First Law of Thermodynamics Questions in Gujarati

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ: $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં,$\Delta Q = 100\,J$ (તંત્રને આપેલી ઉષ્મા).
વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = P(V_f - V_i)$ છે.
આપેલ છે કે $P = 50\,N/m^2$,$V_i = 10\,m^3$,અને $V_f = 4\,m^3$.
$\Delta W = 50 \times (4 - 10) = 50 \times (-6) = -300\,J$.
આ કિંમતોને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા:
$100 = \Delta U + (-300)$.
$\Delta U = 100 + 300 = 400\,J$.
તેથી,આંતરિક ઊર્જામાં થતો વધારો $400\,J$ છે.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જ્યાં $\Delta U$ એ આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે,$\Delta Q$ એ આપેલી ઉષ્મા છે,અને $\Delta W$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
અહીં,$\Delta Q = 20 \, cal = 20 \times 4.2 \, J = 84 \, J$ છે.
તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $\Delta W = 50 \, J$ આપેલું છે.
તેથી,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \Delta Q - \Delta W = 84 \, J - 50 \, J = 34 \, J$ થાય.

(C) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,જ્યાં $Q$ એ ઉમેરવામાં આવેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર છે અને $W$ એ થયેલ કાર્ય છે.
આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે માત્ર સિસ્ટમની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
બંધ ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,ચક્ર પૂર્ણ કર્યા પછી સિસ્ટમ તેની પ્રારંભિક અવસ્થામાં પાછી આવે છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ સમાન હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ (અહીં $E$ તરીકે દર્શાવેલ) શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$E = 0$.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
પ્રથમ,ઉષ્મા ઉર્જાને કેલરીમાંથી જૂલમાં રૂપાંતરિત કરો: $\Delta Q = 54 \, cal \times 4.18 \, J/cal = 225.72 \, J$.
ત્યારબાદ,વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલ કાર્યની ગણતરી કરો: $\Delta W = P \Delta V$.
અહીં $P = 1.013 \times 10^5 \, N/m^2$ અને $\Delta V = 167.1 \, cc = 167.1 \times 10^{-6} \, m^3$ આપેલ છે.
$\Delta W = 1.013 \times 10^5 \times 167.1 \times 10^{-6} \approx 16.93 \, J$.
હવે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શોધો: $\Delta U = \Delta Q - \Delta W$.
$\Delta U = 225.72 \, J - 16.93 \, J = 208.79 \, J$.
આમ,નજીકના વિકલ્પ મુજબ $\Delta U \approx 208.7 \, J$ મળે છે.

(C) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ: $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં,વાયુ ઉષ્મા મુક્ત કરે છે,તેથી $\Delta Q = -30 \ J$.
વાયુ પર કાર્ય થાય છે,તેથી $\Delta W = -10 \ J$.
ધારો કે પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા $U_i = 30 \ J$ છે અને અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $U_f$ છે.
તેથી,$\Delta U = U_f - U_i = U_f - 30$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $-30 = (U_f - 30) + (-10)$.
$-30 = U_f - 30 - 10$.
$-30 = U_f - 40$.
$U_f = 40 - 30 = 10 \ J$.

(B) અચળ કદ પર આપવામાં આવતી ઉષ્મા એ તંત્રની આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે. આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_{v} \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta T = 150 \ K$ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = Q_{v} = 6300 \ J$ છે.
તેથી,$6300 = n C_{v} (150) \quad \dots(1)$.
આપણે $\Delta T' = 300 \ K$ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U'$ શોધવો છે.
તેથી,$\Delta U' = n C_{v} (300) \quad \dots(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\Delta U'}{6300} = \frac{300}{150} = 2$ મળે છે.
તેથી,$\Delta U' = 6300 \times 2 = 12600 \ J$.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = Q - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ વાતાવરણીય દબાણ $p_0$ પર અવસ્થા બદલાતી વખતે સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = p_0 \Delta V$ છે.
એકમ દળ $(m = 1)$ માટે,પાણીનું કદ $V_1 = \frac{1}{\rho_1}$ અને વરાળનું કદ $V_2 = \frac{1}{\rho_2}$ છે.
તેથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = p_0 (V_2 - V_1) = p_0 \left( \frac{1}{\rho_2} - \frac{1}{\rho_1} \right)$ છે.
આ કિંમતને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta U = Q - p_0 \left( \frac{1}{\rho_2} - \frac{1}{\rho_1} \right) = Q + p_0 \left( \frac{1}{\rho_1} - \frac{1}{\rho_2} \right)$.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = Q + W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે અને $W$ એ તંત્ર પર થયેલું કાર્ય છે.
અહીં વાયુ $30 \ J$ ઉષ્મા મુક્ત કરે છે,તેથી $Q = -30 \ J$.
વાયુ પર $18 \ J$ કાર્ય કરવામાં આવે છે,તેથી $W = +18 \ J$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = -30 \ J + 18 \ J = -12 \ J$ થાય.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફારને $\Delta U = U_f - U_i$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $U_f$ એ અંતિમ આંતરિક ઉર્જા છે અને $U_i$ એ પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા છે.
આપેલ છે કે $U_i = 60 \ J$,તેથી $U_f - 60 \ J = -12 \ J$.
$U_f$ માટે ઉકેલતા,આપણને $U_f = 60 \ J - 12 \ J = 48 \ J$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 1\,g = 10^{-3}\,kg$,દબાણ $P = 10^5\,Pa$,વરાળનું કદ $V_s = 1841\,cm^3 = 1841 \times 10^{-6}\,m^3$,ગુપ્ત ઉષ્મા $L = 2250\,J/g = 2250 \times 10^3\,J/kg$.
$1\,g$ પાણીનું કદ $V_w = \frac{m}{\rho} = \frac{1\,g}{1\,g/cm^3} = 1\,cm^3 = 10^{-6}\,m^3$ થાય.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$,જ્યાં $W = P(V_s - V_w)$.
શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q = m \times L = 1\,g \times 2250\,J/g = 2250\,J$.
થયેલું કાર્ય $W = P(V_s - V_w) = 10^5\,Pa \times (1841 \times 10^{-6} - 1 \times 10^{-6})\,m^3 = 10^5 \times 1840 \times 10^{-6} = 184\,J$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = \Delta Q - W = 2250\,J - 184\,J = 2066\,J$.

