Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Hindi

(A) एक सिरे पर बंद ऑर्गन पाइप के लिए,हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = (2n - 1)f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ और $f_0 = 1500 \ Hz$ है।
मूल आवृत्ति $f_1 = 1500 \ Hz$ है।
ओवरटोन्स मूल आवृत्ति से अधिक आवृत्तियाँ हैं,जो $n > 1$ के लिए $f_n = (2n - 1)f_0$ द्वारा प्राप्त होती हैं।
हमें $f_n \leq 19500 \ Hz$ की आवश्यकता है।
$(2n - 1) \times 1500 \leq 19500$.
$2n - 1 \leq \frac{19500}{1500} = 13$.
$2n \leq 14$,इसलिए $n \leq 7$.
$n$ के लिए संभावित मान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ हैं।
चूंकि $n=1$ मूल आवृत्ति है,इसलिए ओवरटोन्स $n = 2, 3, 4, 5, 6, 7$ के अनुरूप हैं।
इस प्रकार,कुल $7 - 1 = 6$ ओवरटोन्स हैं।

(A) $L$ लंबाई की दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए मूल अनुनाद आवृत्ति $n_1 = \frac{V}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ हवा में ध्वनि की गति है।
$L$ लंबाई की एक सिरे पर बंद पाइप के लिए मूल अनुनाद आवृत्ति $n_2 = \frac{V}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$n_2 = \frac{V}{4L} = \frac{1}{2} \left( \frac{V}{2L} \right)$
$n_2 = \frac{n_1}{2}$
अतः,$n_1 = 2 n_2$।

(D) वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट वाली नली के लिए अंत सुधार $e$ का सूत्र $e = 0.6r$ या $e = 0.3d$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $d$ नली का व्यास है।
चूंकि अंत सुधार $e$ नली के व्यास $d$ के सीधे आनुपातिक है $(e \propto d)$,इसलिए नली का व्यास बढ़ाने पर अंत सुधार का मान बढ़ जाएगा।
अतः,यदि नली को चौड़ा किया जाता है तो अंत सुधार अधिक होगा।

(C) $L$ लंबाई की एक सिरे पर बंद नली के लिए,मूल तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 4L$ है। मूल आवृत्ति $f_A = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{4L}$ है।
$L$ लंबाई की दोनों सिरों पर खुली नली के लिए,मूल तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 2L$ है। मूल आवृत्ति $f_B = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{2L}$ है।
नली $A$ और नली $B$ की मूल आवृत्ति का अनुपात $\frac{f_A}{f_B} = \frac{v/4L}{v/2L} = \frac{2L}{4L} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,अनुपात $1: 2$ है।

(C) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,संभावित आवृत्तियाँ $f_n = (2n + 1)f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$ ओवरटोन संख्या को दर्शाता है।
$n$-वें ओवरटोन के लिए,नोड्स की संख्या $(n + 1)$ होती है और एंटीनोड्स की संख्या $(n + 1)$ होती है।
चूंकि वायु स्तंभ चौथे ओवरटोन में कंपन कर रहा है,इसलिए $n = 4$ है।
अतः,नोड्स की संख्या = $4 + 1 = 5$ है।
एंटीनोड्स की संख्या = $4 + 1 = 5$ है।
इस प्रकार,कंपन करते हुए वायु स्तंभ में $5$ नोड और $5$ एंटीनोड हैं।

(B) $L_O$ लंबाई वाली खुली पाइप की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2 L_O}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ हार्मोनिक संख्या है। दूसरा ओवरटोन $3^{rd}$ हार्मोनिक $(n=3)$ के अनुरूप है। अतः,$f_{O,2} = \frac{3 v}{2 L_O}$.
$L_C$ लंबाई वाली बंद पाइप के लिए,आवृत्ति $f_m = \frac{(2m-1) v}{4 L_C}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m = 1, 2, 3, \dots$ ओवरटोन संख्या है। पहला ओवरटोन $m=2$ ($3^{rd}$ हार्मोनिक) के अनुरूप है। अतः,$f_{C,1} = \frac{3 v}{4 L_C}$.
यह दिया गया है कि $f_{O,2} = f_{C,1}$,इसलिए:
$\frac{3 v}{2 L_O} = \frac{3 v}{4 L_C}$
$\frac{1}{2 L_O} = \frac{1}{4 L_C}$
$L_C = \frac{L_O}{2} = \frac{1.5 \ m}{2} = 0.75 \ m$.

(A) $L$ लंबाई के दोनों सिरों पर खुले ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
जब नली को पानी में लंबवत इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी आधी लंबाई पानी में डूब जाए,तो वायु स्तंभ की प्रभावी लंबाई $L' = \frac{L}{2}$ हो जाती है।
नली का निचला सिरा अब पानी की सतह से बंद हो जाता है,जिससे यह $L' = \frac{L}{2}$ लंबाई का एक बंद ऑर्गन पाइप बन जाता है।
बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f' = \frac{v}{4L'}$ द्वारा दी जाती है।
सूत्र में $L' = \frac{L}{2}$ रखने पर,हमें $f' = \frac{v}{4(L/2)} = \frac{v}{2L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f = \frac{v}{2L}$,इसलिए $f' = f$ होता है।
अतः,मूल आवृत्ति समान रहती है।

