First Order reaction Questions in Gujarati

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k$ નીચે મુજબ છે:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
આપેલ છે: $t = 1.388 \, h = 1.388 \times 3600 \, s = 4996.8 \, s$.
જો $75\%$ વપરાઈ જાય,તો $[A]_t = 0.25[A]_0$.
$k = \frac{2.303}{4996.8} \log(4) = \frac{2.303 \times 0.602}{4996.8} \approx 2.8 \times 10^{-4} \, s^{-1}$.

(A) પ્રક્રિયા માટે: $((CH_3)_2CHN = NCH(CH_3)_2)_{(g)} \rightarrow (N_2)_{(g)} + (C_6H_{14})_{(g)}$
$t=0$ સમયે: પ્રારંભિક દબાણ = $P_o$,$N_2$ = $0$,$C_6H_{14}$ = $0$
$t$ સમયે: દબાણ = $(P_o - x)$,$N_2$ = $x$,$C_6H_{14}$ = $x$
$t$ સમયે કુલ દબાણ $P_t$ નીચે મુજબ છે:
$P_t = (P_o - x) + x + x = P_o + x$
તેથી,$x = P_t - P_o$
$t$ સમયે પ્રક્રિયકનું આંશિક દબાણ $(P_o - x) = P_o - (P_t - P_o) = 2P_o - P_t$ થાય.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,દર અચળાંક $K$:
$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_o}{P_o - x}$
$(P_o - x) = 2P_o - P_t$ મૂકતા:
$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_o}{2P_o - P_t}$

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે દર અચળાંક $K$ નું સૂત્ર: $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$ છે.
અહીં $t = 10 \text{ મિનિટ}$ અને $\frac{a}{a-x} = 8$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{2.303}{10} \log 8$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $\log 8 = \log(2^3) = 3 \log 2$.
આમ,$K = \frac{2.303 \times 3 \log 2}{10}$.

(C) આપેલ પ્રક્રિયા માટે દરનો નિયમ $Rate = k[N_2O_5]^1$ છે,કારણ કે દર અચળાંકનો એકમ $(s^{-1})$ પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા સૂચવે છે.
આપેલ છે:
$Rate = 2.40 \times 10^{-5} \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$
$k = 3.0 \times 10^{-5} \ s^{-1}$
દરના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$2.40 \times 10^{-5} = (3.0 \times 10^{-5}) \times [N_2O_5]$
$[N_2O_5] = \frac{2.40 \times 10^{-5}}{3.0 \times 10^{-5}}$
$[N_2O_5] = 0.8 \ mol \ L^{-1}$

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ છે.
અહીં $t_{1/2} = 69.3 \ min$ આપેલ છે,તેથી $k = \frac{0.693}{69.3} = 0.01 \ min^{-1}$.
$80\%$ પૂર્ણ થવા માટે,બાકી રહેલી સાંદ્રતા $100 - 80 = 20\%$ છે.
સમય $t$ ની ગણતરી આ સૂત્ર દ્વારા થાય છે: $t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{[A]_0}{[A]_t} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303}{0.01} \log \left( \frac{100}{20} \right)$.
$t = 230.3 \times \log(5) = 230.3 \times 0.69897 \approx 160.97 \ min$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[R]_0}{[R]_t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા $A$ માટે,$94\%$ પ્રક્રિયા પામી છે,તેથી બાકી રહેલી માત્રા $100 - 94 = 6\%$ છે. તેથી,$K_1 = \frac{2.303}{t} \log \frac{100}{6}$.
પ્રક્રિયા $B$ માટે,$50\%$ પ્રક્રિયા પામી છે,તેથી બાકી રહેલી માત્રા $100 - 50 = 50\%$ છે. તેથી,$K_2 = \frac{2.303}{t} \log \frac{100}{50}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{\log(100/6)}{\log(100/50)} = \frac{\log(16.67)}{\log(2)} = \frac{1.2219}{0.3010} \approx 4.06$.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે દર અચળાંક $k$ નું સૂત્ર:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
આપેલ છે: $[A]_0 = 1.0 \, M$,$[A]_t = 0.25 \, M$,$t = 20 \, \text{min}$.
કિંમતો મૂકતા:
$k = \frac{2.303}{20} \log \frac{1.0}{0.25}$
$k = \frac{2.303}{20} \log(4)$
$\log(4) \approx 0.6021$ હોવાથી:
$k = \frac{2.303 \times 0.6021}{20} \approx 0.06931 \, \text{min}^{-1}$.

