Motion Under Gravity Questions in Hindi

(B) माना तय की गई दूरी $s$ है। विराम अवस्था से शुरू होने वाले कण के लिए,$a_i$ त्वरण वाले ग्रह पर वेग $v_i$ और समय $t_i$ इस प्रकार हैं: $v_i = \sqrt{2a_is}$ और $t_i = \sqrt{2s/a_i}$.
दिया गया है कि $a_1 = 2g$ और $a_2 = 8g$,इसलिए $v_1 = \sqrt{2(2g)s} = 2\sqrt{gs}$ और $v_2 = \sqrt{2(8g)s} = 4\sqrt{gs}$.
इसी प्रकार,$t_1 = \sqrt{2s/2g} = \sqrt{s/g}$ और $t_2 = \sqrt{2s/8g} = 0.5\sqrt{s/g}$.
वेग में परिवर्तन $v = v_2 - v_1 = 4\sqrt{gs} - 2\sqrt{gs} = 2\sqrt{gs}$.
समय में परिवर्तन $t = t_1 - t_2 = \sqrt{s/g} - 0.5\sqrt{s/g} = 0.5\sqrt{s/g}$.
दूसरे समीकरण से,$\sqrt{s/g} = 2t$. इस मान को वेग के समीकरण में रखने पर: $v = 2\sqrt{g} \cdot \sqrt{s} = 2\sqrt{g} \cdot (2t\sqrt{g}) = 4gt$.

(A) मान लीजिए पहली गेंद $B_1$ है और दूसरी गेंद $B_2$ है।
$B_1$ के लिए,प्रारंभिक वेग $u_1 = 5 \ m/s$ है। टक्कर बिंदु तक पहुँचने में लगा कुल समय $t_1 = 2 \ s + 2 \ s = 4 \ s$ है।
$B_1$ द्वारा तय की गई दूरी $h = u_1 t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 = 5(4) + \frac{1}{2}(10)(4^2) = 20 + 80 = 100 \ m$ है।
$B_2$ के लिए,प्रारंभिक वेग $u_2$ है और टक्कर बिंदु तक पहुँचने में लगा समय $t_2 = 2 \ s$ है।
$B_2$ द्वारा तय की गई दूरी समान होनी चाहिए,इसलिए $h = u_2 t_2 + \frac{1}{2} g t_2^2$।
मान रखने पर: $100 = u_2(2) + \frac{1}{2}(10)(2^2)$।
$100 = 2u_2 + 20$।
$2u_2 = 80$।
$u_2 = 40 \ m/s$।

(C) प्रारंभिक वेग $u$ के साथ फेंकी गई गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{u^2}{2g}$ है।
यहाँ $h = 5 \ m$ और $g = 10 \ m/s^2$ लेने पर,$5 = \frac{u^2}{2 \times 10}$ प्राप्त होता है,जिससे $u^2 = 100$ और $u = 10 \ m/s$ मिलता है।
अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय (ऊपर जाने का समय) $t = \frac{u}{g} = \frac{10}{10} = 1 \ s$ है।
चूँकि अगली गेंद तब फेंकी जाती है जब पिछली गेंद अपनी अधिकतम ऊँचाई पर होती है,इसलिए दो लगातार गेंदों को फेंकने के बीच का समय अंतराल $1 \ s$ है।
अतः,प्रति मिनट फेंकी गई गेंदों की संख्या $\frac{60 \ s}{1 \ s/\text{ball}} = 60 \ \text{balls/min}$ होगी।

(C) मान लीजिए मीनार की ऊँचाई $h$ है। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, मीनार की चोटी पर कुल ऊर्जा और जमीन पर कुल ऊर्जा समान होती है।
गेंद $A$ के लिए (ऊपर की ओर फेंकी गई): प्रारंभिक ऊर्जा $E_A = \frac{1}{2}mu^2 + mgh$। जमीन पर अंतिम ऊर्जा $E'_A = \frac{1}{2}mv_A^2 + 0$।
ऊर्जा संरक्षण के अनुसार: $\frac{1}{2}mu^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_A^2$, जिससे $v_A = \sqrt{u^2 + 2gh}$ प्राप्त होता है।
गेंद $B$ के लिए (नीचे की ओर फेंकी गई): प्रारंभिक ऊर्जा $E_B = \frac{1}{2}mu^2 + mgh$। जमीन पर अंतिम ऊर्जा $E'_B = \frac{1}{2}mv_B^2 + 0$।
ऊर्जा संरक्षण के अनुसार: $\frac{1}{2}mu^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_B^2$, जिससे $v_B = \sqrt{u^2 + 2gh}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों गेंदें समान ऊँचाई $h$ से समान प्रारंभिक गति $u$ से शुरू होती हैं, इसलिए दोनों समान अंतिम वेग $v = \sqrt{u^2 + 2gh}$ के साथ जमीन पर पहुँचेंगी।
अतः, विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(A) मान लीजिए टॉवर की ऊँचाई $h$ है। गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए (नीचे की दिशा को धनात्मक लेते हुए):
गेंद $B$ के लिए (नीचे फेंकी गई): $h = ut_B + \frac{1}{2}gt_B^2$.
गेंद $A$ के लिए (ऊपर फेंकी गई): विस्थापन $s = -h$ और प्रारंभिक वेग $u_A = -u$ लेते हुए,$-h = -ut_A + \frac{1}{2}gt_A^2$,जो $h = ut_A - \frac{1}{2}gt_A^2$ बन जाता है।
वैकल्पिक रूप से,गेंद $A$ जब टॉवर के शीर्ष पर वापस आएगी तो उसका वेग नीचे की ओर $u$ होगा,जो गेंद $B$ के प्रारंभिक वेग के समान है। अतः,गेंद $A$ को जमीन तक पहुँचने में लगा समय टॉवर के शीर्ष पर वापस आने का समय और गेंद $B$ द्वारा लिए गए समय का योग है। इसलिए,$t_A > t_B$.