(D) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,मूलभूत विधा लंबाई $L = \frac{\lambda}{4}$ के अनुरूप होती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
इस प्रकार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4L$ है।
ध्वनि तरंग को पाइप की लंबाई $L$ तय करने में लगा समय $t$ दिया गया है। चूंकि ध्वनि की गति $v$ स्थिर है,इसलिए $v = \frac{L}{t}$ है।
आवृत्ति $f$ को $f = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f = \frac{L/t}{4L} = \frac{1}{4t} = \frac{0.25}{t}$ प्राप्त होता है।
अतः,वायु स्तंभ के कंपन की आवृत्ति $\frac{0.25}{t}$ Hz है।
विकल्प $(D)$ सही है।

(D) दोनों सिरों पर खुली $L$ लंबाई की बेलनाकार नली के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
जब नली को पानी में लंबवत इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी लंबाई का एक-तिहाई हिस्सा पानी में डूब जाए,तो वायु स्तंभ की लंबाई $L' = L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ हो जाती है।
अब यह नली एक सिरे पर बंद (पानी की सतह) और दूसरे सिरे पर खुली पाइप के रूप में कार्य करती है।
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f' = \frac{v}{4L'}$ होती है।
$L' = \frac{2L}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f' = \frac{v}{4(2L/3)} = \frac{3v}{8L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f = \frac{v}{2L}$,हम लिख सकते हैं कि $f' = \frac{3}{4} \times \frac{v}{2L} = \frac{3}{4}f$.

(B) एक बंद पाइप में,ध्वनि तरंगें वायु स्तंभ से होकर गुजरती हैं और बंद सिरे से परावर्तित होती हैं।
ये परावर्तित तरंगें आपतित तरंगों के साथ व्यतिकरण करके अप्रगामी (स्थिर) तरंगें बनाती हैं।
चूंकि ध्वनि तरंगें दबाव तरंगें होती हैं,इसलिए वे प्रकृति में अनुदैर्ध्य होती हैं।
अतः,एक बंद पाइप में उत्पन्न तरंगें अनुदैर्ध्य और अप्रगामी होती हैं।

(D) दिया गया है: पाइप की लंबाई $L = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$.
आवृत्ति $f = 1.1 \text{ kHz} = 1100 \text{ Hz}$.
ध्वनि की गति $v = 330 \text{ ms}^{-1}$.
दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \times \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $1100 = n \times \frac{330}{2 \times 0.3}$.
$1100 = n \times \frac{330}{0.6}$.
$1100 = n \times 550$.
$n = \frac{1100}{550} = 2$.
अतः,पाइप दूसरे हार्मोनिक मोड में अनुनाद करती है।

(A) बंद पाइप के $n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{c} = \frac{(2n+1)v}{4l_{1}}$ द्वारा दी जाती है। प्रथम ओवरटोन के लिए,$n=1$,इसलिए $f_{c} = \frac{3v}{4l_{1}}$.
खुले पाइप के $m^{\text{th}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_{o} = \frac{mv}{2l_{2}}$ द्वारा दी जाती है। $2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक के लिए,$m=2$,इसलिए $f_{o} = \frac{2v}{2l_{2}} = \frac{v}{l_{2}}$.
यह दिया गया है कि $f_{c} = f_{o}$,इसलिए $\frac{3v}{4l_{1}} = \frac{v}{l_{2}}$.
अनुपात $\frac{l_{1}}{l_{2}}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) $L_o$ लंबाई की खुली पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2 L_o}$ होती है। दूसरा ओवरटोन $3$ रे हार्मोनिक $(n=3)$ के अनुरूप होता है,इसलिए $f_{o} = \frac{3 v}{2 L_o}$।
$L_c$ लंबाई की बंद पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{(2n-1) v}{4 L_c}$ होती है। पहला ओवरटोन $3$ रे हार्मोनिक $(n=2)$ के अनुरूप होता है,इसलिए $f_{c} = \frac{3 v}{4 L_c}$।
यह दिया गया है कि $f_o = f_c$,इसलिए $\frac{3 v}{2 L_o} = \frac{3 v}{4 L_c}$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{1}{2 L_o} = \frac{1}{4 L_c}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{L_o}{L_c} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$।

(D) मान लीजिए कि दोनों पाइपों की लंबाई $L$ है। एक खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_{o} = \frac{v}{2L}$ है और एक बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_{c} = \frac{v}{4L}$ है।
दिया गया है कि $f_{o} - f_{c} = 2 \text{ Hz}$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L} = 2 \Rightarrow \frac{v}{4L} = 2 \text{ Hz}$।
इस प्रकार,$f_{c} = 2 \text{ Hz}$ और $f_{o} = 2f_{c} = 4 \text{ Hz}$।
अब,खुली पाइप की लंबाई आधी कर दी जाती है $(L_{o}' = L/2)$,इसलिए इसकी नई आवृत्ति $f_{o}' = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 2f_{o} = 2 \times 4 = 8 \text{ Hz}$ है।
बंद पाइप की लंबाई दोगुनी कर दी जाती है $(L_{c}' = 2L)$,इसलिए इसकी नई आवृत्ति $f_{c}' = \frac{v}{4(2L)} = \frac{1}{2} \left(\frac{v}{4L}\right) = \frac{1}{2} f_{c} = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \text{ Hz}$ है।
प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले बीट्स की संख्या $|f_{o}' - f_{c}'| = |8 - 1| = 7 \text{ Hz}$ है।