(A) એમોનિયમ નાઈટ્રાઈટ $(NH_4NO_2)$ નું વિઘટન એ પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાનું જાણીતું ઉદાહરણ છે.
આ પ્રક્રિયા માટે વેગનો નિયમ $Rate = k[NH_4NO_2]^1$ છે.
અન્ય વિકલ્પો જેવા કે $HI$ અથવા $NO_2$ નું ઊંચા તાપમાને વિઘટન સામાન્ય રીતે દ્વિતીય ક્રમની પ્રક્રિયાઓ છે,અને $NO$ ની $O_2$ સાથેની પ્રક્રિયા તૃતીય ક્રમની પ્રક્રિયા છે.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ એ પ્રક્રિયકની સાંદ્રતા તેના પ્રારંભિક મૂલ્યથી અડધી થવા માટે લાગતો સમય છે.
અહીં સાંદ્રતા $15 \, \text{minutes}$ માં $0.8 \, M$ થી $0.4 \, M$ થાય છે,તેથી અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = 15 \, \text{minutes}$ છે.
સાંદ્રતા $0.1 \, M$ થી $0.025 \, M$ થવા માટે લાગતો સમય શોધવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે $0.025 \, M$ એ $0.1 \, M$ ના $\frac{1}{4}$ ભાગ છે (એટલે કે $0.1$ $\rightarrow 0.05$ $\rightarrow 0.025$).
આ બે અર્ધ-આયુષ્ય સમય જેટલો સમય દર્શાવે છે.
તેથી,જરૂરી કુલ સમય $2 \times t_{1/2} = 2 \times 15 \, \text{minutes} = 30 \, \text{minutes}$ થશે.