(D) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જ્યાં $\Delta Q$ એ આપેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે,અને $\Delta W$ એ થયેલ કાર્ય છે.
પ્રથમ વિસ્તરણ માટે:
$\Delta W_1 = 20 \, kJ$
$\Delta Q_1 = 16 \, kJ$
$\Delta U = \Delta Q_1 - \Delta W_1 = 16 \, kJ - 20 \, kJ = -4 \, kJ$.
આંતરિક ઉર્જા $U$ એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે. તેથી,બીજા વિસ્તરણ માટે પણ $\Delta U$ સમાન રહેશે.
બીજા વિસ્તરણ માટે:
$\Delta U = -4 \, kJ$
$\Delta Q_2 = 9 \, kJ$
$\Delta W_2 = \Delta Q_2 - \Delta U = 9 \, kJ - (-4 \, kJ) = 13 \, kJ$.
આમ,બીજા વિસ્તરણમાં થયેલ કાર્ય $13 \, kJ$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે. વાયુનું તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. $\Delta U = 0$ હોવાથી,$\Delta Q = W$ મળે.
સમય $t$ માં અવરોધક કોઈલ દ્વારા આપવામાં આવતી ઉષ્મા $\Delta Q = i^2 R t$ છે.
$m$ દળ ધરાવતા પિસ્ટનને $x$ અંતર સુધી ઉપર તરફ ખસેડવા માટે વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = mgx$ છે (વાતાવરણીય દબાણને અવગણતા).
બંનેને સરખાવતા,$i^2 R t = mgx$ મળે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$i^2 R = mg \frac{dx}{dt}$ મળે.
પિસ્ટનની ઝડપ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$i^2 R = mgv$ મળે.
તેથી,પિસ્ટનની ઝડપ $v = \frac{i^2 R}{mg}$ થશે.

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta U = \Delta Q + \Delta W$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
આ સંજ્ઞાપ્રણાલીમાં,$\Delta W$ એ વાયુ પર થયેલું કાર્ય દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: જો કોઈ ઉષ્મા અંદર આવતી કે બહાર જતી ન હોય,તો $\Delta Q = 0$,તેથી $\Delta U = \Delta W$. આમ,$\Delta U$ હંમેશા શૂન્ય હોવું જરૂરી નથી.
વિકલ્પ $B$ માટે: સમીકરણ $\Delta U = \Delta Q + \Delta W$ માં,$\Delta W$ એ વાયુ પર થયેલું કાર્ય છે,વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય નથી.
વિકલ્પ $C$ માટે: આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $\Delta U$ એ માત્ર તાપમાનનું વિધેય છે,એટલે કે $\Delta U = nC_v \Delta T$. જો તાપમાન અચળ રહે,તો $\Delta T = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = 0$. આ વિધાન સાચું છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: જો તાપમાન વધે,તો $\Delta U \neq 0$,તેથી $\Delta Q + \Delta W \neq 0$.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય છે અને તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે,લીધેલા પથ પર નહીં.
પથ $iaf$ માટે:
$\Delta U = Q_{iaf} - W_{iaf}$
$\Delta U = 50 \, cal - 20 \, cal = 30 \, cal$.
પથ $ibf$ માટે પ્રારંભિક અવસ્થા $i$ અને અંતિમ અવસ્થા $f$ સમાન હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ સમાન રહે છે.
પથ $ibf$ માટે:
$\Delta U = Q_{ibf} - W_{ibf}$
$30 \, cal = 36 \, cal - W_{ibf}$
$W_{ibf} = 36 \, cal - 30 \, cal = 6 \, cal$.

(B) આપવામાં આવેલી કુલ ઉષ્મા $(\Delta Q)$ બે હેતુઓ માટે વપરાય છે: આંતરિક ઉર્જા $(\Delta U)$ વધારવા અને બાહ્ય દબાણ સામે કાર્ય $(\Delta W)$ કરવા.
આપેલ છે:
$\Delta Q = 540 \ \text{cal}$
$P = 1.013 \times 10^5 \ \text{Nm}^{-2}$
$V_1 = 1 \ \text{cc} = 1 \times 10^{-6} \ \text{m}^3$
$V_2 = 1671 \ \text{cc} = 1671 \times 10^{-6} \ \text{m}^3$
$J = 4.18 \ \text{J/cal}$
વાતાવરણીય દબાણ સામે થયેલ કાર્ય $\Delta W = P(V_2 - V_1)$ છે.
$\Delta W = 1.013 \times 10^5 \times (1671 - 1) \times 10^{-6} \ \text{J}$
$\Delta W = 1.013 \times 1670 \times 10^{-1} \ \text{J} \approx 169.17 \ \text{J}$.
કાર્યને કેલરીમાં ફેરવતા: $\Delta W_{\text{cal}} = \frac{169.17}{4.18} \approx 40.47 \ \text{cal}$.
આણ્વિય આકર્ષણ બળને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ છે.
$\Delta U = \Delta Q - \Delta W_{\text{cal}}$
$\Delta U = 540 - 40.47 = 499.53 \ \text{cal} \approx 500 \ \text{cal}$.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય છે અને તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે,પથ પર નહીં.
પથ $iaf$ માટે:
$Q_{iaf} = \Delta U + W_{iaf}$
$50 \ cal = \Delta U + 20 \ cal$
$\Delta U = 50 - 20 = 30 \ cal$
પથ $ibf$ માટે પ્રારંભિક અવસ્થા $i$ અને અંતિમ અવસ્થા $f$ સમાન હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ સમાન રહેશે.
પથ $ibf$ માટે:
$Q_{ibf} = \Delta U + W_{ibf}$
$36 \ cal = 30 \ cal + W_{ibf}$
$W_{ibf} = 36 - 30 = 6 \ cal$