(A) $\text{L}$ लंबाई की खुली बेलनाकार नली की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2L} = 390 \,Hz$ द्वारा दी जाती है।
जब नली का $\frac{1}{4}$ भाग पानी में डुबोया जाता है, तो नली एक बंद ऑर्गन पाइप (एक सिरे पर बंद) के रूप में कार्य करती है, जिसकी नई लंबाई $L' = L - \frac{1}{4}L = \frac{3}{4}L$ होती है।
बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n' = \frac{v}{4L'}$ द्वारा दी जाती है।
$L' = \frac{3}{4}L$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $n' = \frac{v}{4(\frac{3}{4}L)} = \frac{v}{3L}$ प्राप्त होता है।
हम इसे $n' = \frac{2}{3} \times (\frac{v}{2L})$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\frac{v}{2L} = 390 \,Hz$, इसलिए $n' = \frac{2}{3} \times 390 \,Hz = 260 \,Hz$ होगा।

(A) $l$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
जब नली को पानी में लंबवत इस प्रकार रखा जाता है कि उसकी आधी लंबाई डूब जाए,तो यह $l' = \frac{l}{2}$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप के रूप में कार्य करती है।
बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f' = \frac{v}{4l'}$ द्वारा दी जाती है।
$f'$ के व्यंजक में $l' = \frac{l}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f' = \frac{v}{4(l/2)} = \frac{v}{2l}$.
इसकी तुलना प्रारंभिक आवृत्ति $f = \frac{v}{2l}$ से करने पर,हम पाते हैं कि $f' = f$.

$(A)$ $\text{दिया गया है: } n_0 = 140 \,Hz, T_0 = 27^{\circ} C = 300 \,K, \text{और } T_1 = 57.75^{\circ} C = 330.75 \,K$.
$\text{चूंकि ऑर्गन पाइप की आवृत्ति ध्वनि की गति के समानुपाती होती है } (n \propto v), \text{और ध्वनि की गति परम तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होती है } (v \propto \sqrt{T}), \text{इसलिए } n \propto \sqrt{T} \text{ होता है।}
\text{अतः, } \frac{n_1}{n_0} = \sqrt{\frac{T_1}{T_0}}.
\text{मान रखने पर: } \frac{n_1}{140} = \sqrt{\frac{330.75}{300}} = \sqrt{1.1025} = 1.05.
\text{इस प्रकार, } n_1 = 140 \times 1.05 = 147 \,Hz.
\text{प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या आवृत्तियों का अंतर है: } n_1 - n_0 = 147 \,Hz - 140 \,Hz = 7 \,Hz.
\text{अतः, सही विकल्प } A \text{ है।}$

(B) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए, $n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \cdot f_1$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक होना चाहिए $(n = 1, 3, 5, 7, 9, ...)$।
$L$ लंबाई के एक बंद ऑर्गन पाइप में, $n^{th}$ हार्मोनिक के लिए बनने वाले नोड्स की संख्या $N$ सूत्र $N = \frac{n+1}{2}$ द्वारा दी जाती है।
पांचवें हार्मोनिक $(n = 5)$ के लिए:
$N_5 = \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3$।
नौवें हार्मोनिक $(n = 9)$ के लिए:
$N_9 = \frac{9+1}{2} = \frac{10}{2} = 5$।
अतः, बनने वाले नोड्स की संख्या क्रमशः $3$ और $5$ है।

(B) दोनों सिरों पर खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ हार्मोनिक मोड है।
दिया गया है:
लंबाई $L = 30 \ cm = 0.3 \ m$
आवृत्ति $f = 1.65 \ kHz = 1650 \ Hz$
ध्वनि का वेग $v = 330 \ m/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$1650 = \frac{n \times 330}{2 \times 0.3}$
$1650 = \frac{n \times 330}{0.6}$
$1650 = n \times 550$
$n = \frac{1650}{550} = 3$
अतः,पाइप $3$ रे हार्मोनिक मोड में अनुनाद करती है।

(D) चित्र $(a)$ के लिए,$L = \frac{\lambda_1}{4} \Rightarrow \lambda_1 = 4L$.
चित्र $(b)$ के लिए,$L = \frac{\lambda_2}{4} + \frac{\lambda_2}{2} + \frac{\lambda_2}{4} = \lambda_2 \Rightarrow \lambda_2 = L$.
चित्र $(c)$ के लिए,$L = \frac{\lambda_3}{4} + \frac{\lambda_3}{4} + \frac{\lambda_3}{2} = \lambda_3 \Rightarrow \lambda_3 = 2L$.
चित्र $(d)$ के लिए,$L = \frac{\lambda_4}{2} + \frac{\lambda_4}{4} = \frac{3\lambda_4}{4} \Rightarrow \lambda_4 = \frac{4L}{3}$.
चूंकि आवृत्ति $f \propto \frac{1}{\lambda}$,इसलिए $f_1 : f_2 : f_3 : f_4 = \frac{1}{\lambda_1} : \frac{1}{\lambda_2} : \frac{1}{\lambda_3} : \frac{1}{\lambda_4}$.
मान रखने पर: $f_1 : f_2 : f_3 : f_4 = \frac{1}{4L} : \frac{1}{L} : \frac{1}{2L} : \frac{3}{4L}$.
$4L$ से गुणा करने पर,हमें $1 : 4 : 2 : 3$ प्राप्त होता है।