(A) દર અચળાંકનો એકમ $sec^{-1}$ છે,જે દર્શાવે છે કે આ $1^{st}$ ક્રમની પ્રક્રિયા છે.
$1^{st}$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે દરનો નિયમ: $\text{Rate} = k[A]^1$.
જો $A$ ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા ત્રણ ગણી કરવામાં આવે (એટલે કે $[A]_{new} = 3[A]_{old}$),તો નવો દર: $\text{Rate}_{new} = k(3[A]_{old}) = 3 \times \text{Rate}_{old}$ થાય.
તેથી,પ્રક્રિયાનો દર $3$ ના અવયવથી વધે છે.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,દરનો નિયમ $r = k[A]$ છે.
આપેલ છે: $r = 1.5 \times 10^{-2} \, mol \, L^{-1} \, min^{-1}$ અને $[A] = 0.5 \, M$.
કિંમતો મૂકતા: $1.5 \times 10^{-2} = k \times 0.5$.
તેથી,વેગ અચળાંક $k = \frac{1.5 \times 10^{-2}}{0.5} = 3 \times 10^{-2} \, min^{-1}$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
$t_{1/2} = \frac{0.693}{3 \times 10^{-2}} = 23.1 \, min$.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ સમીકરણ $t = \frac{2.303}{K} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
અહીં પ્રક્રિયા $1/4^{th}$ પૂર્ણ થાય છે,તેથી $[A]_t = [A]_0 - \frac{1}{4}[A]_0 = \frac{3}{4}[A]_0$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303}{K} \log \frac{[A]_0}{\frac{3}{4}[A]_0}$.
$t = \frac{2.303}{K} \log \frac{4}{3}$.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$ છે.
$75\%$ પૂર્ણતા માટે,$x = 0.75a$,તેથી $a-x = 0.25a$ અને $t = 32 \text{ મિનિટ}$.
$K = \frac{2.303}{32} \log \frac{100}{25} = \frac{2.303}{32} \log 4 = \frac{2.303 \times 0.602}{32}$.
હવે,$50\%$ પૂર્ણતા (અર્ધ-આયુષ્ય,$t_{1/2}$) માટે,સૂત્ર $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$ છે.
$K$ ની કિંમત મૂકતા,$t_{1/2} = 16 \text{ મિનિટ}$ મળે છે.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ છે.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $k = \frac{0.693}{69.3 \ s} = 0.01 \ s^{-1} = 10^{-2} \ s^{-1}$.
પ્રક્રિયાનો વેગ $r = k[A]$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = (10^{-2} \ s^{-1}) \times (0.10 \ mol \ L^{-1}) = 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સાંદ્રતા નીચે મુજબ ઘટે છે: $1$ $\xrightarrow{t_{1/2}} 1/2$ $\xrightarrow{t_{1/2}} 1/4$ $\xrightarrow{t_{1/2}} 1/8$ $\xrightarrow{t_{1/2}} 1/16$.
શરૂઆતની સાંદ્રતાના $1/4$ ભાગ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $2 \times t_{1/2} = 20 \ min$ છે,તેથી $t_{1/2} = 10 \ min$.
શરૂઆતની સાંદ્રતાના $1/16$ ભાગ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $4 \times t_{1/2} = 4 \times 10 \ min = 40 \ min$ થશે.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,દર અચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log(\frac{[A]_0}{[A]_t})$ છે.
ફલાસ્ક $I$ માટે: $[A]_0 = 1 \ M$,$[A]_t = 0.25 \ M$,$t = 8 \ hours$.
$k = \frac{2.303}{8} \log(\frac{1}{0.25}) = \frac{2.303}{8} \log(4) = \frac{2.303 \times 0.602}{8} \approx 0.1733 \ h^{-1}$.
ફલાસ્ક $II$ માટે: $[A]_0 = 0.6 \ M$,$[A]_t = 0.3 \ M$.
અહીં $[A]_t = \frac{[A]_0}{2}$ હોવાથી,લાગતો સમય એ અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2}$ છે.
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{0.1733} \approx 4.0 \ hours$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે દરનું સમીકરણ: $Rate = k[N_2O_5]^1$
આપેલ છે,$k = 6.2 \times 10^{-4} \, s^{-1}$ અને $[N_2O_5] = 1.25 \, mol \, L^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $Rate = (6.2 \times 10^{-4} \, s^{-1}) \times (1.25 \, mol \, L^{-1})$
$Rate = 7.75 \times 10^{-4} \, mol \, L^{-1} \, s^{-1}$.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ: $Kt = \ln(a) - \ln(a - x)$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા: $\ln(a - x) = -Kt + \ln(a)$ મળે.
આધાર $10$ ના લઘુગણકમાં ફેરવતા: $\log(a - x) = -\frac{Kt}{2.303} + \log(a)$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log(a - x)$ અને $x = t$ છે,તેથી ઢાળ $-\frac{K}{2.303}$ મળે છે.
આમ,$\log(a - x)$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ સીધી રેખા હોવાથી,પ્રક્રિયા પ્રથમ ક્રમની છે.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,દર $Rate = k[A]$.
અહીં,$Rate = 2.0 \times 10^{-5} \, mol \, L^{-1} \, s^{-1}$ અને $[A] = 0.01 \, M = 10^{-2} \, M$.
તેથી,$k = \frac{Rate}{[A]} = \frac{2.0 \times 10^{-5}}{10^{-2}} = 2.0 \times 10^{-3} \, s^{-1}$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$.
$t_{1/2} = \frac{0.693}{2.0 \times 10^{-3}} = 346.5 \, s \approx 347 \, s$.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $0.693$ અચળ હોવાથી,$t_{1/2} \times K = 0.693$ થાય,જે આપેલ તાપમાને અચળ છે.
વિકલ્પ $A$ ખોટો છે કારણ કે પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા ક્યારેય નિશ્ચિત સમયમાં પૂર્ણ થતી નથી.
વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે $t_{1/2}$ એ પ્રારંભિક સાંદ્રતા $a$ પર આધારિત નથી.
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે $K$ નો એકમ $\text{s}^{-1}$ છે.

