Superposition of S.H.M. Questions in Gujarati

(C) પ્રથમ કણનો વેગ તેના સ્થાનાંતરના વિકલન દ્વારા મળે છે: ${v_1} = \frac{d{y_1}}{dt} = 0.1 \times 100\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{3}) = 10\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{3})$.
બીજા કણનો વેગ તેના સ્થાનાંતરના વિકલન દ્વારા મળે છે: ${v_2} = \frac{d{y_2}}{dt} = -0.1\pi \sin(\pi t) = 0.1\pi \cos(\pi t + \frac{\pi}{2})$.
પ્રથમ કણના વેગની કળા ${\phi_1} = 100\pi t + \frac{\pi}{3}$ છે અને બીજા કણના વેગની કળા ${\phi_2} = \pi t + \frac{\pi}{2}$ છે.
$t = 0$ સમયે કળા તફાવત:
$\Delta \phi = \phi_1(0) - \phi_2(0) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi - 3\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = 3\sin \omega t + 4\cos \omega t$ છે.
આ સમીકરણ $y = A_1\sin \omega t + A_2\cos \omega t$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A_1 = 3$ અને $A_2 = 4$ છે.
$\pi/2$ ના કળા તફાવત ધરાવતા બે $S.H.M.$ ના સંયોજન માટે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ મળે છે.
તેથી,કંપવિસ્તાર $5$ છે.

(C) ધારો કે બે લંબવત સરળ આવર્ત ગતિઓ નીચે મુજબ છે:
$y_1 = a_1 \sin(\omega t)$ ... $(i)$
$y_2 = a_2 \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\sin(\omega t) = \frac{y_1}{a_1}$ મળે.
સમીકરણ (ii) પરથી,નિત્યસમ $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$y_2 = a_2 \cos(\omega t)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\omega t) = \frac{y_2}{a_2}$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t) = \left(\frac{y_1}{a_1}\right)^2 + \left(\frac{y_2}{a_2}\right)^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$,તેથી:
$\frac{y_1^2}{a_1^2} + \frac{y_2^2}{a_2^2} = 1$
આ લંબગોળનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે. તેથી,પરિણામી ગતિ લંબગોળ છે.

(A) ધારો કે બે સરળ આવર્ત ગતિઓ (SHMs) નીચે મુજબ છે:
$x = a_1 \sin(\omega t)$
$y = a_2 \sin(\omega t + \pi)$
કારણ કે $\sin(\omega t + \pi) = -\sin(\omega t)$,તેથી:
$y = -a_2 \sin(\omega t)$
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\sin(\omega t) = \frac{x}{a_1}$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = -a_2 \left(\frac{x}{a_1}\right)$
$y = -\left(\frac{a_2}{a_1}\right)x$
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખાનું સમીકરણ છે. આમ,કણ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે.

(C) ધારો કે બે પરસ્પર લંબ સરળ આવર્ત ગતિઓ નીચે મુજબ છે:
$x = A \sin(\omega t)$
$y = A \sin(\omega t + \phi)$
અહીં આપેલ છે કે કંપવિસ્તાર $A$ સમાન છે,આવૃત્તિ $\omega$ સમાન છે અને કળા તફાવત $\phi = 0$ છે.
$y$ ના સમીકરણમાં $\phi = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = A \sin(\omega t)$
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$x = y$
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $1$ ઢાળવાળી સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(D) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 4\cos(\pi t) + 4\sin(\pi t)$ છે.
આ બે સરળ આવર્ત ગતિના સંપાતપણાના સ્વરૂપમાં છે: $x = A_1\sin(\omega t) + A_2\cos(\omega t)$.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ છે.
અહીં,$A_1 = 4$ અને $A_2 = 4$ છે.
તેથી,$A = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

