Superposition of S.H.M. Questions in Gujarati

(D) ધારો કે બે કણોનું સ્થાનાંતર $x_1 = A \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $x_2 = A \sin(\omega t + \phi_2)$ છે.
જ્યારે તેઓ એકબીજાને પસાર કરે છે,ત્યારે $x_1 = x_2 = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
કણ $1$ માટે,જે મધ્યમાન સ્થિતિથી દૂર જઈ રહ્યો છે,$\sin(\omega t + \phi_1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જે કળા $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ આપે છે.
કણ $2$ માટે,જે સમાન સ્થાનાંતરે મધ્યમાન સ્થિતિ તરફ આવી રહ્યો છે,$\sin(\omega t + \phi_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતો હોવાથી,તેની કળા બીજા ચરણમાં હોવી જોઈએ,તેથી $\theta_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
કળા તફાવત $\Delta \phi = |\theta_2 - \theta_1| = |\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}| = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.
ડિગ્રીમાં ફેરવતા,$\frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$ મળે છે.

(B) ધારો કે કણો $P$ અને $Q$ માટે ગતિના સમીકરણો $x_1 = a \sin(\omega t)$ અને $x_2 = a \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કણો વચ્ચેનું અંતર $d = |x_2 - x_1| = |a \sin(\omega t + \phi) - a \sin(\omega t)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ $\sin A - \sin B = 2 \sin(\frac{A-B}{2}) \cos(\frac{A+B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$d = |2a \sin(\frac{\phi}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi}{2})|$.
આ અંતરનું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે છે જ્યારે કોસાઇન પદનું મૂલ્ય $1$ હોય.
તેથી,$d_{max} = 2a \sin(\frac{\phi}{2})$.
આપેલ છે કે $d_{max} = a \sqrt{2}$,તેથી $2a \sin(\frac{\phi}{2}) = a \sqrt{2}$.
$\sin(\frac{\phi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = \frac{\pi}{2}$.

(B) ધારો કે બે કણોનું સ્થાનાંતર $x_1 = a \sin \omega t$ અને $x_2 = a \sin (\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
જ્યારે તેઓ એકબીજાને પસાર કરે છે,ત્યારે તેમનું સ્થાનાંતર સમાન હોય છે: $x_1 = x_2 = a/2$.
પ્રથમ કણ માટે: $a \sin \omega t = a/2 \Rightarrow \sin \omega t = 1/2$. તેથી,$\omega t = \pi/6$ (ધારીએ કે કણ ધન દિશામાં ગતિ કરે છે).
બીજા કણ માટે: $a \sin (\omega t + \phi) = a/2 \Rightarrow \sin (\omega t + \phi) = 1/2$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega t + \phi = \pi/6$ અથવા $\omega t + \phi = 5\pi/6$.
જો $\omega t + \phi = \pi/6$ હોય,તો $\phi = 0$,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમાન દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા છે,વિરુદ્ધ દિશામાં નહીં.
જો $\omega t + \phi = 5\pi/6$ હોય,તો $\phi = 5\pi/6 - \pi/6 = 4\pi/6 = 2\pi/3$.
આ કળા પર,વેગ $v_2 = a \omega \cos (\omega t + \phi) = a \omega \cos (5\pi/6) = -a \omega \sqrt{3}/2$ મળે છે,જે ઋણ છે,જે સાબિત કરે છે કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
તેથી,કળા તફાવત $2\pi/3$ છે.

(C) આપેલ છે કે,પ્રથમ કણનું સ્થાનાંતર સમીકરણ $y_1=30 \sin \left(2 \pi t+\frac{\pi}{3}\right)$ છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $y=A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A_1=30$ મળે છે.
બીજા કણ માટે,સ્થાનાંતર સમીકરણ $y_2=10(\sin 2 \pi t+\sqrt{3} \cos 2 \pi t)$ છે.
કંપવિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે કૌંસની અંદર $2$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ: $y_2 = 10 \times 2 \left[ \frac{1}{2} \sin 2 \pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 \pi t \right]$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ અને $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે,આપણને $y_2 = 20 \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3} \right)$ મળે છે.
આમ,બીજા કણનો કંપવિસ્તાર $A_2=20$ છે.
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $A_1: A_2$ એ $3: 2$ છે.

(B) બે સરળ આવર્ત ગતિઓ કે જેમના કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે અને તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $\delta$ છે,તેમનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{\text{res}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $A_{\text{res}}^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \delta$.
અહીં આપેલ છે કે $A_1 = A_2 = A$ અને પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{\text{res}} = A$,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$A^2 = A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \delta$.
$A^2 = 2A^2 + 2A^2 \cos \delta$.
$A^2 - 2A^2 = 2A^2 \cos \delta$.
$-A^2 = 2A^2 \cos \delta$.
$\cos \delta = -\frac{1}{2}$.
આમ,$\cos \delta = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,કળા તફાવત $\delta = 120^{\circ}$ અથવા $\delta = \frac{2\pi}{3}$ રેડિયન થાય.

(A) પ્રથમ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે: $x_{1} = a \sin \omega t + a \cos \omega t = \sqrt{2} a \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$.
કંપવિસ્તાર $A_{1} = \sqrt{2} a$ અને કળા $\phi_{1} = \frac{\pi}{4}$.
દ્વિતીય સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે: $x_{2} = a \sin \omega t + \frac{a}{\sqrt{3}} \cos \omega t$.
કંપવિસ્તાર $A_{2} = \sqrt{a^{2} + (\frac{a}{\sqrt{3}})^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{4a^{2}}{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
કળા $\phi_{2} = \tan^{-1}(\frac{a/\sqrt{3}}{a}) = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{\sqrt{2} a}{2a/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_{1} - \phi_{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

(C) આપેલ છે,$y = 4 \cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right) \sin(1000 t)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \cos^{2} \theta = 1 + \cos(2 \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $2 \cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right) = 1 + \cos t$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 2 \times [2 \cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right)] \sin(1000 t)$
$y = 2(1 + \cos t) \sin(1000 t)$
$y = 2 \sin(1000 t) + 2 \sin(1000 t) \cos t$.
ગુણાકારમાંથી સરવાળાના સૂત્ર $2 \sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2 \sin(1000 t) + [\sin(1000 t + t) + \sin(1000 t - t)]$
$y = 2 \sin(1000 t) + \sin(1001 t) + \sin(999 t)$.
આ પદ $3$ સ્વતંત્ર આવર્ત ગતિઓનું સંપાતપણું દર્શાવે છે જેની આવૃત્તિઓ $1000, 1001,$ અને $999$ rad/s છે.
તેથી,$n = 3$.