(B) $n$ મા ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંકનો એકમ $(mol \ L^{-1})^{1-n} \ s^{-1}$ થાય છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$n = 1$.
સૂત્રમાં $n = 1$ મૂકતા: $(mol \ L^{-1})^{1-1} \ s^{-1} = (mol \ L^{-1})^0 \ s^{-1} = s^{-1}$.
તેથી,પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે વેગ અચળાંકનો એકમ $s^{-1}$ છે.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ છે.
અર્ધઆયુ $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ એ પ્રક્રિયકની શરૂઆતની સાંદ્રતા પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,વિધાન $C$ ખોટું છે કારણ કે પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાનો અર્ધઆયુ સમય શરૂઆતની સાંદ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
$99.6\%$ પૂર્ણતા માટે,બાકી રહેલી સાંદ્રતા શરૂઆતની સાંદ્રતાના $0.4\%$ છે $([A]_t = 0.004[A]_0)$.
સૂત્ર $t = \frac{2.303}{k} \log(\frac{[A]_0}{[A]_t}) = \frac{2.303}{k} \log(\frac{1}{0.004}) = \frac{2.303}{k} \log(250) \approx \frac{5.52}{k}$ મળે છે.
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ હોવાથી,$8 \times t_{1/2} = 8 \times \frac{0.693}{k} \approx \frac{5.54}{k}$,જે $99.6\%$ પૂર્ણતા માટેના સમયની લગભગ સમાન છે.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગનું સમીકરણ $r = k[A]$ છે.
આપેલ છે કે $r = 1 \times 10^{-2} \, \text{mol L}^{-1} \text{min}^{-1}$ અને $[A] = 0.2 \, \text{M}$.
કિંમતો મૂકતા: $1 \times 10^{-2} = k \times 0.2$.
$k = \frac{1 \times 10^{-2}}{0.2} = 5 \times 10^{-2} \, \text{min}^{-1}$.
અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
$t_{1/2} = \frac{0.693}{5 \times 10^{-2}} = \frac{69.3}{5} = 13.86 \, \text{min} \approx 14 \, \text{min}$.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
$93.75\%$ પૂર્ણતા માટે,$[A]_t = 100 - 93.75 = 6.25$.
$t_{93.75\%} = \frac{2.303}{k} \log \frac{100}{6.25} = \frac{2.303}{k} \log 16 = \frac{2.303}{k} \log 2^4 = 4 \times \frac{2.303 \times 0.3010}{k}$.
કારણ કે $t_{0.5} = \frac{0.693}{k} = \frac{2.303 \times 0.3010}{k}$,તેથી આપણને $t_{93.75\%} = 4 \times t_{0.5}$ મળે છે.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમયનું સૂત્ર: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ છે.
આપેલ છે,$k = 0.6932 \ hr^{-1}$.
કિંમત મૂકતા: $t_{1/2} = \frac{0.693}{0.6932} \approx 1 \ hr$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $K$ નું સૂત્ર: $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે,$a = 100$,$x = 90$,અને $t = 10 \ hours$:
$K = \frac{2.303}{10} \log \frac{100}{100-90} = \frac{2.303}{10} \log 10 = \frac{2.303}{10} \times 1 = 0.2303 \ h^{-1}$.
બીજા ભાગ માટે,$a = 100$,$x = 99.9$,અને આપણે $t$ શોધવાનું છે:
$t = \frac{2.303}{K} \log \frac{100}{100-99.9} = \frac{2.303}{0.2303} \log \frac{100}{0.1} = \frac{2.303}{0.2303} \log 1000 = 10 \times 3 = 30 \ hours$.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
$99\%$ પૂર્ણતા માટે,$[A]_t = 100 - 99 = 1$,તેથી $K = \frac{2.303}{32} \log \frac{100}{1} = \frac{2.303}{32} \times 2$ ........... $(1)$
$99.9\%$ પૂર્ણતા માટે,$[A]_t = 100 - 99.9 = 0.1$,તેથી $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{100}{0.1} = \frac{2.303}{t} \times 3$ ............ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{2.303 \times 2}{32} = \frac{2.303 \times 3}{t}$
$\frac{2}{32} = \frac{3}{t}$
$t = \frac{3 \times 32}{2} = 48 \ \text{મિનિટ}$.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ આ મુજબ છે: $\log(a - x) = -\frac{kt}{2.303} + \log a$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં ઢાળ $m = -\frac{k}{2.303}$ છે. આમ,$\log(a - x)$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે. આ આલેખ $A$ સાથે સુસંગત છે.
વધુમાં,પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ દર્શાવે છે કે $t_{1/2}$ એ પ્રારંભિક સાંદ્રતા $a$ થી સ્વતંત્ર છે. આમ,$t_{1/2}$ વિરુદ્ધ $a$ નો આલેખ $a$-અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા મળે છે. આ આલેખ $C$ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,આલેખ $A$ અને $C$ બંને પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,દર અચળાંક $k$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2}$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$
અહીં $t_{1/2} = 20 \ min$ આપેલ છે.
કિંમત મૂકતા:
$k = \frac{0.693}{20} = 0.03465 \ min^{-1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,પ્રારંભિક સાંદ્રતા $[A]_0$ અને $t$ સમયે સાંદ્રતા $[A]_t$ વચ્ચેનો સંબંધ $[A]_t = \frac{[A]_0}{2^n}$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્ય સમયની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $[A]_0 = 0.08 \ mol/L$,$[A]_t = 0.01 \ mol/L$,અને $t_{1/2} = 10 \ \text{minutes}$.
$2^n = \frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{0.08}{0.01} = 8$
$2^3 = 8$ હોવાથી,$n = 3$ મળે.
કુલ સમય $t = n \times t_{1/2}$ દ્વારા મળે છે.
$t = 3 \times 10 \ \text{minutes} = 30 \ \text{minutes}$.