(B) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $y = 4\cos^2(t/2)\sin(1000t)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2\cos^2(\theta) = 1 + \cos(2\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = 2(2\cos^2(t/2))\sin(1000t) = 2(1 + \cos(t))\sin(1000t)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$y = 2\sin(1000t) + 2\cos(t)\sin(1000t)$.
ગુણાકારમાંથી સરવાળાના નિત્યસમ $2\sin(A)\cos(B) = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 1000t$ અને $B = t$ છે:
$y = 2\sin(1000t) + \sin(1000t + t) + \sin(1000t - t)$.
$y = 2\sin(1000t) + \sin(1001t) + \sin(999t)$.
આ સમીકરણ $3$ સ્વતંત્ર સરળ આવર્ત ગતિઓ ($S$.$H$.$M$.) નો સરવાળો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે ત્રણ સરળ આવર્ત ગતિઓ નીચે મુજબ છે:
$y_1 = a \sin(\omega t - 45^\circ)$
$y_2 = a \sin(\omega t)$
$y_3 = a \sin(\omega t + 45^\circ)$
સંપાતીકરણ કરતા,પરિણામી સરળ આવર્ત ગતિ $y = y_1 + y_2 + y_3$ થશે.
$y = a[\sin(\omega t - 45^\circ) + \sin(\omega t) + \sin(\omega t + 45^\circ)]$
નિત્યસમ $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2\sin A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = a[2\sin(\omega t)\cos(45^\circ) + \sin(\omega t)]$
અહીં $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી:
$y = a[2\sin(\omega t) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \sin(\omega t)]$
$y = a[\sqrt{2}\sin(\omega t) + \sin(\omega t)] = a(1 + \sqrt{2})\sin(\omega t)$
તેથી પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = (1 + \sqrt{2})a$ મળે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં ઉર્જા $E$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(E \propto A^2)$:
$\frac{E_{\text{resultant}}}{E_{\text{single}}} = \left(\frac{A}{a}\right)^2 = (1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2 + 2\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})$
આમ,$E_{\text{resultant}} = (3 + 2\sqrt{2})E_{\text{single}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x = 3\sin(5\pi t) + 4\cos(5\pi t)$ છે.
આ બે સરળ આવર્ત ગતિઓનું સંપાતીકરણ છે,જેમાં કંપવિસ્તાર $a_1 = 3$ અને $a_2 = 4$ છે અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2}$ છે (કારણ કે $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$).
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2\cos(\phi)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $A = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2(3)(4)\cos(\frac{\pi}{2})}$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,તેથી સમીકરણ $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $x=a \cos (\omega t+\delta)$ અને $y=a \cos (\omega t+\alpha)$ છે.
$\delta=\alpha+\frac{\pi}{2}$ ને $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x=a \cos (\omega t+\alpha+\frac{\pi}{2}) = -a \sin (\omega t+\alpha)$.
હવે,બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$x^2+y^2 = (-a \sin (\omega t+\alpha))^2 + (a \cos (\omega t+\alpha))^2 = a^2 (\sin^2 (\omega t+\alpha) + \cos^2 (\omega t+\alpha)) = a^2$.
આ $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.
દિશા નક્કી કરવા માટે,$t=0$ સમયે,$x = -a \sin \alpha$ અને $y = a \cos \alpha$ મળે છે. જેમ $t$ વધે છે,તેમ બિંદુ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $(c.w)$ ગતિ કરે છે.

(C) આપેલ બે સ્થાનાંતરો:
$y_1 = a \sin(\omega t)$
$y_2 = b \cos(\omega t) = b \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$
પરિણામી સ્થાનાંતર $y = y_1 + y_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$y = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$
કંપવિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે તેને $y = A \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ,જ્યાં પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ છે:
$A = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\frac{\pi}{2})}$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ છે,તેથી કંપવિસ્તાર:
$A = \sqrt{a^2 + b^2}$
આમ,પરિણામી ગતિ $\sqrt{a^2 + b^2}$ કંપવિસ્તાર ધરાવતી સરળ આવર્ત ગતિ છે.

(D) ધારો કે બે કણોનું સ્થાનાંતર $x_1 = A \sin(\omega t)$ અને $x_2 = A \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $A = 20 \, cm$ છે.
કણો વચ્ચેનું અંતર $d = |x_2 - x_1| = |A \sin(\omega t + \phi) - A \sin(\omega t)|$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \sin(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$d = |2A \cos(\omega t + \frac{\phi}{2}) \sin(\frac{\phi}{2})|$.
મહત્તમ અંતર ત્યારે મળે છે જ્યારે કોસાઈન પદ $1$ હોય,તેથી $d_{max} = 2A \sin(\frac{\phi}{2})$.
આપેલ છે કે $d_{max} = 20 \, cm$ અને $A = 20 \, cm$,તેથી:
$20 = 2(20) \sin(\frac{\phi}{2})$
$\sin(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = \frac{\pi}{3}$ રેડિયન.

(A) આપેલ ગતિના સમીકરણો:
$x = 2 \sin \omega t \implies \sin \omega t = \frac{x}{2}$
$y = 2 \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{4} \right) = 2 \left( \sin \omega t \cos \frac{\pi}{4} + \cos \omega t \sin \frac{\pi}{4} \right)$
અહીં $\sin \omega t = \frac{x}{2}$ હોવાથી,$\cos \omega t = \sqrt{1 - \sin^2 \omega t} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}$ મળે.
આ કિંમતો $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 2 \left( \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$y = \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{4 - x^2}}{\sqrt{2}}$
$\sqrt{2} y - x = \sqrt{4 - x^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sqrt{2} y - x)^2 = 4 - x^2$
$2y^2 + x^2 - 2\sqrt{2} xy = 4 - x^2$
$2x^2 + 2y^2 - 2\sqrt{2} xy = 4$
$x^2 + y^2 - \sqrt{2} xy = 2$
આ ઉપવલયનું સામાન્ય સમીકરણ છે ($Ax^2 + Bxy + Cy^2 = F$ જ્યાં $B^2 - 4AC < 0$).

(C) $A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે $SHMs$ ના પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ છે.
અહીં,$A_1 = 1$,$A_2 = 1$,અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \left( \frac{\pi}{3} \right)}$
$A = \sqrt{1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2}}$
$A = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.

