Mix Examples-Units, Dimensions and Measurement Questions in Hindi

(C) ऊर्जा की इकाई जूल $(J)$ है,जो $kg \cdot m^2/s^2$ के बराबर है।
विकल्प $(A)$ सही है क्योंकि प्रतिबल (Stress) की इकाई $N/m^2$ है और विकृति (Strain) विमाहीन है।
विकल्प $(B)$ सही है क्योंकि पृष्ठ तनाव प्रति इकाई लंबाई बल है $(N/m)$।
विकल्प $(D)$ सही है क्योंकि दाब प्रति इकाई क्षेत्रफल बल है $(N/m^2)$।
विकल्प $(C)$ गलत है क्योंकि $kg \cdot m/s$ संवेग की इकाई है,ऊर्जा की नहीं। इसलिए,सही उत्तर $(C)$ है।

(D) ऊर्जा (कार्य) का मात्रक $Joule$ $(J)$ है और समय का मात्रक $second$ $(s)$ है।
विमीय विश्लेषण से पता चलता है कि कोणीय संवेग $(L)$ की विमाएँ $[ML^2T^{-1}]$ हैं।
$Joule$ की विमाएँ $[ML^2T^{-2}]$ हैं और $second$ की विमाएँ $[T]$ हैं।
इनका गुणा करने पर,हमें $[ML^2T^{-2}] \times [T] = [ML^2T^{-1}]$ प्राप्त होता है,जो कोणीय संवेग की विमाओं के समान है।
अतः,$Joule-second$ कोणीय संवेग का मात्रक है।

(A) माना घन की भुजा की लंबाई $a$ है।
घन का आयतन $V = a^3$ द्वारा दिया जाता है।
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 6a^2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल के संख्यात्मक मान समान हैं:
$a^3 = 6a^2$.
दोनों पक्षों को $a^2$ से विभाजित करने पर ($a \neq 0$ मानते हुए):
$a = 6$.
अतः,घन का आयतन $V = a^3 = 6^3 = 216 \, units^3$ है।

(A) $CGS$ प्रणाली में ऊर्जा की इकाई $Erg$ है।
हम जानते हैं कि कार्य या ऊर्जा $E$,बल $F$ और विस्थापन $d$ के गुणनफल द्वारा दी जाती है,अर्थात $E = F \times d$।
बल के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $F = \frac{E}{d}$ प्राप्त होता है।
इकाइयों को प्रतिस्थापित करने पर,बल की इकाई $\frac{\text{ऊर्जा की इकाई}}{\text{लंबाई की इकाई}}$ होती है।
दी गई इकाइयों में,यह $\frac{Erg}{m}$ के अनुरूप है,जो $Erg \cdot m^{-1}$ है।
अतः,$Erg \cdot m^{-1}$ बल की इकाई है।

(C) $CGS$ प्रणाली में यंग मापांक $Y$ की इकाई $dyne/cm^2$ है।
हम जानते हैं कि $1 \ N = 10^5 \ dyne$ और $1 \ m^2 = 10^4 \ cm^2$ होता है।
इसलिए,$1 \ dyne/cm^2 = \frac{10^{-5} \ N}{10^{-4} \ m^2} = 10^{-1} \ N/m^2$ है।
इसे $x \times 10^{-1} \ N/m^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,रूपांतरण कारक $1$ है।

(D) न्यूटन (बल की $SI$ इकाई) और डाइन (बल की $CGS$ इकाई) के बीच सही संबंध $1 \text{ Newton} = 10^5 \text{ Dynes}$ है।
इसलिए,$1 \text{ Newton} = 10^{-5} \text{ Dynes}$ वाला संबंध गलत है।

(D) कलांतर को रेडियन $(rad)$ में मापा जाता है।
ऊष्मा का यांत्रिक तुल्यांक जूल प्रति कैलोरी $(J/cal)$ में मापा जाता है।
ध्वनि की प्रबलता को डेसिबल $(dB)$ में मापा जाता है।
पॉइसन अनुपात पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात है,जो इसे एक विमाहीन और मात्रकहीन राशि बनाता है।
इसलिए,पॉइसन अनुपात दूसरों से भिन्न है क्योंकि इसका कोई मात्रक नहीं होता है।

(D) ऊर्जा का मात्रक जूल $(J)$ है।
$1.$ Watt-sec = (Joule/sec) $\times$ sec = Joule (ऊर्जा का मात्रक)।
$2.$ Kilowatt-hour = $10^3$ Watt $\times$ $3600$ sec = $3.6 \times 10^6$ Joule (ऊर्जा का मात्रक)।
$3.$ eV (इलेक्ट्रॉन-वोल्ट) ऊर्जा का एक मात्रक है $(1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J})$।
$4.$ Joule-sec कोणीय संवेग का मात्रक है ($L = I\omega$ या $L = pr$),ऊर्जा का नहीं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दी गई भौतिक राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$A$. कोणीय संवेग $(L = mvr)$ और प्लांक नियतांक $(h = E/f)$ दोनों की विमाएँ $[M L^2 T^{-1}]$ होती हैं।
$B$. जड़त्व आघूर्ण $(I = mr^2)$ की विमा $[M L^2]$ होती है। बल आघूर्ण (टॉर्क,$\tau = r \times F$) की विमा $[M L^2 T^{-2}]$ होती है। ये समान नहीं हैं।
$C$. कार्य $(W = F \cdot d)$ और बल आघूर्ण $(\tau = r \times F)$ दोनों की विमाएँ $[M L^2 T^{-2}]$ होती हैं।
$D$. आवेग $(J = F \Delta t)$ और संवेग $(p = mv)$ दोनों की विमाएँ $[M L T^{-1}]$ होती हैं।
अतः,वह युग्म जिसकी विमाएँ समान नहीं हैं,वह जड़त्व आघूर्ण और बल आघूर्ण है।