(A) ધારો કે $A$ નું પ્રારંભિક દબાણ $P_0$ છે.
પ્રક્રિયા: $A(g) \rightarrow 2B(g) + C(g)$
$t=0$ સમયે: $P_0, 0, 0$ (કુલ દબાણ $= P_0$)
$t=10 \, min$ સમયે: $P_0-x, 2x, x$ (કુલ દબાણ $= P_0 + 2x = 176 \, mm$)
$t=\infty$ સમયે: $0, 2P_0, P_0$ (કુલ દબાણ $= 3P_0 = 270 \, mm$)
$(1)$ પ્રારંભિક દબાણ $P_0 = 270 / 3 = 90 \, mm$.
$(2) \, 10 \, min$ પછી,$P_0 + 2x = 176 \implies 90 + 2x = 176 \implies 2x = 86 \implies x = 43 \, mm$.
$A$ નું બાકી રહેલું દબાણ $= P_0 - x = 90 - 43 = 47 \, mm$.
$(3)$ વેગ અચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_0}{P_0-x} = \frac{2.303}{10} \log \frac{90}{47} = \frac{2.303}{10} \times 0.2821 = 6.496 \times 10^{-2} \, min^{-1}$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સૂત્ર $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[R]_0}{[R]_t}$ છે.
અહીં,$[R]_0$ એ શરૂઆતની સાંદ્રતા છે અને $[R]_t$ એ $t$ સમયે સાંદ્રતા છે.
આપેલ છે,$k = 60 \ s^{-1}$ અને $[R]_t = \frac{[R]_0}{10}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303}{60} \log \frac{[R]_0}{[R]_0/10}$.
$t = \frac{2.303}{60} \log(10)$.
$\log(10) = 1$ હોવાથી,$t = \frac{2.303}{60} \approx 3.838 \times 10^{-2} \ s$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ $[A]_t = [A]_0 e^{-kt}$ છે.
વિયોજન અંશ (અથવા પ્રક્રિયા પામેલ અંશ) $\alpha = \frac{[A]_0 - [A]_t}{[A]_0} = 1 - \frac{[A]_t}{[A]_0} = 1 - e^{-kt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a/RT}$ માં,પૂર્વ-ઘાતાંકીય અવયવ $A$ ના એકમો વેગ અચળાંક $k$ જેવા જ હોય છે. પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$k$ નો એકમ $s^{-1}$ છે,જે સમયનો વ્યસ્ત છે,સમય પોતે નથી. તેથી,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$\ln[A]$ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ સીધી રેખા મળે છે,સાંદ્રતાનો વ્યસ્ત નહીં. તેથી,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} = \frac{0.693}{k}$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય પ્રક્રિયકની શરૂઆતની સાંદ્રતા પર આધારિત નથી,તેથી $0.5 \ M$ સાંદ્રતાની $t_{1/2}$ ના મૂલ્ય પર કોઈ અસર થતી નથી.
તેથી,સાચું સૂત્ર $\frac{\ln 2}{k}$ છે.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ-અચળાંક $k$ અને અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2}$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$
અહીં $t_{1/2} = 1386 \ s$ આપેલ છે.
કિંમત મૂકતા:
$k = \frac{0.693}{1386} \ s^{-1}$
$k = 0.0005 \ s^{-1}$
$k = 0.5 \times 10^{-3} \ s^{-1}$