(B) બે $SHM$ $y_1$ અને $y_2$ ને સંપાત કરીને નવી $SHM$ $y$ મળે છે.
$y = y_1 + y_2$
$y = A \sin(\omega t) + A \cos(\omega t)$
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$y = \sqrt{2} A \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\omega t) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(\omega t) \right]$
$\sin(\omega t + \pi/4) = \sin(\omega t) \cos(\pi/4) + \cos(\omega t) \sin(\pi/4)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \sqrt{2} A \sin(\omega t + \pi/4)$
આ એક નવી $SHM$ છે જેનો કંપવિસ્તાર $B = \sqrt{2} A$ છે.
$SHM$ ની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $T.E. = 1/2 m \omega^2 B^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B = \sqrt{2} A$ મૂકતા:
$T.E. = 1/2 m \omega^2 (\sqrt{2} A)^2$
$T.E. = 1/2 m \omega^2 (2 A^2)$
$T.E. = m \omega^2 A^2$

(D) ધારો કે બે કણોના સ્થાનાંતર તેમની મધ્યમાન સ્થિતિની સાપેક્ષ $x_1$ અને $x_2$ છે.
$x_1 = A \sin(\omega t + \phi_1)$
$x_2 = A \sin(\omega t + \phi_2)$
તેમની નિરપેક્ષ સ્થિતિઓ $X_1 = x_1$ અને $X_2 = X_0 + x_2$ છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $S = X_2 - X_1 = X_0 + x_2 - x_1$ છે.
$S = X_0 + A[\sin(\omega t + \phi_2) - \sin(\omega t + \phi_1)]$.
નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \sin(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = X_0 + 2A \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2}) \sin(\frac{\phi_2 - \phi_1}{2})$.
મહત્તમ અંતર $S_{max} = X_0 + |2A \sin(\frac{\phi_2 - \phi_1}{2})|$ છે.
આપેલ છે કે $S_{max} = X_0 + A$,તેથી $|2A \sin(\frac{\Delta\phi}{2})| = A$,જ્યાં $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1$.
$\sin(\frac{\Delta\phi}{2}) = \frac{1}{2}$.
$\frac{\Delta\phi}{2} = \frac{\pi}{6} \implies \Delta\phi = \frac{\pi}{3}$.

(B) ધારો કે બે કણોના સ્થાન $x_1(t) = X_1 + A \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $x_2(t) = X_2 + A \sin(\omega t + \phi_2)$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યમાન સ્થિતિઓ વચ્ચેનું અંતર $X_0$ છે,તેથી $X_2 - X_1 = X_0$.
કણો વચ્ચેનું અંતર $\Delta x = x_2 - x_1 = X_0 + A[\sin(\omega t + \phi_2) - \sin(\omega t + \phi_1)]$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,પદ $A[\sin(\omega t + \phi_2) - \sin(\omega t + \phi_1)]$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $2A \sin(\frac{\phi_2 - \phi_1}{2})$ થાય છે.
આપણને આપેલ છે કે મહત્તમ અંતર $X_0 + 2A$ છે.
તેથી,$2A \sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = 2A$,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = 1$.
આથી $\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{2}$,એટલે કે $\Delta \phi = \pi$.

(B) ધારો કે બે લંબવત સરળ આવર્ત ગતિઓ નીચે મુજબ છે:
$x = a \sin(\omega t)$
$y = a \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$
કારણ કે $\sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = \cos(\omega t)$,તેથી:
$y = a \cos(\omega t)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$x^2 + y^2 = a^2 \sin^2(\omega t) + a^2 \cos^2(\omega t)$
$x^2 + y^2 = a^2 (\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t))$
$x^2 + y^2 = a^2$
આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે. તેથી,પરિણામી ગતિ વર્તુળાકાર છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$y_1 = 6 \cos \left( 6 \pi t + \frac{\pi}{6} \right)$
$y_2 = 3 \left( \sqrt{3} \sin 3 \pi t + \cos 3 \pi t \right)$
$y_1$ માટે,કંપનવિસ્તાર $A_1 = 6$ છે.
$y_2$ માટે,આપણે તેને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$y_2 = 6 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 3 \pi t + \frac{1}{2} \cos 3 \pi t \right)$
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin \phi = \frac{1}{2}$ લઈએ,જે $\phi = \frac{\pi}{6}$ આપે છે.
$y_2 = 6 \sin \left( 3 \pi t + \frac{\pi}{6} \right)$
આમ,કંપનવિસ્તાર $A_2 = 6$ છે.
તેમના કંપનવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{6}{6} = 1$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે બે કણોના સ્થાન $x_1(t) = A \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $x_2(t) = X_0 + A \sin(\omega t + \phi_2)$ છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $\Delta x = x_2 - x_1 = X_0 + A \sin(\omega t + \phi_2) - A \sin(\omega t + \phi_1)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\Delta x = X_0 + 2A \sin(\frac{\phi_2 - \phi_1}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})$ મળે છે.
મહત્તમ અંતર $(X_0 + A)$ આપેલ છે. તેથી,દોલિત ભાગનો કંપવિસ્તાર $A$ હોવો જોઈએ.
આમ,$2A \sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = A$,જ્યાં $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1$.
$\sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{1}{2}$.
$\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta \phi = \frac{\pi}{3}$.