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ है।
ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद $A$ के लिए: $-h = ut_A - \frac{1}{2}gt_A^2 \implies -h = 6u - \frac{1}{2}(10)(6)^2 \implies -h = 6u - 180 \implies h = 180 - 6u$ (समीकरण $1$)
नीचे की ओर फेंकी गई गेंद $B$ के लिए: $h = ut_B + \frac{1}{2}gt_B^2 \implies h = 2u + \frac{1}{2}(10)(2)^2 \implies h = 2u + 20$ (समीकरण $2$)
$h$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $180 - 6u = 2u + 20$
$160 = 8u \implies u = 20 \ m/s$
समीकरण $2$ में $u$ का मान रखने पर: $h = 2(20) + 20 = 40 + 20 = 60 \ m$.
अतः,मीनार की ऊँचाई $60 \ m$ है।

(C) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और $g = 10 \ m/s^2$ है।
ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद $A$ के लिए: $-h = ut_A - \frac{1}{2}gt_A^2$।
$t_A = 6 \ s$ रखने पर: $-h = 6u - \frac{1}{2}(10)(36) = 6u - 180$।
नीचे की ओर फेंकी गई गेंद $B$ के लिए: $-h = -ut_B - \frac{1}{2}gt_B^2$।
$t_B = 2 \ s$ रखने पर: $-h = -2u - \frac{1}{2}(10)(4) = -2u - 20$।
$-h$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $6u - 180 = -2u - 20$।
$8u = 160$,जिससे $u = 20 \ m/s$ प्राप्त होता है।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और प्रारंभिक वेग $u$ है।
गेंद $A$ (ऊपर की ओर) के लिए: $h = -ut_A + \frac{1}{2}gt_A^2$.
गेंद $B$ (नीचे की ओर) के लिए: $h = ut_B + \frac{1}{2}gt_B^2$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $h = \frac{1}{2}gt_A t_B$.
गेंद $C$ (क्षैतिज) के लिए: ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h = \frac{1}{2}gt_C^2$ है।
अतः,$t_C^2 = t_A t_B \implies t_C = \sqrt{t_A t_B}$.
$t_A = 6 \ s$ और $t_B = 2 \ s$ दिया गया है:
$t_C = \sqrt{6 \times 2} = \sqrt{12} \approx 3.46 \ s$.

(D) मान लीजिए $R$ वृत्त की त्रिज्या है। जीवा $AB$ की लंबाई $AB = 2R \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
तार के अनुदिश मनके का त्वरण $a = g \cos \theta$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ और $s = AB = 2R \cos \theta$ है:
$v^2 = 0 + 2(g \cos \theta)(2R \cos \theta) = 4Rg \cos^2 \theta$
$v = 2\sqrt{Rg} \cos \theta$. अतः,$v \propto \cos \theta$.
समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए:
$2R \cos \theta = 0 + \frac{1}{2}(g \cos \theta)t^2$
$2R \cos \theta = \frac{1}{2}g \cos \theta t^2$
$t^2 = \frac{4R}{g} \Rightarrow t = 2\sqrt{\frac{R}{g}}$.
चूँकि $t$,$\theta$ से स्वतंत्र है,इसलिए कथन $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(C) मान लीजिए गेंद का द्रव्यमान $m$ है। गेंद पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल ($mg$ नीचे की ओर) और वायु प्रतिरोध बल ($F_r = -kv$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है और $v$ वेग है) हैं।
किसी भी बिंदु पर,कुल बल $F_{net} = -mg - kv$ है (ऊपर की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
त्वरण $a = F_{net}/m = -g - (k/m)v$ है।
उच्चतम बिंदु पर,गेंद का वेग $v = 0$ होता है।
त्वरण के समीकरण में $v = 0$ रखने पर: $a = -g - (k/m)(0) = -g$।
अतः,त्वरण का परिमाण $|a| = g$ है।

(B) जब किसी वस्तु को हवा में लंबवत ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है और हवा का प्रतिरोध $|D| = bv$ होता है,तो गति का समीकरण $m(dv/dt) = -mg - bv$ होता है।
ऊपर की गति के दौरान,गुरुत्वाकर्षण और हवा का प्रतिरोध दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं,इसलिए शुद्ध बल $F = -(mg + bv)$ है। यह हवा के प्रतिरोध के बिना वाले मामले की तुलना में अधिक मंदन (deceleration) पैदा करता है,जिसका अर्थ है कि वेग अधिक तेजी से घटता है।
नीचे की गति के दौरान,गुरुत्वाकर्षण नीचे की ओर और हवा का प्रतिरोध ऊपर की ओर कार्य करता है,इसलिए शुद्ध बल $F = -mg + bv$ है। जैसे-जैसे वस्तु नीचे गिरती है,उसकी गति बढ़ती है और ऊपर की ओर हवा का प्रतिरोध बढ़ता है,जो नीचे की ओर शुद्ध त्वरण को कम करता है।
इसलिए,वेग-समय ग्राफ ऊपर की गति के दौरान अधिक ढलान और नीचे की गति के दौरान कम ढलान दिखाएगा क्योंकि यह टर्मिनल वेग के करीब पहुंचता है। ग्राफ $B$ इन विशेषताओं को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) नीचे की ओर गति के लिए,वेग $v = -gt$ द्वारा दिया जाता है। वेग नीचे की दिशा में बढ़ता है,जिसके परिणामस्वरूप $v$ और $t$ के बीच एक ऋणात्मक ढलान वाली सीधी रेखा प्राप्त होती है।
गति के समीकरण $y - y_0 = ut + \frac{1}{2}at^2$ को लागू करने पर,हमें $y - h = -\frac{1}{2}gt^2$ प्राप्त होता है,जो $y = h - \frac{1}{2}gt^2$ में सरल हो जाता है। यह $t = 0$ पर $y = h$ से शुरू होने वाला नीचे की ओर खुलने वाला परवलय दर्शाता है।
प्रत्यास्थ टक्कर के बाद ऊपर की ओर गति के लिए,वेग की दिशा उलट जाती है और इसका परिमाण समान रहता है। वेग $v = u - gt$ का पालन करता है,जहाँ $u$ टक्कर के ठीक बाद का वेग है। जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$v$ ऋणात्मक ढलान के साथ रैखिक रूप से घटता है।
ऊपर की ओर गति के लिए समय के फलन के रूप में ऊँचाई $y = ut - \frac{1}{2}gt^2$ का पालन करती है,जो ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय का एक खंड है। इन दोनों को मिलाने पर,वेग-समय ग्राफ ऋणात्मक ढलान के साथ 'सॉ-टूथ' (sawtooth) पैटर्न दिखाता है और ऊँचाई-समय ग्राफ परवलयाकार चापों की एक श्रृंखला दिखाता है। ग्राफ $B$ इन भौतिक व्यवहारों को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) मान लीजिए कि उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगा समय $t_1$ है। उच्चतम बिंदु पर, अंतिम वेग $0$ होता है। $v = u + at$ का उपयोग करने पर, हमें $0 = u - gt_1$ प्राप्त होता है, इसलिए $t_1 = \frac{u}{g}$।
मान लीजिए कि जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $T$ है। गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर, जहाँ विस्थापन $s = -H$, प्रारंभिक वेग $u$, और त्वरण $a = -g$ है, हमें मिलता है:
$-H = uT - \frac{1}{2}gT^2$
$\frac{1}{2}gT^2 - uT - H = 0$
दिया गया है कि $T = nt_1 = n(\frac{u}{g}) = \frac{nu}{g}$।
$T$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}g(\frac{nu}{g})^2 - u(\frac{nu}{g}) - H = 0$
$\frac{n^2u^2}{2g} - \frac{nu^2}{g} - H = 0$
$2g$ से गुणा करने पर:
$n^2u^2 - 2nu^2 - 2gH = 0$
$n^2u^2 - 2nu^2 = 2gH$
$nu^2(n - 2) = 2gH$।

