Mix Examples-Thermodynamics Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાઓનો ગુણોત્તર $\gamma = 1.5 = 3/2$ છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$. આપેલ છે કે $V_f = 2V_i$ અને $P_f = P_1$,તેથી $P_{i,ad} V_i^{1.5} = P_1 (2V_i)^{1.5}$.
આમ,$P_{i,ad} = P_1 (2)^{1.5} = P_1 (2\sqrt{2})$.
આઈસોથર્મલ પ્રક્રિયા માટે,$P_i V_i = P_f V_f$. આપેલ છે કે $V_f = 2V_i$ અને $P_f = P_2$,તેથી $P_{i,iso} V_i = P_2 (2V_i)$.
આમ,$P_{i,iso} = 2P_2$.
જો $P_1 = P_2$ હોય,તો પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_{i,ad}}{P_{i,iso}} = \frac{P_1 (2\sqrt{2})}{2P_1} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} : 1$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક અવસ્થા $A$ છે જે $(P_0, V_0, T_0)$ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા $A \to B$ માં, તાપમાન અચળ રહે છે, તેથી $B$ આગળની અવસ્થા $(P', 8V_0, T_0)$ છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા $B \to C$ માં, વાયુને $V_0$ કદ સુધી સંકોચવામાં આવે છે. સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટેનું સૂત્ર $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
પ્રક્રિયા $B \to C$ માટે:
$T_0 (8V_0)^{\gamma-1} = T'' (V_0)^{\gamma-1}$
અહીં $\gamma = 4/3$ આપેલ છે, તેથી $\gamma - 1 = 1/3$.
$T_0 (8V_0)^{1/3} = T'' (V_0)^{1/3}$
$T_0 \cdot 8^{1/3} = T''$
$T'' = 2 T_0$
અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $U_{av} = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે સૂચવે છે કે $U_{av} \propto T$.
તેથી, અંતિમ અવસ્થામાં સરેરાશ ગતિઊર્જાનો પ્રારંભિક અવસ્થા સાથેનો ગુણોત્તર:
$\frac{(U_{av})_f}{(U_{av})_i} = \frac{T''}{T_0} = \frac{2 T_0}{T_0} = 2$.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ છે.
પગલું $1$: $V_0$ થી $2 V_0$ સુધી એડિબેટિક વિસ્તરણ.
$T_0 V_0^{\gamma-1} = T_1 (2 V_0)^{\gamma-1} \Rightarrow T_1 = T_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma-1}$.
પગલું $2$: $2 V_0$ થી $5 V_0$ સુધી આઇસોથર્મલ વિસ્તરણ.
પ્રક્રિયા આઇસોથર્મલ હોવાથી,તાપમાન $T_1$ અચળ રહે છે.
પગલું $3$: $5 V_0$ થી $V_f$ સુધી એડિબેટિક સંકોચન જેથી અંતિમ તાપમાન $T_0$ થાય.
$T_1 (5 V_0)^{\gamma-1} = T_0 (V_f)^{\gamma-1}$.
પગલું $1$ માંથી $T_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$T_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma-1} (5 V_0)^{\gamma-1} = T_0 (V_f)^{\gamma-1}$.
$\left(\frac{5 V_0}{2}\right)^{\gamma-1} = (V_f)^{\gamma-1}$.
$V_f = 2.5 V_0$.
$V_f = \alpha V_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2.5$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $n = 2$ મોલ. કદ $V$ થી વધીને $2V$ થાય છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W_1 = P \Delta V = P(2V - V) = PV$ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W_2 = nRT \ln(\frac{V_2}{V_1})$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$,તેથી $nRT$ ની જગ્યાએ $PV$ મૂકતા,
$W_2 = PV \ln(\frac{2V}{V}) = PV \ln(2)$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$W_1 = PV$ હોવાથી,આપણને $W_2 = W_1 \ln(2)$ મળે છે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે, અવસ્થાનું સમીકરણ $pV = \mu RT$ છે, જે સૂચવે છે કે $p = (\frac{\mu R}{V})T$.
$p-T$ આલેખમાં, ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ સમકદ પ્રક્રિયાઓ (અચળ કદ) દર્શાવે છે કારણ કે $p \propto T$ નો અર્થ છે કે $V = \text{અચળ}$.
પ્રક્રિયાઓ $AB$ અને $CD$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓ છે, તેથી તે સમકદ પ્રક્રિયાઓ છે।
સમકદ પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે। તેથી, $W_{AB} = 0$ અને $W_{CD} = 0$.
પ્રક્રિયાઓ $BC$ અને $DA$ એ સમદાબ પ્રક્રિયાઓ (અચળ દબાણ) છે।
સમદાબ પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = p\Delta V = \mu R \Delta T$ છે।
પ્રક્રિયા $BC$ માટે (દબાણ $p_2$ પર): $W_{BC} = \mu R(T_C - T_B) = 3 \times R \times (2400 - 800) = 3R \times 1600 = 4800R$.
પ્રક્રિયા $DA$ માટે (દબાણ $p_1$ પર): $W_{DA} = \mu R(T_A - T_D) = 3 \times R \times (400 - 1200) = 3R \times (-800) = -2400R$.
ચક્રમાં થયેલ કુલ કાર્ય $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = 0 + 4800R + 0 - 2400R = 2400R$.
$R = 8.314 \, J/mol \cdot K$ મૂકતા: $W = 2400 \times 8.314 = 19953.6 \, J \approx 20 \, kJ$.