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આપેલી ઉષ્મા $(dQ)$ એ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $(dU)$ અને થયેલ કાર્ય $(dW)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે: $dQ = dU + dW$.
બાષ્પીભવન માટે આપેલી ઉષ્મા $dQ = m \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $L$ એ બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા છે.
આપેલ છે: $m = 1 \, g$,$L = 2240 \, J/g$,અને $dW = 168 \, J$.
$dQ$ ની ગણતરી કરતા: $dQ = 1 \, g \times 2240 \, J/g = 2240 \, J$.
પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $2240 \, J = dU + 168 \, J$.
$dU$ માટે ઉકેલતા: $dU = 2240 \, J - 168 \, J = 2072 \, J$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો વધારો $2072 \, J$ છે.

(D) પાણીનું કદ અચળ રહે છે તેમ માનવામાં આવે છે,તેથી તંત્ર દ્વારા કે તંત્ર પર કોઈ કાર્ય થતું નથી $(W = 0)$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ:
$Q = \Delta U + W$
પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) હોવાથી $(W = 0)$,પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉષ્મા એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે:
$Q = \Delta U$
ઉષ્માનું સૂત્ર $Q = mc\Delta T$ છે,જ્યાં:
$m = 200\,g = 0.2\,kg$
$c = 4184\,J/kg\cdot K$
$\Delta T = 60\,^{\circ}C - 40\,^{\circ}C = 20\,K$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = 0.2\,kg \times 4184\,J/kg\cdot K \times 20\,K$
$\Delta U = 16736\,J$
$\Delta U = 16.736\,kJ \approx 16.7\,kJ$.

(C) અચળ દબાણે અવસ્થા બદલાતી વખતે થતું કાર્ય $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P = 10^5\,Pa$ (વાતાવરણીય દબાણ),$V_{liquid} = 1\,cm^3 = 10^{-6}\,m^3$,અને $V_{vapour} = 1671\,cm^3 = 1671 \times 10^{-6}\,m^3$.
$W = 10^5 \times (1671 - 1) \times 10^{-6} = 167\,J$.
આપેલ ઉષ્મા $Q = mL = 1\,g \times 2256\,J/g = 2256\,J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,તેથી $\Delta U = Q - W$.
$\Delta U = 2256\,J - 167\,J = 2089\,J$.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ એ $\Delta U = Q - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે અને $W$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય છે.
કારણ કે પ્રારંભિક અવસ્થા $A$ અને અંતિમ અવસ્થા $B$ બંને માર્ગો $ACB$ અને $ADB$ માટે સમાન છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ બંને પ્રક્રિયાઓ માટે સમાન હોવો જોઈએ.
$ACB$ માર્ગ માટે:
$Q_{ACB} = 60 \, J$
$W_{ACB} = 30 \, J$
$\Delta U = Q_{ACB} - W_{ACB} = 60 - 30 = 30 \, J$
$ADB$ માર્ગ માટે:
$W_{ADB} = 10 \, J$
કારણ કે $\Delta U$ સમાન છે,$\Delta U = Q_{ADB} - W_{ADB}$
$30 = Q_{ADB} - 10$
$Q_{ADB} = 30 + 10 = 40 \, J$
આમ,$ADB$ માર્ગમાં તંત્રમાં દાખલ થતી ઉષ્મા $40 \, J$ છે.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$,જ્યાં $dQ$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે,$dU$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે,અને $dW$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
આપેલ છે:
વાયુ દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા,$dQ = -20 \ J$ (ઋણ કારણ કે ઉષ્મા મુક્ત થાય છે).
વાયુ પર થયેલું કાર્ય,$dW = -8 \ J$ (ઋણ કારણ કે કાર્ય તંત્ર પર થાય છે).
પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા,$U_i = 30 \ J$.
સૂત્ર $dQ = (U_f - U_i) + dW$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-20 = (U_f - 30) + (-8)$
$-20 = U_f - 30 - 8$
$-20 = U_f - 38$
$U_f = 38 - 20$
$U_f = 18 \ J$.
તેથી,અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $18 \ J$ છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,તંત્રને આપેલી ઉષ્મા એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર અને તંત્ર દ્વારા થયેલા કાર્યના સરવાળા જેટલી હોય છે: $\delta Q = \Delta U + W$.
અહીં,$\delta Q = -50 \text{ calorie}$ અને $W = -20 \text{ calorie}$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $-50 = \Delta U + (-20)$.
$\Delta U$ માટે ઉકેલતા: $\Delta U = -50 + 20 = -30 \text{ calorie}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta U = U_f - U_i$,જ્યાં $U_f$ એ અંતિમ આંતરિક ઉર્જા છે અને $U_i$ એ પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા છે.
આપેલ છે કે $U_i = -30 \text{ calorie}$,તેથી: $-30 = U_f - (-30)$.
$-30 = U_f + 30$.
$U_f = -30 - 30 = -60 \text{ calorie}$.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
આપેલ છે કે વાયુ $20 \, J$ ઉષ્મા મુક્ત કરે છે,તેથી પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉષ્મા $\Delta Q = -20 \, J$ છે.
વાયુ પર $8 \, J$ કાર્ય કરવામાં આવે છે,તેથી વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $\Delta W = -8 \, J$ છે.
આ કિંમતોને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-20 \, J = \Delta U + (-8 \, J)$.
$\Delta U = -20 \, J + 8 \, J = -12 \, J$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta U = U_f - U_i$,જ્યાં $U_f$ એ અંતિમ આંતરિક ઉર્જા છે અને $U_i$ એ પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા છે.
$U_i = 30 \, J$ આપેલ હોવાથી:
$U_f - 30 \, J = -12 \, J$.
$U_f = 30 \, J - 12 \, J = 18 \, J$.
તેથી,અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $18 \, J$ છે.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + W_{by}$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W_{by}$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય છે.
અહીં આપેલ છે કે $\Delta W$ એ તંત્ર પર થયેલ કાર્ય છે,તેથી $W_{by} = -\Delta W$ થાય.
આ કિંમત પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta Q = \Delta U + (-\Delta W)$
$\Delta Q = \Delta U - \Delta W$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, ઉષ્મા $(Q)$, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $(\Delta U)$ અને કાર્ય $(W)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$Q = \Delta U + W$
આપેલ છે:
શોષાયેલ ઉષ્મા $(Q) = 2 \, kcal = 2 \times 1000 \times 4.2 \, J = 8400 \, J$
થયેલ કાર્ય $(W) = 500 \, J$
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta U = Q - W$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = 8400 \, J - 500 \, J$
$\Delta U = 7900 \, J$