(D) प्रति इकाई आयतन ऊर्जा = $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
प्रति इकाई क्षेत्रफल बल = $\frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
प्रति इकाई आयतन वोल्टेज और आवेश का गुणनफल = $\frac{V \times Q}{\text{Volume}} = \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
प्रति इकाई द्रव्यमान कोणीय संवेग = $\frac{[ML^2T^{-1}]}{[M]} = [L^2T^{-1}]$.
अतः,प्रति इकाई द्रव्यमान कोणीय संवेग की विमाएँ शेष तीन से भिन्न हैं।

(A) कार्य का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
बल आघूर्ण (टॉर्क) का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
शक्ति का विमीय सूत्र $\frac{\text{कार्य}}{\text{समय}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T]} = [ML^2T^{-3}]$ है।
चूंकि शक्ति की विमाएं कार्य,टॉर्क और ऊर्जा से भिन्न हैं,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(B) कार्य की विमा $W = F \cdot d = [MLT^{-2}] \cdot [L] = [ML^2T^{-2}]$ द्वारा दी जाती है।
स्थितिज ऊर्जा की विमा कार्य के समान ही है,जो $[ML^2T^{-2}]$ है।
कोणीय संवेग की विमा $[ML^2T^{-1}]$ है।
आघूर्ण (टॉर्क) की विमा $[ML^2T^{-2}]$ है।
रैखिक संवेग की विमा $[MLT^{-1}]$ है।
गतिज ऊर्जा की विमा $[ML^2T^{-2}]$ है।
वेग की विमा $[LT^{-1}]$ है।
अतः,समान विमाओं वाला युग्म कार्य और स्थितिज ऊर्जा है।

(A) भिन्न आयामों वाले युग्म को खोजने के लिए,हम प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$A$. रेखीय संवेग = $\text{द्रव्यमान} \times \text{वेग} = [M L T^{-1}]$. बल का आघूर्ण (बलाघूर्ण) = $\text{बल} \times \text{दूरी} = [M L T^{-2}] \times [L] = [M L^2 T^{-2}]$. इनके आयाम भिन्न हैं।
$B$. प्लांक नियतांक $(h)$ के आयाम $[M L^2 T^{-1}]$ होते हैं। कोणीय संवेग $(L = mvr)$ के आयाम $[M] \times [L T^{-1}] \times [L] = [M L^2 T^{-1}]$ होते हैं। इनके आयाम समान हैं।
$C$. दाब = $\text{बल} / \text{क्षेत्रफल} = [M L T^{-2}] / [L^2] = [M L^{-1} T^{-2}]$. प्रत्यास्थता गुणांक = $\text{प्रतिबल} / \text{विकृति} = [M L^{-1} T^{-2}] / [1] = [M L^{-1} T^{-2}]$. इनके आयाम समान हैं।
$D$. बलाघूर्ण = $\text{बल} \times \text{दूरी} = [M L^2 T^{-2}]$. स्थितिज ऊर्जा = $\text{कार्य} = [M L^2 T^{-2}]$. इनके आयाम समान हैं।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) बल का विमीय सूत्र $[F] = [MLT^{-2}]$ है।
प्रतिबल (Stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{Stress} = F/A$। इसका विमीय सूत्र $[MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$ है।
दाब (Pressure) को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{Pressure} = F/A$। इसका विमीय सूत्र $[MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$ है।
यंग मापांक $(Y)$ प्रतिबल और विकृति (Strain) का अनुपात है: $Y = \text{Stress} / \text{Strain}$। चूँकि विकृति एक विमाहीन राशि है,इसलिए यंग मापांक का विमीय सूत्र प्रतिबल के समान ही $[ML^{-1}T^{-2}]$ होता है।
अतः,तीनों राशियों का विमीय सूत्र $[ML^{-1}T^{-2}]$ समान है।

