Motion Under Gravity Questions in Hindi

(A) सही कथन $(A)$ है।
जब किसी वस्तु को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो उसके प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर उसका वेग $0 \ m/s$ हो जाता है।
हालाँकि,वस्तु पर कार्य करने वाला गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$ नीचे की ओर बना रहता है।
इसलिए,शून्य वेग वाली वस्तु का त्वरण शून्य हो,यह आवश्यक नहीं है।

(B) $1$. नीचे गिरते समय,टेनिस की गेंद नीचे की ओर गति करती है,इसलिए इसका विस्थापन और वेग नीचे की दिशा में होते हैं।
$2$. जमीन से टकराने और वापस उछलने पर,गेंद ऊपर की ओर गति करती है,इसलिए विस्थापन और वेग दोनों की दिशा बदलकर ऊपर की ओर हो जाती है।
$3$. पूरी गति के दौरान (गिरते और ऊपर उठते समय),गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ हमेशा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$4$. इसलिए,केवल विस्थापन और वेग की दिशा बदलती है,जबकि त्वरण की दिशा स्थिर रहती है।

(C) दिया गया है: गुब्बारे (और इसलिए पत्थर) का प्रारंभिक वेग $u = 12 \, m/s$ (नीचे की ओर)।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$ (नीचे की ओर)।
समय $t = 10 \, s$.
चूंकि पत्थर नीचे उतर रहे गुब्बारे से छोड़ा जाता है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग गति की दिशा (नीचे की ओर) में होता है।
नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर,विस्थापन $s$ के लिए गति का समीकरण:
$s = ut + \frac{1}{2}gt^2$
मान रखने पर:
$s = (12 \, m/s)(10 \, s) + \frac{1}{2}(9.8 \, m/s^2)(10 \, s)^2$
$s = 120 + 0.5 \times 9.8 \times 100$
$s = 120 + 490$
$s = 610 \, m$.
अतः,$10 \, s$ के बाद पत्थर का विस्थापन $610 \, m$ है।

(B) फर्श से टकराते समय गेंद का वेग $(u_1)$:
$u_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = \sqrt{196} = 14 \, m/s$ (नीचे की ओर)।
नीचे की दिशा को ऋणात्मक लेने पर,$u_1 = -14 \, m/s$।
उछलते समय गेंद का वेग $(v_1)$:
$v_1 = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 2.5} = \sqrt{49} = 7 \, m/s$ (ऊपर की ओर)।
ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर,$v_1 = +7 \, m/s$।
वेग में परिवर्तन $\Delta v = v_1 - u_1 = 7 - (-14) = 21 \, m/s$।
औसत त्वरण $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{21}{0.01} = 2100 \, m/s^2$।
चूँकि वेग में परिवर्तन धनात्मक है,इसलिए त्वरण ऊपर की दिशा में होगा।

(D) माना कि पिंड $A$ के प्रक्षेपित होने के बाद का समय $t$ है। पिंड $A$ का विस्थापन $h_A = ut - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पिंड $B$ को $4 \, s$ बाद प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए उसका उड़ान का समय $(t-4) \, s$ है। उसका विस्थापन $h_B = u(t-4) - \frac{1}{2}g(t-4)^2$ है।
जब पिंड मिलते हैं,तो $h_A = h_B$.
$98t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 = 98(t-4) - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (t-4)^2$.
$98t - 4.9t^2 = 98t - 392 - 4.9(t^2 - 8t + 16)$.
$98t - 4.9t^2 = 98t - 392 - 4.9t^2 + 39.2t - 78.4$.
$0 = -392 + 39.2t - 78.4$.
$39.2t = 470.4$.
$t = \frac{470.4}{39.2} = 12 \, s$.

(C) विराम अवस्था से गिराई गई वस्तु के लिए,$t$ समय में तय की गई दूरी $h$ गति के समीकरण द्वारा दी जाती है: $h = \frac{1}{2}gt^2$.
समय $t$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
पहली वस्तु के लिए जो $a$ ऊंचाई से गिराई जाती है,लिया गया समय $t_a = \sqrt{\frac{2a}{g}}$ है।
दूसरी वस्तु के लिए जो $b$ ऊंचाई से गिराई जाती है,लिया गया समय $t_b = \sqrt{\frac{2b}{g}}$ है।
लिए गए समय का अनुपात $\frac{t_a}{t_b} = \frac{\sqrt{2a/g}}{\sqrt{2b/g}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ है।
अतः,अनुपात $\sqrt{a} : \sqrt{b}$ है।

