Mix Examples-Units, Dimensions and Measurement Questions in Hindi

(C) यंग मापांक के लिए सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है।
यंग मापांक का विमीय सूत्र $[Y] = [M L^{-1} T^{-2}]$ है।
$CGS$ प्रणाली में इकाई $\text{dyne/cm}^2$ है,और $MKS$ $(SI)$ प्रणाली में इकाई $\text{N/m}^2$ है।
$1 \text{ N/m}^2 = 1 \frac{\text{kg} \cdot \text{m/s}^2}{\text{m}^2} = 1 \text{ kg} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}$.
$1 \text{ dyne/cm}^2 = 1 \frac{\text{g} \cdot \text{cm/s}^2}{\text{cm}^2} = 1 \text{ g} \cdot \text{cm}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}$.
$1 \text{ dyne/cm}^2$ को $MKS$ में बदलने पर:
$1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$
$1 \text{ cm}^{-1} = (10^{-2} \text{ m})^{-1} = 10^2 \text{ m}^{-1}$.
अतः,$1 \text{ dyne/cm}^2 = 10^{-3} \text{ kg} \cdot 10^2 \text{ m}^{-1} \cdot \text{s}^{-2} = 10^{-1} \text{ N/m}^2 = 0.1 \text{ N/m}^2$.
इस प्रकार,$CGS$ से $MKS$ में रूपांतरण कारक $0.1$ है।

(D) एक अदिश राशि को ऐसी भौतिक राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका परिमाण होता है लेकिन दिशा नहीं होती। दिशा के अभाव के कारण,इसका मान निर्देशांक प्रणाली के घूर्णन के तहत अपरिवर्तित रहता है। इसलिए,एक अदिश राशि का मान सभी पर्यवेक्षकों के लिए समान रहता है,चाहे उनके अक्षों का अभिविन्यास कुछ भी हो।

(D) दाब का $SI$ मात्रक $N/m^2$ (पास्कल) है और $CGS$ मात्रक $dyne/cm^2$ है।
हम जानते हैं कि $1\, N = 10^5\, dyne$ और $1\, m = 10^2\, cm$ होता है।
अतः,$1\, N/m^2 = \frac{10^5\, dyne}{(10^2\, cm)^2} = \frac{10^5}{10^4}\, dyne/cm^2 = 10\, dyne/cm^2$।
दिया गया दाब $P = 50\, N/m^2$ है।
$CGS$ में बदलने पर: $P = 50 \times 10\, dyne/cm^2 = 500\, dyne/cm^2$।

(D) $1$. कोणीय संवेग $(L)$ का सूत्र $L = mvr$ है। इसकी विमाएँ $[M] \times [LT^{-1}] \times [L] = [ML^2T^{-1}]$ होती हैं।
$2$. गुप्त ऊष्मा $(L_h)$ का सूत्र $L_h = Q/m$ है। इसकी विमाएँ $[ML^2T^{-2}] / [M] = [L^2T^{-2}]$ होती हैं।
$3$. धारिता $(C)$ का सूत्र $C = Q/V$ है। चूँकि $V = W/Q$,इसलिए $C = Q^2/W$ होता है। इसकी विमाएँ $[AT]^2 / [ML^2T^{-2}] = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ होती हैं।
अतः,सही क्रम $[ML^2T^{-1}], [L^2T^{-2}], [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ है।

(B) बेलन का आयतन $V$ सूत्र $V = \pi R^2 h = \frac{\pi}{4} D^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $D = 12.6\, cm$,$\Delta D = 0.1\, cm$,$h = 34.2\, cm$,और $\Delta h = 0.1\, cm$.
सबसे पहले,आयतन की गणना करें: $V = \frac{3.14159}{4} \times (12.6)^2 \times 34.2 \approx 4264.4\, cm^3$.
उचित सार्थक अंकों में राउंडिंग करने पर (दिए गए डेटा के आधार पर तीन सार्थक अंक),$V = 4260\, cm^3$.
अब,सापेक्ष त्रुटि की गणना करें: $\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta h}{h}$.
$\Delta V = V \times (2 \times \frac{0.1}{12.6} + \frac{0.1}{34.2}) = 4264.4 \times (0.01587 + 0.00292) \approx 4264.4 \times 0.01879 \approx 80.13$.
निरपेक्ष त्रुटि को एक सार्थक अंक में राउंडिंग करने पर,हमें $\Delta V = 80\, cm^3$ प्राप्त होता है।
अतः,आयतन $V = 4260 \pm 80\, cm^3$ है।

(B) हम जानते हैं कि $LR$ परिपथ का समय नियतांक $\tau = \frac{L}{R}$ होता है,जिसकी विमा समय $[T]$ होती है।
इसी प्रकार,$RC$ परिपथ का समय नियतांक $\tau = RC$ होता है,जिसकी विमा भी समय $[T]$ होती है।
अतः,व्यंजक $\frac{L}{RCV}$ को $\frac{L/R}{CV} = \frac{\tau}{CV}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम जानते हैं कि $Q = CV$,जहाँ $Q$ आवेश है,इसलिए $\frac{L}{RCV} = \frac{L/R}{Q} = \frac{[T]}{[AT]} = [A^{-1}]$।
इस प्रकार,विमा $[M^0 L^0 T^0 A^{-1}]$ है।

(A) कथन $(A)$ सही है: किसी भी भौतिक राशि को विभिन्न मात्रकों में मापा जा सकता है (उदाहरण के लिए,लंबाई को $m, cm, ft, inch$ में मापा जा सकता है)।
कथन $(B)$ सही है: किसी भी भौतिक राशि का विमीय सूत्र अद्वितीय होता है,जो उसकी मौलिक प्रकृति को दर्शाता है।
कथन $(C)$ सही है: विभिन्न भौतिक राशियों की विमाएँ समान हो सकती हैं (उदाहरण के लिए,कार्य और ऊर्जा दोनों की विमाएँ $[ML^2T^{-2}]$ होती हैं)।
कथन $(D)$ सही है: विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
चूँकि चारों कथन सही हैं,इसलिए सही कथनों की कुल संख्या $4$ है।