(A) किसी भौतिक राशि की विमा उन घातों द्वारा दी जाती है जो मूल मात्रकों पर लगाई जाती हैं।
$(a)$ बल आघूर्ण (टॉर्क) = $|\overrightarrow r \times \overrightarrow F | = [M^1 L^2 T^{-2}]$
कार्य = $|\vec F \cdot \vec d| = [M^1 L^2 T^{-2}]$
चूंकि दोनों का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2}]$ समान है,इसलिए उनकी विमाएँ समान हैं।
$(b)$ बल = $[M^1 L^1 T^{-2}]$,शक्ति = $[M^1 L^2 T^{-3}]$। ये भिन्न हैं।
$(c)$ गुप्त ऊष्मा = $[L^2 T^{-2}]$,विशिष्ट ऊष्मा = $[L^2 T^{-2} K^{-1}]$। ये भिन्न हैं।
$(d)$ कार्य = $[M^1 L^2 T^{-2}]$,शक्ति = $[M^1 L^2 T^{-3}]$। ये भिन्न हैं।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिए गए युग्मों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$1$. प्रतिबल और दाब: दोनों की विमाएँ $[ML^{-1}T^{-2}]$ होती हैं।
$2$. कोण और विकृति: दोनों विमाहीन राशियाँ $[M^0L^0T^0]$ हैं।
$3$. तनाव और पृष्ठ तनाव: तनाव एक बल है जिसकी विमा $[MLT^{-2}]$ है,जबकि पृष्ठ तनाव प्रति इकाई लंबाई बल है जिसकी विमा $[MT^{-2}]$ है। अतः,इनकी विमाएँ समान नहीं हैं।
$4$. प्लांक नियतांक और कोणीय संवेग: दोनों की विमाएँ $[ML^2T^{-1}]$ होती हैं।
इसलिए,वह युग्म जिसकी विमाएँ समान नहीं हैं,वह तनाव और पृष्ठ तनाव है।

(C) दी गई राशियों के आयाम इस प्रकार हैं:
$1$. प्लांक नियतांक: $[M L^2 T^{-1}]$,कोणीय संवेग: $[M L^2 T^{-1}]$। इनके आयाम समान हैं।
$2$. आवेग: $[M L T^{-1}]$,रैखिक संवेग: $[M L T^{-1}]$। इनके आयाम समान हैं।
$3$. कोणीय संवेग: $[M L^2 T^{-1}]$,आवृत्ति: $[T^{-1}]$। इनके आयाम भिन्न हैं।
$4$. दाब: $[M L^{-1} T^{-2}]$,यंग मापांक: $[M L^{-1} T^{-2}]$। इनके आयाम समान हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) आघूर्ण (टॉर्क) का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
कार्य का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
चूंकि दोनों का विमीय सूत्र समान है,इसलिए उनके आयाम समान हैं।
अतः,सही युग्म आघूर्ण और कार्य है।

(B) दाब का विमीय सूत्र $P = \frac{F}{A} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ होता है।
अब,प्रति इकाई आयतन ऊर्जा की विमाओं की जाँच करते हैं:
$\text{प्रति इकाई आयतन ऊर्जा} = \frac{\text{ऊर्जा}}{\text{आयतन}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
चूँकि दाब और प्रति इकाई आयतन ऊर्जा की विमाएँ समान हैं,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(C) कोणीय वेग $\omega$ की विमा $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ विमाहीन है और $t$ समय है। अतः,$[\omega] = [T^{-1}]$ है।
आवृत्ति $n$ की विमा को प्रति इकाई समय में चक्रों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए $[n] = [T^{-1}]$ है।
चूंकि कोणीय वेग और आवृत्ति दोनों का विमीय सूत्र $[T^{-1}]$ समान है,इसलिए विकल्प $(c)$ सही है।

(D) दाब का मात्रक $Pascal$ $(Pa)$ है,जिसका विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}]$ होता है।
अतः,$Pascal-second$ $(Pa \cdot s)$ का विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}] \times [T] = [M L^{-1} T^{-1}]$ है।
श्यानता गुणांक $(\eta)$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है:
$\eta = \frac{F}{A (\Delta v / \Delta z)}$
जहाँ $F$ बल है,$A$ क्षेत्रफल है,और $\frac{\Delta v}{\Delta z}$ वेग प्रवणता है।
$\eta$ की विमाएँ:
$\eta \text{ की विमाएँ} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M L^{-1} T^{-1}]$.
चूँकि $Pascal-second$ की विमाएँ श्यानता गुणांक की विमाओं के समान हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) प्लांक नियतांक $(h)$ की विमा $[ML^2T^{-1}]$ है।
जड़त्व आघूर्ण $(I)$ की विमा $[ML^2]$ है।
दोनों का अनुपात लेने पर:
$\frac{[h]}{[I]} = \frac{[ML^2T^{-1}]}{[ML^2]} = [T^{-1}]$.
चूंकि विमा $[T^{-1}]$ आवृत्ति की विमा है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि किस समूह की विमाएँ भिन्न हैं,हम प्रत्येक राशि के विमीय सूत्र का विश्लेषण करते हैं:
$A$: विभवांतर,$EMF$,और वोल्टेज सभी प्रति इकाई आवेश ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करते हैं। इनका विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ है। ये समान हैं।
$B$: दाब,प्रतिबल,और यंग मापांक सभी प्रति इकाई क्षेत्रफल बल का प्रतिनिधित्व करते हैं। इनका विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}]$ है। ये समान हैं।
$C$: ऊष्मा,ऊर्जा,और कार्य सभी ऊर्जा के रूप हैं। इनका विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-2}]$ है। ये समान हैं।
$D$: द्विध्रुव आघूर्ण $(p = q \times d)$ की विमाएँ $[L T A]$ हैं। विद्युत फ्लक्स $(\Phi = E \cdot A)$ की विमाएँ $[M L^3 T^{-3} A^{-1}]$ हैं। विद्युत क्षेत्र $(E = F/q)$ की विमाएँ $[M L T^{-3} A^{-1}]$ हैं। ये सभी भिन्न हैं।
अतः,भिन्न विमाओं वाला समूह $D$ है।