(B) माना गति का कुल समय $n$ सेकंड है।
पहले $3$ सेकंड में तय की गई दूरी $s_3 = \frac{1}{2} g (3)^2 = 4.5g$ द्वारा दी जाती है।
गति के अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी $s_{last} = u + \frac{g}{2} (2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि वस्तु विरामावस्था से गिरती है,$u = 0$,इसलिए $s_{last} = \frac{g}{2} (2n - 1)$।
प्रश्न के अनुसार,$s_{last} = s_3$।
इसलिए,$\frac{g}{2} (2n - 1) = \frac{1}{2} g (3)^2$।
दोनों पक्षों से $\frac{g}{2}$ को हटाने पर,हमें $2n - 1 = 9$ प्राप्त होता है।
$2n = 10$,जिससे $n = 5 \; s$ प्राप्त होता है।

(A) माना पहले पत्थर को पानी की सतह तक पहुँचने में लगा समय $t$ है। गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ (गिराया गया),$h = 44.1 \ m$,और $g = 9.8 \ m/s^2$ है:
$44.1 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{44.1 \times 2}{9.8} = 9$
$t = 3 \ s$
चूंकि दूसरा पत्थर $1 \ s$ बाद फेंका जाता है और दोनों एक साथ पानी से टकराते हैं,इसलिए दूसरे पत्थर द्वारा लिया गया समय $t' = 3 - 1 = 2 \ s$ है।
दूसरे पत्थर के लिए समीकरण $h = u't' + \frac{1}{2}g(t')^2$ का उपयोग करते हुए:
$44.1 = u' \times 2 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2)^2$
$44.1 = 2u' + 19.6$
$2u' = 44.1 - 19.6 = 24.5$
$u' = 12.25 \ m/s$.

(B) मान लीजिए पिंड का प्रारंभिक वेग $u$ है और वायु प्रतिरोध के कारण त्वरण $a$ है।
ऊपर की गति के दौरान,गुरुत्वाकर्षण $(g)$ और वायु प्रतिरोध $(a)$ दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं। शुद्ध त्वरण $(g + a)$ है। ऊपर उठने का समय $t_1 = \frac{u}{g + a}$ द्वारा दिया जाता है।
प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2}{2(g + a)}$ है।
नीचे की गति के दौरान,गुरुत्वाकर्षण नीचे की ओर कार्य करता है जबकि वायु प्रतिरोध ऊपर की ओर कार्य करता है। शुद्ध त्वरण $(g - a)$ है। गिरने का समय $t_2$,$H = \frac{1}{2}(g - a)t_2^2$ द्वारा दिया जाता है।
$H$ का मान रखने पर,$\frac{1}{2}(g - a)t_2^2 = \frac{u^2}{2(g + a)}$,जो सरल होकर $t_2 = \frac{u}{\sqrt{(g + a)(g - a)}}$ हो जाता है।
$t_1$ और $t_2$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $t_2 = t_1 \sqrt{\frac{g + a}{g - a}}$। चूंकि $\sqrt{\frac{g + a}{g - a}} > 1$,इसलिए $t_2 > t_1$। अतः,ऊपर उठने का समय गिरने के समय से कम होता है।

(D) मान लीजिए कि पहला पिंड $t = 0$ पर छोड़ा जाता है। $t$ सेकंड के बाद उसकी स्थिति $y_1 = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
दूसरा पिंड $t = 1 \; s$ पर छोड़ा जाता है। $t$ सेकंड के बाद उसकी स्थिति (जहाँ $t > 1$) $y_2 = \frac{1}{2}g(t - 1)^2$ द्वारा दी जाती है।
हमें दूसरे पिंड के छोड़े जाने के $2 \; s$ बाद उनके बीच की दूरी ज्ञात करनी है। यह पहले पिंड के छोड़े जाने के कुल $t = 1 + 2 = 3 \; s$ समय के बराबर है।
$t = 3 \; s$ पर पहले पिंड की स्थिति: $y_1 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3)^2 = 4.9 \times 9 = 44.1 \; m$.
$t = 3 \; s$ पर दूसरे पिंड की स्थिति (जो उसके छोड़े जाने के $2 \; s$ बाद है): $y_2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2)^2 = 4.9 \times 4 = 19.6 \; m$.
दोनों पिंडों के बीच की दूरी: $\Delta y = y_1 - y_2 = 44.1 - 19.6 = 24.5 \; m$.

