First Order reaction Questions in Gujarati

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
$99 \%$ પૂર્ણતા માટે,$[A]_t = 0.01[A]_0$. તેથી,$64 = \frac{2.303}{k} \log \frac{100}{1} = \frac{2.303}{k} \times 2$.
$99.9 \%$ પૂર્ણતા માટે,$[A]_t = 0.001[A]_0$. તેથી,$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{1000}{1} = \frac{2.303}{k} \times 3$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{t}{64} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$t = 64 \times 1.5 = 96 \text{ min}$.

(A) પ્રક્રિયા $A_{(g)} \rightarrow 2B_{(g)}$ માટે,$A$ ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા $[A]_0 = \frac{2 \ mol}{5 \ L} = 0.4 \ M$ છે.
ધારો કે $t = 20 \ min$ સમયે $A$ નો $x$ જથ્થો પ્રક્રિયા કરે છે.
$t = 20 \ min$ સમયે,$[A]_t = 0.4 - x$ અને $[B]_t = 2x$ થાય.
આપેલ છે કે $[A]_t = \frac{[B]_t}{2}$,તેથી $0.4 - x = \frac{2x}{2} = x$.
આમ,$2x = 0.4$,જેનો અર્થ છે કે $x = 0.2 \ M$.
$t = 20 \ min$ સમયે,$[A]_t = 0.4 - 0.2 = 0.2 \ M$.
કારણ કે $[A]_t = \frac{[A]_0}{2}$ છે,તેથી $t = 20 \ min$ એ પ્રક્રિયાનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2}$ છે.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $20 \ min$ છે.

(A) ધારો કે $A_2$ નું પ્રારંભિક દળ $x \ g$ અને $B_2$ નું $y \ g$ છે.
આપેલ છે: $x + y = 10 \ g$ (સમીકરણ $1$).
પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્ર માટે,બાકી રહેલ જથ્થો $N = N_0 \times (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$A_2$ માટે: અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 2 \ hours$. $6 \ hours$ માં,$n = 6/2 = 3$ અર્ધ-આયુષ્ય. બાકી રહેલ $A_2 = x \times (1/2)^3 = x/8$.
$B_2$ માટે: અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 3 \ hours$. $6 \ hours$ માં,$n = 6/3 = 2$ અર્ધ-આયુષ્ય. બાકી રહેલ $B_2 = y \times (1/2)^2 = y/4$.
$6 \ hours$ પછી કુલ બાકી રહેલ દળ $= x/8 + y/4 = 2 \ g$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$y = 10 - x$.
સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $x/8 + (10 - x)/4 = 2$.
$8$ વડે ગુણતા: $x + 2(10 - x) = 16$.
$x + 20 - 2x = 16$.
$-x = -4$,તેથી $x = 4 \ g$.

(A) પ્રક્રિયા માટે વેગ નિયમ આ મુજબ છે: $\text{Rate} = k[A]^1[B]^0 = k[A]$.
પ્રક્રિયા $A$ ની સાપેક્ષે પ્રથમ ક્રમની હોવાથી,$A$ માટે સંકલિત વેગ સમીકરણ: $\ln(a_t) = \ln(a_0) - kt$ છે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,આપણને મળે છે: $a_t = a_0 e^{-kt}$.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{50\%} = \frac{\ln 2}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_{87.5\%}$ માટે,બાકી રહેલી માત્રા $100 - 87.5 = 12.5\%$ છે,જે પ્રારંભિક માત્રાના $(1/8)$ છે. તેથી,$t_{87.5\%} = \frac{\ln 8}{k} = \frac{3 \ln 2}{k} = 3 \cdot t_{50\%}$.
$t_{90\%}$ માટે,બાકી રહેલી માત્રા $100 - 90 = 10\%$ છે,જે પ્રારંભિક માત્રાના $(1/10)$ છે. તેથી,$t_{90\%} = \frac{\ln 10}{k} \approx \frac{2.303}{k} \approx 3.32 \cdot t_{50\%}$.
તેથી,વિધાન $t_{90\%} = 4 \cdot t_{50\%}$ એ $INCORRECT$ (ખોટું) છે.

(B) પ્રક્રિયા $2A \rightarrow B$ માટે,પ્રક્રિયાનો વેગ $Rate = -\frac{1}{2} \frac{d[A]}{dt} = \frac{d[B]}{dt} = K[A]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $K = 10^{-2} \ min^{-1}$,આ $A$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા છે.
$(1)$ $B$ ના નિર્માણનો વેગ $\frac{d[B]}{dt} = K[A]$ છે. $K$ એ પ્રક્રિયાનો વેગ અચળાંક હોવાથી,$K_B$ ($B$ ના નિર્માણનો વેગ) એ $A$ ની સાંદ્રતા પર આધાર રાખે છે,તેથી વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$(2)$ અર્ધ-આયુષ્ય $t_{0.5} = \frac{\ln 2}{K} = \frac{0.7}{10^{-2}} = 70 \ min$. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$(3)$ પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$t_{0.75} = 2 \times t_{0.5} = 2 \times 70 = 140 \ min$. આમ,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.