(C) कथन $(1)$ सही है क्योंकि सटीकता सार्थक अंकों की संख्या और माप की परिशुद्धता से संबंधित है। $50.14 \, cm$ में $4$ सार्थक अंक हैं,जबकि $0.00025 \, A$ में केवल $2$ सार्थक अंक हैं। अतः,पहला माप अधिक सटीक है।
कथन $(2)$ सही है क्योंकि जब हम विभिन्न इकाइयों वाली राशियों को जोड़ते हैं,तो हमें परिशुद्धता पर विचार करना चाहिए। $478 \, km = 478000 \, m$। $397 \, m$ जोड़ने पर $478397 \, m$ प्राप्त होता है। हालाँकि,सार्थक अंकों और परिशुद्धता के संदर्भ में,परिणाम सबसे कम सटीक माप द्वारा सीमित होता है। चूँकि $478 \, km$ इकाई स्थान $(1 \, km)$ तक सटीक है,इसलिए $397 \, m$ $(0.397 \, km)$ का योग $478 \, km$ के पैमाने के सापेक्ष नगण्य है। अतः,कुल दूरी को $478 \, km$ के रूप में पूर्णांकित किया जाता है।

(C) बेलन का आयतन $V = \pi r^2 l$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ होती है।
दिया है:
लंबाई $l = 5.0 \, cm$,$\Delta l = 0.1 \, cm$.
त्रिज्या $r = 2.0 \, cm$,$\Delta r = 0.01 \, cm$ (चूंकि वर्नियर कैलिपर्स का अल्पतमांक व्यास के लिए है,इसलिए त्रिज्या में त्रुटि उपकरण के अल्पतमांक $0.01 \, cm$ के बराबर ही होगी)।
आयतन में प्रतिशत त्रुटि = $\left( 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l} \right) \times 100$.
$= \left( 2 \times \frac{0.01}{2.0} \times 100 + \frac{0.1}{5.0} \times 100 \right) \%$.
$= (1 + 2) \% = 3 \%$.

(D) $1$. रेनॉल्ड्स संख्या और घर्षण गुणांक दोनों ही विमाहीन राशियाँ हैं,जिसका अर्थ है कि उनके आयाम $[M^0L^0T^0]$ हैं।
$2$. गुप्त ऊष्मा $(L)$ को प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा $(Q/m)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसके आयाम $[M^0L^2T^{-2}]$ हैं। गुरुत्वीय विभव $(V)$ को प्रति इकाई द्रव्यमान कार्य $(W/m)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसके आयाम भी $[M^0L^2T^{-2}]$ हैं।
$3$. क्यूरी रेडियोधर्मिता की एक इकाई है,जो प्रति सेकंड विघटन की संख्या को दर्शाती है,जिसके आयाम $[T^{-1}]$ हैं। प्रकाश तरंग की आवृत्ति के आयाम भी $[T^{-1}]$ हैं।
$4$. चूंकि दिए गए सभी युग्मों के आयाम समान हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) $1$. क्यूरी रेडियोधर्मिता की एक इकाई है,जिसे प्रति सेकंड विघटन की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका आयाम $[T^{-1}]$ है,जो $(G)$ के अनुरूप है।
$2$. प्रकाश वर्ष दूरी की एक इकाई है। इसका आयाम $[L]$ है,जो $(H)$ के अनुरूप है।
$3$. परावैद्युत सामर्थ्य वह अधिकतम विद्युत क्षेत्र है जिसे एक पदार्थ सहन कर सकता है। विद्युत क्षेत्र $E = F/q$। आयाम: $[MLT^{-2}] / [IT] = [MLT^{-3}I^{-1}]$,जो $(I)$ के अनुरूप है।
$4$. परमाणु भार द्रव्यमानों का एक विमाहीन अनुपात है। इसका आयाम $[M^0L^0T^0]$ है,लेकिन चूंकि यह द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है,इसलिए इसे विशिष्ट संदर्भों में $[M]$ के साथ जोड़ा जाता है,जो $(B)$ के अनुरूप है।
$5$. डेसिबल एक लघुगणकीय इकाई है जिसका उपयोग भौतिक मात्रा,जैसे शक्ति या तीव्रता के दो मानों के अनुपात को व्यक्त करने के लिए किया जाता है। यह विमाहीन है,जो $(C)$ के अनुरूप है।
अतः,सही मिलान $(i)-G, (ii)-H, (iii)-I, (iv)-B, (v)-C$ है।