(D) $1$. $p-V$ આલેખમાં,$A$ થી $B$ સુધીનું સમતાપી વિસ્તરણ $AB$ વક્રને અનુસરે છે. વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ $AB$ વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $ABDE$ ક્ષેત્રફળ છે.
$2$. $B$ થી $C$ સુધીનું એડિબેટિક સંકોચન $BC$ વક્રને અનુસરે છે. વાયુ પર થયેલું કાર્ય એ $BC$ વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $BCDE$ ક્ષેત્રફળ છે.
$3$. આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે બિંદુ $C$ પરનું અંતિમ દબાણ $p_2$ એ બિંદુ $A$ પરના પ્રારંભિક દબાણ $p_1$ કરતા વધારે છે,તેથી $p_2 > p_1$.
$4$. વાયુ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય $W$ એ વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલું કાર્ય $(W_{exp} > 0)$ અને સંકોચન દરમિયાન થયેલા કાર્ય $(W_{comp} < 0)$ નો સરવાળો છે.
$5$. કારણ કે એડિબેટિક વક્ર $BC$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ (જે વાયુ પર થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય દર્શાવે છે) એ સમતાપી વક્ર $AB$ ની નીચેના ક્ષેત્રફળ (જે વાયુ દ્વારા થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય દર્શાવે છે) કરતા વધારે છે,તેથી કુલ કાર્ય $W = W_{AB} - W_{BC}$ ઋણ છે $(W < 0)$.
$6$. તેથી,$p_2 > p_1$ અને $W < 0$.