(B) $h$ ऊँचाई से गिराए जाने पर $m$ द्रव्यमान की किसी भी वस्तु द्वारा जमीन तक पहुँचने में लिया गया समय गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,इसलिए $h = \frac{1}{2}gt^2$ होगा।
समय $t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि समय $t$ केवल ऊँचाई $h$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करता है,यह वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
इसलिए,समान ऊँचाई से गिराई गई दो गेंदों के लिए लिया गया समय बराबर होगा,अर्थात $t_1 = t_2$।

(D) माना प्रारंभिक वेग $v_i = u$ (ऊपर की ओर) है और जमीन पर अंतिम वेग $v_f = -4u$ (नीचे की ओर) है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v_f^2 = v_i^2 + 2as$,जहाँ $a = -g$ और $s = -h$ (मीनार की चोटी से जमीन तक का विस्थापन) है।
$(-4u)^2 = u^2 + 2(-g)(-h)$
$16u^2 = u^2 + 2gh$
$15u^2 = 2gh$
$h = \frac{15u^2}{2g}$

(C) जब किसी गेंद को प्रारंभिक वेग $u$ के साथ फेंका जाता है,तो उसे अधिकतम ऊँचाई $h$ तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{u}{g}$ होता है।
अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $0$ होता है। $v^2 = u^2 - 2gh$ का उपयोग करने पर,हमें $0 = u^2 - 2gh$ प्राप्त होता है,इसलिए $u = \sqrt{2gh}$।
समय के समीकरण में $u$ का मान रखने पर: $t = \frac{\sqrt{2gh}}{g} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$।
यहाँ $h = 5\, m$ और $g = 10\, ms^{-2}$ दिया गया है,इसलिए लगा समय $t = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = \sqrt{1} = 1\, s$ है।
चूँकि अगली गेंद तब फेंकी जाती है जब पिछली गेंद अपनी अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचती है,इसलिए हर $1\, s$ में एक गेंद फेंकी जाती है।
अतः,प्रति मिनट $(60\, s)$ फेंकी गई गेंदों की संख्या $\frac{60\, s}{1\, s/\text{ball}} = 60\, \text{balls/minute}$ होगी।

(A) गुब्बारा विराम अवस्था से $a = 4.9 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ गति शुरू करता है। $t = 2 \, s$ के बाद,गुब्बारे (और गेंद) का वेग $v = u + at = 0 + 4.9 \times 2 = 9.8 \, m/s$ होगा।
$t = 2 \, s$ पर गुब्बारे की ऊँचाई $h = \frac{1}{2}at^2 = 0.5 \times 4.9 \times (2)^2 = 9.8 \, m$ है।
जब गेंद छोड़ी जाती है,तो उसका प्रारंभिक वेग $9.8 \, m/s$ है और वह $9.8 \, m$ की ऊँचाई पर है। गेंद द्वारा छोड़े जाने के बाद प्राप्त अतिरिक्त ऊँचाई $s$ के लिए $v^2 = u^2 - 2gs$ सूत्र का उपयोग करने पर,जहाँ अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $0$ होता है।
$0 = (9.8)^2 - 2 \times 9.8 \times s \implies s = \frac{9.8 \times 9.8}{2 \times 9.8} = 4.9 \, m$.
जमीन से अधिकतम ऊँचाई $H = h + s = 9.8 + 4.9 = 14.7 \, m$ है।

(A) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंकी गई वस्तु के लिए गति का समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ है।
$s = h$ और $a = -g$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ प्राप्त होता है।
इसे $t$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$,या $t^2 - \frac{2u}{g}t + \frac{2h}{g} = 0$ प्राप्त होता है।
किसी दी गई ऊँचाई $h$ के लिए,इस द्विघात समीकरण के मूल वे दो समय क्षण $t_1$ और $t_2$ हैं जिन पर वस्तु उस ऊँचाई पर होती है।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $t$ के गुणांक को ऋणात्मक चिह्न के साथ लेने पर प्राप्त होता है।
इसलिए,$t_1 + t_2 = \frac{2u}{g}$।
चूंकि यह योग केवल प्रारंभिक वेग $u$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करता है,न कि ऊँचाई $h$ पर,इसलिए किसी भी ऊँचाई $h$ के लिए समय क्षणों का योग समान रहेगा।
अतः,$t_1 + t_2 = t'_1 + t'_2$।