(C) ऊर्जा का सूत्र $E = F \times d$ है,जहाँ $F$ बल है और $d$ दूरी (लंबाई) है।
यदि बल के मात्रक को $4$ गुना बढ़ाया जाता है,तो नया बल $F' = 4F$ होगा।
यदि लंबाई के मात्रक को $4$ गुना बढ़ाया जाता है,तो नई दूरी $d' = 4d$ होगी।
नई ऊर्जा $E'$ का मान $E' = F' \times d' = (4F) \times (4d) = 16(F \times d) = 16E$ होगा।
अतः,ऊर्जा का मात्रक $16$ गुना बढ़ जाएगा।

(B) $1$. दाब और प्रतिबल: दोनों की विमाएँ $[M L^{-1} T^{-2}]$ होती हैं।
$2$. तनाव और पृष्ठ तनाव: तनाव एक बल है जिसकी विमा $[M L T^{-2}]$ है,जबकि पृष्ठ तनाव प्रति इकाई लंबाई बल है जिसकी विमा $[M T^{-2}]$ है। अतः,इनकी विमाएँ समान नहीं हैं।
$3$. विकृति और कोण: दोनों ही विमाहीन राशियाँ $[M^0 L^0 T^0]$ हैं।
$4$. ऊर्जा और कार्य: दोनों की विमाएँ $[M L^2 T^{-2}]$ होती हैं।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) $1$. विभव प्रवणता $(dV/dx)$ की विमाएँ $[M L T^{-3} A^{-1}]$ हैं,और विद्युत क्षेत्र $(E = F/q)$ की विमाएँ भी $[M L T^{-3} A^{-1}]$ हैं।
$2$. बल आघूर्ण $(\tau = r \times F)$ और गतिज ऊर्जा $(K = 1/2 mv^2)$ दोनों की विमाएँ $[M L^2 T^{-2}]$ हैं।
$3$. प्रकाश वर्ष दूरी का एक मात्रक है जिसकी विमा $[L]$ है,जबकि समय अवधि समय का एक मात्रक है जिसकी विमा $[T]$ है। चूँकि $[L] \neq [T]$,इसलिए इस युग्म की विमाएँ समान नहीं हैं।
$4$. प्रतिबाधा $(Z)$ और प्रतिघात $(X)$ दोनों की विमाएँ प्रतिरोध के समान $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ होती हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) आवेश $e$ और विभवांतर $V$ का गुणनफल ऊर्जा $(W = eV)$ को दर्शाता है।
अतः,व्यंजक $\frac{eV}{T} = \frac{W}{T}$ हो जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हम जानते हैं कि ऊर्जा $W$,$RT$ के समानुपाती होती है (जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है)।
इसलिए,$\frac{W}{T}$ की विमाएँ गैस नियतांक $R$ के समान होती हैं।
चूँकि बोल्ट्ज़मैन नियतांक $k_B$ को $\frac{R}{N_A}$ के रूप में परिभाषित किया गया है (जहाँ $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है),इसलिए $\frac{eV}{T}$ की इकाइयाँ बोल्ट्ज़मैन नियतांक की इकाइयों के समान हैं।

(B) $Assertion$ सही है क्योंकि भौतिक राशियों को प्रत्यक्ष (जैसे मीटर स्केल का उपयोग करके) या अप्रत्यक्ष (जैसे तारों की दूरी के लिए लंबन विधि) रूप से मापा जा सकता है।
$Reason$ भी सही है क्योंकि किसी भी मापन की विश्वसनीयता उपयोग किए गए उपकरण की परिशुद्धता और यथार्थता पर निर्भर करती है,और अंतिम परिणाम में संबंधित अनिश्चितताओं या त्रुटियों को ध्यान में रखा जाना चाहिए।
हालाँकि,$Reason$ यह नहीं बताता है कि हम प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष विधियों का उपयोग क्यों करते हैं; यह मापन को व्यक्त करने के मानदंडों को समझाता है। इसलिए,$Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या नहीं है।

(N/A) चूँकि $1\; cm = 10^{-2}\; m$,$1\; cm$ भुजा वाले घन का आयतन $(10^{-2}\; m)^{3} = 10^{-6}\; m^{3}$ होगा।
$(b)$ बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2\pi r(r + h)$ होता है। यहाँ $r = 2.0\; cm = 20\; mm$ और $h = 10.0\; cm = 100\; mm$ दिया गया है। अतः,$S = 2 \times 3.14 \times 20\; mm \times (20\; mm + 100\; mm) = 2 \times 3.14 \times 20 \times 120\; mm^{2} = 1.5072 \times 10^{4}\; mm^{2}$.
$(c)$ चाल $= 18\; km/h = 18 \times (5/18)\; m/s = 5\; m/s$. $1\; s$ में तय की गई दूरी $= 5\; m/s \times 1\; s = 5\; m$.
$(d)$ आपेक्षिक घनत्व,पदार्थ के घनत्व और पानी के घनत्व $(1\; g/cm^{3})$ का अनुपात होता है। अतः,सीसे का घनत्व $= 11.3 \times 1\; g/cm^{3} = 11.3\; g/cm^{3}$. चूँकि $1\; g/cm^{3} = 10^{3}\; kg/m^{3}$,इसलिए घनत्व $11.3 \times 10^{3}\; kg/m^{3}$ होगा।