(A) एक पहिये द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी उसकी परिधि के बराबर होती है,जो $\pi D$ है,जहाँ $D$ व्यास है।
$n$ चक्करों के लिए,कुल दूरी $S = n \times \pi \times D$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $n = 2000$,$S = 9.5\, km = 9500\, m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$9500 = 2000 \times \pi \times D$
$D = \frac{9500}{2000 \times \pi}$
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$D = \frac{9.5}{2 \times 3.14159} \approx 1.51\, m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,व्यास $1.5\, m$ है।

(B) प्रकृति में चार मूलभूत बल, उनकी सापेक्ष शक्ति के बढ़ते क्रम में इस प्रकार हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल (सबसे कमजोर)
$2$. दुर्बल नाभिकीय बल
$3$. विद्युतचुंबकीय (स्थिर-वैद्युत) बल
$4$. प्रबल नाभिकीय बल (सबसे मजबूत)
अतः, सही क्रम है: गुरुत्वाकर्षण < दुर्बल < स्थिर-वैद्युत < प्रबल बल।
इस प्रकार, सही विकल्प $B$ है।

(A) कार्य बल और विस्थापन (लंबाई) का गुणनफल है: $W = F \times d$।
यदि बल $F$ की इकाई को $4$ गुना बढ़ा दिया जाए,तो नया बल $F' = 4F$ होगा।
यदि लंबाई $d$ की इकाई को $4$ गुना बढ़ा दिया जाए,तो नया विस्थापन $d' = 4d$ होगा।
ऊर्जा की नई इकाई $W'$ इस प्रकार होगी: $W' = F' \times d' = (4F) \times (4d) = 16 \times (F \times d) = 16W$।
अतः,ऊर्जा की इकाई $16$ गुना बढ़ जाएगी।

(C) ऊष्मा का यांत्रिक तुल्यांक,जिसे $J$ द्वारा दर्शाया जाता है,एक रूपांतरण कारक है जिसका उपयोग यांत्रिक ऊर्जा की इकाइयों (जूल) को ऊष्मीय ऊर्जा की इकाइयों (कैलोरी) से संबंधित करने के लिए किया जाता है।
चूंकि $1 \text{ कैलोरी} = 4.186 \text{ जूल}$,इसलिए $J$ का मान लगभग $4.186 \text{ J/cal}$ होता है।
यह एक भौतिक राशि नहीं है,बल्कि एक स्थिर कारक है जो हमें ऊर्जा की विभिन्न इकाइयों के बीच रूपांतरण करने की अनुमति देता है।

(A) दिया गया अवस्था समीकरण: $\left( P + \frac{aT^2}{V} \right) V^c = (RT + b)$.
दोनों पक्षों को $V^c$ से विभाजित करने पर:
$P + \frac{aT^2}{V} = (RT + b) V^{-c}$.
$P$ को अलग करने पर:
$P = (RT + b) V^{-c} - aT^2 V^{-1}$.
इसकी तुलना दिए गए रूप $P = AV^m - BV^n$ से करने पर,जहाँ $A = (RT + b)$ और $B = aT^2$ (दोनों केवल तापमान पर निर्भर करते हैं):
$P = (RT + b) V^{-c} - (aT^2) V^{-1}$.
$V$ के घातांकों की तुलना करने पर:
$m = -c$ और $n = -1$.

(B) माध्य सौर दिवस वह समय है जो पृथ्वी को सूर्य के सापेक्ष अपनी धुरी पर एक बार घूमने में लगता है,जो लगभग $24$ घंटे है।
नक्षत्र दिवस वह समय है जो पृथ्वी को दूर के तारों के सापेक्ष अपनी धुरी पर एक बार घूमने में लगता है,जो लगभग $23$ घंटे और $56$ मिनट है।
माध्य सौर दिवस ($24$ घंटे) और नक्षत्र दिवस ($23$ घंटे $56$ मिनट) के बीच का अंतर $4$ मिनट है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि किस युग्म की विमाएँ समान नहीं हैं,हम प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$(A)$ कोणीय संवेग $(L)$ का सूत्र $L = mvr$ है। इसकी विमाएँ $[ML^2T^{-1}]$ हैं। प्लांक नियतांक $(h)$ ऊर्जा से $E = h\nu$ द्वारा संबंधित है,इसलिए $[h] = [E]/[\nu] = [ML^2T^{-2}]/[T^{-1}] = [ML^2T^{-1}]$। अतः,इनकी विमाएँ समान हैं।
$(B)$ आवेग $(I)$ को संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है,$I = \Delta p$। अतः,आवेग और रैखिक संवेग की विमाएँ समान $[MLT^{-1}]$ होती हैं।
$(C)$ जड़त्व आघूर्ण $(I)$ की विमाएँ $[ML^2]$ होती हैं। बल आघूर्ण (टॉर्क,$\tau$) का सूत्र $\tau = r \times F$ है,जिसकी विमाएँ $[L] \times [MLT^{-2}] = [ML^2T^{-2}]$ हैं। चूँकि $[ML^2] \neq [ML^2T^{-2}]$,इसलिए यह युग्म समान विमाओं वाला नहीं है।
$(D)$ कार्य $(W)$ बल $\times$ विस्थापन है,जिसकी विमाएँ $[ML^2T^{-2}]$ हैं। बल आघूर्ण $(\tau)$ की विमाएँ भी $[ML^2T^{-2}]$ होती हैं। अतः,इनकी विमाएँ समान हैं।
इसलिए,वह युग्म जिसकी विमाएँ समान नहीं हैं,वह जड़त्व आघूर्ण और बल आघूर्ण है।

