$
તેથી,$[A]_t = \frac{[A]_0}{1.221} \approx 0.819 [A]_0$
પ્રક્રિયા પામેલ પ્રક્રિયકનો અંશ = $1 - \frac{[A]_t}{[A]_0} = 1 - 0.819 = 0.181$
રૂપાંતરિત ટકાવારી = $0.181 \times 100 = 18.1 \% \approx 18 \%$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે વેગ સમીકરણ:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[R]_0}{[R]}$
આપેલ છે:
$k = 6 \ min^{-1}$
$[R]_0 = 0.5 \ mol \ L^{-1}$
$[R] = 0.05 \ mol \ L^{-1}$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$6 = \frac{2.303}{t} \log \frac{0.5}{0.05}$
$6 = \frac{2.303}{t} \log(10)$
$\log(10) = 1$ હોવાથી:
$6 = \frac{2.303}{t} \times 1$
$t = \frac{2.303}{6} \ min$
$t \approx 0.3838 \ min$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,$t \approx 0.38 \ min$.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
પગલું $1$: આપેલ માહિતી ($15 \ min$ માં $75\%$ પૂર્ણ) નો ઉપયોગ કરીને $k$ શોધો.
$[A]_t = [A]_0 - 0.75[A]_0 = 0.25[A]_0$.
$k = \frac{2.303}{15} \log \frac{[A]_0}{0.25[A]_0} = \frac{2.303}{15} \log 4 = \frac{2.303 \times 0.602}{15} \approx 0.0924 \ min^{-1}$.
પગલું $2$: $90\%$ પૂર્ણ થવા માટેનો સમય $t$ શોધો.
$[A]_t = [A]_0 - 0.90[A]_0 = 0.10[A]_0$.
$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{0.10[A]_0} = \frac{2.303}{k} \log 10 = \frac{2.303}{k}$.
$k = \frac{2.303 \log 4}{15}$ મૂકતા:
$t = \frac{2.303 \times 15}{2.303 \log 4} = \frac{15}{0.602} \approx 24.92 \ min \approx 25 \ min$.