(N/A) चूंकि $1\; kg = 10^{3}\; g$ और $1\; m^{2} = 10^{4}\; cm^{2}$,इसलिए $1\; kg\; m^{2}\; s^{-2} = 10^{3}\; g \times 10^{4}\; cm^{2}\; s^{-2} = 10^{7}\; g\; cm^{2}\; s^{-2}$.
$(b)$ $1\; ly$ (प्रकाश वर्ष) वह दूरी है जो प्रकाश एक वर्ष में तय करता है। $1\; ly = (3 \times 10^{8}\; m/s) \times (365.25 \times 24 \times 3600\; s) \approx 9.46 \times 10^{15}\; m$. अतः,$1\; m = 1 / (9.46 \times 10^{15})\; ly \approx 1.057 \times 10^{-16}\; ly$.
$(c)$ $1\; m = 10^{-3}\; km$ और $1\; s = (1/3600)\; h$,इसलिए $1\; s^{-2} = (3600)^{2}\; h^{-2}$. अतः,$3.0\; m\; s^{-2} = 3.0 \times 10^{-3}\; km \times (3600)^{2}\; h^{-2} = 3.0 \times 10^{-3} \times 12960000\; km\; h^{-2} = 3.888 \times 10^{4}\; km\; h^{-2}$.
$(d)$ $G = 6.67 \times 10^{-11}\; N\; m^{2}\; kg^{-2}$. चूंकि $1\; N = 1\; kg\; m\; s^{-2}$,$G = 6.67 \times 10^{-11}\; (kg\; m\; s^{-2})\; m^{2}\; kg^{-2} = 6.67 \times 10^{-11}\; kg^{-1}\; m^{3}\; s^{-2}$. इकाइयों को बदलने पर: $1\; kg^{-1} = (10^{3}\; g)^{-1} = 10^{-3}\; g^{-1}$ और $1\; m^{3} = (10^{2}\; cm)^{3} = 10^{6}\; cm^{3}$. अतः,$G = 6.67 \times 10^{-11} \times 10^{-3}\; g^{-1} \times 10^{6}\; cm^{3}\; s^{-2} = 6.67 \times 10^{-8}\; cm^{3}\; s^{-2}\; g^{-1}$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु की त्रिज्या,$r = 0.5 \mathring{A} = 0.5 \times 10^{-10} \, m$।
एक हाइड्रोजन परमाणु का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{4}{3} \times 3.14159 \times (0.5 \times 10^{-10})^{3} \approx 0.5236 \times 10^{-30} \, m^{3}$।
$1$ मोल हाइड्रोजन में $N_{A} = 6.022 \times 10^{23}$ परमाणु होते हैं।
$1$ मोल हाइड्रोजन परमाणुओं का कुल आयतन $= N_{A} \times \text{एक परमाणु का आयतन} = 6.022 \times 10^{23} \times 0.5236 \times 10^{-30} \, m^{3} \approx 3.153 \times 10^{-7} \, m^{3}$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,परिणाम $3.16 \times 10^{-7} \, m^{3}$ है।

(N/A) मानसून के दौरान,भारत में औसत वर्षा लगभग $215 \ cm$ होती है,यानी जल स्तंभ की ऊँचाई $h = 2.15 \ m$ है। भारत का क्षेत्रफल $A \approx 3.3 \times 10^{12} \ m^2$ है। वर्षा के जल का आयतन $V = A \times h \approx 7.09 \times 10^{12} \ m^3$ है। पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \ kg/m^3$ लेने पर,वर्षा के जल का द्रव्यमान $M = \rho V \approx 7.09 \times 10^{15} \ kg$ होगा।
$(b)$ समुद्र में तैरते हुए ज्ञात आधार क्षेत्रफल $A$ वाले एक जहाज पर विचार करें। इसकी गहराई $d_1$ मापें। जब हाथी को जहाज पर रखा जाता है,तो गहराई बढ़कर $d_2$ हो जाती है। हाथी द्वारा विस्थापित पानी का आयतन $V = A(d_2 - d_1)$ है। हाथी का द्रव्यमान $M = \rho_{water} \times A(d_2 - d_1)$ होगा।
$(c)$ तूफान के दौरान हवा की गति को एनेमोमीटर का उपयोग करके मापा जा सकता है,जो हवा द्वारा संचालित कपों की घूर्णन दर को मापता है। वैकल्पिक रूप से,कोई ज्ञात समय अंतराल में वस्तुओं के विस्थापन का अवलोकन कर सकता है।
$(d)$ स्क्रू गेज का उपयोग करके सिर के सतह क्षेत्र $A$ और बाल के एक तार का व्यास $d$ मापें। बालों के तारों की संख्या $N \approx A / (\pi (d/2)^2)$ होगी।
$(e)$ मान लीजिए कमरे का आयतन $V$ है। $NTP$ पर,एक मोल हवा $22.4 \times 10^{-3} \ m^3$ आयतन घेरती है। एक मोल में अणुओं की संख्या $6.023 \times 10^{23}$ है। अतः,कमरे में अणुओं की संख्या $N = (V / 22.4 \times 10^{-3}) \times 6.023 \times 10^{23} \approx 2.7 \times 10^{25} \times V$ होगी।

(A) सोडियम परमाणु का व्यास $= 2.5 \; \mathring{A} = 2.5 \times 10^{-10} \; m$.
सोडियम परमाणु की त्रिज्या,$r = 1.25 \times 10^{-10} \; m$.
एक सोडियम परमाणु का आयतन,$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.25 \times 10^{-10})^3 \approx 8.18 \times 10^{-30} \; m^3$.
एक सोडियम परमाणु का द्रव्यमान,$m = \frac{\text{परमाणु द्रव्यमान}}{\text{एवोगाद्रो संख्या}} = \frac{23 \times 10^{-3} \; kg}{6.023 \times 10^{23}} \approx 3.82 \times 10^{-26} \; kg$.
सोडियम परमाणु का घनत्व,$\rho = \frac{m}{V} = \frac{3.82 \times 10^{-26}}{8.18 \times 10^{-30}} \approx 4.67 \times 10^3 \; kg \; m^{-3}$.
क्रिस्टलीय सोडियम का दिया गया घनत्व $= 970 \; kg \; m^{-3} \approx 10^3 \; kg \; m^{-3}$.
दोनों घनत्व $10^3 \; kg \; m^{-3}$ की कोटि के हैं। वे समान कोटि के हैं क्योंकि ठोस अवस्था में परमाणु निकटता से पैक होते हैं,लेकिन अंतर-परमाणु दूरी परमाणु के आकार के तुलनीय होती है।