(A) बल का आयाम $[MLT^{-2}]$ है।
कार्य का आयाम $[ML^2T^{-2}]$ है।
आघूर्ण (Torque) का आयाम बल और लंबवत दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित होता है,इसलिए इसका आयाम $[MLT^{-2}] \times [L] = [ML^2T^{-2}]$ है।
ऊर्जा का आयाम कार्य के समान ही होता है,जो $[ML^2T^{-2}]$ है।
प्रतिबल (Stress) का आयाम प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित होता है,इसलिए इसका आयाम $[MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$ है।
इनकी तुलना करने पर,हम देखते हैं कि आघूर्ण और कार्य के आयाम $[ML^2T^{-2}]$ समान हैं।
अतः,सही युग्म आघूर्ण और कार्य है।

(B) उस युग्म को खोजने के लिए जिसमें एक सदिश और एक अदिश राशि हो और उनकी विमाएँ समान हों,हम विकल्पों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. कार्य और ऊर्जा: दोनों अदिश राशियाँ हैं और इनकी विमाएँ $[ML^2T^{-2}]$ हैं।
$2$. आघूर्ण (टॉर्क) और कार्य: आघूर्ण एक सदिश राशि है और कार्य एक अदिश राशि है। दोनों की विमाएँ $[ML^2T^{-2}]$ हैं।
$3$. आवेग और संवेग: दोनों सदिश राशियाँ हैं और इनकी विमाएँ $[MLT^{-1}]$ हैं।
$4$. शक्ति और दाब: शक्ति अदिश $[ML^2T^{-3}]$ है और दाब अदिश $[ML^{-1}T^{-2}]$ है।
अतः,आघूर्ण (सदिश) और कार्य (अदिश) की विमाएँ समान $[ML^2T^{-2}]$ हैं।

(A) श्यानता गुणांक का विमीय सूत्र $[M^1 L^{-1} T^{-1}]$ है।
पृष्ठ तनाव का विमीय सूत्र $[M^1 L^0 T^{-2}]$ है।
मूल मात्रकों की घातों की तुलना करने पर:
द्रव्यमान $(M)$ के लिए: दोनों में घात $1$ है।
लंबाई $(L)$ के लिए: श्यानता में $-1$ है,पृष्ठ तनाव में $0$ है।
समय $(T)$ के लिए: श्यानता में $-1$ है,पृष्ठ तनाव में $-2$ है।
अतः,वह मूल मात्रक जिसकी घात दोनों में समान है,वह द्रव्यमान है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि किस युग्म के आयाम समान नहीं हैं,हम प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$A$. प्रेरकत्व $(L)$ के आयाम $[M L^2 T^{-2} A^{-2}]$ हैं,जबकि संवेग $(p = mv)$ के आयाम $[M L T^{-1}]$ हैं। ये समान नहीं हैं।
$B$. कार्य $(W = F \cdot d)$ के आयाम $[M L^2 T^{-2}]$ हैं,और बल आघूर्ण $(\tau = r \times F)$ के आयाम भी $[M L^2 T^{-2}]$ हैं। ये समान हैं।
$C$. जड़त्व आघूर्ण $(I = mr^2)$ के आयाम $[M L^2]$ हैं,और बल आघूर्ण $(\tau = r \times F)$ के आयाम $[M L^2 T^{-2}]$ हैं। ये समान नहीं हैं।
$D$. कोणीय संवेग $(L = mvr)$ के आयाम $[M L^2 T^{-1}]$ हैं,और प्लांक नियतांक $(h = E/f)$ के आयाम भी $[M L^2 T^{-1}]$ हैं। ये समान हैं।
नोट: प्रश्न उन युग्मों के बारे में पूछता है जिनके आयाम समान नहीं हैं। विकल्प $A$ और $C$ दोनों इस शर्त को पूरा करते हैं,लेकिन भौतिकी के सामान्य प्रश्नों में $C$ को सही उत्तर माना जाता है।

(B) वलय की घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ है।
चूंकि वलय का जड़त्व आघूर्ण $I = M R^{2}$ होता है,इसलिए हम इसे गतिज ऊर्जा के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$K = \frac{1}{2} (M R^{2}) \omega^{2} = \frac{1}{2} M R^{2} \omega^{2}$.
सापेक्ष त्रुटि का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{\Delta M}{M} + 2 \frac{\Delta R}{R} + 2 \frac{\Delta \omega}{\omega}$.
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta K}{K} \times 100 = \left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta \omega}{\omega} \times 100 \right)$.
दिए गए मान $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 2 \%$,$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 1 \%$ और $\frac{\Delta \omega}{\omega} \times 100 = 1 \%$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta K}{K} \times 100 = 2 \% + 2(1 \%) + 2(1 \%) = 2 \% + 2 \% + 2 \% = 6 \%$.