(C) પ્રક્રિયા $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ એ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) થતું ચક્ર છે.
$1$. $A \rightarrow B$ દરમિયાન: દબાણ $p$ અચળ છે (સમદાબી પ્રક્રિયા).
$2$. $B \rightarrow C$ દરમિયાન: પ્રક્રિયા $p \propto \frac{1}{V}$ ને અનુસરે છે, જેનો અર્થ છે કે $pV = \text{અચળ}$, તેથી તાપમાન $T$ અચળ છે (સમતાપી પ્રક્રિયા).
$3$. $C \rightarrow D$ દરમિયાન: કદ $V$ અચળ છે (સમકદ પ્રક્રિયા).
$4$. $D \rightarrow A$ દરમિયાન: પ્રક્રિયા $p \propto \frac{1}{V}$ ને અનુસરે છે, જેનો અર્થ છે કે $T$ અચળ છે (સમતાપી પ્રક્રિયા).
આ લાક્ષણિકતાઓને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, આપણે એવો $V-T$ આલેખ શોધીએ છીએ જ્યાં:
- $A \rightarrow B$ એ એવી પ્રક્રિયા છે જ્યાં $V \propto T$ (સમદાબી, કારણ કે $pV = nRT \Rightarrow V = (\frac{nR}{p})T$).
- $B \rightarrow C$ એ શિરોલંબ રેખા છે (સમતાપી, $T$ અચળ છે).
- $C \rightarrow D$ એ આડી રેખા છે (સમકદ, $V$ અચળ છે).
- $D \rightarrow A$ એ શિરોલંબ રેખા છે (સમતાપી, $T$ અચળ છે).
વિકલ્પ $C$ એ $V-T$ સમતલમાં આ ચક્રને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) $P-V$ આલેખમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ એ સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયા છે,જેમાં દબાણ $P$ અચળ રહે છે. $P-T$ આલેખમાં,આ એક આડી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ એ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા છે,જેમાં તાપમાન $T$ અચળ રહે છે. $P-T$ આલેખમાં,આ એક ઉભી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. પ્રક્રિયા $CD$ એ સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા છે,જેમાં કદ $V$ અચળ રહે છે. $PV = nRT$ હોવાથી,અચળ $V$ માટે $P \propto T$ થાય. તેથી,$P-T$ આલેખમાં,આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
$4$. પ્રક્રિયા $DA$ એ સમોષ્મી (adiabatic) પ્રક્રિયા છે,જે $P-T$ આલેખમાં વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ લાક્ષણિકતાઓની સરખામણી કરતા,સાચો $P-T$ આલેખ વિકલ્પ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,વાયુનું તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી વાયુ બોઈલના નિયમનું પાલન કરે છે: $P \propto \frac{1}{V}$.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1$ છે. સમતાપી સંકોચન પછી,દબાણ $P_2 = 2P$ અને કદ $V_2 = V_1/2$ થાય છે.
આમ,$\frac{V_1}{V_2} = 2$.
હવે,વાયુ એડિબેટિકલી તેના મૂળ કદ $V_1$ સુધી વિસ્તરે છે. ધારો કે અંતિમ દબાણ $P_3 = 0.75P$ છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_1^\gamma$.
કિંમતો મૂકતા: $(2P) \left(\frac{V_1}{2}\right)^\gamma = (0.75P) V_1^\gamma$.
$2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\gamma = 0.75$.
$2^{1-\gamma} = \frac{3}{4} = 3 \cdot 2^{-2}$.
$2^{3-\gamma} = 3$.
બંને બાજુ લોગ લેતા: $(3-\gamma) \log 2 = \log 3$.
$3-\gamma = \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585$.
$\gamma = 3 - 1.585 = 1.415 \approx 1.41$.

(A) આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$PV = nRT$. રૂમનું કદ $V$ અચળ હોવાથી,$T = \frac{PV}{nR}$ મળે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = nC_vT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T$ ની કિંમત મૂકતા,$U = nC_v \left( \frac{PV}{nR} \right) = \left( \frac{C_v V}{R} \right) P$ મળે.
અહીં $C_v$,$V$ અને $R$ અચળ હોવાથી,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ દબાણ $P$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(U \propto P)$.
આપેલ છે કે દબાણ $P$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,તેથી આંતરિક ઉર્જા $U$ પણ સમય સાથે રેખીય રીતે વધશે.