(C) પ્રક્રિયા $C_2H_4O_{(g)} \to CH_{4(g)} + CO_{(g)}$ માટે:
$t=0$ સમયે,$C_2H_4O$ નું દબાણ $P_0 = 80 \ mm$,$P_{CH_4} = 0$,$P_{CO} = 0$. કુલ દબાણ $P_t = 80 \ mm$.
$t=20 \ min$ સમયે,$C_2H_4O$ નું દબાણ $80-x$,$P_{CH_4} = x$,$P_{CO} = x$. કુલ દબાણ $P_t = (80-x) + x + x = 80+x = 120 \ mm$.
તેથી,$x = 40 \ mm$.
બાકી રહેલ પ્રક્રિયકનું દબાણ $P_0 - x = 80 - 40 = 40 \ mm$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાના વેગ અચળાંકના સૂત્ર $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_0}{P_0-x} = \frac{2.303}{20} \log \frac{80}{40} = \frac{2.303}{20} \log 2$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\log 2 \approx 0.3010$ હોવાથી,$k = \frac{2.303 \times 0.3010}{20} \approx \frac{0.693}{20} \ min^{-1}$.
અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693 \times 20}{0.693} = 20 \ min$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{50} = \frac{0.693}{k}$ છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $T_{av} = \frac{1}{k} \approx 1.44 \times T_{50}$ છે.
$75\%$ પૂર્ણતા માટે,લાગતો સમય $T_{75} = \frac{2.303}{k} \log(\frac{100}{100-75}) = \frac{2.303}{k} \log(4) \approx 2 \times T_{50}$ છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $T_{50} \approx 1.00 \times T_{50}$,$T_{av} \approx 1.44 \times T_{50}$,અને $T_{75} \approx 2.00 \times T_{50}$.
તેથી,ચડતો ક્રમ $T_{50} < T_{av} < T_{75}$ છે.

(A) ધારો કે $N_2O$ નું પ્રારંભિક દબાણ $P_0$ છે. પ્રક્રિયા $N_2O_{(g)} \to N_{2(g)} + \frac{1}{2}O_{2(g)}$ છે.
$t=0$ સમયે,દબાણ $P_0, 0, 0$ છે. કુલ દબાણ $P_0 = P_{\infty} / 1.5 = \frac{2}{3}P_{\infty}$.
$t$ સમયે,દબાણ $(P_0 - x), x, 0.5x$ છે. કુલ દબાણ $P_t = P_0 - x + x + 0.5x = P_0 + 0.5x$.
તેથી,$0.5x = P_t - P_0$,જેનો અર્થ છે $x = 2(P_t - P_0)$.
$t$ સમયે $N_2O$ નું દબાણ $P_{N_2O} = P_0 - x = P_0 - 2(P_t - P_0) = 3P_0 - 2P_t$.
$P_0 = \frac{2}{3}P_{\infty}$ મૂકતા,આપણને $P_{N_2O} = 3(\frac{2}{3}P_{\infty}) - 2P_t = 2P_{\infty} - 2P_t$ મળે છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$K = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{P_0}{P_{N_2O}} \right) = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{2P_{\infty}/3}{2P_{\infty} - 2P_t} \right) = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{P_{\infty}}{3P_{\infty} - 3P_t} \right)$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા $A \xrightarrow{K_1} B$ માટે,વેગ અચળાંક $K_1 = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{[A]_0}{[A]_t} \right)$ છે.
$A$ નો $90\%$ ભાગ પ્રક્રિયા પામે છે,તેથી $[A]_t = 10\% \text{ of } [A]_0$,એટલે કે $K_1 = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{100}{10} \right) = \frac{2.303}{t} \times 1 = \frac{2.303}{t}$.
પ્રક્રિયા $B \xrightarrow{K_2} \text{Product}$ માટે,વેગ અચળાંક $K_2 = \frac{2.303}{2t} \log \left( \frac{[B]_0}{[B]_{2t}} \right)$ છે.
$B$ નો $99\%$ ભાગ પ્રક્રિયા પામે છે,તેથી $[B]_{2t} = 1\% \text{ of } [B]_0$,એટલે કે $K_2 = \frac{2.303}{2t} \log \left( \frac{100}{1} \right) = \frac{2.303}{2t} \times 2 = \frac{2.303}{t}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2.303/t}{2.303/t} = 1$.