(B) जब किसी वस्तु को $u$ प्रारंभिक वेग के साथ लंबवत ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,तो उसका उड्डयन काल (time of flight) $T$ ज्ञात करने का सूत्र $T = \frac{2u}{g}$ है।
यहाँ,प्रारंभिक वेग $u = 100 \, m/s$ और गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 10 \, m/s^2$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$T = \frac{2 \times 100}{10} = \frac{200}{10} = 20 \, sec$.
अतः,वस्तु $20 \, sec$ बाद जमीन से टकराएगी।

(A) दिया गया है कि पत्थर को मीनार की चोटी से गिराया जाता है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$ है।
जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = 4 \, s$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर।
ऊर्ध्वाधर दूरी $h$ के लिए गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करने पर:
$h = ut + \frac{1}{2}gt^2$
मान रखने पर:
$h = 0 \times 4 + \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2$
$h = 0 + 5 \times 16$
$h = 80 \, m$.
अतः,मीनार की ऊँचाई $80 \, m$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रारंभिक स्थिति टावर का शीर्ष $(y = h)$ है और जमीन $y = 0$ पर है। वस्तु को छोड़ा गया है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,कुल ऊँचाई $h = \frac{1}{2}gt^2$ है ... $(i)$
$t/2$ समय के बाद,शीर्ष से तय की गई दूरी $x = \frac{1}{2}g(t/2)^2 = \frac{1}{2}g(t^2/4) = \frac{1}{8}gt^2$ है ... (ii)
समीकरण $(i)$ से,हम जानते हैं कि $\frac{1}{2}gt^2 = h$,इसलिए इस मान को समीकरण (ii) में रखने पर,हमें $x = h/4$ प्राप्त होता है।
यह $x$ टावर के शीर्ष से दूरी को दर्शाता है।
अतः,जमीन से ऊँचाई $h - x = h - h/4 = 3h/4$ होगी।

(A) गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत गति करने वाले कण के लिए गति का समीकरण $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ है।
यहाँ,$u = 80 \; ft/sec$,$h = 96 \; ft$,और $g = 32 \; ft/sec^2$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$96 = 80t - \frac{1}{2}(32)t^2$
$96 = 80t - 16t^2$
पूरे समीकरण को $16$ से विभाजित करने पर:
$6 = 5t - t^2$
इसे मानक द्विघात रूप में व्यवस्थित करने पर:
$t^2 - 5t + 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(t - 2)(t - 3) = 0$
अतः,$t = 2 \; sec$ या $t = 3 \; sec$ है।
कण ऊपर जाते समय $2 \; sec$ पर और नीचे आते समय $3 \; sec$ पर $96 \; ft$ की ऊंचाई प्राप्त करता है।

(B) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से गिरता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0 \ ft/sec$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 32 \ ft/sec^2$ है।
बीता हुआ समय $t = 1 \ sec$ है।
गुरुत्वाकर्षण के अधीन गिरते हुए पिंड के लिए गति के पहले समीकरण का उपयोग करने पर:
$v = u + gt$
मान रखने पर:
$v = 0 + (32 \ ft/sec^2) \times (1 \ sec)$
$v = 32 \ ft/sec$.
अतः,पहली सेकंड के अंत में वेग $32 \ ft/sec$ है।

(B) मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है और नीचे की दिशा ऋणात्मक है।
प्रारंभिक वेग $u_i = +u$ है।
जमीन पर पहुँचने पर अंतिम वेग $v_f = -3u$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $a = -g$ है।
मान लीजिए मीनार की ऊँचाई $h$ है। विस्थापन $s = -h$ है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v_f^2 = u_i^2 + 2as$।
मान रखने पर: $(-3u)^2 = (u)^2 + 2(-g)(-h)$।
$9u^2 = u^2 + 2gh$।
$8u^2 = 2gh$।
$h = 4u^2/g$।

(C) जब किसी वस्तु को गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो उसकी गति $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ समीकरण द्वारा निर्धारित होती है। प्रारंभिक वेग $u = 0$ होने के कारण,समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ हो जाता है। समय $t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है। चूँकि उड़ान का समय $t$ केवल ऊँचाई $h$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करता है और वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र है,इसलिए दोनों पत्थर एक साथ जमीन पर पहुँचेंगे।

(B) वस्तु को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है और वह वापस जमीन पर आती है। कुल उड्डयन काल (Time of flight) $T$ का सूत्र $T = \frac{2u}{g}$ है।
यहाँ प्रारंभिक गति $u = 96\,ft/\sec$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 32\,ft/\sec^2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $T = \frac{2 \times 96}{32} = \frac{192}{32} = 6\,sec$.
अतः,वस्तु $6\,sec$ बाद जमीन पर पहुँचेगी।