(A) $H_2O_2$ નું વિઘટન પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાને અનુસરે છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટેનું સંકલિત વેગ સમીકરણ: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
આપેલ છે:
$k = 3.66 \times 10^{-3} \ s^{-1}$
$[A]_0 = 0.882 \ M$
$[A]_t = 0.600 \ M$
કિંમતો મૂકતા:
$3.66 \times 10^{-3} = \frac{2.303}{t} \log \frac{0.882}{0.600}$
$3.66 \times 10^{-3} = \frac{2.303}{t} \log(1.47)$
$3.66 \times 10^{-3} = \frac{2.303}{t} \times 0.1673$
$t = \frac{2.303 \times 0.1673}{3.66 \times 10^{-3}}$
$t = \frac{0.3853}{0.00366} \approx 105.27 \ s$
આમ,જરૂરી સમય આશરે $105 \ s$ છે.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ છે.
અહીં $t_{1/2} = 32 \ min$ આપેલ છે,તેથી $k = \frac{0.693}{32} \ min^{-1} = 0.021656 \ min^{-1}$.
સમય $1.5 \ hr = 90 \ min$ છે.
$t$ સમયે સાંદ્રતા $[A]_t = [A]_0 \times e^{-kt}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$[A]_t = 5.0 \times 10^{14} \times e^{-(0.021656 \times 90)}$.
$[A]_t = 5.0 \times 10^{14} \times e^{-1.949}$.
$[A]_t = 5.0 \times 10^{14} \times 0.1424 = 7.12 \times 10^{13} \ molecules/L$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) $AB$ અને $XY$ બંનેની પ્રારંભિક સાંદ્રતા $C_0$ ધારો.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$t$ સમયે સાંદ્રતા $C_t = C_0 \times (1/2)^{t/t_{1/2}}$ છે.
$AB$ માટે: $C_{AB} = C_0 \times (1/2)^{t/30}$.
$XY$ માટે: $C_{XY} = C_0 \times (1/2)^{t/10}$.
આપેલ છે કે $C_{AB} = 4 \times C_{XY}$.
કિંમતો મૂકતા: $C_0 \times (1/2)^{t/30} = 4 \times C_0 \times (1/2)^{t/10}$.
$(1/2)^{t/30} = 2^2 \times (1/2)^{t/10}$.
$(1/2)^{t/30} = (1/2)^{-2} \times (1/2)^{t/10}$.
$(1/2)^{t/30} = (1/2)^{(t/10) - 2}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $t/30 = t/10 - 2$.
$30$ વડે ગુણતા: $t = 3t - 60$.
$2t = 60 \implies t = 30 \ min$.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ:
$ln([A]_t / [A]_0) = -Kt$
આપેલ છે:
$K = 1.5 \times 10^{-2} \, s^{-1}$
$t = 10 \, min = 600 \, s$
$[A]_0 = 100 \, mol \, L^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$ln([A]_t / 100) = -(1.5 \times 10^{-2} \, s^{-1}) \times (600 \, s)$
$ln([A]_t / 100) = -9$
$[A]_t / 100 = e^{-9}$
$[A]_t = 100 \times e^{-9} \approx 1.23 \times 10^{-2} \, mol \, L^{-1}$
ગણતરી કરેલ મૂલ્ય આશરે $10^{-2} \, mol \, L^{-1}$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પ્રારંભિક જથ્થો $[A]_0 = 0.80 \ mole$ અને $B$ નો જથ્થો $0.60 \ mole$ બને છે,તેથી બાકી રહેલ જથ્થો $[A]_t = 0.80 - 0.60 = 0.20 \ mole$.
$k = \frac{2.303}{1} \log \frac{0.80}{0.20} = 2.303 \log 4$.
બીજા કિસ્સામાં,પ્રારંભિક જથ્થો $[A]_0 = 0.90 \ mole$ અને $B$ નો જથ્થો $0.675 \ mole$ બને છે,તેથી બાકી રહેલ જથ્થો $[A]_t = 0.90 - 0.675 = 0.225 \ mole$.
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{0.90}{0.225} = \frac{2.303}{t} \log 4$.
$k$ અચળ હોવાથી,$2.303 \log 4 = \frac{2.303}{t} \log 4$.
તેથી,$t = 1 \ hr$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
આપેલ છે: $k = 2.2 \times 10^{-5}\, s^{-1}$,$t = 90\, min = 90 \times 60 = 5400\, s$.
કિંમતો મૂકતા: $2.2 \times 10^{-5} = \frac{2.303}{5400} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$.
$\log \frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{2.2 \times 10^{-5} \times 5400}{2.303} = \frac{0.1188}{2.303} \approx 0.05158$.
$\frac{[A]_0}{[A]_t} = \text{antilog}(0.05158) \approx 1.126$.
$[A]_t = \frac{[A]_0}{1.126} \approx 0.888[A]_0$.
વિઘટન પામેલ જથ્થો $[A]_0 - [A]_t = [A]_0 - 0.888[A]_0 = 0.112[A]_0$.
વિઘટન ટકાવારી $= 0.112 \times 100 = 11.2\%$.

(A) પ્રક્રિયા $A_{(g)} \to 2B_{(g)} + C_{(g)}$ માટે,શરૂઆતનું દબાણ $P_0 = 90 \ mm \ Hg$ છે.
$t = 10 \ min$ સમયે,ધારો કે $A$ ના દબાણમાં ઘટાડો $x$ છે.
તેથી,આંશિક દબાણ: $P_A = P_0 - x$,$P_B = 2x$,અને $P_C = x$ થશે.
કુલ દબાણ $P_t = P_A + P_B + P_C = P_0 + 2x$.
આપેલ છે કે $P_t = 180 \ mm \ Hg$ અને $P_0 = 90 \ mm \ Hg$,તેથી $180 = 90 + 2x$,જેનો અર્થ છે $2x = 90$,એટલે કે $x = 45 \ mm \ Hg$.
$t$ સમયે $A$ નું દબાણ $P_A = 90 - 45 = 45 \ mm \ Hg$ થશે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે વેગઅચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{P_0}{P_A} \right)$.
સમયને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $t = 10 \ min = 600 \ s$.
$k = \frac{2.303}{600} \log \left( \frac{90}{45} \right) = \frac{2.303}{600} \log(2) = \frac{2.303 \times 0.3010}{600} \approx 1.155 \times 10^{-3} \ s^{-1}$.