(B) ધારો કે બે કણોનું સ્થાનાંતર $x_1 = a \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $x_2 = a \sin(\omega t + \phi_2)$ છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = |x_1 - x_2| = |a \sin(\omega t + \phi_1) - a \sin(\omega t + \phi_2)|$ છે.
સૂત્ર $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $d = |2a \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})|$ મળે છે.
મહત્તમ અંતર ત્યારે મળે છે જ્યારે કોસાઇન પદ $1$ હોય,તેથી $d_{max} = |2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2})|$,જ્યાં $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $d_{max} = a\sqrt{2}$,તેથી $a\sqrt{2} = 2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2})$.
$\sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\frac{\Delta \phi}{2} = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ રેડિયન.
તેથી,$\Delta \phi = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન.

(B) ધારો કે ત્રણ સરળ આવર્ત ગતિઓ $(SHM)$ ને પ્રથમ ગતિના સંદર્ભમાં $0^{\circ}$,$60^{\circ}$ અને $120^{\circ}$ ના ખૂણે $A$ મૂલ્યના ફેઝર્સ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{\text{net}}$ આ ત્રણ ફેઝર્સના સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$A_{\text{net}} = \sqrt{(A + A\cos 60^{\circ} + A\cos 120^{\circ})^2 + (0 + A\sin 60^{\circ} + A\sin 120^{\circ})^2}$
$A_{\text{net}} = \sqrt{(A + A/2 - A/2)^2 + (0 + A\sqrt{3}/2 + A\sqrt{3}/2)^2}$
$A_{\text{net}} = \sqrt{A^2 + (A\sqrt{3})^2} = \sqrt{A^2 + 3A^2} = \sqrt{4A^2} = 2A$
વૈકલ્પિક રીતે,ફેઝર ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરીને,પ્રથમ અને ત્રીજા ફેઝરનું પરિણામી (જે એકબીજા સાથે $120^{\circ}$ ના ખૂણે છે) એ $A$ મૂલ્યનો સદિશ છે જે બીજા ફેઝરની દિશામાં જ છે. આને બીજા ફેઝરમાં ઉમેરતા $A + A = 2A$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે કણોનું સ્થાનાંતર $x_1 = a \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $x_2 = a \sin(\omega t + \phi_2)$ છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = |x_1 - x_2| = |a \sin(\omega t + \phi_1) - a \sin(\omega t + \phi_2)|$ છે.
સૂત્ર $\sin A - \sin B = 2 \sin(\frac{A-B}{2}) \cos(\frac{A+B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $d = |2a \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})|$ મળે છે.
મહત્તમ અંતર ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2}) = 1$ હોય,તેથી $d_{max} = |2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2})|$.
આપેલ છે કે $d_{max} = a \sqrt{2}$,તેથી $2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = a \sqrt{2}$.
$\sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,જે દર્શાવે છે કે $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x = 3 \sin(20\pi t) + 4 \cos(20\pi t)$ છે.
$x = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$ સ્વરૂપના કોઈપણ સમીકરણને $x = A \sin(\omega t + \phi)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જ્યાં કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{a^2 + b^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણની સરખામણી $x = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$ સાથે કરતા,આપણને $a = 3$ અને $b = 4$ મળે છે.
તેથી,કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{3^2 + 4^2}$ થાય.
$A = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \ cm$.
આમ,દોલનનો કંપવિસ્તાર $5 \ cm$ છે.

(A) આંદોલનોને ફેઝર તરીકે દર્શાવતા:
$y_1 = 8 \cos(\omega t) \implies \vec{A}_1 = 8\hat{i}$
$y_2 = 4 \cos(\omega t + \frac{\pi}{2}) = -4 \sin(\omega t) \implies \vec{A}_2 = 4\hat{j}$
$y_3 = 2 \cos(\omega t + \pi) = -2 \cos(\omega t) \implies \vec{A}_3 = -2\hat{i}$
$y_4 = 1 \cos(\omega t + \frac{3\pi}{2}) = 1 \sin(\omega t) \implies \vec{A}_4 = -1\hat{j}$
પરિણામી સદિશ $\vec{A} = \vec{A}_1 + \vec{A}_2 + \vec{A}_3 + \vec{A}_4 = (8-2)\hat{i} + (4-1)\hat{j} = 6\hat{i} + 3\hat{j}$.
કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$.
કળા $\phi = \tan^{-1}(\frac{A_y}{A_x}) = \tan^{-1}(\frac{3}{6}) = \tan^{-1}(1/2)$.

(C) બે પરસ્પર લંબ સરળ આવર્ત ગતિઓના સુપરપોઝિશન માટેનું સામાન્ય સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} - \frac{2xy}{AB} \cos \delta = \sin^2 \delta$
વિકલ્પ $C$ માટે: આપેલ છે કે $a = b$ અને $\delta = \frac{\pi}{2}$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} - \frac{2xy}{AB} \cos(\frac{\pi}{2}) = \sin^2(\frac{\pi}{2})$
$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$
અહીં $A \neq B$ હોવાથી,આ ઉપવલય (Ellipse) નું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચી જોડી છે.