(N/A) एक अदिश राशि को केवल उसके परिमाण द्वारा परिभाषित किया जाता है,जिसमें कोई दिशा नहीं होती है। एक सदिश राशि को उसके परिमाण और उससे जुड़ी दिशा दोनों द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$1$. अदिश राशियाँ: आयतन,द्रव्यमान,चाल,घनत्व,मोल की संख्या और कोणीय आवृत्ति।
$2$. सदिश राशियाँ: त्वरण,वेग,विस्थापन और कोणीय वेग।

(B) कार्य और विद्युत धारा अदिश राशियाँ हैं。
किया गया कार्य बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है, $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$। चूँकि दो सदिशों का अदिश गुणनफल हमेशा एक अदिश होता है, इसलिए कार्य एक अदिश भौतिक राशि है。
विद्युत धारा को उसके परिमाण द्वारा परिभाषित किया जाता है। यद्यपि इसकी एक दिशा होती है, लेकिन यह सदिश योग के नियमों का पालन नहीं करती है (यह बीजगणितीय योग का पालन करती है)। इसलिए, इसे एक अदिश राशि के रूप में वर्गीकृत किया गया है。

(E) असत्य: अदिश राशि होने के बावजूद,अप्रत्यास्थ संघट्टों में ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।
$(b)$ असत्य: अदिश राशि होने के बावजूद,तापमान ऋणात्मक मान ले सकता है।
$(c)$ असत्य: कुल पथ लंबाई एक अदिश राशि है,फिर भी इसमें लंबाई की विमा होती है।
$(d)$ असत्य: गुरुत्वीय विभव जैसी अदिश राशि अंतरिक्ष में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक भिन्न हो सकती है।
$(e)$ सत्य: अक्षों के विभिन्न अभिविन्यास वाले पर्यवेक्षकों के लिए एक अदिश का मान नहीं बदलता है।

(N/A) भौतिक राशियों को इस आधार पर वर्गीकृत किया जाता है कि उन्हें पूरी तरह से वर्णित करने के लिए केवल परिमाण (अदिश) की आवश्यकता है या परिमाण और दिशा दोनों (सदिश) की।
$1$. अदिश राशियाँ: इन राशियों में केवल परिमाण होता है।
- चाल
- दाब
- तापमान
- कार्य
- ऊर्जा
$2$. सदिश राशियाँ: इन राशियों में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
- स्थिति
- वेग
- त्वरण
- बल

(N/A) $DNA$ के एक बंध को तोड़ने के लिए आवश्यक ऊर्जा:
$\frac{10^{-20} \; J}{1.6 \times 10^{-19} \; J/eV} \simeq 0.06 \; eV$.
नोट: $0.1 \; eV = 100 \; meV$ ($100$ मिली-इलेक्ट्रॉन वोल्ट)।
$(b)$ वायु के एक अणु की गतिज ऊर्जा:
$\frac{10^{-21} \; J}{1.6 \times 10^{-19} \; J/eV} \simeq 0.0062 \; eV$.
यह $6.2 \; meV$ के बराबर है।
$(c)$ एक वयस्क मानव का औसत दैनिक ऊर्जा सेवन लगभग $10^7 \; J$ होता है। इसे किलोकैलोरी में बदलने पर:
$\frac{10^7 \; J}{4.2 \times 10^3 \; J/kcal} \simeq 2400 \; kcal$।

(N/A) द्रव अवस्था में,पानी के अणु काफी घनीभूत होते हैं। इसलिए,पानी के अणु के घनत्व को थोक पानी के घनत्व $= 1000 \; kg \; m^{-3}$ के लगभग बराबर माना जा सकता है।
पानी के एक अणु के आयतन का अनुमान लगाने के लिए,हमें एक अणु का द्रव्यमान जानना होगा।
हम जानते हैं कि $1 \; mole$ पानी का द्रव्यमान लगभग $(2 + 16) \; g = 18 \; g = 0.018 \; kg$ होता है।
चूंकि $1 \; mole$ में लगभग $6 \times 10^{23}$ अणु (एवोगाद्रो संख्या) होते हैं,इसलिए पानी के एक अणु का द्रव्यमान $(0.018) / (6 \times 10^{23}) \; kg = 3 \times 10^{-26} \; kg$ है।
इसलिए,पानी के एक अणु के आयतन का अनुमान इस प्रकार है:
पानी के अणु का आयतन $= (3 \times 10^{-26} \; kg) / (1000 \; kg \; m^{-3}) = 3 \times 10^{-29} \; m^3$.
यदि अणु को गोलाकार माना जाए,तो $V = (4/3) \pi r^3$,जिससे त्रिज्या $r \approx 2 \times 10^{-10} \; m = 2 \; \mathring{A}$ प्राप्त होती है।