(C) દરેક ચક્રમાં શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_H = 130 \text{ cal}$ છે.
દરેક ચક્રમાં મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_C = 30 \text{ cal}$ છે.
દરેક ચક્રમાં કાર્યમાં રૂપાંતરિત થતી ચોખ્ખી ઉષ્મા $W_{\text{net}} = (Q_H - Q_C) \times 4.2 \text{ J/cal} = (130 - 30) \times 4.2 = 100 \times 4.2 = 420 \text{ J}$ છે.
દરેક ચક્રમાં ઘર્ષણને દૂર કરવા માટે વપરાતી ઉર્જા $W_f = 2 \text{ J}$ છે.
દરેક ચક્રમાં લોડને આપવામાં આવતું ઉપયોગી કાર્ય $W_{\text{load}} = W_{\text{net}} - W_f = 420 \text{ J} - 2 \text{ J} = 418 \text{ J}$ છે.
એન્જિન $90 \text{ cycles per minute}$ પર કાર્ય કરે છે, જે $90/60 = 1.5 \text{ cycles per second}$ થાય છે.
લોડને આપવામાં આવતી પાવર $P = W_{\text{load}} \times \text{frequency} = 418 \text{ J} \times 1.5 \text{ s}^{-1} = 627 \text{ W}$ છે.

(C) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v} = \frac{3}{2}R$ છે. આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_{v} \Delta T = n \left(\frac{3}{2}R\right) \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$\Delta T = \frac{p_f V_f - p_i V_i}{nR}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = \frac{3}{2} (p_f V_f - p_i V_i) = \frac{3}{2} (4 p_{0} V_{0} - p_{0} V_{0}) = \frac{3}{2} (3 p_{0} V_{0}) = \frac{9}{2} p_{0} V_{0}$.
થયેલું કાર્ય $W$ એ $p-V$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જે એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે: $W = \frac{1}{2} (p_i + p_f) (V_f - V_i) = \frac{1}{2} (p_{0} + 2 p_{0}) (2 V_{0} - V_{0}) = \frac{1}{2} (3 p_{0}) (V_{0}) = \frac{3}{2} p_{0} V_{0}$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
$\Delta Q = \frac{9}{2} p_{0} V_{0} + \frac{3}{2} p_{0} V_{0} = \frac{12}{2} p_{0} V_{0} = 6 p_{0} V_{0}$.

(A) આપેલ અવસ્થા સમીકરણ: $PV = AT - BT^2$.
દબાણ $P$ અચળ હોવાથી,આપણે સમીકરણનું $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$P dV = A dT - B(2T) dT$.
થયેલ કાર્ય $W = \int P dV$.
સંકલનમાં $P dV$ ની કિંમત મૂકતા:
$W = \int_{T_1}^{T_2} (A - 2BT) dT$.
$W = A \int_{T_1}^{T_2} dT - 2B \int_{T_1}^{T_2} T dT$.
$W = A(T_2 - T_1) - 2B \left[ \frac{T^2}{2} \right]_{T_1}^{T_2}$.
$W = A(T_2 - T_1) - B(T_2^2 - T_1^2)$.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય હોય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. કારણ કે $\Delta U = 0$,તેથી શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા $\Delta Q$ એ વાયુ દ્વારા થયેલા કુલ કાર્ય $\Delta W$ જેટલી હોય છે.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કુલ કાર્ય $p-V$ આલેખમાં ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$p-V$ આલેખમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
અહીં,પાયો $(V_{1}-V_{2})$ છે અને વેધ $(p_{1}-p_{2})$ છે.
તેથી,શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા $\Delta Q = \frac{1}{2}(p_{1}-p_{2})(V_{1}-V_{2})$.