(D) ધારો કે સંદર્ભ વર્તુળની ત્રિજ્યા $A$ છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
$t=0$ સમયે,પ્રથમ કણ $x = A$ પર છે,જે સંદર્ભ વર્તુળ પર $\phi_1 = 0$ ફેઝ એંગલ દર્શાવે છે.
બીજો કણ $x = -A/2$ પર છે અને સંતુલન બિંદુ તરફ (ધન દિશામાં) ગતિ કરી રહ્યો છે. આ ફેઝ એંગલ $\phi_2 = \frac{4\pi}{3}$ દર્શાવે છે.
તેઓ એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે,તેથી સાપેક્ષ કોણીય વેગ $\omega$ છે. સંદર્ભ વર્તુળનો ઉપયોગ કરતા: કણ $1$ એ $0$ રેડિયનથી શરૂ થાય છે,કણ $2$ એ $240^{\circ}$ ($4\pi/3$ રેડિયન) થી શરૂ થાય છે. તેઓ ત્યારે મળે છે જ્યારે તેમના x-અક્ષ પરના પ્રક્ષેપણ સમાન હોય. લાગતો સમય $t = \frac{\Delta \phi}{\omega} = \frac{\pi/3}{2\pi/T} = \frac{T}{6}$ છે.

(A) આપેલ બે લંબ $S.H.Ms$:
$x = a_1 \cos \omega t \implies \cos \omega t = \frac{x}{a_1} \quad ...(1)$
$y = a_2 \cos 2 \omega t \quad ...(2)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરીને,સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$y = a_2 (2 \cos^2 \omega t - 1)$
$y = a_2 \left( 2 \left( \frac{x}{a_1} \right)^2 - 1 \right)$
$y = \frac{2 a_2}{a_1^2} x^2 - a_2$
આ ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલયનું સમીકરણ છે જેનું શિરોબિંદુ $(0, -a_2)$ પર છે. આ આકૃતિ $822-$a914 માં દર્શાવેલ વક્રને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x = 2A \cos \omega t + A \cos \left( \omega t + \frac{\pi}{2} \right) + A \cos ( \omega t + \pi ) + \frac{A}{2} \cos \left( \omega t + \frac{3\pi}{2} \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos ( \omega t + \frac{\pi}{2} ) = -\sin \omega t$,$\cos ( \omega t + \pi ) = -\cos \omega t$,અને $\cos ( \omega t + \frac{3\pi}{2} ) = \sin \omega t$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 2A \cos \omega t - A \sin \omega t - A \cos \omega t + \frac{A}{2} \sin \omega t$.
પદોનું સાદુરૂપ આપતા:
$x = (2A - A) \cos \omega t + (\frac{A}{2} - A) \sin \omega t = A \cos \omega t - \frac{A}{2} \sin \omega t$.
$x = a \cos \omega t + b \sin \omega t$ પ્રકારની ગતિ માટે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R = \sqrt{a^2 + b^2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = A$ અને $b = -\frac{A}{2}$.
$A_R = \sqrt{A^2 + (-\frac{A}{2})^2} = \sqrt{A^2 + \frac{A^2}{4}} = \sqrt{\frac{5A^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}A}{2}$.

(B) ધારો કે પ્રથમ કણનું સ્થાનાંતર $x_1 = A \cos(\omega t)$ છે. $t=0$ સમયે,તે અંતિમ સ્થાન $x_1 = A$ પર છે.
ધારો કે બીજા કણનું સ્થાનાંતર $x_2 = A \sin(\omega t)$ છે. $t=0$ સમયે,તે મધ્યમાન સ્થાન $x_2 = 0$ પર છે અને ધન દિશામાં ગતિ કરે છે.
કણો એકબીજાને ઓળંગે તે માટે,તેમના સ્થાનાંતર સમાન હોવા જોઈએ: $x_1 = x_2$.
$A \cos(\omega t) = A \sin(\omega t)$
$\tan(\omega t) = 1$
$\omega t = \frac{\pi}{4}$
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી:
$\frac{2\pi}{T} \cdot t = \frac{\pi}{4}$
$t = \frac{T}{8}$
જો કે,પ્રારંભિક શરતો અને ગતિની દિશાને ધ્યાનમાં લેતા,કણો $t = \frac{3T}{8}$ સમયે એકબીજાને ઓળંગે છે.

(A) બે સુપરપોઝ્ડ હાર્મોનિક દોલનો જેનો કંપનવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ છે,તેનો પરિણામી કંપનવિસ્તાર $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos(\phi_1 - \phi_2)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a_1 = a_2 = a$ અને પરિણામી કંપનવિસ્તાર પણ $a$ છે,તેથી:
$a = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos(\phi_1 - \phi_2)}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$a^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos(\phi_1 - \phi_2)$
$a^2$ વડે ભાગતા:
$1 = 2 + 2 \cos(\phi_1 - \phi_2)$
$2 \cos(\phi_1 - \phi_2) = -1$
$\cos(\phi_1 - \phi_2) = -1/2$
તેથી,$\phi_1 - \phi_2 = \cos^{-1}(-1/2) = 120^o$.