(N/A) कार्य का $MKS$ मात्रक जूल $(J)$ है।
जूल की परिभाषा: जब $1 \text{ Newton}$ का बल किसी वस्तु को बल की दिशा में $1 \text{ metre}$ विस्थापित करता है,तो किया गया कार्य $1 \text{ Joule}$ कहलाता है।
$1 \text{ Joule} = 1 \text{ N} \cdot \text{m} = 1 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}$.
कार्य का $CGS$ मात्रक अर्ग (erg) है।
अर्ग की परिभाषा: जब $1 \text{ dyne}$ का बल किसी वस्तु को बल की दिशा में $1 \text{ cm}$ विस्थापित करता है,तो किया गया कार्य $1 \text{ erg}$ कहलाता है।
$1 \text{ erg} = 1 \text{ dyne} \cdot \text{cm} = 1 \text{ g} \cdot \text{cm}^2 \cdot \text{s}^{-2}$.
कार्य का विमीय सूत्र: $[M^1 L^2 T^{-2}]$.
रूपांतरण: $1 \text{ Joule} = 10^7 \text{ erg}$.
कार्य/ऊर्जा के व्यावहारिक मात्रक:

अर्ग (erg)	$10^{-7} \text{ J}$
इलेक्ट्रॉन वोल्ट (eV)	$1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$
कैलोरी (cal)	$4.186 \text{ J}$
किलोवाट घंटा (kWh)	$3.6 \times 10^6 \text{ J}$

(N/A) चूंकि $1 \ \text{J} = 1 \ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$ और $1 \ \text{erg} = 1 \ \text{g} \cdot \text{cm}^2/\text{s}^2$,इसलिए $1 \ \text{J} = (10^3 \ \text{g}) \times (10^2 \ \text{cm})^2 / \text{s}^2 = 10^7 \ \text{erg}$.
$(b)$ $1 \ \text{eV}$ वह ऊर्जा है जो $1 \ \text{V}$ के विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त की जाती है,इसलिए $1 \ \text{eV} = (1.602 \times 10^{-19} \ \text{C}) \times (1 \ \text{V}) = 1.602 \times 10^{-19} \ \text{J}$.
$(c)$ $1 \ \text{kWh} = (10^3 \ \text{W}) \times (3600 \ \text{s}) = 1000 \ \text{J/s} \times 3600 \ \text{s} = 3.6 \times 10^6 \ \text{J}$.

(N/A) गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का मात्रक $N \cdot m^2 / kg^2$ है और इसका विमीय सूत्र $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मात्रक $m / s^2$ है और इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^{-2}]$ है।
अतः,अनुपात $\frac{G}{g}$ का मात्रक:
$\frac{N \cdot m^2 / kg^2}{m / s^2} = \frac{(kg \cdot m / s^2) \cdot m^2 / kg^2}{m / s^2} = \frac{m^2}{kg} = m^2 \cdot kg^{-1}$ होगा।
इसका विमीय सूत्र:
$\frac{[M^{-1} L^3 T^{-2}]}{[M^0 L^1 T^{-2}]} = [M^{-1} L^2 T^0]$ होगा।

(0.1, 1) $1$. हम जानते हैं कि $1 \, Pa = 1 \, N/m^2$ होता है। इसलिए,$0.1 \, Pa = 0.1 \, Nm^{-2}$ होगा।
$2$. $Nm^{-2}$ को $\text{dyne} \, cm^{-2}$ में बदलने के लिए,हम रूपांतरण कारकों का उपयोग करते हैं: $1 \, N = 10^5 \, \text{dyne}$ और $1 \, m^2 = (10^2 \, cm)^2 = 10^4 \, cm^2$।
$3$. इस प्रकार,$1 \, Nm^{-2} = \frac{10^5 \, \text{dyne}}{10^4 \, cm^2} = 10 \, \text{dyne} \, cm^{-2}$।
$4$. इसलिए,$0.1 \, Nm^{-2} = 0.1 \times 10 \, \text{dyne} \, cm^{-2} = 1 \, \text{dyne} \, cm^{-2}$।
$5$. अंतिम परिणाम $0.1 \, Pa = 0.1 \, Nm^{-2} = 1 \, \text{dyne} \, cm^{-2}$ है।

(D) बल की इकाई $N$ (न्यूटन) है,जो $kg\,m\,s^{-2}$ होती है।
दी गई इकाई $N\,m^{-1}\,s^{-2}$ है।
बल की मूल इकाइयों को प्रतिस्थापित करने पर: $(kg\,m\,s^{-2}) \times m^{-1} \times s^{-2} = kg\,s^{-4}$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,विमाओं की जाँच करें: $[N] = [MLT^{-2}]$,$[m^{-1}] = [L^{-1}]$,$[s^{-2}] = [T^{-2}]$।
इनका गुणा करने पर: $[MLT^{-2}] \times [L^{-1}] \times [T^{-2}] = [MT^{-4}]$।
यह इकाई किसी भी मानक मूलभूत भौतिक राशि जैसे दाब $(N\,m^{-2})$,पृष्ठ तनाव $(N\,m^{-1})$,या बल नियतांक $(N\,m^{-1})$ से मेल नहीं खाती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए कि घन की भुजा की लंबाई $l$ है।
दिया गया है कि आयतन $V$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ समान हैं:
$V = A$
$l^3 = 6l^2$
दोनों पक्षों को $l^2$ से विभाजित करने पर (चूंकि $l \neq 0$):
$l = 6$
अब,आयतन $V$ होगा:
$V = l^3 = (6)^3 = 216 \text{ घन इकाई}$.