(C) मान लीजिए कुल ऊँचाई $H$ है। पत्थर को विरामावस्था से गिराया जाता है,इसलिए $u = 0$ है।
गति के समीकरण $H = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करते हुए,$t = 5\, s$ के लिए,हमें $H = \frac{1}{2}g(5)^2 = \frac{25}{2}g$ प्राप्त होता है।
पहले $3\, s$ में तय की गई दूरी $h_1 = \frac{1}{2}g(3)^2 = \frac{9}{2}g$ है।
शेष दूरी $h_2 = H - h_1 = \frac{25}{2}g - \frac{9}{2}g = \frac{16}{2}g = 8g$ है।
जब पत्थर को $3\, s$ बाद रोक दिया जाता है,तो उस क्षण उसका वेग $v = gt = 3g$ होता है। हालाँकि,इसे फिर से विरामावस्था से गिरने दिया जाता है (क्योंकि इसे रोक दिया गया था),इसलिए शेष दूरी $h_2$ के लिए,प्रारंभिक वेग $u' = 0$ है।
$h_2 = \frac{1}{2}gt'^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t'$ शेष दूरी तय करने में लगा समय है:
$8g = \frac{1}{2}gt'^2$
$16 = t'^2$
$t' = 4\, s$।

(A) $1$. $t = 2\,s$ में गुब्बारे द्वारा तय की गई ऊँचाई:
$h_1 = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times 4.9 \times (2)^2 = 9.8\,m$.
$2$. $t = 2\,s$ पर गुब्बारे का वेग:
$v = a t = 4.9 \times 2 = 9.8\,m/s$.
$3$. जब गेंद छोड़ी जाती है,तो उसका प्रारंभिक वेग $u = 9.8\,m/s$ होता है। यह गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति करती है जब तक कि अधिकतम ऊँचाई $h_2$ पर इसका वेग शून्य न हो जाए:
$v^2 = u^2 - 2 g h_2 \implies 0 = (9.8)^2 - 2 \times 9.8 \times h_2 \implies h_2 = \frac{9.8}{2} = 4.9\,m$.
$4$. जमीन से अधिकतम ऊँचाई,छोड़ने के समय की ऊँचाई और गेंद द्वारा प्राप्त अतिरिक्त ऊँचाई का योग है:
$H = h_1 + h_2 = 9.8 + 4.9 = 14.7\,m$.

(B) माना $h$ ऊँचाई से गिरने में लगा कुल समय $n$ सेकंड है।
विरामावस्था से तय की गई दूरी के लिए गति का समीकरण: $h = \frac{1}{2}gn^2$ ... $(i)$
अंतिम सेकंड ($n^{th}$ सेकंड) में तय की गई दूरी $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,$S_n = \frac{9h}{25}$ है।
इस व्यंजक में $(i)$ से $h$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{9}{25} \left( \frac{1}{2}gn^2 \right) = \frac{g}{2}(2n - 1)$
$\frac{9n^2}{25} = 2n - 1$
$9n^2 = 50n - 25$
$9n^2 - 50n + 25 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $9n^2 - 45n - 5n + 25 = 0$
$9n(n - 5) - 5(n - 5) = 0$
$(9n - 5)(n - 5) = 0$
चूंकि अंतिम सेकंड के अस्तित्व के लिए $n$ का मान $1$ सेकंड से अधिक होना चाहिए,इसलिए हम $n = 5 \ s$ लेते हैं।
अब,समीकरण $(i)$ में $n = 5$ रखने पर:
$h = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (5)^2$
$h = 4.9 \times 25 = 122.5 \ m$.

(C) जब वस्तु को ऊपर जाते हुए गुब्बारे से गिराया जाता है,तो वह गुब्बारे के समान ही प्रारंभिक वेग प्राप्त कर लेती है।
प्रारंभिक वेग $u = +12\, m/s$ (ऊपर की ओर)।
विस्थापन $s = -81\, m$ (छोड़ने के बिंदु से जमीन तक नीचे की ओर)।
त्वरण $a = g = -10\, m/s^2$।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$-81 = 12t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$-81 = 12t - 5t^2$
$5t^2 - 12t - 81 = 0$
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(5)(-81)}}{2(5)}$
$t = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 1620}}{10}$
$t = \frac{12 \pm \sqrt{1764}}{10}$
$t = \frac{12 \pm 42}{10}$
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए हम $t = \frac{12 + 42}{10} = \frac{54}{10} = 5.4\, s$ लेते हैं।