(C) $L$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति:
$f_0 = \frac{v}{2L} = 100 \ Hz$
जब निचले सिरे को बंद कर दिया जाता है और पाइप का $1/3$ भाग पानी से भर दिया जाता है,तो वायु स्तंभ की प्रभावी लंबाई $L' = L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ हो जाती है।
$L'$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति:
$f' = \frac{v}{4L'}$
$L' = \frac{2L}{3}$ रखने पर:
$f' = \frac{v}{4(2L/3)} = \frac{3v}{8L}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f' = \frac{3}{4} \left( \frac{v}{2L} \right)$
चूंकि $\frac{v}{2L} = 100 \ Hz$,इसलिए:
$f' = \frac{3}{4} \times 100 = 75 \ Hz$

(A) खुले ऑर्गन पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2 l_o}$ द्वारा दी जाती है।
तीसरे हार्मोनिक $(n=3)$ के लिए,$f_{open} = \frac{3 v}{2 l_o}$।
यहाँ $l_o = 72 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $f_{open} = \frac{3 v}{2 \times 72} = \frac{v}{48}$।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति ($n$ विषम संख्या है) $f_n = \frac{n v}{4 l_c}$ द्वारा दी जाती है।
पांचवें हार्मोनिक $(n=5)$ के लिए,$f_{closed} = \frac{5 v}{4 l_c}$।
प्रश्न के अनुसार,$f_{closed} = f_{open}$।
$\frac{5 v}{4 l_c} = \frac{3 v}{2 l_o}$।
$l_o = 72 \ cm$ रखने पर:
$\frac{5}{4 l_c} = \frac{3}{2 \times 72} = \frac{3}{144} = \frac{1}{48}$।
$4 l_c = 5 \times 48 = 240$।
$l_c = \frac{240}{4} = 60 \ cm$।

(D) खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है, बीट आवृत्ति $f_b = \frac{40}{10} = 4 \,Hz$.
मान लीजिए $l_1 = 50 \,cm = 0.5 \,m$ और $l_2 = 51 \,cm = 0.51 \,m$.
आवृत्तियों का अंतर $f_1 - f_2 = 4 \,Hz$ है।
$\frac{v}{2l_1} - \frac{v}{2l_2} = 4$
$\frac{v}{2} \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{0.51} \right) = 4$
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.51 - 0.5}{0.5 \times 0.51} \right) = 4$
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.01}{0.255} \right) = 4$
$v \left( \frac{0.01}{0.51} \right) = 4$
$v = \frac{4 \times 0.51}{0.01} = 4 \times 51 = 204 \,ms^{-1}$.

(A) $l_O$ लंबाई की खुली पाइप के लिए, $n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \cdot \frac{V}{2 l_O}$ द्वारा दी जाती है।
खुली पाइप के लिए, दूसरी हार्मोनिक $(n=2)$ $f_2 = 2 \cdot \frac{V}{2 l_O} = \frac{V}{l_O}$ है।
$l_C$ लंबाई की बंद पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{V}{4 l_C}$ है।
यह दिया गया है कि खुली पाइप की दूसरी हार्मोनिक, बंद पाइप की मूल आवृत्ति के बराबर है:
$\frac{V}{l_O} = \frac{V}{4 l_C}$.
$l_O = 80 \,cm$ रखने पर:
$\frac{1}{80} = \frac{1}{4 l_C}$.
$4 l_C = 80$.
$l_C = 20 \,cm$.

(B) माना नली की लंबाई $L$ है।
खुले ऑर्गन पाइप के लिए मूल आवृत्ति का सूत्र है:
$f = \frac{V}{2L}$
जब नली को पानी में लंबवत इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी लंबाई का $60 \%$ भाग पानी में डूबा रहे,तो पानी की सतह के ऊपर बचा हुआ वायु स्तंभ का भाग एक बंद ऑर्गन पाइप की तरह कार्य करता है (एक सिरे पर पानी की सतह द्वारा बंद)।
इस वायु स्तंभ की लंबाई है:
$l' = (100 \% - 60 \%) L = 40 \% L = 0.4L = \frac{2L}{5}$
बंद ऑर्गन पाइप के लिए मूल आवृत्ति का सूत्र है:
$f' = \frac{V}{4l'}$
$l'$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$f' = \frac{V}{4(\frac{2L}{5})} = \frac{5V}{8L}$
इसे $f$ के पदों में फिर से लिखने पर:
$f' = \frac{5}{4} \left( \frac{V}{2L} \right) = \frac{5}{4} f$

(C) अनुनाद नली में वायु स्तंभ की आवृत्ति ध्वनि की गति के समानुपाती होती है,जो परम तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होती है $(v \propto \sqrt{T})$।
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है।
$T_1 = 273 + 51 = 324 \ K$ पर,वायु स्तंभ की आवृत्ति $n_1 = n + 3$ है।
$T_2 = 273 + 16 = 289 \ K$ पर,वायु स्तंभ की आवृत्ति $n_2 = n - 3$ है।
संबंध $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n+3}{n-3} = \sqrt{\frac{324}{289}} = \frac{18}{17}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $17(n + 3) = 18(n - 3)$।
$17n + 51 = 18n - 54$।
$n = 51 + 54 = 105 \ Hz$।