(A) दिया गया है,आकाशगंगा की दूरी $d = 10^{25} \ m$ है।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8} \ m/s$ है।
समय $t$ की गणना सूत्र $t = \frac{d}{c}$ द्वारा की जाती है।
मान रखने पर,$t = \frac{10^{25}}{3 \times 10^{8}} = \frac{1}{3} \times 10^{17} \ s$ प्राप्त होता है।
इसे $t = 0.333 \times 10^{17} \ s = 3.33 \times 10^{16} \ s$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि $3.33 < 5$ है,इसलिए समय की कोटि $10^{16} \ s$ होगी।

$(a)$ समतल कोण $\theta = \frac{l}{r}$ का मात्रक रेडियन है, लेकिन इसका विमीय सूत्र $[M^{0} L^{0} T^{0}]$ है।
$(b)$ विकृति (Strain) $= \frac{\Delta l}{l} = \frac{\text{लंबाई में परिवर्तन}}{\text{प्रारंभिक लंबाई}}$। इसका न तो कोई मात्रक होता है और न ही विमाएँ।
$(c)$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^{2} \cdot \text{kg}^{-2}$। यह एक मात्रक वाला नियतांक है।
$(d)$ रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ एक विमाहीन नियतांक है।

(N/A) चूंकि $1\,\mu m = 10^{-6}\,m$ और $1\,fm = 10^{-15}\,m$,इसलिए $\frac{10^{-6}}{10^{-15}} = 10^{9}$ होगा।
$(b)$ संख्या $0.0060$ में,अग्रणी शून्य सार्थक नहीं होते हैं। गैर-शून्य अंक $6$ और दशमलव बिंदु के बाद का अंतिम शून्य सार्थक हैं। अतः,इसमें $2$ सार्थक अंक हैं।
$(c)$ नैनोटेक्नोलॉजी के अध्ययन के लिए स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप $(STM)$ विकसित किया गया है।

(A) पर्वत की दूरी मापने के लिए प्रतिध्वनि (Echo) विधि या परावर्तन विधि का उपयोग किया जाता है।
$(b)$ समय के मापन के लिए सीज़ियम परमाणु घड़ी सबसे सटीक घड़ी है।
$(c)$ $15.753$ को तीन सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने के लिए,हम चौथे अंक को देखते हैं,जो $5$ है। चूंकि तीसरे सार्थक अंक $(7)$ के बाद वाला अंक $5$ है और उसके बाद शून्यतर अंक $(3)$ है,इसलिए तीसरे अंक में $1$ जोड़ दिया जाता है। अतः,$15.753$ का मान $15.8$ हो जाता है।

(D) असत्य। भार एक व्युत्पन्न राशि है क्योंकि इसे $W = mg$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान (मूल) है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण (व्युत्पन्न) है।
$(b)$ असत्य। ओलिक एसिड के अणु का आकार मापने के लिए ऑप्टिकल माइक्रोस्कोप या इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप का उपयोग किया जाता है,न कि माइक्रोमीटर का (जो एक यांत्रिक मापन उपकरण है)।
$(c)$ असत्य। व्युत्पन्न राशि की विमाएँ कुछ मूल राशियों के लिए शून्य हो सकती हैं। उदाहरण के लिए,वेग की विमाएँ $[M^0 L^1 T^{-1}]$ होती हैं,जिसमें द्रव्यमान की विमा शून्य है।

(A) सत्य। उदाहरण के लिए,समतल कोण को रेडियन में मापा जाता है लेकिन यह विमाहीन है।
$(b)$ असत्य। आवेग का मात्रक $N \cdot s$ (या $kg \cdot m/s$) है। ऊर्जा की प्रवणता (बल) का मात्रक $N$ (या $kg \cdot m/s^2$) है। अतः,वे समान नहीं हैं।
$(c)$ सत्य। परंपरा के अनुसार,एक एकल माप में निरपेक्ष त्रुटि को मापन यंत्र के अल्पतमांक के बराबर लिया जाता है।

(NONE) असत्य। विमीय रूप से गलत समीकरण भौतिक रूप से भी गलत होता है।
$(b)$ असत्य। $1 \ AU = 1.496 \times 10^{11} \ m$ होता है। $9.46 \times 10^{15} \ m$ का मान $1 \ \text{प्रकाश वर्ष}$ के बराबर होता है।
$(c)$ असत्य। बल का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है, जबकि प्रतिबल (बल/क्षेत्रफल) का विमीय सूत्र $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है।
$(d)$ असत्य। किसी भौतिक राशि की विमाएँ मात्रक पद्धति पर निर्भर नहीं करती हैं; केवल उसका संख्यात्मक मान बदलता है।

(D) $1$. वीन का विस्थापन नियम बताता है कि $\lambda_{max} T = b$,जहाँ $b$ वीन नियतांक है। तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की इकाई $m$ और तापमान $T$ की इकाई $K$ है। अतः,वीन नियतांक की इकाई $m K$ है,जो $(iii)$ के अनुरूप है।
$2$. स्टीफन-बोल्ट्जमैन का नियम बताता है कि प्रति इकाई क्षेत्रफल विकिरित शक्ति $P/A = \sigma T^4$ है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है। शक्ति की इकाई $W$ (वाट),क्षेत्रफल की $m^2$ और तापमान की $K$ है। अतः,$\sigma$ की इकाई $W m^{-2} K^{-4}$ है,जो $(i)$ के अनुरूप है।
$3$. इसलिए,सही मिलान $(a-iii), (b-i)$ है।

(N/A) टॉर्क और कार्य दोनों की इकाई $N \cdot m$ (न्यूटन-मीटर) या $J$ (जूल) है। हालाँकि,वे अलग-अलग भौतिक राशियाँ हैं क्योंकि:
$1$. टॉर्क एक सदिश राशि है,जबकि कार्य एक अदिश राशि है।
$2$. टॉर्क बल के घूर्णन प्रभाव (टर्निंग इफेक्ट) को दर्शाता है,जबकि कार्य विस्थापन के दौरान बल द्वारा स्थानांतरित ऊर्जा को दर्शाता है।

(A) ऊर्जा की इकाई (जूल) $J = kg \cdot m^2/s^2$ है।
इसे $s^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$J \cdot s^2 = (kg \cdot m^2/s^2) \cdot s^2 = kg \cdot m^2$.
$kg \cdot m^2$ इकाई वाली भौतिक राशि जड़त्व आघूर्ण $(I = \sum mr^2)$ है।
अतः,$J \cdot s^2$ जड़त्व आघूर्ण की इकाई है।