(B) मान लीजिए कि लगातार बूंदों के बीच का समय अंतराल $\Delta t$ है।
जब पहली बूंद जमीन पर पहुँचती है,तो कुल समय $t = 2\Delta t$ बीत चुका होता है (क्योंकि तीसरी बूंद निकल रही है,जिसका अर्थ है कि दो अंतराल बीत चुके हैं)।
गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करते हुए,पहली बूंद के लिए: $5 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$,जिससे $t^2 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $t = 1\,s$।
चूंकि $t = 2\Delta t$,इसलिए अंतराल $\Delta t = 0.5\,s$ है।
जिस क्षण पहली बूंद जमीन से टकराती है,उस क्षण दूसरी बूंद $\Delta t = 0.5\,s$ तक गिर चुकी होती है।
नल से दूसरी बूंद द्वारा तय की गई दूरी $y = \frac{1}{2}g(\Delta t)^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.5)^2 = 5 \times 0.25 = 1.25\,m$ है।
जमीन से दूसरी बूंद की ऊँचाई $H = 5 - 1.25 = 3.75\,m$ है।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 4.9 \ m/s$ (ऊपर की दिशा धनात्मक लेने पर),समय $t = 3 \ s$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$ (नीचे की दिशा ऋणात्मक लेने पर)।
गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
यहाँ,विस्थापन $s$ मीनार की ऊँचाई $h$ है जो नीचे की दिशा में है,इसलिए $s = -h$.
त्वरण $a = -g = -9.8 \ m/s^2$.
मान रखने पर: $-h = (4.9)(3) + \frac{1}{2}(-9.8)(3)^2$.
$-h = 14.7 - 4.9 \times 9$.
$-h = 14.7 - 44.1$.
$-h = -29.4$.
अतः,$h = 29.4 \ m$।

(A) किसी पिंड द्वारा $n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$।
चूंकि पिंड विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
अतः,$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ होगी।
पहले सेकंड के लिए $(n=1)$: $S_1 = \frac{g}{2}(2(1) - 1) = \frac{g}{2}(1) = \frac{g}{2}$।
दूसरे सेकंड के लिए $(n=2)$: $S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{g}{2}(3) = \frac{3g}{2}$।
तीसरे सेकंड के लिए $(n=3)$: $S_3 = \frac{g}{2}(2(3) - 1) = \frac{g}{2}(5) = \frac{5g}{2}$।
अतः,$S_1 : S_2 : S_3$ का अनुपात लेने पर,हमें $\frac{g}{2} : \frac{3g}{2} : \frac{5g}{2} = 1 : 3 : 5$ प्राप्त होता है।

(B) जब किसी पत्थर को ऊपर जाते हुए गुब्बारे से गिराया जाता है,तो वह छोड़े जाने के क्षण में गुब्बारे का वेग प्राप्त कर लेता है। मान लीजिए ऊँचाई $h$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g$ है। पत्थर के लिए गति का समीकरण $h = -ut + \frac{1}{2}gt^2$ है,जहाँ $u$ गुब्बारे का ऊपर की ओर वेग है।
इसे समय $t$ के लिए द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{2}gt^2 - ut - h = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $t$ का मान निकालने पर: $t = \frac{u + \sqrt{u^2 + 2gh}}{g}$।
चूँकि $g$ और $h$ सभी पत्थरों के लिए स्थिर हैं,इसलिए समय $t$ प्रारंभिक वेग $u$ पर निर्भर करता है। जैसे-जैसे $u$ बढ़ता है,जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$ भी बढ़ता है।
दिए गए वेग $U_P = U, U_Q = 4U$ और $U_R = 8U$ हैं। चूँकि $U_P < U_Q < U_R$ है,इसलिए सबसे कम प्रारंभिक वेग $(U_P)$ वाला पत्थर जमीन पर पहुँचने में सबसे कम समय लेगा।
अतः,गुब्बारे $P$ से गिराया गया पत्थर सबसे पहले जमीन पर पहुँचेगा।

(B) अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = u + at$:
$0 = u - gT \Rightarrow u = gT$.
वह समय $t$ ज्ञात करने के लिए जब वेग $u/2$ हो:
$v = u - gt$
$\frac{u}{2} = u - gt$
$gt = \frac{u}{2}$
समीकरण में $u = gT$ रखने पर:
$gt = \frac{gT}{2} \Rightarrow t = \frac{T}{2}$.
अतः,पिंड $t = T/2$ समय पर $u/2$ वेग प्राप्त कर लेता है।

(C) पहले पिंड के लिए,गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करते हुए:
दिया गया है $u = 0$,$v = 3 \ km/h$.
अतः,$3^2 = 0^2 + 2gh \implies 2gh = 9 \ (km/h)^2$.
दूसरे पिंड के लिए,प्रारंभिक गति $u = 4 \ km/h$ है और इसे समान ऊँचाई $h$ से गिराया जाता है।
उसी समीकरण $v'^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करते हुए:
$v'^2 = (4)^2 + 2gh$.
$2gh = 9$ का मान रखने पर:
$v'^2 = 16 + 9 = 25$.
$v' = \sqrt{25} = 5 \ km/h$.
अतः,अंतिम वेग $5 \ km/h$ है।