(B) પ્રક્રિયા $C_4H_8 \rightarrow 2C_2H_4$ છે.
ધારો કે $C_4H_8$ ના પ્રારંભિક મોલ $a$ છે.
સમય $t$ પર,ધારો કે $x$ મોલ $C_4H_8$ પ્રક્રિયા કરે છે.
$C_4H_8$ ના બાકી રહેલા મોલ = $a - x$.
બનેલા $C_2H_4$ ના મોલ = $2x$.
આપેલ છે કે મોલર ગુણોત્તર $\frac{[C_2H_4]}{[C_4H_8]} = 1$,તેથી $\frac{2x}{a - x} = 1$.
$2x = a - x$ $\Rightarrow 3x = a$ $\Rightarrow x = \frac{a}{3}$.
સમય $t$ પર $C_4H_8$ ની બાકી રહેલી સાંદ્રતા $[A]_t = a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$ છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાના સમીકરણ $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{2.303}{2.3 \times 10^{-4}} \log \frac{a}{2a/3} = 10013 \times \log(1.5)$.
$t = 10013 \times 0.1761 \approx 1763.3 \text{ s}$.
મિનિટમાં ફેરવતા: $t = \frac{1763.3}{60} \approx 29.39 \text{ min} \approx 30 \text{ min}$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલો જથ્થો $[A] = [A]_0 \times (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $[A]_0 = 2 \ M$ અને $[A] = 0.125 \ M$.
$0.125 = 2 \times (1/2)^n$
$(1/2)^n = 0.125 / 2 = 0.0625 = 1/16 = (1/2)^4$.
આમ,$n = 4$ અર્ધ-આયુષ્ય.
કુલ સમય $1 \text{ કલાક} = 60 \text{ min}$ છે.
$n \times t_{1/2} = 60 \text{ min}$ હોવાથી,$4 \times t_{1/2} = 60 \text{ min}$.
તેથી,$t_{1/2} = 60 / 4 = 15 \text{ min}$.

(C) $N_2O_5$ ના શરૂઆતના મોલ $= \frac{10.8}{108} = 0.1 \text{ mol}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{9.6}{2.4} = 4$.
$4$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલ $N_2O_5$ ના મોલ $= 0.1 \times (\frac{1}{2})^4 = \frac{0.1}{16} = 0.00625 \text{ mol}$.
પ્રક્રિયા પામેલ $N_2O_5$ ના મોલ $= 0.1 - 0.00625 = 0.09375 \text{ mol}$.
પ્રક્રિયા $N_2O_5 \to 2NO_2 + \frac{1}{2} O_2$ મુજબ,$1 \text{ મોલ}$ $N_2O_5$ માંથી $0.5 \text{ મોલ}$ $O_2$ મળે છે.
ઉત્પન્ન થયેલ $O_2$ ના મોલ $= 0.5 \times 0.09375 = 0.046875 \text{ mol}$.
$STP$ પર $O_2$ નું કદ $= 0.046875 \times 22.4 = 1.05 \text{ L}$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$. આપેલ છે કે $\frac{(t_{1/2})_1}{(t_{1/2})_2} = \frac{3}{2}$,તેથી $\frac{k_2}{k_1} = \frac{3}{2}$.
પ્રથમ પ્રક્રિયા માટે,$t_1 = \frac{2.303}{k_1} \log \left( \frac{100}{100 - 25} \right) = \frac{2.303}{k_1} \log \left( \frac{4}{3} \right)$.
બીજી પ્રક્રિયા માટે,$t_2 = \frac{2.303}{k_2} \log \left( \frac{100}{100 - 75} \right) = \frac{2.303}{k_2} \log (4)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{k_2}{k_1} \times \frac{\log(4/3)}{\log(4)} = \frac{3}{2} \times \frac{0.602 - 0.477}{0.602} = \frac{3}{2} \times \frac{0.125}{0.602} \approx 1.5 \times 0.2076 \approx 0.311$.
આમ,ગુણોત્તર આશરે $0.3 : 1$ છે.

(D) $1^{st}$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $t_{1/2}$ એ પ્રારંભિક સાંદ્રતા $(a)$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી $t_{1/2}$ વિરુદ્ધ $a$ નો આલેખ x-અક્ષને સમાંતર એક સીધી રેખા છે.
તેથી,આ રેખાનો ઢાળ શૂન્ય છે.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$60 \ \text{min}$ માં અર્ધ-આયુષ્યનો સમય $(n)$ $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{60}{10} = 6$ છે.
બાકી રહેલ પ્રક્રિયકનો અંશ $\frac{[A]_t}{[A]_0} = (\frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$ છે.
વિઘટિત થયેલ પ્રક્રિયકનો અંશ $(x)$ $1 - \text{બાકી રહેલ અંશ} = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$ છે.