(D) गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ और $a = g$,हमें $S = \frac{1}{2}gt^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t = \sqrt{\frac{2S}{g}}$।
पहली ऊँचाई $h$ के लिए,लगा समय $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
पहली दो ऊँचाइयों (कुल दूरी $2h$) के लिए,लगा समय $T_2 = \sqrt{\frac{2(2h)}{g}} = \sqrt{\frac{4h}{g}}$ है। अतः,दूसरे अंतराल $h$ के लिए लगा समय $t_2 = T_2 - t_1 = \sqrt{\frac{4h}{g}} - \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2h}{g}}(\sqrt{2} - 1)$ है।
पहली तीन ऊँचाइयों (कुल दूरी $3h$) के लिए,लगा समय $T_3 = \sqrt{\frac{2(3h)}{g}} = \sqrt{\frac{6h}{g}}$ है। अतः,तीसरे अंतराल $h$ के लिए लगा समय $t_3 = T_3 - T_2 = \sqrt{\frac{6h}{g}} - \sqrt{\frac{4h}{g}} = \sqrt{\frac{2h}{g}}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ है।
अनुपात $t_1 : t_2 : t_3$ लेने पर:
$t_1 : t_2 : t_3 = \sqrt{\frac{2h}{g}} : \sqrt{\frac{2h}{g}}(\sqrt{2} - 1) : \sqrt{\frac{2h}{g}}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$t_1 : t_2 : t_3 = 1 : (\sqrt{2} - 1) : (\sqrt{3} - \sqrt{2})$।

(C) $n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कण ऊपर की ओर गति कर रहा है,गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $-g$ है।
अतः,$S_n = u - \frac{g}{2}(2n - 1)$।
दिया गया है कि $5^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी और $6^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी समान है।
कण अधिकतम ऊंचाई पर पहुंचता है और वापस आता है,इसलिए $5^{th}$ और $6^{th}$ सेकंड के बीच यह अपनी उच्चतम बिंदु पर पहुंचता है।
उच्चतम बिंदु पर पहुंचने का समय $t = u/g$ है।
समान दूरी के लिए,उच्चतम बिंदु $t = 5.5$ सेकंड पर होना चाहिए।
$u - 4.5g = -(u - 5.5g)$
$2u = 10g$
$u = 5g = 5 \times 9.8 = 49 \, m/s$।

(C) मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है। गेंद की प्रारंभिक स्थिति $y_0 = 40\,m$ है और जब यह जमीन से टकराती है तो अंतिम स्थिति $y = 0\,m$ है। विस्थापन $s = y - y_0 = 0 - 40 = -40\,m$ है।
प्रारंभिक वेग $u = +10\,m/s$ है और त्वरण $a = -g = -10\,m/s^2$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए:
$-40 = 10t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$-40 = 10t - 5t^2$
$-5$ से विभाजित करने पर:
$8 = -2t + t^2$
$t^2 - 2t - 8 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(t - 4)(t + 2) = 0$
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए हम $t = 4\,s$ लेते हैं।

(C) विराम अवस्था से गिरने वाली वस्तु के लिए,$t$ समय में तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दी जाती है।
पहले अंतराल ($t = 0$ से $t = t_0$) में तय की गई दूरी $s_1 = \frac{1}{2} g t_0^2$ है।
पहले $2 t_0$ समय में तय की गई दूरी $s_{0-2t_0} = \frac{1}{2} g (2 t_0)^2 = 4 \left( \frac{1}{2} g t_0^2 \right) = 4 s_1$ है।
अतः,दूसरे अंतराल ($t = t_0$ से $t = 2 t_0$) में तय की गई दूरी $s_2 = s_{0-2t_0} - s_1 = 4 s_1 - s_1 = 3 s_1$ है।
पहले $3 t_0$ समय में तय की गई दूरी $s_{0-3t_0} = \frac{1}{2} g (3 t_0)^2 = 9 \left( \frac{1}{2} g t_0^2 \right) = 9 s_1$ है।
अतः,तीसरे अंतराल ($t = 2 t_0$ से $t = 3 t_0$) में तय की गई दूरी $s_3 = s_{0-3t_0} - s_{0-2t_0} = 9 s_1 - 4 s_1 = 5 s_1$ है।
प्रत्येक अंतराल में तय की गई दूरियों का अनुपात $s_1 : s_2 : s_3 = s_1 : 3 s_1 : 5 s_1 = 1 : 3 : 5$ है।

(A) $n^{th}$ सेकंड में किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है:
$s_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$
दिया गया है कि पिंड विराम अवस्था से मुक्त रूप से गिर रहा है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g$ है।
$4^{th}$ सेकंड के लिए $(n = 4)$:
$s_{4} = 0 + \frac{g}{2}(2 \times 4 - 1) = \frac{g}{2}(7) = \frac{7g}{2}$
$5^{th}$ सेकंड के लिए $(n = 5)$:
$s_{5} = 0 + \frac{g}{2}(2 \times 5 - 1) = \frac{g}{2}(9) = \frac{9g}{2}$
$4^{th}$ और $5^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी का अनुपात है:
$\frac{s_{4}}{s_{5}} = \frac{7g/2}{9g/2} = \frac{7}{9}$

(D) माना बिंदु $A$ पर कण का प्रारंभिक वेग $u$ है और बिंदु $B$ पर वेग $v$ है। $A$ से $B$ तक पहुँचने में लगा समय $t_1$ है। गति के समीकरण $v = u - gt_1$ का उपयोग करने पर,हमें $v = u - gt_1$ प्राप्त होता है।
अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने के बाद,कण $B$ पर वापस आता है और फिर $A$ पर पहुँचता है। $B$ से जमीन (बिंदु $A$) तक वापस आने में लगा समय $t_2$ है। बिंदु $B$ पर वेग $v$ (ऊपर की ओर) है। जब यह नीचे आते समय फिर से $B$ पर आता है,तो वेग $-v$ (नीचे की ओर) होता है। $B$ से जमीन तक यात्रा करने में लगा समय $t_2$ है। $v = u + at$ का उपयोग करने पर,हमें $-u = v - gt_2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = gt_2 - u$।
$v$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $u - gt_1 = gt_2 - u$,जिससे $2u = g(t_1 + t_2)$ प्राप्त होता है,या $u = \frac{1}{2}g(t_1 + t_2)$।
जमीन से बिंदु $B$ की ऊँचाई $h = ut_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$ द्वारा दी जाती है।
$u$ का मान रखने पर: $h = \left[\frac{1}{2}g(t_1 + t_2)\right]t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 = \frac{1}{2}gt_1^2 + \frac{1}{2}gt_1t_2 - \frac{1}{2}gt_1^2 = \frac{1}{2}gt_1t_2$।