(C) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित वस्तु के लिए $n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र है: $h_{n^{th}} = u - \frac{g}{2}(2n - 1)$.
$5^{th}$ सेकंड के लिए $(n = 5)$: $h_{5^{th}} = u - \frac{10}{2}(2 \times 5 - 1) = u - 5(9) = u - 45$.
$6^{th}$ सेकंड के लिए $(n = 6)$: $h_{6^{th}} = u - \frac{10}{2}(2 \times 6 - 1) = u - 5(11) = u - 55$.
प्रश्न के अनुसार,$5^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी,$6^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी की दोगुनी है:
$h_{5^{th}} = 2 \times h_{6^{th}}$.
मान रखने पर:
$u - 45 = 2(u - 55)$.
$u - 45 = 2u - 110$.
$u = 110 - 45 = 65 \, m/s$.

(A) मान लीजिए पहली गेंद $B_1$ है और दूसरी गेंद $B_2$ है।
$B_1$ को $t = 0$ पर गिराया जाता है। $3$ सेकंड में $B_1$ द्वारा तय की गई दूरी $s_1 = \frac{1}{2} g (3)^2 = 4.5g$ है।
$B_2$ को $t = 1$ सेकंड के बाद गिराया जाता है। इसलिए,$t = 3$ सेकंड पर,$B_2$ ने $2$ सेकंड तक गति की होगी। $B_2$ द्वारा तय की गई दूरी $s_2 = \frac{1}{2} g (2)^2 = 2g$ है।
$g = 10 \ m/s^2$ लेने पर,हमें $s_1 = 45 \ m$ और $s_2 = 20 \ m$ प्राप्त होता है।
उनके बीच की दूरी $s_1 - s_2 = 45 - 20 = 25 \ m$ है।

(B) मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है और नीचे की दिशा ऋणात्मक है।
प्रारंभिक वेग $u = +4.9 \, m/s$.
समय $t = 2 \, s$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = -9.8 \, m/s^2$.
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$h = (4.9)(2) + \frac{1}{2}(-9.8)(2)^2$
$h = 9.8 - 4.9 \times 4$
$h = 9.8 - 19.6$
$h = -9.8 \, m$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विस्थापन शुरुआती बिंदु से $9.8 \, m$ नीचे है।
अतः,पुल की ऊँचाई $9.8 \, m$ है।

(B) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत या गति के समीकरणों का उपयोग करके,हम अंतिम वेग ज्ञात कर सकते हैं।
मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है। प्रारंभिक वेग $u = 20\, m/s$ और विस्थापन $s = -200\, m$ है (क्योंकि यह शुरुआती बिंदु के नीचे जमीन पर गिरता है)।
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g = -9.8\, m/s^2$ है।
समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए:
$v^2 = (20)^2 + 2(-9.8)(-200)$
$v^2 = 400 + 3920 = 4320$
$v = \sqrt{4320} \approx 65.7\, m/s$.
निकटतम पूर्णांक में,गति लगभग $65\, m/s$ है।

(B) मान लीजिए कि वस्तु बिंदु $A$ से विराम अवस्था से चलना शुरू करती है,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
$A$ से $B$ तक की गति के लिए ($h$ ऊँचाई गिरने पर):
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 0$,$a = g$,और $s = h$ है:
$v^2 = 0 + 2gh$ ---$(i)$
$A$ से $C$ तक की गति के लिए ($2v$ वेग प्राप्त करने के लिए तय की गई कुल ऊँचाई $x$):
उसी समीकरण $v_f^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v_f = 2v$,$u = 0$,$a = g$,और $s = x$ है:
$(2v)^2 = 0 + 2gx$
$4v^2 = 2gx$ ---(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4v^2}{v^2} = \frac{2gx}{2gh}$
$4 = \frac{x}{h}$
$x = 4h$
अतः,प्रारंभिक बिंदु से कुल दूरी $4h$ है।

(D) जब किसी पिंड को $u$ प्रारंभिक वेग के साथ ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण $(g)$ के कारण उसमें निरंतर मंदन होता है।
अधिकतम ऊँचाई पर,उसका वेग $0$ हो जाता है।
जैसे ही वह वापस प्रक्षेपण बिंदु पर गिरता है,समान विस्थापन के लिए गुरुत्वाकर्षण $(g)$ के कारण उसमें निरंतर त्वरण होता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ ऊपर की यात्रा के लिए $a = -g$ और नीचे की यात्रा के लिए $a = g$ है,प्रारंभिक बिंदु पर अंतिम वेग $v$ का परिमाण प्रारंभिक वेग $u$ के समान होगा,लेकिन दिशा विपरीत होगी।
अतः,प्रक्षेपण बिंदु पर वापस लौटने पर पिंड की चाल $v = u$ होगी।