(A) આ પ્રક્રિયા પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા છે કારણ કે અર્ધ-આયુષ્ય સમય પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{V_{\infty}}{V_{\infty} - V_t}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $V_{\infty} = 100 \, \text{L}$,$V_t = 20 \, \text{L}$,અને $t = 10 \, \text{min}$.
કિંમતો મૂકતા:
$k = \frac{2.303}{10} \log \frac{100}{100 - 20}$
$k = \frac{2.303}{10} \log \frac{100}{80}$
$k = \frac{2.303}{10} \log \frac{5}{4} \, \text{min}^{-1}$

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$75\%$ પૂર્ણતા માટે જરૂરી સમય એ અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ કરતા બમણો હોય છે.
$t_{75\%} = 2 \times t_{1/2}$
આપેલ છે કે $t_{75\%} = 32 \, \text{min}$.
$32 = 2 \times t_{1/2}$
$t_{1/2} = \frac{32}{2} = 16 \, \text{min}$.
$50\%$ પૂર્ણતા એ અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ જેટલી હોવાથી,પ્રક્રિયા $16$ મિનિટમાં $50\%$ પૂર્ણ થાય છે.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા $A \to B$ માટે,પ્રક્રિયાનો દર $Rate = k[A]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $[A] = [A]_0 e^{-kt}$,તેથી પ્રક્રિયાનો દર $Rate = k[A]_0 e^{-kt}$ થાય છે.
$B$ ના નિર્માણનો દર એ પ્રક્રિયાના દર જેટલો જ છે,તેથી $R = k[A]_0 e^{-kt}$.
આ સમીકરણ ઘાતાંકીય ક્ષય વક્ર (exponential decay curve) દર્શાવે છે,જેમાં દર $R$ સમય $t$ સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ નિયમ નીચે મુજબ છે: $[A]_t = [A]_0 e^{-kt}$
આપેલ છે કે $t = \frac{1}{k}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$[A]_t = [A]_0 e^{-k \times (1/k)}$
$[A]_t = [A]_0 e^{-1}$
$[A]_t = \frac{[A]_0}{e}$

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k$ નું સૂત્ર:
$k = \frac{2.303}{t} \log_{10} \frac{a}{a-x}$
અહીં $t = 10 \, \text{min}$ અને $\frac{a}{a-x} = 8$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$k = \frac{2.303}{10} \log_{10} 8$
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $\log_{10} 8 = 3 \log_{10} 2$.
આમ,$k = \frac{2.303 \times 3 \log 2}{10}$.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
અહીં,$k$ એ વેગ અચળાંક છે.
$t_{1/2}$ એ પ્રારંભિક સાંદ્રતા $(a)$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,$t_{1/2}$ વિરુદ્ધ $a$ નો આલેખ સાંદ્રતા અક્ષ ($a$-અક્ષ) ને સમાંતર એક સીધી રેખા હશે.
તેથી,સાચો આલેખ તે છે જે $a$ ના સંદર્ભમાં $t_{1/2}$ ને અચળ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ વેગ નિયમ $\frac{-d[A]}{dt} = k[A]$ એ $A$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા સૂચવે છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ $[A] = [A]_0 e^{-kt}$ છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$.
આપેલ સમય $t = \frac{t_{1/2}}{\ln 2}$ ને વેગ સમીકરણમાં મૂકતા:
$[A] = [A]_0 e^{-k \times (\frac{t_{1/2}}{\ln 2})}$
$[A] = [A]_0 e^{-(\frac{\ln 2}{t_{1/2}}) \times (\frac{t_{1/2}}{\ln 2})}$
$[A] = [A]_0 e^{-1} = \frac{[A]_0}{e}$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 50\, min$ છે.
વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{50\, min}$ છે.
$80\,\%$ પૂર્ણતા માટે,બાકી રહેલી સાંદ્રતા $100\% - 80\% = 20\%$ છે.
સમય $t$ માટેનું સૂત્ર: $t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{[A]_0}{[A]_t} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303}{(0.693/50)} \log \left( \frac{100}{20} \right)$.
$t = \frac{2.303 \times 50}{0.693} \times \log(5)$.
$\log(5) \approx 0.699$ અને $\frac{2.303}{0.693} \approx 3.32$ હોવાથી,$t \approx 3.32 \times 50 \times 0.699 \approx 116.1\, min$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$t \approx 117\, min$.