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W = \Delta U + P\Delta V$.
જો ઉષ્મા એવી રીતે આપવામાં આવે કે કદ બદલાતું નથી $(\Delta V = 0)$,એટલે કે સમકદ પ્રક્રિયા,તો સિસ્ટમને આપવામાં આવતી તમામ ઉષ્મા ઊર્જા ફક્ત આંતરિક ઊર્જામાં જ વધારો કરશે.
જો કે,અન્ય કોઈપણ પ્રક્રિયામાં જ્યાં કાર્ય થાય છે,ત્યાં આપવામાં આવેલી ઉષ્મા આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર અને સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય વચ્ચે વહેંચાઈ જાય છે.
તેથી,$Assertion$ ખોટું છે.
$Reason$ પણ ખોટું છે કારણ કે જ્યારે કોઈ સિસ્ટમ એક તાપીય સંતુલનમાંથી બીજામાં બદલાય છે,ત્યારે પ્રક્રિયાના આધારે ઉષ્મા શોષાઈ શકે છે,મુક્ત થઈ શકે છે અથવા શૂન્ય પણ રહી શકે છે.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$.
અહીં,$Q$ એ આપેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે,અને $W$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 1\;g$
ગુપ્ત ઉષ્મા $L = 2256\;J/g$
દબાણ $P = 1 \times 10^{5}\;Pa$
પ્રારંભિક કદ $V_{1} = 1\;cm^{3} = 1 \times 10^{-6}\;m^{3}$
અંતિમ કદ $V_{2} = 1671\;cm^{3} = 1671 \times 10^{-6}\;m^{3}$
આપેલી ઉષ્મા $Q = mL = 1\;g \times 2256\;J/g = 2256\;J$.
થયેલું કાર્ય $W = P(V_{2} - V_{1}) = 1 \times 10^{5} \times (1671 - 1) \times 10^{-6} = 10^{5} \times 1670 \times 10^{-6} = 167\;J$.
$Q = \Delta U + W$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\Delta U = Q - W = 2256 - 167 = 2089\;J$ મળે છે.

(D) સિસ્ટમને $100\;W$ ના દરે ગરમી આપવામાં આવે છે.
આપેલ ગરમી,$Q = 100\;J/s.$
સિસ્ટમ $75\;J/s$ ના દરે કાર્ય કરે છે.
થયેલ કાર્ય,$W = 75\;J/s.$
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આપણી પાસે છે:
$Q = \Delta U + W$
જ્યાં,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે.
$\therefore \Delta U = Q - W$
$= 100 - 75$
$= 25\;J/s.$
તેથી,સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જા $25\;J/s$ ના દરે વધે છે.