(A) પ્રક્રિયા $2N_2O_5(g) \to 4NO_2(g) + O_2(g)$ છે.
ધારો કે $N_2O_5$ નું પ્રારંભિક દબાણ $P_0$ છે. $t=0$ સમયે,$P(N_2O_5) = P_0$,$P(NO_2) = 0$,$P(O_2) = 0$. કુલ દબાણ $P_i = P_0$.
$t=30 \, \min$ સમયે,$P(N_2O_5) = P_0 - 2x$,$P(NO_2) = 4x$,$P(O_2) = x$. કુલ દબાણ $P_t = P_0 + 3x = 305.5 \, mm \, Hg$.
$t = \infty$ સમયે,$P(N_2O_5) = 0$,$P(NO_2) = 2P_0$,$P(O_2) = 0.5P_0$. કુલ દબાણ $P_{\infty} = 2.5P_0 = 587.5 \, mm \, Hg$.
તેથી,$P_0 = 587.5 / 2.5 = 235 \, mm \, Hg$.
$P_0 + 3x = 305.5$ પરથી,$3x = 305.5 - 235 = 70.5$,તેથી $x = 23.5 \, mm \, Hg$.
$t=30 \, \min$ સમયે $N_2O_5$ નું દબાણ $P = P_0 - 2x = 235 - 2(23.5) = 188 \, mm \, Hg$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$k = \frac{2.303}{t} \log(\frac{P_0}{P}) = \frac{2.303}{30} \log(\frac{235}{188}) = \frac{2.303}{30} \log(1.25) \approx 7.43 \times 10^{-3} \, \min^{-1}$.

(A) પ્રક્રિયા માટે: $CH_3COCH_{3(g)} \to C_2H_{4(g)} + H_{2(g)} + CO_{(g)}$
શરૂઆતનું દબાણ $(t=0)$: $P_0 = 0.40 \ atm$,નીપજો = $0$
$t=10 \ min$ સમયે: $(0.40 - x)$,$x$,$x$,$x$
કુલ દબાણ $P_t = (0.40 - x) + x + x + x = 0.40 + 2x$
આપેલ છે $P_t = 0.50 \ atm$,તેથી $0.40 + 2x = 0.50 \implies 2x = 0.10 \implies x = 0.05 \ atm$
$t=10 \ min$ સમયે પ્રક્રિયકનું દબાણ $P = 0.40 - 0.05 = 0.35 \ atm$
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_0}{P}$
$k = \frac{2.303}{10} \log \frac{0.40}{0.35} \approx 0.0133 \ min^{-1}$

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
$90\%$ પૂર્ણતા માટે,$[A]_t = 0.10[A]_0$.
કિંમતો મૂકતા: $k = \frac{2.303}{t_{90\%}} \log(10) = \frac{2.303}{t_{90\%}}$.
તેથી,$t_{90\%} = \frac{2.303}{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$,તેથી $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$.
$t_{90\%}$ ના સમીકરણમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા: $t_{90\%} = \frac{2.303}{0.693} \times t_{1/2} \approx 3.32 \times t_{1/2}$.
આમ,લાગતો સમય આશરે $t_{1/2}$ ના $3.3$ ગણો છે.

(A) આ પ્રક્રિયા પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે કારણ કે વેગ અચળાંકનો એકમ $s^{-1}$ છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટેનું સૂત્ર: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$.
અહીં,$[A]_0 = 20 \ mL$,$[A]_t = 8 \ mL$,અને $k = 6.93 \times 10^{-5} \ s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $6.93 \times 10^{-5} = \frac{2.303}{t} \log \frac{20}{8}$.
$6.93 \times 10^{-5} = \frac{2.303}{t} \log(2.5)$.
$\log(2.5) \approx 0.3979$ હોવાથી,$t = \frac{2.303 \times 0.3979}{6.93 \times 10^{-5}}$.
$t = \frac{0.91636}{6.93 \times 10^{-5}} \approx 1.322 \times 10^4 \ s$.
આમ,લાગતો સમય આશરે $1.326 \times 10^4 \ s$ છે.