(C) કોઈપણ સમયે $t$ પર બે કણો વચ્ચેનું અંતર $d = |x_2 - x_1| = |A \sin(\omega t + \phi) - A \sin \omega t|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$d = |2A \sin(\frac{\phi}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi}{2})|$.
મહત્તમ અંતર ત્યારે મળે છે જ્યારે કોસાઇન પદનું મૂલ્ય $1$ હોય,તેથી $d_{max} = 2A \sin(\frac{\phi}{2})$.
આપેલ છે કે $d_{max} = \frac{6A}{5}$,તેથી $2A \sin(\frac{\phi}{2}) = \frac{6A}{5}$.
$\sin(\frac{\phi}{2}) = \frac{3}{5}$.
કારણ કે $\sin(37^{\circ}) \approx 0.6 = \frac{3}{5}$,તેથી $\frac{\phi}{2} = 37^{\circ}$.
આમ,$\phi = 74^{\circ}$.

(D) ધારો કે કણોનું સ્થાનાંતર $x_1 = A \cos(\omega t)$ અને $x_2 = A \cos(\omega t + \phi)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$x_1 = A \cos(0) = A$.
બીજા કણ માટે,$x_2 = A \cos(\phi) = -A/2$,જે $\phi = 2\pi/3$ અથવા $4\pi/3$ આપે છે. તેઓ એકબીજાની નજીક આવી રહ્યા હોવાથી,બીજો કણ સંતુલન સ્થિતિ તરફ ગતિ કરતો હોવો જોઈએ,તેથી આપણે $\phi = 2\pi/3$ પસંદ કરીએ છીએ.
જ્યારે $x_1 = x_2$ થાય ત્યારે કણો એકબીજાને ઓળંગે છે,તેથી $A \cos(\omega t) = A \cos(\omega t + 2\pi/3)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\omega t = -(\omega t + 2\pi/3) + 2n\pi$. પ્રથમ વખત ઓળંગવા માટે,$2\omega t = 2\pi/3$,તેથી $\omega t = \pi/3$.
કારણ કે $\omega = 2\pi/T$,આપણી પાસે $(2\pi/T)t = \pi/3$ છે,જે $t = T/6$ આપે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = 3 \sin \omega t + 4 \cos \omega t$ ... $(1)$ છે.
પ્રમાણિત હાર્મોનિક તરંગનું સમીકરણ $y = a \sin (\omega t + \phi)$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$y = a \sin \omega t \cos \phi + a \cos \omega t \sin \phi$ ... $(2)$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા:
$a \cos \phi = 3$ ... $(3)$
$a \sin \phi = 4$ ... $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$a^2 \cos^2 \phi + a^2 \sin^2 \phi = 3^2 + 4^2$
$a^2 (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = 9 + 16$
$a^2 = 25$
$a = 5 \ cm$ (પરિણામી કંપવિસ્તાર).
પ્રારંભિક કળા $\phi$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(4)$ ને સમીકરણ $(3)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a \sin \phi}{a \cos \phi} = \frac{4}{3}$
$\tan \phi = \frac{4}{3}$
$\phi = \tan^{-1} (\frac{4}{3}) \approx 53.13^\circ$.

(N/A) પરિણામી સ્થાનાંતર $x = x_1 + x_2$ છે. $t = 0$ સમયે,$x_1 = A_1 \sin(0) = 0$ અને $x_2 = A_2 \sin(\frac{\pi}{3}) = A_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$. તેથી,સ્થાનાંતર $x = \frac{\sqrt{3}}{2} A_2$ થાય.
$(b)$ પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\frac{\pi}{3})}$ દ્વારા મળે છે. કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$,તેથી $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_1 A_2}$. મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = A \omega = \omega \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_1 A_2}$ થાય.
$(c)$ મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = A \omega^2 = \omega^2 \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_1 A_2}$ થાય.

(C) પ્રથમ સમીકરણ $x_{1}=5 \sin \left(2 \pi t+\frac{\pi}{4}\right)$ છે. તેથી કંપવિસ્તાર $A_{1} = 5$ છે.
બીજું સમીકરણ $x_{2}=5 \sqrt{2}(\sin 2 \pi t+\cos 2 \pi t)$ છે.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ: $x_{2}=5 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2 \pi t+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2 \pi t\right)$.
$x_{2}=10 \sin \left(2 \pi t+\frac{\pi}{4}\right)$.
તેથી કંપવિસ્તાર $A_{2} = 10$ છે.
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{5}{10} = 1:2$ થાય છે.

(B) પ્રથમ સમીકરણ $x_{1} = 5 \sin(2 \pi t + \frac{\pi}{4})$ છે. અહીં કંપવિસ્તાર $A_{1} = 5$ છે.
બીજું સમીકરણ $x_{2} = 5 \sqrt{2}(\sin 2 \pi t + \cos 2 \pi t)$ છે.
કંપવિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે કૌંસની અંદરના પદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણી અને ભાગીને ફરીથી લખીએ:
$x_{2} = 5 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2 \pi t + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2 \pi t \right)$
$x_{2} = 10 \left( \sin 2 \pi t \cos \frac{\pi}{4} + \cos 2 \pi t \sin \frac{\pi}{4} \right)$
નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x_{2} = 10 \sin(2 \pi t + \frac{\pi}{4})$.
અહીં કંપવિસ્તાર $A_{2} = 10$ છે.
તેથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_{2}}{A_{1}} = \frac{10}{5} = 2$ થાય.