(A) प्रकृति में चार मूलभूत बलों की सापेक्ष प्रबलता इस प्रकार है:
$1$. प्रबल नाभिकीय बल $(SNF)$: सबसे शक्तिशाली बल,जो न्यूक्लियॉन के बीच कार्य करता है।
$2$. विद्युतचुंबकीय बल $(EMF)$: दूसरे स्थान पर,जो आवेशित कणों के बीच कार्य करता है।
$3$. दुर्बल नाभिकीय बल $(WNF)$: तीसरे स्थान पर,जो रेडियोधर्मी क्षय में शामिल होता है।
$4$. गुरुत्वाकर्षण बल $(GF)$: सबसे कमजोर बल,जो द्रव्यमान वाले पिंडों के बीच कार्य करता है।
उनके परिमाणों की तुलना करने पर: $SNF : EMF : WNF : GF \approx 1 : 10^{-2} : 10^{-13} : 10^{-39}$।
अतः,सापेक्ष प्रबलता का सही क्रम $SNF > EMF > WNF > GF$ है।

(A) विमीय सूत्र इस प्रकार परिकलित किए जाते हैं:
$A$. स्प्रिंग नियतांक $(k)$: $F = kx \implies k = F/x$. विमा: $[MLT^{-2}]/[L] = [M^1L^0T^{-2}]$. यह $(3)$ से मेल खाता है।
$B$. पास्कल $(Pa)$: दाब का मात्रक $(P = F/A)$. विमा: $[MLT^{-2}]/[L^2] = [M^1L^{-1}T^{-2}]$. यह $(4)$ से मेल खाता है।
$C$. हर्ट्ज़ $(Hz)$: आवृत्ति का मात्रक $(f = 1/T)$. विमा: $[T^{-1}] = [M^0L^0T^{-1}]$. यह $(2)$ से मेल खाता है।
$D$. जूल $(J)$: ऊर्जा/कार्य का मात्रक $(W = F \cdot d)$. विमा: $[MLT^{-2}] \cdot [L] = [M^1L^2T^{-2}]$. यह $(1)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-3, B-4, C-2, D-1$ है।

(B) $1$. प्लांक नियतांक $(h)$ की विमाएँ $[ML^2T^{-1}]$ होती हैं और कोणीय संवेग $(L = mvr)$ की विमाएँ भी $[ML^2T^{-1}]$ होती हैं।
$2$. प्रतिबल (Stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसकी विमा $[ML^{-1}T^{-2}]$ है। दाब (Pressure) भी प्रति इकाई क्षेत्रफल बल है,जिसकी विमा $[ML^{-1}T^{-2}]$ है।
$3$. बल की विमा $[MLT^{-2}]$ है और तनाव (Tension) एक प्रकार का बल है,इसलिए इसकी विमा भी $[MLT^{-2}]$ है।
$4$. पृष्ठ तनाव (Surface tension) को प्रति इकाई लंबाई बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसकी विमा $[MT^{-2}]$ है।
चूंकि प्रतिबल की विमा $[ML^{-1}T^{-2}]$ है और पृष्ठ तनाव की विमा $[MT^{-2}]$ है,इसलिए इन दोनों की विमाएँ समान नहीं हैं।

(A) माध्यम में विद्युतचुंबकीय तरंग की गति $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ द्वारा दी जाती है।
निर्वात में प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ है।
माध्यम का अपवर्तनांक $n$ को $n = \frac{c}{v} = \sqrt{\frac{\mu \epsilon}{\mu_0 \epsilon_0}} = \sqrt{\mu_r \epsilon_r}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यहाँ,$\mu_r$ सापेक्ष पारगम्यता (relative permeability) है और $\epsilon_r$ (जिसे अक्सर $K$,परावैद्युतांक कहा जाता है) सापेक्ष विद्युतशीलता (relative permittivity) है।
अतः,$n = \sqrt{\mu_r K}$।
चूंकि अपवर्तनांक $n$ दो गतियों का अनुपात है,इसलिए यह एक विमाहीन राशि है।
इसलिए,$\sqrt{\mu_r K}$ का विमीय सूत्र $M^0 L^0 T^0$ है।

(A) दी गई ऊर्जा $E = 700 \ kcal$ है।
हम जानते हैं कि $1 \ kcal = 10^3 \ cal$ और $1 \ cal = 4.2 \ J$ होता है।
अतः,$E = 700 \times 10^3 \times 4.2 \ J = 2940 \times 10^3 \ J = 2.94 \times 10^6 \ J$ होगा।
हम जानते हैं कि $1 \ kWh = 3.6 \times 10^6 \ J$ होता है।
ऊर्जा को जूल से $kWh$ में बदलने के लिए,हम इसे $3.6 \times 10^6$ से विभाजित करेंगे।
$E (kWh \text{ में}) = \frac{2.94 \times 10^6 \ J}{3.6 \times 10^6 \ J/kWh} = \frac{2.94}{3.6} \approx 0.816 \ kWh$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.81 \ kWh$ प्राप्त होता है।