(D) पिंड को $v_0$ प्रारंभिक वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t_{up} = \frac{v_0}{g}$ है।
प्रश्न में $t = \frac{v_0}{g}$ समयांतराल के लिए औसत चाल पूछी गई है,जो कि अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय ही है।
अधिकतम ऊँचाई पर,विस्थापन $s$ अधिकतम ऊँचाई $H_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$ के बराबर होता है।
चूंकि इस समयांतराल के दौरान पिंड एक ही दिशा में सीधी रेखा में गति करता है,इसलिए तय की गई कुल दूरी विस्थापन के बराबर होती है।
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{H_{max}}{t} = \frac{v_0^2 / 2g}{v_0 / g} = \frac{v_0}{2}$.

(C) प्रारंभिक वेग $u = 48\, m/s$ और त्वरण $a = -g = -10\, m/s^2$ है।
अधिकतम ऊंचाई तक पहुँचने में लगा समय $t = u/g = 48/10 = 4.8\, s$ है।
$5$ वें सेकंड में तय की गई दूरी $t = 4\, s$ और $t = 5\, s$ के बीच तय की गई दूरी है।
$t = 4\, s$ पर,स्थिति $s_4 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 48(4) - 5(4)^2 = 192 - 80 = 112\, m$ है।
$t = 4.8\, s$ (अधिकतम ऊंचाई) पर,स्थिति $s_{4.8} = 48(4.8) - 5(4.8)^2 = 230.4 - 115.2 = 115.2\, m$ है।
$t = 5\, s$ पर,स्थिति $s_5 = 48(5) - 5(5)^2 = 240 - 125 = 115\, m$ है।
$5$ वें सेकंड में तय की गई दूरी $t = 4\, s$ से $t = 4.8\, s$ तक की दूरी और $t = 4.8\, s$ से $t = 5\, s$ तक की दूरी का योग है।
दूरी $= (s_{4.8} - s_4) + (s_{4.8} - s_5) = (115.2 - 112) + (115.2 - 115) = 3.2 + 0.2 = 3.4\, m$।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और वस्तु को जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $t$ है।
यहाँ,प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g = 10 \; m/s^2$ है।
कुल ऊँचाई $h = \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दी जाती है।
अंतिम दो सेकंड में तय की गई दूरी कुल ऊँचाई और $(t-2)$ सेकंड में तय की गई ऊँचाई के बीच का अंतर है।
$40 = \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-2)^2$.
$g = 10 \; m/s^2$ रखने पर:
$40 = 5 t^2 - 5 (t^2 - 4t + 4)$.
$40 = 5 t^2 - 5 t^2 + 20 t - 20$.
$40 = 20 t - 20$.
$60 = 20 t \implies t = 3 \; s$.
अब,ऊँचाई $h$ की गणना करें:
$h = \frac{1}{2} \times 10 \times (3)^2 = 5 \times 9 = 45 \; m$.

(A) मान लीजिए कि वस्तु ऊपरी बिंदु पर $t$ समय पर और निचले बिंदु पर $(t+1) \ s$ समय पर पहुँचती है।
विराम अवस्था से मुक्त पतन के लिए गति के समीकरण $S = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर:
$(t+1)$ समय में तय की गई दूरी $S_2 = \frac{1}{2}g(t+1)^2$ है।
$t$ समय में तय की गई दूरी $S_1 = \frac{1}{2}gt^2$ है।
दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी $S_2 - S_1 = 30 \ m$ है।
$30 = \frac{1}{2}g(t+1)^2 - \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}g(2t+1)$।
$g = 10 \ m \ s^{-2}$ रखने पर:
$30 = 5(2t+1) \implies 6 = 2t + 1 \implies 2t = 5 \implies t = 2.5 \ s$।
प्रारंभिक बिंदु से ऊपरी बिंदु तक की दूरी $S_1 = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (2.5)^2 = 5 \times 6.25 = 31.25 \ m$ है।

(A) माना कि पहला पत्थर टॉवर के शीर्ष से नीचे गिरता है। $t$ समय में इसके द्वारा तय की गई दूरी $S_1 = \frac{1}{2} g t^2$ है।
माना कि दूसरा पत्थर जमीन से ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। $t$ समय में इसके द्वारा तय की गई दूरी $S_2 = u t - \frac{1}{2} g t^2$ है,जहाँ $u = 25 \ m/s$ है।
चूँकि टॉवर की कुल ऊँचाई $100 \ m$ है,इसलिए जब पत्थर मिलते हैं,तो उनके द्वारा तय की गई दूरियों का योग टॉवर की ऊँचाई के बराबर होना चाहिए:
$S_1 + S_2 = 100$
$S_1$ और $S_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} g t^2 + (u t - \frac{1}{2} g t^2) = 100$
$u t = 100$
$25 t = 100$
$t = \frac{100}{25} = 4 \ s$.
अतः,दोनों पत्थर $4 \ s$ के बाद मिलेंगे।

(D) चरण $1$: गुरुत्वाकर्षण के तहत $20\,m$ गिरने के बाद पैराशूटिस्ट का वेग $(g = 10\,m/s^2)$ ज्ञात करें।
$v^2 = u^2 + 2as$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$,$a = 10\,m/s^2$,और $s = 20\,m$:
$v^2 = 0 + 2 \times 10 \times 20 = 400$
$v = 20\,m/s$.
चरण $2$: पैराशूट खुलने के बाद की गति पर विचार करें।
इस चरण के लिए प्रारंभिक वेग $u' = 20\,m/s$,अंतिम वेग $v' = 4\,m/s$,और मंदन $a' = -2\,m/s^2$ है।
$v'^2 = u'^2 + 2a'h$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $h$ पैराशूट खुलने के बाद तय की गई दूरी है:
$4^2 = 20^2 + 2(-2)h$
$16 = 400 - 4h$
$4h = 400 - 16 = 384$
$h = 96\,m$.
चरण $3$: कुल ऊँचाई $H$ की गणना करें।
$H = 20\,m + 96\,m = 116\,m$.