(N/A) બેન્જામિન થોમસન,જેમને કાઉન્ટ રમફોર્ડ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તેમણે $1798$ માં તોપોને ડ્રિલ કરતી વખતે એક પ્રખ્યાત પ્રયોગ કર્યો હતો.
$1$. તેમણે અવલોકન કર્યું કે જ્યારે તોપને ડ્રિલ કરવા માટે બુઠ્ઠા ડ્રિલનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો,ત્યારે નોંધપાત્ર પ્રમાણમાં ઉષ્મા ઉત્પન્ન થઈ,જે પાણીને ઉકાળી શકે તેમ હતી.
$2$. તેમણે નોંધ્યું કે જ્યાં સુધી ડ્રિલ ફેરવવાનું યાંત્રિક કાર્ય કરવામાં આવતું હતું ત્યાં સુધી ઉષ્માનું ઉત્પાદન ચાલુ રહ્યું.
$3$. કારણ કે ઉષ્મા ધાતુમાંથી આવતી હોય તેવું લાગતું ન હતું (કારણ કે ઉત્પન્ન થયેલા ધાતુના ટુકડાઓની ઉષ્મા ધારિતામાં કોઈ મોટો તફાવત ન હતો),તેમણે તારણ કાઢ્યું કે ઉષ્મા એ કોઈ પ્રવાહી (કેલોરિક) નથી,પરંતુ યાંત્રિક કાર્ય દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉર્જાનું એક સ્વરૂપ છે.
$4$. આ પ્રયોગે પ્રારંભિક પુરાવા આપ્યા કે યાંત્રિક કાર્યને ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે,જેણે ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમનો પાયો નાખ્યો.

(N/A) તંત્રની આંતરિક ઉર્જા બે રીતે બદલાઈ શકે છે: ઉષ્મા અને કાર્ય.
ધારો કે $\Delta Q$ = પર્યાવરણ દ્વારા તંત્રને આપવામાં આવેલી ઉષ્મા.
$\Delta W$ = તંત્ર દ્વારા પર્યાવરણ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય.
$\Delta U$ = તંત્રની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ ... $(1)$ ને ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ કહેવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(1)$ પરથી કહી શકાય કે તંત્રને આપવામાં આવેલી ઉર્જા $(\Delta Q)$ નો કેટલોક ભાગ તંત્રની આંતરિક ઉર્જા $(\Delta U)$ વધારવામાં અને બાકીનો ભાગ પર્યાવરણ પર કાર્ય $(\Delta W)$ કરવામાં વપરાય છે.
આ સમીકરણનું વૈકલ્પિક સ્વરૂપ $\Delta Q - \Delta W = \Delta U$ ... $(2)$ છે.
તંત્ર પ્રારંભિક અવસ્થામાંથી અંતિમ અવસ્થામાં વિવિધ રીતે જઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે,વાયુની અવસ્થા $(P_{1}, V_{1})$ થી $(P_{2}, V_{2})$ માં બદલવા માટે,અચળ દબાણે કદ $V_{1}$ થી $V_{2}$ બદલી શકાય,અને ત્યારબાદ અચળ કદે દબાણ $P_{1}$ થી $P_{2}$ બદલી શકાય.
જ્યારે તંત્રને એક અવસ્થામાંથી બીજી અવસ્થામાં લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે $\Delta Q$ અને $\Delta W$ અલગ-અલગ માર્ગ માટે અલગ-અલગ હોય છે,એટલે કે $\Delta Q$ અને $\Delta W$ માર્ગ પર આધારિત છે. પરંતુ તફાવત $(\Delta Q - \Delta W)$ દરેક માર્ગ માટે સમાન રહે છે. આમ,$(\Delta Q - \Delta W)$ માર્ગ પર આધારિત નથી અને તે ફક્ત તંત્રની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થા પર આધાર રાખે છે.
તેથી,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q - \Delta W = \Delta U$ છે.
આ નિયમ કુદરતમાં થતા તમામ ફેરફારોમાં પાળવામાં આવે છે. આ ત્રણેય પદોના એકમો સમાન હોવા જોઈએ.
ચિહ્ન પ્રણાલી: જો તંત્ર ઉષ્માનું શોષણ કરે,તો $\Delta Q$ ધન ગણાય છે; જો ઉષ્મા મુક્ત થાય,તો $\Delta Q$ ઋણ ગણાય છે. જ્યારે વાયુનું વિસ્તરણ થાય,ત્યારે તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $\Delta W$ ધન લેવામાં આવે છે; જ્યારે તંત્રનું સંકોચન થાય,ત્યારે તંત્ર પર થયેલું કાર્ય $\Delta W$ ઋણ લેવામાં આવે છે.
જો $(\Delta Q - \Delta W) > 0$ હોય,તો તંત્રની આંતરિક ઉર્જા વધે છે અને જો $(\Delta Q - \Delta W) < 0$ હોય,તો તંત્રની આંતરિક ઉર્જા ઘટે છે.

(N/A) ધારો કે $1 \,g$ પાણીનું વરાળમાં રૂપાંતર થાય છે.
પાણીની બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા, $L_{v} = 2256 \,J/g$.
તેથી, શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q = m \times L_{v} = 1 \,g \times 2256 \,J/g = 2256 \,J$.
વાતાવરણીય દબાણે $1 \,g$ પાણીનું કદ $V_{l} = 1 \,cm^{3} = 1 \times 10^{-6} \,m^{3}$ છે.
$1 \,g$ વરાળનું કદ $V_{g} = 1671 \,cm^{3} = 1671 \times 10^{-6} \,m^{3}$ છે.
કદમાં થતો ફેરફાર, $\Delta V = V_{g} - V_{l} = (1671 - 1) \times 10^{-6} \,m^{3} = 1670 \times 10^{-6} \,m^{3}$.
અચળ વાતાવરણીય દબાણે થયેલું કાર્ય, $\Delta W = P \Delta V = (1.013 \times 10^{5} \,Pa) \times (1670 \times 10^{-6} \,m^{3}) \approx 169.2 \,J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta U = \Delta Q - \Delta W$.
$\Delta U = 2256 \,J - 169.2 \,J = 2086.8 \,J$.
આમ, આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $2086.8 \,J$ છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક તંત્રની આંતરિક ઉર્જા $(U)$ મુખ્યત્વે બે રીતે બદલી શકાય છે:
$1$. તંત્ર પર કાર્ય $(W)$ કરીને અથવા તંત્ર દ્વારા કાર્ય કરાવીને.
$2$. તંત્રને ઉષ્મા $(Q)$ આપીને અથવા તંત્રમાંથી ઉષ્મા દૂર કરીને.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = Q - W$.
તેથી, આંતરિક ઉર્જા બદલવાની $2$ રીતો છે.