(C) खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$n^{th}$ ओवरटोन की तरंग दैर्ध्य $\lambda_n = \frac{2l}{n+1}$ द्वारा दी जाती है।
$3^{rd}$ ओवरटोन के लिए,$n=3$,इसलिए $\lambda = \frac{2l}{3+1} = \frac{2l}{4} = \frac{l}{2}$।
चूंकि पाइप दोनों सिरों पर खुली है,इसलिए खुले सिरों पर एंटीनोड (अधिकतम आयाम $A$) बनते हैं।
एंटीनोड से $x$ दूरी पर विस्थापन आयाम $R = A \cos(kx)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
यहाँ $x = \frac{l}{16}$ दिया गया है,इसलिए फेज कोण $\phi = kx = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{l}{16}$ होगा।
$\lambda = \frac{l}{2}$ रखने पर,हमें $\phi = \frac{2\pi}{(l/2)} \cdot \frac{l}{16} = \frac{4\pi}{l} \cdot \frac{l}{16} = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,आयाम $R = A \cos(\frac{\pi}{4}) = A \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{A}{\sqrt{2}}$ होगा।

(B) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है। एक बंद पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $L$ पाइप की लंबाई है।
चूंकि $f$ स्थिर है, $\frac{v_1}{L_1} = \frac{v_2}{L_2}$, जिसका अर्थ है $\frac{L_2}{L_1} = \frac{v_2}{v_1}$।
ध्वनि की गति $v$ निरपेक्ष तापमान $T$ के वर्गमूल के समानुपाती होती है $(v \propto \sqrt{T})$।
अतः, $\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
यहाँ $T_1 = 27 + 273 = 300 \,K$ और $T_2 = 7 + 273 = 280 \,K$ दिया गया है।
$L_1 = 20 \,cm = 200 \,mm$।
$L_2 = L_1 \sqrt{\frac{280}{300}} = 200 \times \sqrt{\frac{28}{30}} = 200 \times \sqrt{0.9333} \approx 200 \times 0.966 = 193.2 \,mm$।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L_1 - L_2 = 200 \,mm - 193.2 \,mm = 6.8 \,mm \approx 7 \,mm$।

(B) बंद ऑर्गन पाइप के लिए,पहला ओवरटोन $3^{rd}$ हार्मोनिक होता है। आवृत्ति $f = \frac{3v_1}{4L} = \frac{3}{4L} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta$ संपीड्यता है।
खुली ऑर्गन पाइप के लिए,पहला ओवरटोन $2^{nd}$ हार्मोनिक होता है। आवृत्ति $f = \frac{2v_2}{2L'} = \frac{v_2}{L'} = \frac{1}{L'} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए संपीड्यता $\beta$ समान है,आवृत्तियों की तुलना करने पर:
$\frac{3}{4L} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}} = \frac{1}{L'} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$
$\frac{3}{4L \sqrt{\rho_1}} = \frac{1}{L' \sqrt{\rho_2}}$
$L' = \frac{4L}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$.

(B) क्रमिक अनुनाद आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta f = 595 - 425 = 170 \,Hz$ और $765 - 595 = 170 \,Hz$ है।
चूंकि क्रमिक आवृत्तियों के बीच का अंतर $2f_0$ है (जहाँ $f_0$ मूल आवृत्ति है), इसलिए पाइप एक बंद ऑर्गन पाइप होनी चाहिए।
अतः, $2f_0 = 170 \,Hz$, जिससे $f_0 = 85 \,Hz$ प्राप्त होता है।
बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति का सूत्र $f_0 = \frac{v}{4l}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $85 = \frac{340}{4l}$।
$l$ के लिए हल करने पर: $l = \frac{340}{4 \times 85} = \frac{340}{340} = 1 \,m$।

(A) एक बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ गैस में ध्वनि की गति है और $l$ पाइप की लंबाई है।
चूँकि $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$,इसलिए $f = \frac{1}{4l} \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ होता है।
यह दिया गया है कि दोनों पाइपों के लिए मूल आवृत्ति $f$ और तापमान $T$ समान हैं,इसलिए $l \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,$M_1 = 32 \ g/mol$। हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए,$M_2 = 2 \ g/mol$।
उनकी लंबाइयों का अनुपात $\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,उनकी लंबाइयों का अनुपात $1:4$ है।

(C) $L_1$ लंबाई की खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{2 L_1}$ है,जिसका अर्थ है $L_1 = \frac{v}{2 n_1}$।
$L_2$ लंबाई की बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_2 = \frac{v}{4 L_2}$ है,जिसका अर्थ है $L_2 = \frac{v}{4 n_2}$।
संयुक्त पाइप एक सिरे पर बंद और दूसरे पर खुली है,जिसकी कुल लंबाई $L = L_1 + L_2$ है।
संयुक्त पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4 L} = \frac{v}{4(L_1 + L_2)}$ है।
$L_1$ और $L_2$ के मान रखने पर: $n = \frac{v}{4(\frac{v}{2 n_1} + \frac{v}{4 n_2})} = \frac{v}{4v(\frac{1}{2 n_1} + \frac{1}{4 n_2})} = \frac{1}{\frac{2}{4 n_1} + \frac{1}{4 n_2}} = \frac{1}{\frac{1}{2 n_1} + \frac{1}{4 n_2}} = \frac{1}{\frac{2 n_2 + n_1}{4 n_1 n_2}} = \frac{n_1 n_2}{n_1 + 2 n_2}$।