(D) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित पिंड के लिए उड़ान का समय $T$ सूत्र $T = \frac{2u}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिया गया है कि प्रारंभिक बिंदु पर वापस आने में लगा कुल समय $T = 4 \, s$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$4 = \frac{2u}{10}$
$40 = 2u$
$u = 20 \, m/s$.
अतः,प्रारंभिक वेग $u$ का मान $20 \, m/s$ है।

(B) विराम अवस्था से गिरती हुई वस्तु के लिए,$t$ समय में तय की गई दूरी $h$ गति के समीकरण द्वारा दी जाती है: $h = \frac{1}{2}gt^2$.
इससे,हम समय $t$ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
$h_1$ और $h_2$ ऊँचाई के लिए क्रमशः $t_1$ और $t_2$ समय है,तो:
$t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$ और $t_2 = \sqrt{\frac{2h_2}{g}}$.
$t_1$ और $t_2$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{\frac{2h_1}{g}}}{\sqrt{\frac{2h_2}{g}}} = \sqrt{\frac{h_1}{h_2}} = \frac{\sqrt{h_1}}{\sqrt{h_2}}$.
अतः,अनुपात $\sqrt{h_1} : \sqrt{h_2}$ है।

(B) जब किसी वस्तु को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय (ऊपर जाने का समय),अधिकतम ऊँचाई से जमीन पर वापस आने में लगे समय (नीचे आने का समय) के बराबर होता है,यदि हवा का प्रतिरोध नगण्य हो।
यहाँ दिया गया है कि ऊपर जाने का समय $5\,sec$ है,इसलिए नीचे आने का समय भी $5\,sec$ ही होगा।
अतः,वस्तु अधिकतम ऊँचाई की स्थिति से जमीन तक $5\,sec$ में पहुँच जाएगी।

(B) दिया गया है,ऊपर जाने का समय $t = 6 \; s$ है। चूँकि $t = u/g$,इसलिए $u = 6 \times 10 = 60 \; m/s$ ($g = 10 \; m/s^2$ लेने पर)।
$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
पहले सेकंड के लिए $(n = 1)$: $S_1 = 60 + \frac{-10}{2}(2(1) - 1) = 60 - 5 = 55 \; m$.
सातवें सेकंड के लिए $(n = 7)$: $S_7 = 60 + \frac{-10}{2}(2(7) - 1) = 60 - 5(13) = 60 - 65 = -5 \; m$.
दूरी का परिमाण $5 \; m$ है।
अतः,दूरियों का अनुपात $55:5 = 11:1$ है।

(B) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u$ है और अधिकतम ऊँचाई $H$ है। अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2}{2g}$ है।
जब ऊँचाई $h = \frac{H}{2}$ हो,तो वेग $v = 10 \; m/s$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2gh$ का उपयोग करने पर:
$(10)^2 = u^2 - 2g \left( \frac{H}{2} \right)$
$100 = u^2 - gH$
समीकरण में $H = \frac{u^2}{2g}$ रखने पर:
$100 = u^2 - g \left( \frac{u^2}{2g} \right)$
$100 = u^2 - \frac{u^2}{2} = \frac{u^2}{2}$
$u^2 = 200 \; m^2/s^2$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $H$ की गणना करने पर:
$H = \frac{u^2}{2g} = \frac{200}{2 \times 10} = \frac{200}{20} = 10 \; m$.