(N/A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ એ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું એક સ્વરૂપ છે. તે જણાવે છે કે જો કોઈ તંત્રને $dQ$ જેટલી ઉષ્મા આપવામાં આવે,તો તેનો ઉપયોગ તંત્રની આંતરિક ઉર્જા $dU$ વધારવા માટે અને તંત્ર દ્વારા આસપાસની વિરુદ્ધ કાર્ય $dW$ કરવા માટે થાય છે. ગાણિતિક રીતે,તેને $dQ = dU + dW$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમની મર્યાદાઓ:
$1$. તે પ્રક્રિયાની દિશા સૂચવતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે,તે સમજાવતું નથી કે ઉષ્મા શા માટે ઠંડા પદાર્થમાંથી ગરમ પદાર્થ તરફ આપમેળે વહી શકતી નથી.
$2$. તે એવી શરતો સ્પષ્ટ કરતું નથી કે જેના હેઠળ ઉષ્માનું કાર્યમાં રૂપાંતર શક્ય છે.
$3$. તે આપણને ઉષ્માના કાર્યમાં રૂપાંતરની મર્યાદા વિશે જણાવતું નથી,એટલે કે,તે સમજાવતું નથી કે ચક્રીય પ્રક્રિયામાં ઉષ્માનું સંપૂર્ણપણે કાર્યમાં રૂપાંતર શા માટે શક્ય નથી.

(N/A) થર્મોડાયનેમિક્સમાં,આંતરિક ઉર્જાના ફેરફાર $(\Delta U)$ માટેની સંજ્ઞા પ્રણાલી થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ પર આધારિત છે: $\Delta U = Q - W$.
$1$. જો તંત્રની આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થાય,તો $\Delta U$ ધન $(+ve)$ હોય છે. આ સામાન્ય રીતે ત્યારે થાય છે જ્યારે તંત્રને ઉષ્મા આપવામાં આવે અથવા તંત્ર પર કાર્ય કરવામાં આવે.
$2$. જો તંત્રની આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો થાય,તો $\Delta U$ ઋણ $(-ve)$ હોય છે. આ સામાન્ય રીતે ત્યારે થાય છે જ્યારે તંત્ર દ્વારા ઉષ્મા મુક્ત કરવામાં આવે અથવા તંત્ર આસપાસ પર કાર્ય કરે.
$3$. આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે. તેથી,જો આદર્શ વાયુનું તાપમાન વધે,તો $\Delta U > 0$ અને જો તાપમાન ઘટે,તો $\Delta U < 0$ થાય છે.

(N/A) શરૂઆતમાં, સ્પ્રિંગ ખેંચાયેલી નથી, તેથી સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતું બળ શૂન્ય છે। પિસ્ટન વાતાવરણીય દબાણ $P_a$ અને વાયુના દબાણ $P_i$ હેઠળ સંતુલનમાં છે। તેથી, $P_i = P_a$.
$(b)$ જ્યારે કદ $V_0$ થી વધીને $V_1$ થાય છે, ત્યારે પિસ્ટન $x = V_1 - V_0$ જેટલું અંતર કાપે છે (કારણ કે ક્ષેત્રફળ એકમ છે)। હવે સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે। અંતિમ દબાણ $P_f$ એ વાતાવરણીય દબાણ, સ્પ્રિંગ બળ અને વાયુના દબાણ દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $P_f = P_a + \frac{Kx}{A} = P_a + K(V_1 - V_0)$.
$(c)$ થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $Q = \Delta U + W$.
આદર્શ વાયુ માટે, $\Delta U = C_v \Delta T = \frac{C_v}{R} (P_f V_1 - P_i V_0) = \frac{f}{2} (P_f V_1 - P_i V_0)$.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int_{V_0}^{V_1} P \, dV$ છે। દબાણ કદ સાથે રેખીય રીતે બદલાતું હોવાથી, $W = \frac{P_i + P_f}{2} (V_1 - V_0)$.
કિંમતો મૂકતા: $Q = \frac{f}{2} [ (P_a + K(V_1 - V_0)) V_1 - P_a V_0 ] + \frac{P_a + P_a + K(V_1 - V_0)}{2} (V_1 - V_0)$.

(A) વિસ્તૃત ચલ એ છે જે સિસ્ટમમાં રહેલા પદાર્થના કદ અથવા જથ્થા પર આધાર રાખે છે (દા.ત.,કદ,દળ,આંતરિક ઉર્જા).
તીવ્ર ચલ એ છે જે સિસ્ટમમાં રહેલા પદાર્થના કદ અથવા જથ્થાથી સ્વતંત્ર હોય છે (દા.ત.,દબાણ,તાપમાન,ઘનતા).
$P\Delta V$ પદમાં,$P$ (દબાણ) એ તીવ્ર ચલ છે,જ્યારે $\Delta V$ (કદમાં ફેરફાર) એ વિસ્તૃત ચલ છે.
તીવ્ર ચલ અને વિસ્તૃત ચલનો ગુણાકાર હંમેશા વિસ્તૃત ચલ જ હોય છે.
તેથી,$P\Delta V$ એ કાર્ય દર્શાવે છે,જે એક વિસ્તૃત ગુણધર્મ છે કારણ કે તે સિસ્ટમમાં રહેલા પદાર્થના જથ્થા પર આધાર રાખે છે.