(B) $1$. रिडबर्ग नियतांक $({R}_{H})$: रिडबर्ग नियतांक का $SI$ मात्रक ${m}^{-1}$ होता है। अतः,$(a)-(iii)$।
$2$. प्लांक नियतांक $(h)$: संबंध $E = h\nu$ से,$h$ का मात्रक $J \cdot s = (kg \cdot m^{2} \cdot s^{-2}) \cdot s = {kg} {m}^{2} {s}^{-1}$ होता है। अतः,$(b)-(ii)$।
$3$. चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा घनत्व $(u_{B})$: ऊर्जा घनत्व प्रति इकाई आयतन ऊर्जा है,$u = \frac{E}{V}$। इसका $SI$ मात्रक $J/m^{3} = (kg \cdot m^{2} \cdot s^{-2}) / m^{3} = {kg} {m}^{-1} {s}^{-2}$ होता है। अतः,$(c)-(iv)$।
$4$. श्यानता गुणांक $(\eta)$: सूत्र $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ से,$\eta$ का मात्रक $kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}$ होता है। अतः,$(d)-(i)$।
इस प्रकार,सही मिलान $(a)-(iii), (b)-(ii), (c)-(iv), (d)-(i)$ है।

(A) विमीय सूत्र इस प्रकार परिकलित किए जाते हैं:
$(a)$ बल आघूर्ण $(\tau) = \text{बल} \times \text{दूरी} = [MLT^{-2}] \times [L] = [ML^2T^{-2}]$, जो $(iii)$ से मेल खाता है।
$(b)$ आवेग $(I) = \text{बल} \times \text{समय} = [MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$, जो $(i)$ से मेल खाता है।
$(c)$ तनाव एक बल है, इसलिए इसका विमीय सूत्र $[MLT^{-2}]$ है, जो $(iv)$ से मेल खाता है।
$(d)$ पृष्ठ तनाव $(S) = \frac{\text{बल}}{\text{लंबाई}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L]} = [MT^{-2}]$, जो $(ii)$ से मेल खाता है।
अतः, सही मिलान $(a)-(iii), (b)-(i), (c)-(iv), (d)-(ii)$ है।

(A) $1$. धारिता $(C)$: $q = CV$ से,$[C] = [q/V] = [q^2 / (Work)] = [A^2 T^2 / (M L^2 T^{-2})] = M^{-1} L^{-2} T^4 A^2$. अतः,$(a) \rightarrow (iii)$.
$2$. निर्वात की विद्युतशीलता $(\varepsilon_0)$: कूलम्ब के नियम $F = (q_1 q_2) / (4 \pi \varepsilon_0 r^2)$ से,$[\varepsilon_0] = [q^2 / (F L^2)] = [A^2 T^2 / (M L T^{-2} L^2)] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$. अतः,$(b) \rightarrow (ii)$.
$3$. निर्वात की चुंबकशीलता $(\mu_0)$: $c = 1 / \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$ का उपयोग करते हुए,$\mu_0 = 1 / (\varepsilon_0 c^2)$. विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,$[\mu_0] = [1 / (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2 \cdot L^2 T^{-2})] = M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}$. अतः,$(c) \rightarrow (iv)$.
$4$. विद्युत क्षेत्र $(E)$: $F = qE$ से,$[E] = [F/q] = [M L T^{-2} / (A T)] = M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}$. अतः,$(d) \rightarrow (i)$.
सही सुमेलन $(a) \rightarrow (iii), (b) \rightarrow (ii), (c) \rightarrow (iv), (d) \rightarrow (i)$ है।

(D) $1$. तरंग संख्या $(k = 1/\lambda)$ और रिडबर्ग नियतांक $(R)$ दोनों के आयाम $[L^{-1}]$ हैं।
$2$. प्रतिबल और प्रत्यास्थता गुणांक (यंग मापांक,बल्क मापांक,आदि) दोनों के आयाम $[M L^{-1} T^{-2}]$ हैं।
$3$. कोर्सिविटी $(H)$ और चुंबकन $(M)$ दोनों के आयाम $[A L^{-1}]$ हैं।
$4$. विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(S)$ के आयाम $[L^2 T^{-2} K^{-1}]$ हैं ($S = Q / (m \Delta T)$ से),जबकि गुप्त ऊष्मा $(L)$ के आयाम $[L^2 T^{-2}]$ हैं ($L = Q / m$ से)।
अतः,$[L^2 T^{-2} K^{-1}] \neq [L^2 T^{-2}]$ होने के कारण,भिन्न आयामों वाला जोड़ा विशिष्ट ऊष्मा धारिता और गुप्त ऊष्मा है।

(B) $1$. बल आघूर्ण (Torque) को बल और घूर्णन अक्ष से लंबवत दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका $SI$ मात्रक $Nm$ है।
$2$. प्रतिबल (Stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका $SI$ मात्रक $N/m^2$ या $Nm^{-2}$ है।
$3$. गुप्त ऊष्मा (Latent heat) किसी पदार्थ के इकाई द्रव्यमान की अवस्था बदलने के लिए आवश्यक ऊर्जा है। इसका $SI$ मात्रक $J/kg$ या $Jkg^{-1}$ है।
$4$. शक्ति (Power) को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया गया है। चूंकि कार्य = बल $\times$ विस्थापन,इसलिए शक्ति = बल $\times$ वेग। इसका $SI$ मात्रक $N \times (m/s) = Nms^{-1}$ है।
अतः,सही मिलान $(A)-(III), (B)-(IV), (C)-(II), (D)-(I)$ है।