(A) $u$ प्रारंभिक वेग के साथ लंबवत ऊपर फेंकी गई वस्तु द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2}{2g}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $H \propto u^2$ है।
मान लीजिए कि नया वेग $u'$ है जिसके लिए अधिकतम ऊँचाई $H' = 2H$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{H'}{H} = \frac{(u')^2}{u^2}.$
$H' = 2H$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\frac{2H}{H} = \frac{(u')^2}{u^2}.$
$2 = \frac{(u')^2}{u^2} \implies (u')^2 = 2u^2.$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $u' = \sqrt{2}u$ प्राप्त होता है।

(D) प्रारंभिक वेग $u = 48\, ft/s$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 32\, ft/s^2$ (नीचे की ओर कार्य कर रहा है)।
अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2gh$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $h$ प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर तय की गई ऊँचाई है:
$0^2 = (48)^2 - 2(32)h$
$0 = 2304 - 64h$
$64h = 2304$
$h = \frac{2304}{64} = 36\, ft$।
जमीन से कुल ऊँचाई टॉवर की ऊँचाई और टॉवर के ऊपर तय की गई ऊँचाई का योग है:
$H_{max} = 64\, ft + 36\, ft = 100\, ft$।

(A) गेंद का संवेग $p = mv$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
गुरुत्वाकर्षण के तहत गति के लिए,वेग $v$ और ऊंचाई $h$ के बीच का संबंध $v^2 = u^2 - 2gh$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है।
समीकरण में $v = p/m$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(p/m)^2 = u^2 - 2gh$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $p^2 = m^2u^2 - 2gm^2h$ प्राप्त होता है,जिसे $p^2 = -2gm^2h + m^2u^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $p^2 = -Ah + B$ के रूप का एक परवलय समीकरण है,जहाँ $A = 2gm^2$ और $B = m^2u^2$ है।
जैसे-जैसे गेंद ऊपर जाती है,$h$ का मान $0$ से $H_{max}$ तक बढ़ता है और $p$ का मान $mu$ से $0$ तक घटता है। जैसे ही यह वापस नीचे आती है,$h$ का मान $H_{max}$ से $0$ तक घटता है और $p$ ऋणात्मक हो जाता है तथा इसका परिमाण $0$ से $-mu$ तक बढ़ता है।
सही ग्राफ ऋणात्मक $h$-अक्ष की ओर खुलने वाला एक परवलय है,जो $p = mu$ (धनात्मक) से शुरू होता है,$h=H_{max}$ पर $p=0$ से गुजरता है और $h=0$ पर $p = -mu$ (ऋणात्मक) पर समाप्त होता है।

(B) जब गेंद ऊपर की ओर गति करती है,तो गुरुत्वाकर्षण और ड्रैग बल दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं। गति का समीकरण: $m \frac{dv}{dt} = -mg - m\gamma v^2$.
$m$ से विभाजित करने पर: $\frac{dv}{dt} = -(g + \gamma v^2)$.
समाकलन के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $dt = -\frac{dv}{g + \gamma v^2} = -\frac{1}{\gamma} \frac{dv}{(g/\gamma) + v^2}$.
$t=0$ से $T$ और $v=V_0$ से $0$ तक समाकलन करने पर: $\int_0^T dt = -\frac{1}{\gamma} \int_{V_0}^0 \frac{dv}{(g/\gamma) + v^2}$.
मान लीजिए $a^2 = g/\gamma$,तब $\int \frac{dv}{a^2 + v^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{v}{a})$.
$T = \frac{1}{\gamma} \int_0^{V_0} \frac{dv}{(g/\gamma) + v^2} = \frac{1}{\gamma} [\frac{1}{\sqrt{g/\gamma}} \tan^{-1}(\frac{v}{\sqrt{g/\gamma}})]_0^{V_0}$.
$T = \frac{1}{\sqrt{\gamma g}} \tan^{-1} (V_0 \sqrt{\frac{\gamma}{g}})$.

(C) माना प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। $h$ ऊँचाई गिरने के बाद,वेग $v$ है। गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करने पर,हमें $v^2 = 2gh$ प्राप्त होता है।
माना पिंड अतिरिक्त $x$ दूरी तय करता है ताकि उसका वेग $2v$ हो जाए।
कुल दूरी $(h + x)$ के लिए उसी समीकरण का उपयोग करने पर,हमें $(2v)^2 = 0 + 2g(h + x)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $4v^2 = 2g(h + x)$ मिलता है।
समीकरण में $v^2 = 2gh$ रखने पर,हमें $4(2gh) = 2g(h + x)$ प्राप्त होता है।
$8gh = 2gh + 2gx$.
$6gh = 2gx$,जिससे $x = 3h$ प्राप्त होता है।
अतः,अतिरिक्त दूरी $3h$ है।

(B) माना जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $t$ सेकंड है। प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g = 10 \, m/s^2$ है।
पहले सेकंड $(t=1)$ में तय की गई दूरी:
$x = u(1) + \frac{1}{2}g(1)^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times 1 = 5 \, m$.
अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी $7x$ दी गई है। अतः,अंतिम सेकंड में दूरी $7 \times 5 = 35 \, m$ है।
$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
मान रखने पर:
$35 = 0 + \frac{10}{2}(2t - 1)$
$35 = 5(2t - 1)$
$7 = 2t - 1$
$2t = 8$
$t = 4 \, s$.
अतः,वस्तु को जमीन तक पहुँचने में $4 \, s$ का समय लगता है।