(D) આપેલ પ્રક્રિયા પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા છે કારણ કે વેગ નિયમ $r = K[A]$ છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ છે: $\ln \frac{[A]_0}{[A]_t} = Kt$ અથવા $\ln \frac{n_0}{n_t} = Kt$.
આપેલ છે: $K = 0.023 \ s^{-1}$,$t = 50 \ s$,$n_0 = 2.5 \ moles$.
કિંમતો મૂકતા: $\ln \frac{2.5}{n_t} = 0.023 \times 50$.
$\ln \frac{2.5}{n_t} = 1.15$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\frac{2.5}{n_t} = e^{1.15} \approx 3.158$.
$n_t = \frac{2.5}{3.158} \approx 0.79 \ moles$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_i}{P_{SO_2Cl_2}}$
આપેલ પ્રક્રિયા: $SO_2Cl_{2(g)} \to SO_{2(g)} + Cl_{2(g)}$
$t = 0$ સમયે,$P_i = 0.5 \text{ atm}$.
$t = 100 \text{ s}$ સમયે,$P_{total} = 0.6 \text{ atm}$.
ધારો કે $x$ એ $SO_2Cl_2$ ના દબાણમાં ઘટાડો છે.
$P_{total} = (P_i - x) + x + x = P_i + x$.
$0.6 = 0.5 + x \Rightarrow x = 0.1 \text{ atm}$.
$P_{SO_2Cl_2} = P_i - x = 0.5 - 0.1 = 0.4 \text{ atm}$.
$k = \frac{2.303}{100} \log \frac{0.5}{0.4} = \frac{2.303}{100} \log 1.25$.
$k = \frac{2.303 \times 0.0969}{100} = 2.23 \times 10^{-3} \text{ s}^{-1}$.

(A) આપેલ વેગ નિયમ $\frac{-d[A]}{dt} = K[A]$ છે.
આ પ્રક્રિયક $A$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે સંકલિત વેગ સમીકરણ $[A]_t = [A]_0 e^{-Kt}$ છે.
અહીં $[A]_0 = Co$ અને $t = \frac{1}{K}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[A]_t = Co \, e^{-K \times (\frac{1}{K})}$
$[A]_t = Co \, e^{-1}$
$[A]_t = \frac{Co}{e}$.

(B) વિઘટન પ્રક્રિયા: $N_2O_5(g) \to 2NO_2(g) + \frac{1}{2}O_2(g)$
$t = 0$ સમયે: $P_{N_2O_5} = 50 \, mm \, Hg$,$P_{NO_2} = 0$,$P_{O_2} = 0$. કુલ દબાણ $P_0 = 50 \, mm \, Hg$.
$t = 50 \, min$ સમયે: ધારો કે $N_2O_5$ ના દબાણમાં ઘટાડો $p_1$ છે. આંશિક દબાણ: $P_{N_2O_5} = 50 - p_1$,$P_{NO_2} = 2p_1$,$P_{O_2} = 0.5p_1$.
કુલ દબાણ $P_t = (50 - p_1) + 2p_1 + 0.5p_1 = 50 + 1.5p_1 = 87.5 \, mm \, Hg$.
$1.5p_1 = 37.5 \implies p_1 = 25 \, mm \, Hg$.
$p_1 = 25$ એ પ્રારંભિક દબાણ $50$ ના અડધા હોવાથી,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 50 \, min$ છે.
$t = 100 \, min$ $(2 \times t_{1/2})$ સમયે,$N_2O_5$ નું બાકી રહેલું દબાણ $50 \times (1/2)^2 = 12.5 \, mm \, Hg$ છે.
તેથી,$50 - p_2 = 12.5 \implies p_2 = 37.5 \, mm \, Hg$.
$100 \, min$ પર કુલ દબાણ $= 50 + 1.5p_2 = 50 + 1.5(37.5) = 50 + 56.25 = 106.25 \, mm \, Hg$.

(C) અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 10 \ days$ છે.
વેગ અચળાંક $k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{10} = 0.0693 \ days^{-1}$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$t = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{a}{a - x} \right)$.
અહીં,$x = \frac{1}{4}a$ હોવાથી,બાકી રહેલ જથ્થો $a - x = \frac{3}{4}a$ છે.
$t = \frac{1}{0.0693} \ln \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{2 \ln 2 - \ln 3}{0.0693} = \frac{2(0.693) - 1.1}{0.0693} = \frac{0.286}{0.0693} \approx 4.1 \ days$.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ અચળ હોય છે.
આપેલ છે કે $50\%$ પ્રક્રિયા $100 \ s$ માં પૂર્ણ થાય છે,આથી અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 100 \ s$ છે.
બીજા $100 \ s$ પછી (કુલ $200 \ s$),બાકી રહેલી સાંદ્રતા $A_0/4$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $75\%$ પ્રક્રિયા પૂર્ણ થઈ ગઈ છે.
કારણ કે બીજા અર્ધ-આયુષ્ય માટે લાગતો સમય પણ $100 \ s$ છે,તેથી પ્રક્રિયા પ્રથમ ક્રમની છે.