(B) वर्षा द्वारा प्राप्त जल का सतह क्षेत्र $A = 600 \, km^2 = 600 \times (10^3)^2 \, m^2 = 6 \times 10^8 \, m^2$ है।
औसत वार्षिक वर्षा $h = 2.4 \, m$ है।
वर्षा द्वारा प्राप्त जल का कुल आयतन $V = A \times h = 6 \times 10^8 \times 2.4 = 14.4 \times 10^8 \, m^3 = 1.44 \times 10^9 \, m^3$ है।
चूंकि $1 \, m^3 = 1000 \, L$,लीटर में कुल आयतन $1.44 \times 10^9 \times 10^3 = 1.44 \times 10^{12} \, L$ है।
संरक्षित जल की मात्रा कुल आयतन का $10 \%$ है: $V_{cons} = 0.10 \times 1.44 \times 10^{12} \, L = 1.44 \times 10^{11} \, L$ है।
इस संरक्षित जल द्वारा मुंबई की वार्षिक पानी की आवश्यकता का कितना प्रतिशत पूरा होता है,यह $\frac{1.44 \times 10^{11}}{1.4 \times 10^{12}} \times 100 \approx 10 \%$ है।

(D) बल की विमा $[MLT^{-2}]$ होती है।
$A$. भार एक बल है $(W = mg)$,इसलिए इसकी विमा $[MLT^{-2}]$ है।
$B$. न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,संवेग परिवर्तन की दर बल के बराबर होती है $(F = dp/dt)$,इसलिए इसकी विमा $[MLT^{-2}]$ है।
$C$. प्रति इकाई लंबाई कार्य $W/L$ है। चूंकि $W = F \times d$,इसलिए $W/L = (F \times d)/L = F$। अतः,इसकी विमा $[MLT^{-2}]$ है।
$D$. प्रति इकाई आवेश कार्य को विद्युत विभव $(V = W/q)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। विभव की विमा $[ML^2T^{-3}A^{-1}]$ है,जो बल की विमा के बराबर नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) मान लीजिए कि मूल इकाइयाँ $L$,$v$,और $F$ हैं। नई इकाइयाँ $L' = 2L$,$v' = 2v$,और $F' = 2F$ हैं।
हम जानते हैं कि वेग $v = L/T$,इसलिए समय की इकाई $T = L/v$ है। समय की नई इकाई $T' = L'/v' = (2L)/(2v) = L/v = T$ है। अतः,समय की इकाई अपरिवर्तित रहती है।
हम जानते हैं कि बल $F = ma = m(v/T)$,इसलिए द्रव्यमान की इकाई $m = FT/v$ है। द्रव्यमान की नई इकाई $m' = F'T'/v' = (2F \times T)/(2v) = FT/v = m$ है। अतः,द्रव्यमान की इकाई अपरिवर्तित रहती है।
हम जानते हैं कि संवेग $p = mv$ है। संवेग की नई इकाई $p' = m'v' = m \times (2v) = 2mv = 2p$ है। अतः,संवेग की इकाई दोगुनी हो जाती है।
हम जानते हैं कि ऊर्जा $E = F \times L$ है। ऊर्जा की नई इकाई $E' = F' \times L' = (2F) \times (2L) = 4FL = 4E$ है। अतः,ऊर्जा की इकाई मूल मान की चार गुना हो जाती है।
इसलिए,सही कथन यह है कि संवेग की इकाई दोगुनी हो जाती है।

(A) आवेग की विमा $J = F \times \Delta t = [MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$ होती है।
अतः,"प्रति इकाई क्षेत्रफल आवेग" की विमा $\frac{[MLT^{-1}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-1}]$ है।
अब,दिए गए विकल्पों की विमाओं की जाँच करते हैं:
$A$. श्यानता (श्यानता गुणांक $\eta$): बल $F = \eta A \frac{dv}{dx}$,इसलिए $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2] [LT^{-1}/L]} = [ML^{-1}T^{-1}]$.
$B$. पृष्ठ तनाव: $[MT^{-2}]$.
$C$. आयतन प्रत्यास्थता गुणांक: $[ML^{-1}T^{-2}]$.
$D$. बल: $[MLT^{-2}]$.
इस प्रकार,"प्रति इकाई क्षेत्रफल आवेग" का मात्रक श्यानता के मात्रक के समान है।

(C) सही उत्तर $C$ है।
$1$. विकृति (Strain) आयाम में परिवर्तन और मूल आयाम का अनुपात है,इसलिए यह विमाहीन और मात्रकहीन है।
$2$. रेनॉल्ड्स संख्या द्रव यांत्रिकी में उपयोग की जाने वाली एक विमाहीन राशि है।
$3$. कोणीय विस्थापन को वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\theta = \frac{\text{चाप}}{\text{त्रिज्या}}$ द्वारा दिया जाता है। इसका मात्रक रेडियन $(rad)$ या डिग्री होता है,लेकिन चूंकि यह दो लंबाइयों का अनुपात है,इसलिए यह विमाहीन है।
$4$. पॉइसन अनुपात पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात है,जो इसे विमाहीन और मात्रकहीन बनाता है।

$(A)$ $\text{पृष्ठ तनाव}$ $= \frac{F}{l} = \frac{MLT^{-2}}{L} = MT^{-2} = kg s^{-2}$ $(IV)$.
$(B)$ $\text{दाब}$ $= \frac{F}{A} = \frac{MLT^{-2}}{L^2} = ML^{-1}T^{-2} = kg m^{-1} s^{-2}$ $(III)$.
$(C)$ $\text{श्यानता}$ $= \frac{F}{A(\frac{dv}{dz})} = \frac{MLT^{-2}}{L^2(\frac{LT^{-1}}{L})} = ML^{-1}T^{-1} = kg m^{-1} s^{-1}$ $(I)$.
$(D)$ $\text{आवेग}$ $= F \times \Delta t = MLT^{-2} \times T = MLT^{-1} = kg m s^{-1}$ $(II)$.
अतः, सही मिलान $(A)-(IV), (B)-(III), (C)-(I), (D)-(II)$ है।