(C) मान लीजिए कि खिड़की का ऊपरी सिरा पत्थर के शुरुआती बिंदु से $h_1 = 40\,cm$ की दूरी पर है।
मान लीजिए कि खिड़की का निचला सिरा पत्थर के शुरुआती बिंदु से $h_2 = 40\,cm + 50\,cm = 90\,cm$ की दूरी पर है।
खिड़की के ऊपरी सिरे तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 40}{980}} = \sqrt{\frac{80}{980}} = \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7}\,s$ है।
खिड़की के निचले सिरे तक पहुँचने में लगा समय $t_2 = \sqrt{\frac{2h_2}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 90}{980}} = \sqrt{\frac{180}{980}} = \sqrt{\frac{9}{49}} = \frac{3}{7}\,s$ है।
खिड़की को पार करने में लगा समय $\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{3}{7} - \frac{2}{7} = \frac{1}{7}\,s$ है।

(C) अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,अंतिम वेग $0$ होता है। $v = u - gt$ का उपयोग करने पर,$0 = u - gt$,अतः $u = gt$। अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय $t = \frac{u}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $h = \frac{u^2}{2g} = \frac{(gt)^2}{2g} = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
अब,$t' = \frac{t}{2}$ समय में तय की गई ऊँचाई $h'$ की गणना गति के समीकरण $s = ut - \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करके करते हैं:
$h' = u(\frac{t}{2}) - \frac{1}{2}g(\frac{t}{2})^2$
$u = gt$ रखने पर:
$h' = (gt)(\frac{t}{2}) - \frac{1}{2}g(\frac{t^2}{4})$
$h' = \frac{gt^2}{2} - \frac{gt^2}{8}$
$h' = \frac{4gt^2 - gt^2}{8} = \frac{3gt^2}{8}$
चूँकि $h = \frac{1}{2}gt^2$,इसलिए $gt^2 = 2h$।
इस मान को $h'$ के व्यंजक में रखने पर:
$h' = \frac{3(2h)}{8} = \frac{3h}{4}$.

(B) जब खाद्य पैकेट को हेलीकॉप्टर से गिराया जाता है,तो उसका प्रारंभिक वेग हेलीकॉप्टर के वेग के समान होता है,जो $u = +4 \, ms^{-1}$ है (ऊपर की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
गिराए जाने के बाद पैकेट का त्वरण गुरुत्वाकर्षण के कारण होता है,इसलिए $a = -g = -9.8 \, ms^{-2}$।
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$v = 4 + (-9.8 \times 3)$
$v = 4 - 29.4$
$v = -25.4 \, ms^{-1}$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि वेग नीचे की दिशा में है। वेग का परिमाण $25.4 \, ms^{-1}$ है।

(B) माना पहले $1 \ m$ गिरने में लगा समय $t_1$ है और पहले $2 \ m$ गिरने में लगा समय $t$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ और $a = g$:
पहले $1 \ m$ के लिए: $1 = \frac{1}{2} g t_1^2 \implies t_1 = \sqrt{\frac{2}{g}}$.
पहले $2 \ m$ के लिए: $2 = \frac{1}{2} g t^2 \implies t = \sqrt{\frac{4}{g}}$.
दूसरे मीटर को तय करने में लगा समय $t_2 = t - t_1 = \sqrt{\frac{4}{g}} - \sqrt{\frac{2}{g}}$ है।
पहले मीटर और दूसरे मीटर के लिए लगे समय का अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2/g}}{\sqrt{4/g} - \sqrt{2/g}}$ है।
इसे सरल करने पर: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2} = \sqrt{2} + 1$.

(D) कुल उड़ान का समय $T = 4 \, s$ है। चूंकि गति सममित है,इसलिए अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगा समय $t = \frac{T}{2} = \frac{4}{2} = 2 \, s$ है।
अधिकतम ऊंचाई पर,अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$ होता है।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए: $v = u - gt$,जहां $g = 10 \, m/s^2$ है।
$0 = u - (10 \times 2)$
$u = 20 \, m/s$.
वैकल्पिक रूप से,उड़ान के समय के सूत्र का उपयोग करते हुए: $T = \frac{2u}{g} \Rightarrow u = \frac{gT}{2} = \frac{10 \times 4}{2} = 20 \, m/s$.

(B) मान लीजिए बिंदु की ऊँचाई $h$ है। गति के समीकरण $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $h = ut_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$ है।
मान लीजिए कि वापसी यात्रा के दौरान उसी बिंदु तक पहुँचने में लगा कुल समय $t_2$ है। तब $h = ut_2 - \frac{1}{2}gt_2^2$ होगा।
$h$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $ut_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 = ut_2 - \frac{1}{2}gt_2^2$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $u(t_1 - t_2) = \frac{1}{2}g(t_1^2 - t_2^2) = \frac{1}{2}g(t_1 - t_2)(t_1 + t_2)$।
चूँकि $t_1 \neq t_2$,हम $(t_1 - t_2)$ से विभाजित कर सकते हैं जिससे $u = \frac{1}{2}g(t_1 + t_2)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t_1 + t_2 = \frac{2u}{g}$।
दो बार गुजरने के बीच का समय अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1$ है।
$t_2 = \frac{2u}{g} - t_1$ से,हमें $\Delta t = \left(\frac{2u}{g} - t_1\right) - t_1 = \frac{2u}{g} - 2t_1 = 2\left(\frac{u}{g} - t_1\right)$ प्राप्त होता है।

(B) $n^{\text{th}}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
ऊर्ध्वगामी गति के लिए,$a = -g$ है।
$5^{\text{th}}$ सेकंड में दूरी: $S_5 = u - \frac{g}{2}(2 \times 5 - 1) = u - 4.5g$.
$6^{\text{th}}$ सेकंड में दूरी: $S_6 = u - \frac{g}{2}(2 \times 6 - 1) = u - 5.5g$.
चूंकि तय की गई दूरियाँ समान हैं,हम उनके परिमाणों की तुलना करते हैं: $|u - 4.5g| = |u - 5.5g|$.
इसका अर्थ है कि वस्तु $5^{\text{th}}$ और $6^{\text{th}}$ सेकंड के बीच अपनी अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचती है,जिसका अर्थ है कि वह दिशा बदलती है। $5^{\text{th}}$ सेकंड में तय की गई दूरी ऊपर की ओर है और $6^{\text{th}}$ सेकंड में नीचे की ओर है।
अतः,$u - 4.5g = -(u - 5.5g)$.
$u - 4.5g = -u + 5.5g$.
$2u = 10g$.
$u = 5g = 5 \times 9.8 = 49 \, m/s$.