(C) एक अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी होती है,$\lambda/2 = L$,इसलिए $\lambda = 2L$ है।
गैस में ध्वनि की चाल $v$ को $v = f \lambda = f(2L) = 2fL$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस में ध्वनि की चाल $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ द्वारा भी दी जाती है।
$v$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $2fL = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4f^2 L^2 = \frac{\gamma R T}{M}$।
$\gamma$ के लिए हल करने पर: $\gamma = \frac{4 M f^2 L^2}{R T}$।

(B) मान लीजिए $L_o$ और $L_c$ क्रमशः ओपन और क्लोज्ड पाइप की लंबाई हैं। दिया गया है कि $L_o / L_c = 2 / 3$ है।
ओपन पाइप के लिए, $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_{o,n} = n(v / 2L_o)$ द्वारा दी जाती है। तीसरा हार्मोनिक $(n=3)$ $f_{o,3} = 3(v / 2L_o)$ है।
क्लोज्ड पाइप के लिए, $m$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_{c,m} = m(v / 4L_c)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $m$ एक विषम पूर्णांक होना चाहिए। पांचवां हार्मोनिक $(m=5)$ $f_{c,5} = 5(v / 4L_c)$ है।
आवृत्तियों का अनुपात $R = f_{o,3} / f_{c,5} = [3(v / 2L_o)] / [5(v / 4L_c)]$ है।
$R = (3v / 2L_o) \times (4L_c / 5v) = (3 \times 4 \times L_c) / (2 \times 5 \times L_o) = (12 / 10) \times (L_c / L_o)$।
चूंकि $L_o / L_c = 2 / 3$, इसलिए $L_c / L_o = 3 / 2$ है।
इस मान को रखने पर: $R = (1.2) \times (1.5) = 1.8 = 18 / 10 = 9 / 5$।
अतः, अनुपात $9 : 5$ है।

(A) मान लीजिए कि $v$ ध्वनि की गति है और $l$ पाइप की लंबाई है।
खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{o} = \frac{v}{2l}$ है।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{c} = \frac{v}{4l}$ है।
यह दिया गया है कि इन मूल आवृत्तियों के बीच का अंतर $100 \ Hz$ है:
$f_{o} - f_{c} = 100 \ Hz \implies \frac{v}{2l} - \frac{v}{4l} = 100 \ Hz \implies \frac{v}{4l} = 100 \ Hz$.
खुली पाइप का दूसरा हार्मोनिक $f_{2,o} = 2 \times f_{o} = 2 \times \frac{v}{2l} = \frac{v}{l}$ है।
बंद पाइप का तीसरा हार्मोनिक $f_{3,c} = 3 \times f_{c} = 3 \times \frac{v}{4l} = \frac{3v}{4l}$ है।
इन आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$f_{2,o} - f_{3,c} = \frac{v}{l} - \frac{3v}{4l} = \frac{4v - 3v}{4l} = \frac{v}{4l}$.
चूंकि $\frac{v}{4l} = 100 \ Hz$,इसलिए आवश्यक अंतर $100 \ Hz$ है।

(D) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_c = \frac{nv}{4L_c}$ द्वारा दी जाती है। सातवें $(7^{th})$ हार्मोनिक के लिए,$n = 7$,इसलिए $f_c = \frac{7v}{4L_c}$।
एक खुले ऑर्गन पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_o = \frac{nv}{2L_o}$ द्वारा दी जाती है। चौथे $(4^{th})$ हार्मोनिक के लिए,$n = 4$,इसलिए $f_o = \frac{4v}{2L_o}$।
यह दिया गया है कि दोनों आवृत्तियाँ एकसमान (unison) हैं,इसलिए $f_c = f_o$।
अतः,$\frac{7v}{4L_c} = \frac{4v}{2L_o}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{7}{4L_c} = \frac{2}{L_o}$।
लंबाई का अनुपात ज्ञात करने पर: $\frac{L_c}{L_o} = \frac{7}{4 \times 2} = \frac{7}{8}$।

(C) दोनों सिरों पर खुली एक ऑर्गन पाइप में प्रत्येक खुले सिरे पर एक प्रस्पंद (antinode) होना चाहिए। जब केंद्र $(x = \frac{L}{2})$ पर एक अतिरिक्त छेद बनाया जाता है,तो इस बिंदु पर हवा वायुमंडल के संपर्क में होती है,जो इस स्थिति पर भी एक प्रस्पंद बनाने के लिए मजबूर करती है।
न्यूनतम आवृत्ति (मूल विधा) के लिए,अप्रगामी तरंग में दोनों सिरों और केंद्र के छेद पर प्रस्पंद होने चाहिए।
दो क्रमागत प्रस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
यहाँ,सिरे के प्रस्पंद और केंद्र के प्रस्पंद के बीच की दूरी $\frac{L}{2}$ है।
इसलिए,$\frac{\lambda}{2} = \frac{L}{2} \implies \lambda = L = 25 \,cm = 0.25 \,m$.
आवृत्ति $f$ का मान $f = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$f = \frac{340}{0.25} = 1360 \,Hz$.