(N/A) જ્યારે વાયુને દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે બાહ્ય બળ દ્વારા વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. ઝડપી સંકોચન (એડિબેટિક પ્રક્રિયા) માં,$\Delta Q = 0$ હોય છે. તેથી,$\Delta U = -\Delta W$. વાયુ પર કાર્ય થતું હોવાથી,$\Delta W$ ઋણ હોય છે,જે $\Delta U$ ને ધન બનાવે છે. આંતરિક ઉર્જા $(\Delta U)$ માં વધારો થવાથી વાયુનું તાપમાન વધે છે.

(A) હા,આંતરિક ઉર્જાનું કાર્ય અથવા યાંત્રિક ઉર્જામાં રૂપાંતર કરવું શક્ય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
જો કોઈ તંત્ર સમોષ્મી (adiabatic) પ્રક્રિયામાંથી પસાર થાય,તો $\Delta Q = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\Delta W = -\Delta U$.
આનો અર્થ એ છે કે તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવતું કોઈપણ કાર્ય $(\Delta W > 0)$ આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો $(-\Delta U)$ લાવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,સિલિન્ડરમાં વાયુનું સમોષ્મી વિસ્તરણ અથવા બોમ્બનો વિસ્ફોટ,જ્યાં રાસાયણિક આંતરિક ઉર્જા ઝડપથી યાંત્રિક ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં, સિસ્ટમ તેની પ્રારંભિક સ્થિતિમાં પાછી આવે છે. તેથી, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $(\Delta U)$ શૂન્ય છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
કારણ કે $\Delta U = 0$, તેથી $\Delta Q = \Delta W$ થાય છે.
આમ, સિસ્ટમમાં પ્રવેશતી ગરમીનો ચોખ્ખો જથ્થો એ સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલા ચોખ્ખા યાંત્રિક કાર્યની સમકક્ષ છે.

(N/A) શરૂઆતમાં તંત્ર સંતુલનમાં છે,તેથી પિસ્ટન પરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ જેટલું હશે.
$\therefore P_{i} = P_{a}$
$(b)$ ઉષ્મા આપવાથી,વાયુનું કદ $V_{0}$ થી વધીને $V_{1}$ થાય છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 1$ એકમ હોવાથી,પિસ્ટનનું સ્થાનાંતર $x = V_{1} - V_{0}$ થશે.
સ્પ્રિંગ દ્વારા પિસ્ટન પર લાગતું બળ $F = kx = k(V_{1} - V_{0})$ છે.
વાયુ પરનું અંતિમ દબાણ $P_{f}$ એ વાતાવરણીય દબાણ અને સ્પ્રિંગ બળને કારણે લાગતા દબાણનો સરવાળો છે:
$P_{f} = P_{a} + \frac{F}{A} = P_{a} + k(V_{1} - V_{0})$
$(c)$ ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + \Delta W$.
એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = C_{V}(T_{f} - T_{0})$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ નો ઉપયોગ કરતા,$T = \frac{PV}{R}$,તેથી $\Delta U = C_{V} \left( \frac{P_{f}V_{1}}{R} - \frac{P_{a}V_{0}}{R} \right)$.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $\Delta W = P_{a}(V_{1} - V_{0}) + \frac{1}{2}k(V_{1} - V_{0})^{2}$ છે.
આમ,સંબંધ છે: $Q = C_{V} \left( \frac{(P_{a} + k(V_{1} - V_{0}))V_{1} - P_{a}V_{0}}{R} \right) + P_{a}(V_{1} - V_{0}) + \frac{1}{2}k(V_{1} - V_{0})^{2}$.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
જ્યાં $\Delta Q$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે અને $\Delta W$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
સૌ પ્રથમ,આપેલી ઉષ્માને કેલરીમાંથી જૂલમાં રૂપાંતરિત કરો:
$\Delta Q = 300 \text{ cal} \times 4.18 \text{ J/cal} = 1254 \text{ J}$.
તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $\Delta W = 600 \text{ J}$ છે.
$\Delta U$ શોધવા માટે પ્રથમ નિયમના સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta U = \Delta Q - \Delta W$
$\Delta U = 1254 \text{ J} - 600 \text{ J} = 654 \text{ J}$.
આમ,તંત્રની આંતરિક ઉર્જામાં $654 \text{ J}$ નો વધારો થાય છે.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
આપેલ છે:
ઉષ્માનો દર $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{6000 \, J}{60 \, sec} = 100 \, W$.
સિસ્ટમ દ્વારા અપાતો પાવર $\frac{\Delta W}{\Delta t} = 90 \, W$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 2.5 \times 10^{3} \, J = 2500 \, J$.
પાવરના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{\Delta U}{\Delta t} + \frac{\Delta W}{\Delta t}$.
$100 = \frac{2500}{\Delta t} + 90$.
$100 - 90 = \frac{2500}{\Delta t}$.
$10 = \frac{2500}{\Delta t}$.
$\Delta t = \frac{2500}{10} = 250 \, sec$.