(A) $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધઆયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ નું સૂત્ર: $t_{1/2} \propto \frac{1}{[R]_0^{n-1}}$ છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા $(n = 1)$ માટે,$t_{1/2} \propto \frac{1}{[R]_0^{1-1}} = \frac{1}{[R]_0^0} = \text{અચળ}$.
આમ,પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધઆયુષ્ય સમય પ્રક્રિયકની શરૂઆતની સાંદ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે સંકલિત વેગ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a - x}$
સમીકરણને ગોઠવતા:
$Kt = 2.303 \log a - 2.303 \log(a - x)$
$2.303 \log(a - x) = -Kt + 2.303 \log a$
$\log(a - x) = -\frac{K}{2.303} t + \log a$
આ સમીકરણને સુરેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log(a - x)$,$x = t$,અને $m$ એ ઢાળ છે:
ઢાળ $(m) = -\frac{K}{2.303}$

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $(k)$ અને અર્ધઆયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$.
અહીં $t_{1/2} = 248\,s$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $k = \frac{0.693}{248\,s}$.
$k \approx 2.794 \times 10^{-3}\,s^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $2.8 \times 10^{-3}\,s^{-1}$ છે.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે વેગ અચળાંક $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક સાંદ્રતા $[A]_0 = \frac{M}{10} = 0.1 \ M$,અંતિમ સાંદ્રતા $[A]_t = \frac{M}{100} = 0.01 \ M$,અને સમય $t = 8 \ \text{મિનિટ} = 480 \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{2.303}{480} \log \frac{0.1}{0.01} = \frac{2.303}{480} \log 10$.
$\log 10 = 1$ હોવાથી,$K = \frac{2.303}{480} \approx 4.8 \times 10^{-3} \ s^{-1}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકનો જવાબ $4.606 \times 10^{-3} \ s^{-1}$ (વિકલ્પ $C$) છે,જે $t = 500 \ s$ લેતા મળે છે.

(B) આપેલ પ્રક્રિયા પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા છે કારણ કે વેગ અચળાંકનો એકમ $s^{-1}$ છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ $\ln \frac{[{A}]_0}{[{A}]_t} = Kt$ અથવા $[{A}]_t = [{A}]_0 \ e^{-Kt}$ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચું સંકલિત વેગ સમીકરણ દર્શાવે છે: $\ln \frac{[{N_2}{O_5}]_0}{[{N_2}{O_5}]_t} = Kt$.

(C) પ્રક્રિયા $C_2H_4O_{(g)} \to CH_{4(g)} + CO_{(g)}$ છે.
પ્રારંભિક દબાણ $(t=0)$: $P_0 = 80 \ mm$,$P_{CH_4} = 0$,$P_{CO} = 0$.
$t = 20 \ min$ સમયે: $(80-x) + x + x = 120 \ mm \implies 80 + x = 120 \implies x = 40 \ mm$.
બાકી રહેલ $C_2H_4O$ નું દબાણ $80 - 40 = 40 \ mm$ છે.
દબાણ $20 \ minutes$ માં અડધું ($80 \ mm$ થી $40 \ mm$) થઈ જતું હોવાથી,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = 20 \ min$ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આ $1^{st}$ ક્રમની પ્રક્રિયા છે કારણ કે વેગ અચળાંકનો એકમ $min^{-1}$ છે.
$1^{st}$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A_0]}{[A]}$ છે.
આપેલ છે: $k = 2.303 \ min^{-1}$,$[A_0] = 1 \ mol/L$,અને $t = 1 \ min$.
કિંમતો મૂકતા: $2.303 = \frac{2.303}{1} \log \frac{1}{[A]}$.
આથી $1 = \log \frac{1}{[A]}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{[A]} = 10^1 = 10$.
તેથી,$[A] = 0.1 \ mol/L$.
પ્રક્રિયાનો વેગ $Rate = k \times [A]$ દ્વારા મળે છે.
$Rate = 2.303 \ min^{-1} \times 0.1 \ M = 0.2303 \ M \ min^{-1}$.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ $\ln[A] = -kt + \ln[A]_0$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા $-\ln[A] = kt - \ln[A]_0$ મળે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = -\ln[A]$ અને $x = t$ છે,ઢાળ $m$ એ $k$ જેટલો થાય છે,જે ધન મૂલ્ય છે.
તેથી,$-\log_{e}[A]$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ દોરવાથી ધન ઢાળ મળે છે.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 10 \ min$ છે.
શરૂઆતની સાંદ્રતા $[A]_0 = 10 \ mol \ L^{-1}$ છે.
$20 \ min$ પછી (જે $2 \times t_{1/2}$ છે),સાંદ્રતા $[A]$ નીચે મુજબ થશે:
$[A] = [A]_0 \times (1/2)^n = 10 \times (1/2)^2 = 10 / 4 = 2.5 \ mol \ L^{-1}$.
વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{10} = 0.0693 \ min^{-1}$.
પ્રક્રિયાનો વેગ $Rate = k \times [A]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Rate = 0.0693 \times 2.5 \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે સંકલિત વેગ સમીકરણ:
$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
આપેલ છે:
$k = 6 \, min^{-1}$
$[A]_0 = 0.5 \, mol \, L^{-1}$
$[A]_t = 0.05 \, mol \, L^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{2.303}{6} \log \frac{0.5}{0.05}$
$t = \frac{2.303}{6} \log(10)$
$\log(10) = 1$ હોવાથી,
$t = \frac{2.303}{6} \approx 0.384 \, min$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ $t = \frac{2.303}{k} \log\left(\frac{[A]_0}{[A]_t}\right)$ છે.
$99\%$ પૂર્ણતા માટે,ધારો કે $[A]_0 = 100$,તો $[A]_t = 100 - 99 = 1$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{2.303}{k} \log\left(\frac{100}{1}\right)$
$t = \frac{2.303}{k} \log(10^2)$
$t = \frac{2.303 \times 2}{k} \log(10)$
કારણ કે $\log(10) = 1$,તેથી $t = \frac{4.606}{k}$ મળે છે.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ: $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
આપેલ છે: $k = 2.303 \times 10^{-3} \; s^{-1}$,$[A]_0 = 40 \; g$,$[A]_t = 10 \; g$
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303}{2.303 \times 10^{-3}} \log \frac{40}{10}$
$t = \frac{1}{10^{-3}} \log 4$
$t = 1000 \times \log(2^2) = 1000 \times 2 \times \log 2$
$t = 2000 \times 0.3010 = 602 \; s$