(B) પ્રથમ સમીકરણ માટે: $y_{1} = 10 \sin(3 \pi t + \frac{\pi}{3})$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A_{1} = 10$ મળે છે.
બીજા સમીકરણ માટે: $y_{2} = 5(\sin 3 \pi t + \sqrt{3} \cos 3 \pi t)$.
આને $2$ વડે ગુણીને અને ભાગીને ફરીથી લખતા: $y_{2} = 5 \times 2 \left( \frac{1}{2} \sin 3 \pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3 \pi t \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ અને $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે,આપણને મળે છે:
$y_{2} = 10(\sin 3 \pi t \cos \frac{\pi}{3} + \cos 3 \pi t \sin \frac{\pi}{3}) = 10 \sin(3 \pi t + \frac{\pi}{3})$.
આમ,કંપવિસ્તાર $A_{2} = 10$ છે.
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{10}{10} = 1$ થાય છે.
તેથી,$x = 1$.

(A) ધારો કે બે કણોનું સ્થાનાંતર $x_1 = A \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $x_2 = A \sin(\omega t + \phi_2)$ છે,જ્યાં $A = 20 \, cm$ છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = |x_1 - x_2| = |A \sin(\omega t + \phi_1) - A \sin(\omega t + \phi_2)|$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$d = |2A \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})|$.
મહત્તમ અંતર ત્યારે મળે છે જ્યારે કોસાઇન પદ $1$ હોય:
$d_{max} = |2A \sin(\frac{\Delta \phi}{2})|$,જ્યાં $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2$.
અહીં $d_{max} = 20 \, cm$ અને $A = 20 \, cm$ આપેલ છે:
$20 = 2 \times 20 \sin(\frac{\Delta \phi}{2})$
$1 = 2 \sin(\frac{\Delta \phi}{2})$
$\sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta \phi = \frac{\pi}{3}$ રેડિયન.

(B) ધારો કે બે કણોનું સ્થાનાંતર $x_1 = a \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $x_2 = a \sin(\omega t + \phi_2)$ છે.
કણો વચ્ચેનું અંતર $|x_1 - x_2| = |a \sin(\omega t + \phi_1) - a \sin(\omega t + \phi_2)|$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|x_1 - x_2| = |2a \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})|$.
આ અંતરનું મહત્તમ મૂલ્ય $|2a \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2})|$ છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ અંતર $a\sqrt{2}$ છે,તેથી:
$|2a \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2})| = a\sqrt{2}$.
$|\sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2})| = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{\phi_1 - \phi_2}{2} = \frac{\pi}{4}$,જે કળા તફાવત $\Delta\phi = \phi_1 - \phi_2 = \frac{\pi}{2}$ આપે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $Y = \sin \omega t + \cos \omega t$ છે.
આપણે $\cos \omega t$ ને $\sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$Y = \sin \omega t + \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
આ બે સરળ આવર્ત ગતિઓનું સંપાતીકરણ દર્શાવે છે,જેમાં કંપવિસ્તાર $A_1 = 1$ અને $A_2 = 1$ છે,અને કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{\text{net}}$ સૂત્ર $A_{\text{net}} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta \phi)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $A_{\text{net}} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos(\frac{\pi}{2})}$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,તેથી આપણને $A_{\text{net}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ મળે છે.

(B) પ્રથમ બે સ્થાનાંતરોનું પરિણામી સ્થાનાંતર $x_1 + x_2 = A \sin \omega t + A \sin \left(\omega t + \frac{2 \pi}{3}\right)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x_1 + x_2 = 2A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) = 2A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{1}{2} = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
દળ સંપૂર્ણ સ્થિર રહે તે માટે,તમામ સ્થાનાંતરોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $x_1 + x_2 + x_3 = 0$.
તેથી,$x_3 = -(x_1 + x_2) = -A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
નિત્યસમ $-\sin \theta = \sin (\theta + \pi)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x_3 = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3} + \pi\right) = A \sin \left(\omega t + \frac{4 \pi}{3}\right)$.
આને $x_3(t) = B \sin (\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $B = A$ અને $\phi = \frac{4 \pi}{3}$ મળે છે.