(A) પ્રક્રિયા $2N_2O_5 \,(g) \to 4NO_2 \,(g) + O_2 \,(g)$ માટે,ધારો કે $N_2O_5$ નું પ્રારંભિક દબાણ $P_0 = 50 \, mmHg$ છે.
$t = 30 \, min$ સમયે,ધારો કે $N_2O_5$ નું દબાણ $2p$ જેટલું ઘટે છે. કુલ દબાણ $P_t = (50 - 2p) + 4p + p = 50 + 3p = 87.5 \, mmHg$ થાય.
આમ,$3p = 37.5 \, mmHg$,તેથી $p = 12.5 \, mmHg$.
$t = 30 \, min$ સમયે બાકી રહેલ $N_2O_5$ નું દબાણ $50 - 2(12.5) = 25 \, mmHg$ છે.
કારણ કે $N_2O_5$ નું દબાણ $30 \, min$ માં અડધું થાય છે,તેથી અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 30 \, min$ છે.
$t = 60 \, min$ સમયે $(2 \times t_{1/2})$,બાકી રહેલ $N_2O_5$ નું દબાણ $50 / 4 = 12.5 \, mmHg$ છે.
ધારો કે $50 - 2p' = 12.5$,તેથી $2p' = 37.5$,જેનો અર્થ છે કે $p' = 18.75 \, mmHg$.
$t = 60 \, min$ સમયે કુલ દબાણ $50 + 3p' = 50 + 3(18.75) = 50 + 56.25 = 106.25 \, mmHg$ થાય.

(C) આપેલ અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 15 \ minutes$.
કુલ સમય $T = 1 \ hr = 60 \ minutes$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{T}{t_{1/2}} = \frac{60}{15} = 4$.
બાકી રહેલા પદાર્થનો જથ્થો શોધવાનું સૂત્ર $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
તેથી,$1 \ hour$ પછી બાકી રહેલો પદાર્થ મૂળ જથ્થાના $\frac{1}{16}$ ભાગ જેટલો હશે.

(B) દર નિયમ $R = k[A]^x [B]^y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રયોગ $I$ અને $II$ પરથી,$[A]$ અચળ છે અને $[B]$ બદલાય છે,પરંતુ દર અચળ રહે છે. તેથી,$y = 0$ ($B$ ની સાપેક્ષે શૂન્ય ક્રમ).
પ્રયોગ $I$ અને $III$ પરથી,જ્યારે $[A]$ બમણું થાય છે ($0.10$ થી $0.20$),ત્યારે દર પણ બમણો થાય છે ($6.93 \times 10^{-3}$ થી $1.386 \times 10^{-2}$). તેથી,$x = 1$ ($A$ ની સાપેક્ષે પ્રથમ ક્રમ).
દર સમીકરણ $R = k[A]$ છે.
પ્રયોગ $I$ નો ઉપયોગ કરતા: $6.93 \times 10^{-3} = k(0.10) \Rightarrow k = 6.93 \times 10^{-2} \ min^{-1}$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{6.93 \times 10^{-2}} = 10 \ min$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,દર $\text{Rate} = K[A]_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\text{Rate} = 0.6932 \times 10^{-2} \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$ અને $[A]_0 = 0.1 \ M$.
દર અચળાંક $K$ ની ગણતરી કરતા: $K = \frac{\text{Rate}}{[A]_0} = \frac{0.6932 \times 10^{-2}}{0.1} = 0.6932 \times 10^{-1} \ min^{-1}$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K$ ની કિંમત મૂકતા: $t_{1/2} = \frac{0.693}{0.6932 \times 10^{-1}} \approx \frac{0.693}{0.06932} \approx 10 \ min$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) પ્રક્રિયા માટે: $A_{(g)} \longrightarrow B_{(g)} + C_{(g)}$
$t = 0$ સમયે: $A$ નું પ્રારંભિક દબાણ = $P_i$,$P_B = 0$,$P_C = 0$.
સમય $t$ પર: ધારો કે $A$ ના દબાણમાં ઘટાડો $x$ છે. તો,$P_A = P_i - x$,$P_B = x$,અને $P_C = x$.
સમય $t$ પર કુલ દબાણ $P_t = P_A + P_B + P_C = (P_i - x) + x + x = P_i + x$ છે.
આથી,$x = P_t - P_i$.
સમય $t$ પર $A$ નું આંશિક દબાણ $P_A = P_i - x = P_i - (P_t - P_i) = 2P_i - P_t$ છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_{\text{initial}}}{P_{\text{final}}}$.
કિંમતો મૂકતા,$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_i}{2P_i - P_t}$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે સંકલિત વેગ સમીકરણ:
$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$
આપેલ છે: $K = 5.78 \times 10^{-5} \ s^{-1}$,$t = 10 \ hours = 36000 \ s$.
કિંમતો મૂકતા:
$5.78 \times 10^{-5} = \frac{2.303}{36000} \log \frac{a}{a-x}$
$\log \frac{a}{a-x} = \frac{5.78 \times 10^{-5} \times 36000}{2.303} \approx 0.903$
$\log 8 \approx 0.903$ હોવાથી,$\log \frac{a}{a-x} = \log 8$.
તેથી,$\frac{a}{a-x} = 8$,જેનો અર્થ છે કે બાકી રહેતો ભાગ $\frac{a-x}{a} = \frac{1}{8}$ છે.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$t$ સમયે પ્રક્રિયકની સાંદ્રતા સંકલિત વેગ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $[A]_t = [A]_0 e^{-kt}$.
અહીં,$[A]_0$ એ પ્રારંભિક સાંદ્રતા છે અને $[A]_t$ એ $t$ સમયે સાંદ્રતા છે.
વિયોજન પામેલ પદાર્થનો જથ્થો $[A]_0 - [A]_t = [A]_0 - [A]_0 e^{-kt} = [A]_0(1 - e^{-kt})$ છે.
વિયોજનની માત્રા $(\alpha)$ એ વિયોજન પામેલ જથ્થા અને પ્રારંભિક જથ્થાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\alpha = \frac{[A]_0(1 - e^{-kt})}{[A]_0} = 1 - e^{-kt}$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,પ્રક્રિયા પૂર્ણ થવા માટે જરૂરી સમય $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_{0.5}$ (અર્ધ-આયુષ્ય) માટે,$[A]_t = 0.5[A]_0$,તેથી $t_{0.5} = \frac{2.303}{k} \log 2$.
$t_{0.75}$ માટે,$[A]_t = 0.25[A]_0$,તેથી $t_{0.75} = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{0.25[A]_0} = \frac{2.303}{k} \log 4 = \frac{2.303}{k} \log 2^2 = 2 \times \frac{2.303}{k} \log 2$.
આમ,$t_{0.75} = 2 \times t_{0.5}$.
તેથી ગુણોત્તર $\frac{t_{0.75}}{t_{0.5}} = \frac{2}{1}$ અથવા $2 : 1$ થાય.