(D) स्रोत की आवृत्ति $f = 340 \,Hz$ है और ध्वनि का वेग $v = 340 \,m/s$ है।
ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{340} = 1 \,m = 100 \,cm$ है।
एक सिरे पर बंद नली के लिए, अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $l$, $l = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ को संतुष्ट करती है, जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
$n=1$ के लिए, $l_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{100}{4} = 25 \,cm$.
$n=2$ के लिए, $l_2 = \frac{3\lambda}{4} = \frac{3 \times 100}{4} = 75 \,cm$.
$n=3$ के लिए, $l_3 = \frac{5\lambda}{4} = \frac{5 \times 100}{4} = 125 \,cm$.
चूँकि नली की कुल लंबाई $120 \,cm$ है, वायु स्तंभ की संभावित लंबाई $25 \,cm$ और $75 \,cm$ है।
तली से जल स्तर की ऊँचाई $h$ को $h = L - l$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L = 120 \,cm$ नली की कुल लंबाई है।
$l_1 = 25 \,cm$ के लिए, $h_1 = 120 - 25 = 95 \,cm = 0.95 \,m$.
$l_2 = 75 \,cm$ के लिए, $h_2 = 120 - 75 = 45 \,cm = 0.45 \,m$.
जल स्तर की न्यूनतम ऊँचाई $0.45 \,m$ है।

(C) मान लीजिए पाइप की लंबाई $l$ है और ध्वनि की गति $v$ है।
बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4l}$ है।
बंद पाइप का $3^{rd}$ हार्मोनिक $f_{3,c} = 3 \times f_c = \frac{3v}{4l}$ है।
खुले पाइप की मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2l}$ है।
प्रश्न के अनुसार, खुले पाइप की मूल आवृत्ति, बंद पाइप के $3^{rd}$ हार्मोनिक से $55 \,Hz$ कम है:
$f_{3,c} - f_o = 55 \,Hz$
$\frac{3v}{4l} - \frac{v}{2l} = 55$
$\frac{3v - 2v}{4l} = 55$
$\frac{v}{4l} = 55 \,Hz$
चूंकि बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4l}$ है, इसलिए इसका मान $55 \,Hz$ है।

(D) प्रथम हार्मोनिक में कंपन करने वाले बंद ऑर्गन पाइप की आवृत्ति $n_1 = \frac{v_1}{4 l_1}$ है।
तीसरे हार्मोनिक में कंपन करने वाले खुले ऑर्गन पाइप की आवृत्ति $n_3 = \frac{3 v_2}{2 l_2}$ है।
चूंकि दोनों पाइप एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में हैं,इसलिए $n_1 = n_3$ है।
अतः,$\frac{v_1}{4 l_1} = \frac{3 v_2}{2 l_2}$,जिसका अर्थ है $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{6} \left( \frac{v_1}{v_2} \right)$।
गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $B$ बल्क मापांक (संपीड्यता का व्युत्क्रम) है और $\rho$ घनत्व है।
चूंकि संपीड्यता समान है,इसलिए $B_1 = B_2 = B$ है।
इस प्रकार,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{B/\rho_1}{B/\rho_2}} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$।
इस मान को लंबाई के अनुपात में रखने पर,हमें $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$ प्राप्त होता है।

(A) प्रारंभ में,'$L$' लंबाई के खुले पाइप के लिए,मूल आवृत्ति इस प्रकार है:
$f = \frac{V}{2L}$
जब नली को पानी में लंबवत इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी आधी लंबाई पानी में डूब जाए,तो पानी की सतह के ऊपर हवा के स्तंभ की शेष लंबाई '$L/2$' होती है।
पानी की सतह एक बंद सिरे के रूप में कार्य करती है। इस प्रकार,अब यह नली एक सिरे पर बंद पाइप की तरह व्यवहार करती है जिसकी प्रभावी लंबाई '$L' = L/2$' है।
एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति इस प्रकार है:
$f' = \frac{V}{4L'}$
'$L' = L/2$' प्रतिस्थापित करने पर:
$f' = \frac{V}{4(L/2)} = \frac{V}{2L} = f$
अतः,नई मूल आवृत्ति '$f$' ही रहेगी।

(C) एक सिरे पर बंद नली के लिए,हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = n \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 3, 5, ...$ विषम पूर्णांक हैं। पांचवां हार्मोनिक $n = 5$ के अनुरूप है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{4L}{n} = \frac{4 \times 50 \ cm}{5} = 40 \ cm$ है।
बंद नली के लिए अप्रगामी तरंग का समीकरण (खुले सिरे को $x = 0$ मानते हुए) $y = A \cos(kx) \cos(\omega t)$ है,जहाँ $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{40} = \frac{\pi}{20} \ rad/cm$ है।
$x = 0$ पर,$y_1 = A \cos(0) \cos(\omega t) = A \cos(\omega t)$।
$x = 42 \ cm$ पर,$y_2 = A \cos(k \times 42) \cos(\omega t) = A \cos(\frac{\pi}{20} \times 42) \cos(\omega t) = A \cos(2.1\pi) \cos(\omega t) = A \cos(2\pi + 0.1\pi) \cos(\omega t) = A \cos(0.1\pi) \cos(\omega t)$।
चूंकि दोनों कण समान कला में दोलन करते हैं (कोज्या पदों का चिह्न समान है),इसलिए कलांतर $0^{\circ}$ है।