(D) આપેલ $P-T$ આલેખમાં:
$AB$: દબાણ $P$ અચળ છે અને તાપમાન $T$ ઘટે છે. $PV = nRT$ હોવાથી,જો $P$ અચળ હોય અને $T$ ઘટે,તો કદ $V$ ઘટવું જોઈએ. આમ,$AB$ એ સમદાબી સંકોચન (isobaric compression) છે.
$BC$: આ પ્રક્રિયા એક ઉભી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ અચળ છે. જેમ $P$ ઘટે છે,તેમ $PV$ ને અચળ રાખવા માટે $V$ વધવું જોઈએ. આમ,$BC$ એ સમતાપી વિસ્તરણ (isothermal expansion) છે.
$CA$: આ પ્રક્રિયા $P-T$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે $P \propto T$. $PV = nRT$ હોવાથી,$P/T = nR/V$,તેથી $V$ અચળ હોવું જોઈએ. આમ,$CA$ એ સમકદ પ્રક્રિયા (isochoric process) છે.
આ લાક્ષણિકતાઓને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો $P-V$ આલેખ વિકલ્પ $D$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(A, B, C, D) $p-v$ આલેખમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2$ એક આડી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે દબાણ $p$ અચળ છે. તેથી,તે સમદાબી પ્રક્રિયા છે.
$2$. પ્રક્રિયા $3 \rightarrow 1$ એક ઉભી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે કદ $v$ અચળ છે. તેથી,તે સમકદ પ્રક્રિયા છે.
$3$. પ્રક્રિયા $2 \rightarrow 3$ એક વક્ર છે,જે આ ચક્રમાં એડિબેટિક પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
$4$. કોઈપણ પૂર્ણ ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$. $\Delta U = 0$ હોવાથી,$Q = W$ થાય છે. ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W$ એ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે,જે શૂન્યતર છે. તેથી,થયેલ કાર્ય અને શોષાયેલી ઉષ્મા બંને શૂન્યતર છે.
આમ,વિધાનો $A$,$B$,$C$ અને $D$ બધા સાચા છે.

(B) દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,આપેલી કુલ ઉષ્મા $\Delta Q_{total} = \Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC}$ છે.
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ (સમકદ પ્રક્રિયા) માટે:
$\Delta Q_{AB} = n C_V \Delta T = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{\gamma - 1}$
અહીં $n = 1$ મોલ,દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે $\gamma = 1.4 = 7/5$ છે.
$\Delta Q_{AB} = \frac{2 P_0 V_0 - P_0 V_0}{7/5 - 1} = \frac{P_0 V_0}{2/5} = 2.5 P_0 V_0$.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ (સમતાપી પ્રક્રિયા) માટે:
$\Delta Q_{BC} = W_{BC} = n R T \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right) = P_B V_B \ln \left( \frac{V_C}{V_B} \right)$
કારણ કે $P_B V_B = 2 P_0 V_0$ અને $V_C = 2 V_0, V_B = V_0$ છે:
$\Delta Q_{BC} = 2 P_0 V_0 \ln \left( \frac{2 V_0}{V_0} \right) = 2 P_0 V_0 \ln 2 = 2 P_0 V_0 (0.7) = 1.4 P_0 V_0$.
કુલ ઉષ્મા $\Delta Q_{total} = 2.5 P_0 V_0 + 1.4 P_0 V_0 = 3.9 P_0 V_0$.

(B) $p-V$ આલેખમાં, કોઈપણ બિંદુએ સમોષ્મી વક્રનો ઢાળ તે જ બિંદુએ સમતાપી વક્રના ઢાળ કરતા વધારે હોય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક અવસ્થા $A(p_{i}, V_{i})$ છે।
$V_{0}$ કદ સુધીના પ્રતિવર્તી સમતાપી વિસ્તરણ દરમિયાન, વાયુ સમતાપી વક્ર પર અવસ્થા $B(p_{2}, V_{0})$ સુધી જાય છે, જ્યાં $p_{2} < p_{i}$ છે.
ત્યારબાદ $V_{0}$ કદથી મૂળ કદ $V_{i}$ સુધીના પ્રતિવર્તી સમોષ્મી સંકોચન દરમિયાન, વાયુ સમોષ્મી વક્ર પર અવસ્થા $B(p_{2}, V_{0})$ થી અવસ્થા $C(p_{f}, V_{i})$ સુધી જાય છે.
સમોષ્મી વક્ર સમતાપી વક્ર કરતા વધુ ઢાળવાળો હોવાથી, $p-V$ સમતલમાં $B$ થી $C$ નો માર્ગ $A$ થી $B$ ના માર્ગની ઉપર રહે છે.
તેથી, $V_{i}$ કદ પર અંતિમ દબાણ $p_{f}$ એ પ્રારંભિક દબાણ $p_{i}$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
આમ, $p_{f} > p_{i}$.