(B) કોઈપણ આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ માત્ર તાપમાનના ફેરફાર $\Delta T$ પર આધાર રાખે છે અને તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta U = n C_V \Delta T$
મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$n = 7 \text{ mol}$
$\Delta T = 40 K$
$R = 8.3 J K^{-1} mol^{-1}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta U = 7 \times \left( \frac{3}{2} \times 8.3 \right) \times 40$
$\Delta U = 7 \times 3 \times 8.3 \times 20$
$\Delta U = 21 \times 166 = 3486 J$
આમ,આંતરિક ઊર્જામાં થતો વધારો $3486 J$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n \cdot \frac{f}{2} \cdot R \cdot \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાત્ર સખત હોવાથી,કદ $V$ અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુના સમીકરણ $pV = nRT$ પરથી,આપણને $V \Delta p = nR \Delta T$ મળે છે.
આ કિંમતને આંતરિક ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\Delta U = \frac{f}{2} (V \Delta p)$ મળે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
આપેલ છે: $V = 1 \,L = 10^{-3} \,m^{3}$ અને $\Delta p = 10^{5} \,Pa$.
ગણતરી કરતા: $\Delta U = \frac{5}{2} \times 10^{-3} \times 10^{5} = 2.5 \times 10^{2} = 250 \,J$.

(B) અવસ્થા પરિવર્તન દરમિયાન $1 \,kg$ પાણી માટે કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta V = V_{\text{vapour}} - V_{\text{liquid}} = \frac{m}{\rho_{\text{vapour}}} - \frac{m}{\rho_{\text{liquid}}}$
$\Delta V = \frac{1}{(1/1.8)} - \frac{1}{1000} = 1.8 - 0.001 \approx 1.8 \,m^3$
અચળ દબાણ $p$ વિરુદ્ધ તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય:
$W = p \Delta V = (1.01 \times 10^5 \,N m^{-2}) \times (1.8 \,m^3) = 1.818 \times 10^5 \,J$
અવસ્થા પરિવર્તન દરમિયાન શોષાયેલી ઉષ્મા:
$Q = mL = 1 \,kg \times 22.6 \times 10^5 \,J kg^{-1} = 22.6 \times 10^5 \,J$
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$:
$\Delta U = 22.6 \times 10^5 - 1.818 \times 10^5$
$\Delta U = 20.782 \times 10^5 \,J kg^{-1} \approx 20.8 \times 10^5 \,J kg^{-1}$.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
આંતરિક ઉર્જા એ સિસ્ટમની અંદરના અણુઓની તમામ સૂક્ષ્મ ઉર્જાઓ (ગતિજ અને સ્થિતિજ) નો સરવાળો છે.
થર્મોડાયનેમિક્સનો $1^{\text{st}}$ નિયમ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે અને તેને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
જ્યાં:
$\Delta Q$ એ સિસ્ટમને આપેલી ઉષ્મા છે,
$\Delta U$ એ સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે,
$\Delta W$ એ સિસ્ટમ દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\Delta U = \Delta Q - \Delta W$ મળે છે. આ નિયમ સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફારની વ્યાખ્યા અને માપદંડ પૂરો પાડે છે.

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ જણાવે છે કે સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(dU)$ એ સિસ્ટમને આપેલી ઉષ્મા $(dQ)$ અને સિસ્ટમ પર કરેલા કાર્ય $(dW)$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $dU = dQ + dW$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
જો આપણે $dQ$ માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ,તો આપણને $dQ = dU - dW$ મળે છે.
તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ ખરેખર ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું એક સ્વરૂપ છે,જે જણાવે છે કે ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,માત્ર તેનું રૂપાંતર થઈ શકે છે. તેથી,કારણ $R$ સાચું છે.
વિધાન $A$ માં આપેલ ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ સીધી રીતે કારણ $R$ માં ઉલ્લેખિત ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પરથી તારવવામાં આવી છે,તેથી $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,સિસ્ટમને આપવામાં આવતી ગરમી $(dQ)$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(dU)$ અને સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $(dW)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે: $dQ = dU + dW$.
સમયના અંતરાલ $(dt)$ વડે ભાગતા,આપણને દરનું સમીકરણ મળે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{dU}{dt} + \frac{dW}{dt}$.
આપેલ છે:
ગરમીનો દર,$\frac{dQ}{dt} = 1000 \, W$.
કાર્યનો દર,$\frac{dW}{dt} = 200 \, W$.
આંતરિક ઉર્જામાં વધારાનો દર શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{dU}{dt} = \frac{dQ}{dt} - \frac{dW}{dt}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dU}{dt} = 1000 \, W - 200 \, W = 800 \, W$.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \Delta Q - \Delta W$ છે.
અહીં,$\Delta Q = mL_v = (1\,kg) \times (2257\,kJ/kg) = 2257\,kJ = 2257 \times 10^3\,J$.
વિસ્તરણ દરમિયાન તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = P(V_f - V_i)$ છે.
$\Delta W = (1 \times 10^5\,Pa) \times (1.671\,m^3 - 1.00 \times 10^{-3}\,m^3) = 10^5 \times (1.671 - 0.001) = 10^5 \times 1.670 = 167000\,J = 167\,kJ$.
હવે,$\Delta U = 2257\,kJ - 167\,kJ = 2090\,kJ$.

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ:
$\Delta Q = \Delta U + W$
અહીં,$\Delta Q = 48 \,J$,$n = 1 \,mol$,અને $\Delta T = 2 \,K$ (કારણ કે $2^{\circ}C$ નો ફેરફાર એ $2 \,K$ ના ફેરફાર જેટલો જ છે).
હિલિયમ જેવા એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T = (1) \left(\frac{3}{2} R\right) (2) = 3R$ થાય.
પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$48 = 3R + W$
$W = 48 - 3(8.3)$
$W = 48 - 24.9$
$W = 23.1 \,J$.