(A) जब $m$ द्रव्यमान की एक वस्तु को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो जमीन से टकराने से ठीक पहले उसका वेग $v$,गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि इसे गिराया गया है,प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,इसलिए $v = \sqrt{2gh}$।
वस्तु का संवेग $p$,$p = mv$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ का मान रखने पर,हमें $p = m\sqrt{2gh}$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान $m$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर,हमें $m = \frac{p}{\sqrt{2gh}}$ प्राप्त होता है।

(C) पुल और नदी के बीच की दूरी $S = 122.5\, m$ है।
पहली गेंद के लिए,नदी तक पहुँचने में लगा समय $S = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:
$122.5 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{122.5 \times 2}{9.8} = 25$
$t = 5\, s$.
चूंकि दूसरी गेंद पहली गेंद के $2\, s$ बाद फेंकी जाती है,इसलिए इसे पानी तक पहुँचने के लिए $(5 - 2) = 3\, s$ का समय मिलता है।
दूसरी गेंद के लिए,$S = 122.5\, m$ और $t = 3\, s$ के साथ $S = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर:
$122.5 = u(3) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3)^2$
$122.5 = 3u + 44.1$
$3u = 122.5 - 44.1 = 78.4$
$u = \frac{78.4}{3} \approx 26.13\, m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,प्रारंभिक वेग $26.1\, m/s$ है।

(C) मान लीजिए कि दो पिंडों की प्रारंभिक स्थिति $y_1 = 9.8\,m$ और $y_2 = 0\,m$ है।
दोनों पिंडों को एक साथ छोड़ा जाता है,इसलिए उनका प्रारंभिक वेग $u = 0\,m/s$ और त्वरण $a = g$ (नीचे की ओर) है।
समय $t$ पर पहले पिंड की स्थिति $y_1(t) = 9.8 + 0(t) + \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
समय $t$ पर दूसरे पिंड की स्थिति $y_2(t) = 0 + 0(t) + \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
उनके बीच की सापेक्ष दूरी $|y_1(t) - y_2(t)| = |(9.8 + \frac{1}{2}gt^2) - (\frac{1}{2}gt^2)| = 9.8\,m$ है।
चूंकि दोनों पिंड समान गुरुत्वीय त्वरण का अनुभव करते हैं,इसलिए उनका सापेक्ष वेग और सापेक्ष त्वरण दोनों शून्य हैं।
अतः,समय चाहे कितना भी बीत जाए,उनके बीच की दूरी $9.8\,m$ स्थिर रहती है।

(D) पहले $2 \, s$ में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $h_1 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 2^2 = 20 \, m$ है।
$2 \, s$ के बाद,वस्तु को रोक दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि उस क्षण पर उसका वेग $0 \, m/s$ हो जाता है।
इसके बाद इसे फिर से मुक्त किया जाता है,इसलिए अगले $2 \, s$ के लिए,यह विराम अवस्था से शुरू होती है जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$ है।
अगले $2 \, s$ में तय की गई दूरी $h_2 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 2^2 = 20 \, m$ है।
शीर्ष से तय की गई कुल दूरी $h_1 + h_2 = 20 + 20 = 40 \, m$ है।
अतः,जमीन से वस्तु की ऊँचाई $H - 40 \, m$ होगी।

(A) मान लीजिए कि कुल उड़ान का समय $T = t_1 + t_2$ है। कुल उड़ान का समय $T = 2u/g$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $u = g(t_1 + t_2)/2$ है।
$t_1$ समय पर ऊंचाई $h$ गति के समीकरण द्वारा दी जाती है: $h = ut_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$।
समीकरण में $u = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h = \left[ \frac{g(t_1 + t_2)}{2} \right] t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$
व्यंजक को सरल करने पर:
$h = \frac{gt_1^2}{2} + \frac{gt_1t_2}{2} - \frac{gt_1^2}{2}$
$h = \frac{gt_1t_2}{2}$
अतः,$t_1t_2 = \frac{2h}{g}$।

(A) मान लीजिए कि पत्थर को तालाब की सतह तक पहुँचने में लगा समय $t_{1}$ है।
गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^{2}$ का उपयोग करते हुए:
चूँकि पत्थर को गिराया गया है,प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
इसलिए,$h = \frac{1}{2}gt_{1}^{2}$।
$t_{1}$ के लिए हल करने पर,हमें $t_{1} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
अब,छपछपाहट की ध्वनि को तालाब की सतह से टॉवर के शीर्ष तक पहुँचने में लगा समय $t_{2} = \frac{h}{v}$ है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
कुल समय $t$ जिसके बाद ध्वनि सुनाई देती है,वह पत्थर के गिरने में लगे समय और ध्वनि के वापस ऊपर आने में लगे समय का योग है:
$t = t_{1} + t_{2} = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{v}$।

(C) अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t_0 = \frac{v_0}{g}$ है।
चूंकि दिया गया समय $t = \frac{1.5 v_0}{g}$,$t_0$ से अधिक है,इसलिए पत्थर अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचकर वापस नीचे गिरता है।
तय की गई कुल दूरी अधिकतम ऊँचाई तक की दूरी और वहाँ से नीचे गिरने की दूरी का योग है।
अधिकतम ऊँचाई $h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$ है।
वापस गिरने में लगा समय $t' = t - t_0 = \frac{1.5 v_0}{g} - \frac{v_0}{g} = \frac{0.5 v_0}{g} = \frac{v_0}{2g}$ है।
$t'$ समय में तय की गई दूरी $d' = \frac{1}{2} g (t')^2 = \frac{1}{2} g \left(\frac{v_0}{2g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{8g}$ है।
कुल दूरी = $h_{max} + d' = \frac{v_0^2}{2g} + \frac{v_0^2}{8g} = \frac{4v_0^2 + v_0^2}{8g} = \frac{5 v_0^2}{8g}$।