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે સંકલિત વેગ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\ln \frac{C_t}{C_0} = -k_1 t$
આને ફરીથી ગોઠવતા આપણને મળે છે:
$\ln \frac{C_0}{C_t} = k_1 t$
અથવા ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં:
$C_t = C_0 e^{-k_1 t}$
જેને આ રીતે પણ લખી શકાય:
$C_t e^{k_1 t} = C_0$
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચું નિરૂપણ છે.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$ છે.
$90\%$ પૂર્ણતા માટે,$x = 0.9a$,તેથી $a-x = 0.1a$. આમ,$t_{90\%} = \frac{2.303}{K} \log \frac{a}{0.1a} = \frac{2.303}{K} \log 10 = \frac{2.303}{K}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $K = \frac{0.693}{t_{1/2}}$.
$t_{90\%}$ ના સમીકરણમાં $K$ ની કિંમત મૂકતા:
$t_{90\%} = \frac{2.303}{0.693 / t_{1/2}} = \frac{2.303}{0.693} \times t_{1/2} \approx 3.32 \times t_{1/2}$.
તેથી,સમય અર્ધ-આયુષ્ય કરતા આશરે $3.3$ ગણો છે.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
આપેલ છે:
$k = 10^{-2} \ sec^{-1}$
$[A]_0 = 20 \ g$
$[A]_t = 5 \ g$
કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{2.303}{10^{-2}} \log \frac{20}{5}$
$t = 230.3 \times \log(4)$
$t = 230.3 \times 0.6021$
$t \approx 138.6 \ sec$

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$t$ સમયે વેગ $R = k[A]_t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $[A]_t = [A]_0 e^{-kt}$.
તેથી,$R_t = R_0 e^{-kt}$.
આપેલ છે: $R_{10} = 0.04 \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$ અને $R_{20} = 0.03 \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_{10}}{R_{20}} = e^{10k} = \frac{0.04}{0.03} = 1.333$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $10k = \ln(1.333) = 0.2877$.
$k = 0.02877 \ s^{-1}$.
અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{0.02877} \approx 24.1 \ s$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2}$ અચળ હોય છે.
$2 \ hours$ પછી,પ્રક્રિયા $50\%$ પૂર્ણ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $t_{1/2} = 2 \ hours$.
બીજા $2 \ hours$ પછી (કુલ $4 \ hours$),બાકી રહેલા $50\%$ પ્રક્રિયક ફરીથી અડધા થાય છે,જેથી પ્રક્રિયા $75\%$ પૂર્ણ થાય છે $(50\% + 25\% = 75\%)$.
દરેક ક્રમિક અર્ધ-આયુષ્ય માટે લાગતો સમય અચળ $(2 \ hours)$ હોવાથી,પ્રક્રિયા પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે.

(C) ઉત્સેચક-ઉદ્દીપિત પ્રક્રિયાઓ પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે.
પદાર્થની સાંદ્રતા $1.28 \; mg \; L^{-1}$ થી ઘટીને $0.04 \; mg \; L^{-1}$ થાય છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$1.28$ $\xrightarrow{t_{1/2}} 0.64$ $\xrightarrow{t_{1/2}} 0.32$ $\xrightarrow{t_{1/2}} 0.16$ $\xrightarrow{t_{1/2}} 0.08$ $\xrightarrow{t_{1/2}} 0.04$
આ શ્રેણી દર્શાવે છે કે સાંદ્રતા $5$ વખત અડધી થાય છે,તેથી $n = 5$.
જરૂરી કુલ સમય $t = n \times t_{1/2}$ છે.
$t = 5 \times 138 \; s = 690 \; s$.