(N/A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k$ નીચે મુજબ છે:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
આપેલ છે:
$[A]_0 = 1.24 \times 10^{-2} \, mol \, L^{-1}$
$[A]_t = 0.20 \times 10^{-2} \, mol \, L^{-1}$
$t = 60 \, min$
કિંમતો મૂકતા:
$k = \frac{2.303}{60} \log \left( \frac{1.24 \times 10^{-2}}{0.20 \times 10^{-2}} \right)$
$k = \frac{2.303}{60} \log(6.2)$
$k = \frac{2.303}{60} \times 0.7924$
$k \approx 0.0304 \, min^{-1}$

(N/A) $N_{2}O_{5(g)}$ નું પ્રારંભિક દબાણ $P_0 = 0.5 \ atm$ ધારો. સમય $t$ પર $N_{2}O_{5(g)}$ નું દબાણ $2x \ atm$ જેટલું ઘટે છે.
સ્ટોઇકિયોમેટ્રી મુજબ: $2N_{2}O_{5(g)} \rightarrow 2N_{2}O_{4(g)} + O_{2(g)}$.

સમય તબક્કો	પ્રક્રિયા: $2N_{2}O_{5(g)} \rightarrow 2N_{2}O_{4(g)} + O_{2(g)}$
$t=0$	$0.5 \ atm \rightarrow 0 \ atm + 0 \ atm$
$t=100 \ s$	$(0.5 - 2x) \ atm \rightarrow 2x \ atm + x \ atm$

સમય $t$ પર કુલ દબાણ $p_t$ નીચે મુજબ છે:
$p_t = p_{N_2O_5} + p_{N_2O_4} + p_{O_2} = (0.5 - 2x) + 2x + x = 0.5 + x$.
તેથી,$x = p_t - 0.5$.
$t = 100 \ s$ પર,$p_t = 0.512 \ atm$,તેથી $x = 0.512 - 0.5 = 0.012 \ atm$.
$t = 100 \ s$ પર $N_2O_5$ નું આંશિક દબાણ:
$p_{N_2O_5} = 0.5 - 2x = 0.5 - 2(0.012) = 0.5 - 0.024 = 0.476 \ atm$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k$:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_0}{p_{N_2O_5}} = \frac{2.303}{100} \log \frac{0.5}{0.476}$.
$k = \frac{2.303}{100} \log(1.0504) \approx 4.92 \times 10^{-4} \ s^{-1}$.