(A) ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र: $\text{ऊर्जा घनत्व} = \frac{\text{ऊर्जा}}{\text{आयतन}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
यंग मापांक $(Y)$ की परिभाषा: $Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{\text{बल/क्षेत्रफल}}{\text{लंबाई में परिवर्तन/प्रारंभिक लंबाई}}$.
चूंकि विकृति विमाहीन है,इसलिए यंग मापांक की विमाएं प्रतिबल के समान होती हैं: $[Y] = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
अपवर्तनांक और परावैद्युतांक विमाहीन राशियाँ हैं।
चुंबकीय क्षेत्र की विमाएं $[MT^{-2}A^{-1}]$ होती हैं।
अतः,ऊर्जा घनत्व और यंग मापांक की विमाएं समान हैं।

(C) विमीय संगति के सिद्धांत के अनुसार,किसी भौतिक राशि का परिमाण इकाई प्रणाली बदलने पर भी स्थिर रहता है,जिसे $n_1 u_1 = n_2 u_2$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यहाँ,घनत्व $\rho = 4 \, g \, cm^{-3}$ है।
नई प्रणाली में,द्रव्यमान की इकाई $M_2 = 100 \, g$ और लंबाई की इकाई $L_2 = 10 \, cm$ है।
नई प्रणाली में घनत्व $\rho = n_2 \frac{M_2}{L_2^3}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $4 \, g \, cm^{-3} = n_2 \frac{100 \, g}{(10 \, cm)^3}$.
$4 = n_2 \frac{100}{1000}$.
$4 = n_2 \times 0.1$.
$n_2 = \frac{4}{0.1} = 40$.

(B) स्टील टेप को $20^{\circ}C$ पर सही माप देने के लिए अंशांकित किया गया है।
जब तापमान घटकर $0^{\circ}C$ हो जाता है,तो स्टील टेप में ऊष्मीय संकुचन होता है।
संकुचन के कारण,टेप पर अंकित निशान एक-दूसरे के करीब आ जाते हैं,जिसका अर्थ है कि $0$ और $25 \, cm$ के निशानों के बीच की दूरी $20^{\circ}C$ की तुलना में कम हो जाती है।
चूंकि टेप छोटा हो गया है,इसलिए उसी भौतिक वस्तु को मापने के लिए अधिक 'टेप लंबाई' की आवश्यकता होगी।
इसलिए,संकुचित टेप पर $25 \, cm$ की रीडिंग $25 \, cm$ से कम वास्तविक लंबाई के बराबर है।
अतः,लकड़ी की वास्तविक लंबाई $25 \, cm$ से कम होगी।

(A) माना $\alpha_s = 12 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ स्टील का ऊष्मीय प्रसार गुणांक है और $\alpha_x = 2 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ धातु $X$ का गुणांक है।
$T = 40^{\circ}C$ तापमान पर,मापी गई लंबाई $L_m = 100 \, mm$ है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,स्टील का स्केल फैलता है। $40^{\circ}C$ पर स्केल की लंबाई $L_s = L_0(1 + \alpha_s \Delta T)$ होती है।
धातु $X$ का घन भी फैलता है: $L_x = L_{0x}(1 + \alpha_x \Delta T)$।
मापा गया मान वस्तु की लंबाई और स्केल की लंबाई का अनुपात है: $L_m = L_x / (1 + \alpha_s \Delta T) = L_{0x}(1 + \alpha_x \Delta T) / (1 + \alpha_s \Delta T)$।
द्विपद सन्निकटन $(1+x)^{-1} \approx 1-x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $L_m \approx L_{0x}(1 + \alpha_x \Delta T)(1 - \alpha_s \Delta T) \approx L_{0x}(1 + (\alpha_x - \alpha_s) \Delta T)$।
यहाँ $L_m = 100 \, mm$,$\Delta T = 40^{\circ}C$,$\alpha_x - \alpha_s = (2 - 12) \times 10^{-6} = -10 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ है।
$100 = L_{0x}(1 - 10 \times 10^{-6} \times 40) = L_{0x}(1 - 400 \times 10^{-6}) = L_{0x}(1 - 0.0004)$।
$L_{0x} = 100 / 0.9996 > 100 \, mm$।

(D) दी गई राशियों के विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$\varepsilon = L^{-3} M^{-1} T^2 Q^2$
$R = L^2 M T^{-1} Q^{-2}$
$V = L^2 M T^{-2} Q^{-1}$
$G = L^3 M^{-1} T^{-2}$
$1$. कोणीय विस्थापन $\theta$ एक विमाहीन राशि है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $M^0 L^0 T^0 Q^0$ है। अतः,$[\theta] = \varepsilon^0 R^0 G^0 V^0$ सही है।
$2$. वेग $[v] = L T^{-1}$.
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $\varepsilon^{-1} R^{-1} = (L^3 M T^{-2} Q^{-2}) (L^{-2} M^{-1} T^1 Q^2) = L^1 T^{-1} = [v]$। यह सही है।
$3$. बल $[F] = M L T^{-2}$.
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\varepsilon^1 V^2 = (L^{-3} M^{-1} T^2 Q^2) (L^4 M^2 T^{-4} Q^{-2}) = L^1 M^1 T^{-2} = [F]$। यह सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।