(C) $1^{st}$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ નું સૂત્ર $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ છે.
અર્ધ-આયુષ્ય એ પ્રારંભિક સાંદ્રતા $[A]$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,સાંદ્રતા બદલવાથી અર્ધ-આયુષ્ય પર કોઈ અસર થતી નથી.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્ય $5 \ minutes$ જ રહેશે.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $K$ નું સૂત્ર: $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
આપેલ છે: $[A]_0 = 0.4 \, M$,$[A]_t = 0.1 \, M$,અને $t = 20 \, \min$.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{2.303}{20} \log \frac{0.4}{0.1} = \frac{2.303}{20} \log 4$
$\log 4 = 0.6020$ હોવાથી:
$K = \frac{2.303 \times 0.6020}{20} \approx 0.0693 \, \min^{-1}$.

(C) પ્રક્રિયા $2H_2O_{2(aq)} \to 2H_2O_{(l)} + O_{2(g)}$ છે.
આપેલ વેગ અચળાંક $k = 3 \times 10^{-3} \ min^{-1}$.
$k$ ને $s^{-1}$ માં ફેરવતા: $k = \frac{3 \times 10^{-3}}{60} \ s^{-1} = 5 \times 10^{-5} \ s^{-1}$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે વેગ નિયમ $\text{Rate} = k[H_2O_2]$ છે.
આપેલ $\text{Rate} = 2 \times 10^{-4} \ M \ s^{-1}$.
$[H_2O_2] = \frac{\text{Rate}}{k} = \frac{2 \times 10^{-4} \ M \ s^{-1}}{5 \times 10^{-5} \ s^{-1}} = 4 \ M$.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા પ્રક્રિયકનો જથ્થો આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{બાકી રહેલો અંશ} = \frac{1}{2^n}$.
અહીં,$n = 3$ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
તેથી,$\text{બાકી રહેલો અંશ} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125$.
ટકાવારી શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણાકાર કરો: $0.125 \times 100 = 12.5\%$.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે સંકલિત વેગ સમીકરણ: $\ln \frac{a}{a-x} = kt$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{a-x}{a} = e^{-kt}$
આને આ રીતે લખી શકાય: $1 - \frac{x}{a} = e^{-kt}$
વિયોજન અંશ,જેને $\alpha$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે પ્રારંભિક સાંદ્રતાનો પ્રતિક્રિયા પામેલો અંશ છે,એટલે કે $\alpha = \frac{x}{a}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1 - \alpha = e^{-kt}$
તેથી,$\alpha = 1 - e^{-kt}$