(A) जब एक छड़ को उसके मध्य बिंदु पर क्लैंप किया जाता है,तो मध्य बिंदु एक नोड (node) के रूप में और दोनों सिरे एंटीनोड (antinode) के रूप में कार्य करते हैं।
मान लीजिए छड़ की लंबाई $L$ है। दो क्रमिक एंटीनोड के बीच की दूरी $\lambda/2$ होती है। यहाँ,छड़ केंद्र में क्लैंप की गई है,इसलिए लंबाई $L$ दो सिरों (एंटीनोड) के बीच की दूरी के बराबर है,जो $\lambda/2$ है।
अतः,$L = \lambda/2$,जिसका अर्थ है $\lambda = 2L$.
मूल आवृत्ति $f$ को $f = v/\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
$\lambda = 2L$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f = v/(2L)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $L = 125 \ cm = 1.25 \ m$ और $v = 5000 \ ms^{-1}$.
$f = 5000 / (2 \times 1.25) = 5000 / 2.5 = 2000 \ Hz$.
$2000 \ Hz = 2 \ kHz$.

(D) नली एक सिरे पर बंद है,इसलिए यह एक बंद ऑर्गन पाइप की तरह कार्य करती है। नली में उत्पन्न न्यूनतम आवृत्ति (मूल आवृत्ति) उस स्थिति के अनुरूप होती है जहाँ नली की लंबाई $l = \frac{\lambda}{4}$ होती है।
दिया गया है: $l = 1.0 \text{ m}$,$f = 84 \text{ Hz}$।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4l = 4 \times 1.0 = 4 \text{ m}$।
हवा में ध्वनि का वेग $v = f \lambda = 84 \times 4 = 336 \text{ m/s}$ है।
ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ सूत्र द्वारा भी दिया जाता है,जहाँ $P$ वायुमंडलीय दबाव है और $\rho$ हवा का घनत्व है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $v^{2} = \frac{\gamma P}{\rho}$ प्राप्त होता है।
$\gamma$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\gamma = \frac{v^{2} \rho}{P}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\gamma = \frac{(336)^{2} \times 1.2}{1.0 \times 10^{5}} = \frac{112896 \times 1.2}{100000} = \frac{135475.2}{100000} \approx 1.355$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$\gamma = 1.4$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि बंद ऑर्गन पाइप की लंबाई $l$ है। $L = 2l$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_{open} = \frac{v}{2L} = \frac{v}{2(2l)} = \frac{v}{4l} = 100 \ Hz$ है।
$l$ लंबाई वाले बंद ऑर्गन पाइप की आवृत्तियाँ $f_n = (2n - 1) \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
प्रथम हार्मोनिक (मूल आवृत्ति) $f_1 = \frac{v}{4l} = 100 \ Hz$ है।
तीसरा हार्मोनिक $n = 2$ के अनुरूप है (क्योंकि बंद पाइप के हार्मोनिक्स मूल आवृत्ति के विषम गुणज होते हैं: $f_1, 3f_1, 5f_1, ...$)।
अतः,तीसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $f_3 = 3 \times f_1 = 3 \times 100 \ Hz = 300 \ Hz$ है।

(B) एक खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{v}{2l}$ है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $l$ पाइप की लंबाई है।
दिया गया है: $f = 5100 \ Hz$,$v = 340 \ ms^{-1}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$5100 = \frac{340}{2l}$
$l = \frac{340}{5100 \times 2}$
$l = \frac{340}{10200} = \frac{34}{1020} = \frac{1}{30} \ m$.
लंबाई को $cm$ में बदलने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$l = \frac{1}{30} \times 100 = \frac{10}{3} \ cm$.

(B) मान लीजिए कि बंद पाइप की लंबाई $L_{1}$ है और खुले पाइप की लंबाई $L_{2}$ है।
बंद पाइप की मूल आवृत्ति $v_{1} = \frac{v}{4 L_{1}}$ द्वारा दी जाती है।
खुले पाइप के दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $v_{2} = 2 \times \frac{v}{2 L_{2}} = \frac{v}{L_{2}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,बंद पाइप की मूल आवृत्ति खुले पाइप के दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति के बराबर है,इसलिए $v_{1} = v_{2}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{v}{4 L_{1}} = \frac{v}{L_{2}}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{L_{1}}{L_{2}} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनकी लंबाई का अनुपात $1: 4$ है।

(D) बंद पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_{c} = \frac{(2n+1)v}{4l_{1}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन की संख्या है। प्रथम ओवरटोन $(n=1)$ के लिए,$f_{c} = \frac{3v}{4l_{1}}$ है।
खुले पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_{o} = \frac{(n+1)v}{2l_{2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन की संख्या है। प्रथम ओवरटोन $(n=1)$ के लिए,$f_{o} = \frac{2v}{2l_{2}} = \frac{v}{l_{2}}$ है।
यह दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं: $\frac{3v}{4l_{1}} = \frac{v}{l_{2}}$।
अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{3}{4}$।