(B, C) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $(U)$ માત્ર તાપમાન $(T)$ પર આધાર રાખે છે, જે $U = f(T)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં, વાયુનું તાપમાન અચળ રહે છે $(\Delta T = 0)$.
આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધારિત હોવાથી, તે સમતાપી પ્રક્રિયામાં અચળ રહે છે.
સમદાબ પ્રક્રિયામાં, જો વાયુનું વિસ્તરણ થાય, તો તાપમાન વધે છે ($PV = nRT$ પરથી, જો $P$ અચળ હોય અને $V$ વધે, તો $T$ વધવું જ જોઈએ), જેના પરિણામે આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થાય છે.
તેથી, વિધાન $(B)$ અને વિધાન $(C)$ બંને સાચા છે.

(A, C) દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે. આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{n f R T}{2} = \frac{5 R}{2} (\alpha t + \frac{1}{2} \beta t^2)$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં વધારાનો દર $\frac{dU}{dt} = \frac{5 R}{2} (\alpha + \beta t)$ છે.
દબાણ અચળ હોવાથી,પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉષ્મા $dQ = n C_p dT$ છે. દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_p = \frac{7}{2} R$ છે.
આમ,હીટિંગ એલિમેન્ટ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી પાવર $i^2 r = \frac{dQ}{dt} = n C_p \frac{dT}{dt} = 1 \times \frac{7}{2} R \times (\alpha + \beta t)$ છે.
તેથી,પ્રવાહ $i = \sqrt{\frac{7 R}{2 r} (\alpha + \beta t)}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$P$ અચળ હોવાથી,$V = \frac{nRT}{P} = \frac{R}{P} (\alpha t + \frac{1}{2} \beta t^2)$ છે.
પિસ્ટનનું સ્થાન $x = \frac{V}{A} = \frac{R}{PA} (\alpha t + \frac{1}{2} \beta t^2)$ છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{R}{PA} (\alpha + \beta t)$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{R \beta}{PA}$ છે,જે અચળ છે. આમ,વિકલ્પો $(a)$ અને $(c)$ સાચા છે.

(A) ધારો કે વાયુની પ્રારંભિક અવસ્થા $(P_i, V, T)$ છે.
પગલું $1$: સમતાપી સંકોચન.
વાયુને ત્યાં સુધી સંકોચવામાં આવે છે જ્યાં સુધી દબાણ બમણું ન થાય. પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,$P_i V = P_f V_f$. આપેલ છે કે $P_f = 2P_i$,તેથી $P_i V = (2P_i) V_f$,જે આપણને $V_f = V/2$ આપે છે.
સમતાપી સંકોચન પછીની અવસ્થા $(2P_i, V/2, T)$ છે.
પગલું $2$: સમોષ્મી વિસ્તરણ.
વાયુ સમોષ્મી રીતે વિસ્તરણ પામીને તેનું મૂળ કદ $V$ પાછું મેળવે છે. ધારો કે અંતિમ દબાણ $P_f'$ છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયાના સમીકરણ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(2P_i) (V/2)^\gamma = P_f' V^\gamma$
$P_f' = (2P_i) \left(\frac{V/2}{V}\right)^\gamma = (2P_i) \left(\frac{1}{2}\right)^\gamma = 2P_i \times 2^{-\gamma}$
$P_f' = P_i \times 2^{1-\gamma}$
અહીં $\gamma = 1.4$ આપેલ છે,તેથી $P_f' = 2P_i \times 2^{-1.4}$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $P_f' = 2P_i \times 0.38 = 0.76 P_i$.
તેથી,અંતિમ અને પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $P_f'/P_i = 0.76: 1$ છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,કાર્ય $W_{\text{isothermal}} = nRT \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1$,$T = 27^{\circ} C = 300 \ K$,અને $V_2/V_1 = 2$ છે,તેથી $W = 1 \cdot R \cdot 300 \cdot \ln(2) \approx 300R(0.693)$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,કાર્ય $W_{\text{adiabatic}} = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,$\gamma = 1.4$ છે.
આપેલ છે કે $W_{\text{isothermal}} = W_{\text{adiabatic}}$,તેથી બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{1 \cdot R(300 - T_{\text{final}})}{1.4 - 1} = 300R(0.693)$.
$\frac{300 - T_{\text{final}}}{0.4} = 300(0.693)$.
$300 - T_{\text{final}} = 0.4 \cdot 300 \cdot 0.693 = 83.16$.
$T_{\text{final}} = 300 - 83.16 = 216.84 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ} C) = 216.84 - 273.15 \approx -56.31^{\circ} C$.
આમ,અંતિમ તાપમાન $-56^{\circ} C$ ની નજીક છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = n C_v \Delta T$.
આપેલ છે કે પ્રક્રિયા અચળ કદ પર થાય છે,તેથી $C_v = C_p - R$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $C_v = 7 - 2 = 5 \text{ cal/mol}^{\circ} C$.
મોલની સંખ્યા $n = 10 \text{ mol}$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 40^{\circ} C - 30^{\circ} C = 10^{\circ} C$.
તેથી,$\Delta U = 10 \times 5 \times 10 = 500 \text{ cal}$.