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = 120 \ min$ છે.
વેગ અચળાંક $K$ ની ગણતરી: $K = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{120} = 5.775 \times 10^{-3} \ min^{-1}$.
$90\%$ વિઘટન માટે,બાકી રહેલી સાંદ્રતા પ્રારંભિક સાંદ્રતાના $10\%$ છે $([A]_0 = 100, [A]_t = 10)$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $t = \frac{2.303}{K} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$.
$t_{90\%} = \frac{2.303}{5.775 \times 10^{-3}} \log \frac{100}{10} = \frac{2.303}{5.775 \times 10^{-3}} \times 1 = 398.8 \ min$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગનું સમીકરણ $r = k[A]$ છે.
આપેલ છે: $r = 2.0 \times 10^{-5} \ M \ sec^{-1}$ અને $[A] = 0.01 \ M$.
કિંમતો મૂકતા: $2.0 \times 10^{-5} = k \times 0.01$.
$k = \frac{2.0 \times 10^{-5}}{10^{-2}} = 2.0 \times 10^{-3} \ sec^{-1}$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ છે.
$t_{1/2} = \frac{0.693}{2.0 \times 10^{-3}} = 0.3465 \times 10^3 = 346.5 \ sec$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$ છે.
આપેલ છે કે $t_{1/2} = 6.93 \times 10^{-3} \, \text{min}$,તેથી $6.93 \times 10^{-3} = \frac{0.693}{K}$.
આમ,$K = \frac{0.693}{6.93 \times 10^{-3}} = 10^2 \, \text{min}^{-1}$.
આપેલ સમીકરણમાં $K$ ની કિંમત મૂકતા: $\log_{10} (10^2) = 12 - \frac{6 \times 10^3}{T}$.
$2 \log_{10} 10 = 12 - \frac{6 \times 10^3}{T}$.
$\log_{10} 10 = 1$ હોવાથી,$2 = 12 - \frac{6 \times 10^3}{T}$.
$\frac{6 \times 10^3}{T} = 12 - 2 = 10$.
$T = \frac{6 \times 10^3}{10} = 600 \, K$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
$t_{1/4}$ સમયે,વપરાયેલ પ્રક્રિયકનો જથ્થો $\frac{1}{4}[A]_0$ છે,તેથી બાકી રહેલી સાંદ્રતા $[A]_t = [A]_0 - \frac{1}{4}[A]_0 = \frac{3}{4}[A]_0$ થશે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$t_{1/4} = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{\frac{3}{4}[A]_0} = \frac{2.303}{k} \log \frac{4}{3}$.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ છે.
$75\%$ પૂર્ણતા માટે,$[A]_t = 100 - 75 = 25$,તેથી $t_{75\%} = \frac{2.303}{K} \log \frac{100}{25} = \frac{2.303}{K} \log 4 = 100 \ min$ ...... $(i)$
$87.5\%$ પૂર્ણતા માટે,$[A]_t = 100 - 87.5 = 12.5$,તેથી $t_{87.5\%} = \frac{2.303}{K} \log \frac{100}{12.5} = \frac{2.303}{K} \log 8$ ...... $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{t_{87.5\%}}{100} = \frac{\log 8}{\log 4} = \frac{\log 2^3}{\log 2^2} = \frac{3 \log 2}{2 \log 2} = 1.5$
$t_{87.5\%} = 1.5 \times 100 = 150 \ min$.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$ છે.
$10 \%$ પૂર્ણતા માટે,$x = 10$ અને $t = 20 \, \text{min}$.
$k = \frac{2.303}{20} \log \frac{100}{90} \approx 0.00527 \, \text{min}^{-1}$.
હવે,$19 \%$ પૂર્ણતા માટે,$x = 19$ અને $a = 100$.
$t = \frac{2.303}{0.00527} \log \frac{100}{81} \approx 40 \, \text{min}$.

(A) પ્રક્રિયા $A_{(g)} \to 2B_{(g)} + C_{(g)}$ માટે:
$t=0$ સમયે,$A, B, C$ નું દબાણ અનુક્રમે $P_0, 0, 0$ છે.
સમય $t$ પર,ધારો કે $A$ નું દબાણ $x$ જેટલું ઘટે છે. તેથી $P_A = P_0 - x$,$P_B = 2x$,અને $P_C = x$.
કુલ દબાણ $P_t = (P_0 - x) + 2x + x = P_0 + 2x$.
આથી,$2x = P_t - P_0$,તેથી $x = \frac{P_t - P_0}{2}$.
સમય $t$ પર $A$ નું દબાણ $P_A = P_0 - x = P_0 - \frac{P_t - P_0}{2} = \frac{2P_0 - P_t + P_0}{2} = \frac{3P_0 - P_t}{2}$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$K = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{P_0}{P_A} \right) = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{P_0}{(3P_0 - P_t)/2} \right) = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{2P_0}{3P_0 - P_t} \right)$.