(B) આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ = $1386 \ s$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય અને વેગ અચળાંક $(k)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
$k$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$
કિંમત મૂકતા:
$k = \frac{0.693}{1386} \ s^{-1}$
$k = 0.0005 \ s^{-1}$
$k = 5.0 \times 10^{-4} \ s^{-1} = 0.5 \times 10^{-3} \ s^{-1}$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
$60\%$ પૂર્ણ થવા માટે $60 \ min$ લાગે છે,તેથી $[A]_t = 100 - 60 = 40$.
$k = \frac{2.303}{60} \log \frac{100}{40} = \frac{2.303}{60} \log 2.5$.
$\log 2.5 = \log(10/4) = 1 - 0.60 = 0.40$.
$k = \frac{2.303 \times 0.40}{60} = \frac{0.9212}{60} \ min^{-1}$.
$50\%$ પૂર્ણતા $(t_{1/2})$ માટે,$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$.
$t_{1/2} = \frac{0.693 \times 60}{0.9212} \approx 45.12 \ min$.
આમ,પ્રક્રિયા આશરે $45 \ min$ માં પૂર્ણ થશે.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k$ નું સૂત્ર:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ પર,પ્રક્રિયકની સાંદ્રતા $[A]_t = \frac{[A]_0}{2}$ થાય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$t_{1/2} = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_0 / 2}$
$t_{1/2} = \frac{2.303}{k} \log 2$
કારણ કે $2.303 \log 2 = \ln 2$,તેથી:
$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય પ્રક્રિયકની પ્રારંભિક સાંદ્રતા પર આધાર રાખતો નથી.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $t_{1/2} = 6.93 \, \text{min}$,તેથી $k = \frac{0.693}{6.93} = 0.1 \, \text{min}^{-1}$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે સંકલિત વેગ સમીકરણ $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
$99 \%$ પૂર્ણતા માટે,$[A]_0 = 100$ અને $[A]_t = 100 - 99 = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $0.1 = \frac{2.303}{t} \log \frac{100}{1}$.
$0.1 = \frac{2.303 \times 2}{t}$.
$t = \frac{4.606}{0.1} = 46.06 \, \text{min}$.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k$ નીચે મુજબ છે:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$k = \frac{2.303}{40} \log \frac{0.1}{0.025}$
$k = \frac{2.303}{40} \log 4$
$k = \frac{2.303 \times 0.6020}{40} \approx 3.47 \times 10^{-2} \ min^{-1}$
પ્રક્રિયાનો વેગ $R = k[A]$ છે.
જ્યારે $[A] = 0.01 \ M$ હોય ત્યારે:
$R = (3.47 \times 10^{-2}) \times 0.01$
$R = 3.47 \times 10^{-4} \ M/min$.

(D) વિઘટન પ્રક્રિયા: $H_2O_{2(aq)} \rightarrow H_2O_{(l)} + \frac{1}{2} O_{2(g)}$
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
અહીં $[A]_0 = 0.5 \ M$,$[A]_t = 0.125 \ M$ અને $t = 50 \ min$ છે:
$k = \frac{2.303}{50} \log \frac{0.5}{0.125} = \frac{2.303}{50} \log(4) \approx 0.0277 \ min^{-1}$
જ્યારે $[H_2O_2] = 0.05 \ M$ હોય,ત્યારે $H_2O_2$ ના અદ્રશ્ય થવાનો દર:
$Rate_{H_2O_2} = k[H_2O_2] = 0.0277 \times 0.05 = 1.385 \times 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$
તત્વયોગમિતિ મુજબ,$-\frac{d[H_2O_2]}{dt} = 2 \frac{d[O_2]}{dt}$,તેથી $O_2$ બનવાનો દર:
$\frac{d[O_2]}{dt} = \frac{1}{2} \times Rate_{H_2O_2} = \frac{1.385 \times 10^{-3}}{2} = 6.93 \times 10^{-4} \ mol \ min^{-1}$

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
$20\%$ પૂર્ણતા માટે,$[A]_t = 80$,તેથી $K = \frac{2.303}{t_{20}} \log \frac{100}{80} = \frac{2.303}{t_{20}} \log 1.25$.
$60\%$ પૂર્ણતા માટે,$[A]_t = 40$,તેથી $K = \frac{2.303}{t_{60}} \log \frac{100}{40} = \frac{2.303}{t_{60}} \log 2.5$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{t_{60}}{t_{20}} = \frac{\log 2.5}{\log 1.25} = \frac{1 - 2 \log 2}{1 - 3 \log 2}$.
$\log 2 = 0.3$ મૂકતા,$\frac{t_{60}}{t_{20}} = \frac{1 - 0.6}{1 - 0.9} = \frac{0.4}{0.1} = 4$.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ છે.
આપેલ છે $t_{1/2} = 100 \ min$,તેથી $k = \frac{0.693}{100} = 6.93 \times 10^{-3} \ min^{-1}$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે સંકલિત વેગ સમીકરણ $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
અહીં,$[A]_t = 10 \% \text{ of } [A]_0$,તેથી $\frac{[A]_0}{[A]_t} = 10$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303}{6.93 \times 10^{-3}} \log(10)$.
$\log(10) = 1$ હોવાથી,$t = \frac{2.303}{0.00693} \approx 332.3 \ min$.
આમ,જરૂરી સમય આશરે $332 \ min$ છે.