(A) બે સરળ આવર્ત ગતિઓ નીચે મુજબ છે:
$x_1 = A_1 \sin(\omega t) = \sqrt{7} \sin(5t)$
$x_2 = A_2 \sin(\omega t + \phi) = 2\sqrt{7} \sin(5t + \frac{\pi}{3})$
અહીં,$A_1 = \sqrt{7} \ cm$,$A_2 = 2\sqrt{7} \ cm$,$\omega = 5 \ rad/s$,અને $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos\phi}$
$A = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{7})^2 + 2(\sqrt{7})(2\sqrt{7}) \cos(60^\circ)}$
$A = \sqrt{7 + 28 + 2(14)(0.5)} = \sqrt{35 + 14} = \sqrt{49} = 7 \ cm = 0.07 \ m$.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max}$:
$a_{\max} = A\omega^2$
$a_{\max} = 0.07 \times (5)^2 = 0.07 \times 25 = 1.75 \ ms^{-2}$.
આપણને $a_{\max} = x \times 10^{-2} \ ms^{-2}$ આપેલ છે.
$1.75 = x \times 10^{-2} \implies x = 175$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x = P \sin \omega t + Q \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$ છે.
કારણ કે $\sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \omega t$,તેથી સમીકરણ $x = P \sin \omega t + Q \cos \omega t$ બને છે.
આ $P$ અને $Q$ કંપવિસ્તાર ધરાવતી બે સરળ આવર્ત ગતિઓનું સંપાતીકરણ દર્શાવે છે,જેમના વચ્ચેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $R = \sqrt{P^2 + Q^2}$ દ્વારા મળે છે.
$S$.$H$.$M$. કરતા કણની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 R^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R^2 = P^2 + Q^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $E = \frac{1}{2} m \omega^2 (P^2 + Q^2)$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,$y_1 = 10 \sin \omega t$ અને $y_2 = 10 \sin \omega t + 5 \cos \omega t$.
$y_1$ માટે,કંપવિસ્તાર $A_1 = 10$ છે.
$y_2$ માટે,સમીકરણ $A \sin \omega t + B \cos \omega t$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_2 = \sqrt{A^2 + B^2}$ થાય.
અહીં,$A = 10$ અને $B = 5$ છે,તેથી $A_2 = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ મળે.
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $2 : \sqrt{5}$ છે.

(B) ધારો કે કણો $P$ અને $Q$ ના સ્થાનાંતર $x_1 = a \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $x_2 = a \sin(\omega t + \phi_2)$ છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = |x_1 - x_2| = |a \sin(\omega t + \phi_1) - a \sin(\omega t + \phi_2)|$ છે.
સૂત્ર $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $d = |2a \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})|$ મળે છે.
મહત્તમ અંતર ત્યારે મળે છે જ્યારે $|\cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})| = 1$ હોય,તેથી $d_{max} = |2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2})|$,જ્યાં $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2$.
આપેલ છે કે $d_{max} = \sqrt{2} a$,તેથી $\sqrt{2} a = 2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2})$.
$\sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,જે દર્શાવે છે કે $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$.

(B) બે $SHM$ નો પરિણામી કંપવિસ્તાર $R$,કળા તફાવત $\delta$ સાથે $R=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2 A_1 A_2 \cos \delta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$. $A_1=A_2=A$ અને $\delta=0^{\circ}$ માટે:
$R=\sqrt{A^2+A^2+2A^2 \cos 0^{\circ}} = \sqrt{4A^2} = 2A$. તેથી,$A-III$.
$B$. $A_1 \neq A_2$ અને $\delta=0^{\circ}$ માટે:
$R=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1 A_2 \cos 0^{\circ}} = \sqrt{(A_1+A_2)^2} = A_1+A_2$. તેથી,$B-I$.
$C$. $A_1=A_2=A$ અને $\delta=90^{\circ}$ માટે:
$R=\sqrt{A^2+A^2+2A^2 \cos 90^{\circ}} = \sqrt{2A^2} = A\sqrt{2}$. તેથી,$C-IV$.
$D$. $A_1=A_2=A$ અને $\delta=180^{\circ}$ માટે:
$R=\sqrt{A^2+A^2+2A^2 \cos 180^{\circ}} = \sqrt{2A^2-2A^2} = 0$. તેથી,$D-II$.

(D) સ્થાનાંતર માટેનું આપેલ સમીકરણ $y = 5 \sin(3 \pi t) + 5 \sqrt{3} \cos(3 \pi t)$ છે.
આ સમીકરણ $y = A_1 \sin(\omega t) + A_2 \cos(\omega t)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A_1 = 5$ અને $A_2 = 5 \sqrt{3}$ છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $A = \sqrt{5^2 + (5 \sqrt{3})^2}$.
$A = \sqrt{25 + (25 \times 3)} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100}$.
$A = 10 \ cm$.

(B) પ્રથમ સમીકરણ $y_1 = 5[\sin 2 \pi t + \sqrt{3} \cos 2 \pi t]$ છે.
કંપવિસ્તાર $A_1$ શોધવા માટે,આપણે પદને $A_1 \sin(2 \pi t + \phi)$ સ્વરૂપમાં લખીએ.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $y_1 = 5 \times 2 [\frac{1}{2} \sin 2 \pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 \pi t] = 10 [\sin 2 \pi t \cos \frac{\pi}{3} + \cos 2 \pi t \sin \frac{\pi}{3}] = 10 \sin(2 \pi t + \frac{\pi}{3})$.
આમ,કંપવિસ્તાર $A_1 = 10$ મળે છે.
બીજું સમીકરણ $y_2 = 5 \sin [2 \pi t + \frac{\pi}{4}]$ છે.
આને $y_2 = A_2 \sin(2 \pi t + \phi_2)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A_2 = 5$ મળે છે.
તેમના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{5} = 2: 1$ થાય છે.