(B) માત્ર રોટેશનલ મોડ ધરાવતા દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ રોટેશનલ) છે. તેથી,$C_v = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R$ થાય.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = nC_v \Delta T = 1 \times \frac{5}{2} \times 8.3 \times 1.2 = 24.9 \text{ J}$.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = P(A \Delta x)$.
અહીં $P = 10^5 \text{ Pa}$,$A = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$,અને $\Delta x = 25 \times 10^{-3} \text{ m}$ આપેલ છે.
$W = 10^5 \times 4 \times 10^{-4} \times 25 \times 10^{-3} = 1 \text{ J}$.
કુલ આપેલી ઉષ્મા $Q = \Delta U + W = 24.9 + 1 = 25.9 \text{ J}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$25 \text{ J}$ એ સૌથી નજીકનું મૂલ્ય છે.

(D) દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{7}{2}R$ અને અચળ કદ માટે $C_v = \frac{5}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે આપવામાં આવતી ઉષ્મા $\Delta Q = nC_p \Delta T = n(\frac{7}{2}R)\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_v \Delta T = n(\frac{5}{2}R)\Delta T$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,થયેલ કાર્ય $\Delta W = \Delta Q - \Delta U = n(\frac{7}{2}R - \frac{5}{2}R)\Delta T = n(\frac{2}{2}R)\Delta T = nR \Delta T$ છે.
તેથી,$\Delta Q : \Delta U : \Delta W$ નો ગુણોત્તર $\frac{7}{2} : \frac{5}{2} : \frac{2}{2} = 7 : 5 : 2$ થાય છે.

$A$ સાચું છે: ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો શૂન્યમો નિયમ તાપમાનનો ખ્યાલ આપે છે.
$B$ સાચું છે: ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ આંતરિક ઉર્જાનો ખ્યાલ આપે છે.
$C$ ખોટું છે: આદર્શ વાયુના સમતાપી વિસ્તરણ માટે, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. પ્રથમ નિયમ મુજબ $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$, તેથી $\Delta Q = \Delta W$ થાય.
$D$ સાચું છે: તીવ્ર ચલ અને વિસ્તૃત ચલનો ગુણાકાર હંમેશા વિસ્તૃત ચલ હોય છે (દા.ત., $P \times V = \text{ઉર્જા}$, જે વિસ્તૃત છે).
$E$ ખોટું છે: વિસ્તૃત ચલનો દળ સાથેનો ગુણોત્તર એ તીવ્ર ગુણધર્મ છે (દા.ત., $\text{કદ} / \text{દળ} = \text{ઘનતા}$, જે તીવ્ર છે).