(C) किसी वस्तु को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंकने पर प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2}{2g}$ होता है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि अधिकतम ऊँचाई $H$ वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है।
दिया गया है कि प्रारंभिक वेग $u_1 = u$ के लिए अधिकतम ऊँचाई $H_1 = 20\,m$ है।
दूसरी वस्तु के लिए,प्रारंभिक वेग $u_2 = 2u$ है।
नई अधिकतम ऊँचाई $H_2 = \frac{(2u)^2}{2g} = 4 \times \frac{u^2}{2g} = 4H_1$ होगी।
$H_1$ का मान रखने पर,हमें $H_2 = 4 \times 20\,m = 80\,m$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. $t = 8\, s$ पर गुब्बारे का वेग: $v = a \times t = 1.25 \times 8 = 10\, m/s$ (ऊपर की ओर)।
$2$. $t = 8\, s$ पर गुब्बारे की ऊँचाई: $s = \frac{1}{2} \times a \times t^2 = \frac{1}{2} \times 1.25 \times 8^2 = 40\, m$।
$3$. जब पत्थर छोड़ा जाता है,तो उसका प्रारंभिक वेग $u = 10\, m/s$ (ऊपर की ओर) होता है और उसकी प्रारंभिक स्थिति जमीन से $h = 40\, m$ ऊपर होती है।
$4$. विस्थापन के लिए गति का समीकरण: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$। यहाँ,$s = -40\, m$ (नीचे की ओर),$u = 10\, m/s$,$a = -g = -10\, m/s^2$।
$-40 = 10t - 5t^2 \implies 5t^2 - 10t - 40 = 0 \implies t^2 - 2t - 8 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(t - 4)(t + 2) = 0$। चूँकि $t > 0$,इसलिए $t = 4\, s$।
$5$. पत्थर का विस्थापन छोड़ने के बिंदु से जमीन तक $40\, m$ (नीचे की ओर) है।
$6$. पत्थर तब तक ऊपर जाता है जब तक उसका वेग शून्य न हो जाए: $v^2 - u^2 = 2as \implies 0 - 10^2 = 2(-10)d \implies d = 5\, m$।
$7$. कुल तय की गई दूरी = $40\, m$ (ऊपर की ओर) + $5\, m$ (ऊपर की ओर) + $5\, m$ (नीचे की ओर) = $50\, m$।

(D) ऊर्ध्वाधर गति के उच्चतम बिंदु पर,पिंड क्षण भर के लिए स्थिर हो जाता है,इसलिए वेग $v = 0$ होता है।
हालाँकि,गुरुत्वीय त्वरण $g$ पूरी गति के दौरान नीचे की ओर कार्य करता रहता है।
गतिकीय समीकरण $v^2 = u^2 - 2gH$ का उपयोग करने पर,उच्चतम बिंदु पर $v = 0$ है,इसलिए $0 = u^2 - 2gH_{\max}$ प्राप्त होता है।
$H_{\max}$ के लिए हल करने पर,हमें $H_{\max} = u^2 / 2g$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही कथन है।

(D) दिया गया है: अधिकतम ऊँचाई $h = 20 \; m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \; m/s^2$ है।
उच्चतम बिंदु पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2gh$ का उपयोग करने पर:
$0^2 = u^2 - 2 \times 10 \times 20$
$u^2 = 400$
$u = 20 \; m/s$ प्राप्त होता है।
अब,हवा में रहने का कुल समय $T$,$T = \frac{2u}{g}$ द्वारा दिया जाता है:
$T = \frac{2 \times 20}{10} = 4 \; s$।
अतः,प्रारंभिक वेग $20 \; m/s$ है और हवा में रहने का समय $4 \; s$ है।

(D) गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत गति करने वाले कण के लिए,यदि वह दो अलग-अलग समय $t_1$ और $t_2$ पर समान ऊँचाई $h$ से गुजरता है,तो ऊँचाई $h$ का सूत्र है:
$h = \frac{1}{2} g t_1 t_2$
यहाँ $t_1 = 2 \; s$ और $t_2 = 10 \; s$ दिया गया है:
$h = \frac{1}{2} \times g \times 2 \times 10$
$h = 10g$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) $n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र $S_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 10\; m/s$,त्वरण $g = 10\; m/s^2$.
$3^{rd}$ सेकंड के लिए $(n=3)$:
$S_3 = 10 + \frac{10}{2}(2 \times 3 - 1) = 10 + 5(5) = 10 + 25 = 35\; m$.
$2^{nd}$ सेकंड के लिए $(n=2)$:
$S_2 = 10 + \frac{10}{2}(2 \times 2 - 1) = 10 + 5(3) = 10 + 15 = 25\; m$.
दूरियों का अनुपात $\frac{S_3}{S_2} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5}$ है।

(C) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2gh$,जहाँ $u$ प्रारंभिक चाल है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ इमारत की ऊँचाई है।
गेंद $A$ के लिए जिसे ऊपर की ओर फेंका गया है: प्रारंभिक वेग $u$ ऊपर की ओर है। यह एक निश्चित ऊँचाई तक जाएगी और फिर वापस जमीन पर आएगी। जब यह प्रक्षेपण बिंदु से नीचे की ओर गुजरती है,तो इसकी चाल नीचे की ओर $u$ होगी। अतः,यह $v_A = \sqrt{u^2 + 2gh}$ चाल के साथ जमीन पर पहुँचती है।
गेंद $B$ के लिए जिसे नीचे की ओर फेंका गया है: प्रारंभिक वेग $u$ नीचे की ओर है। यह $v_B = \sqrt{u^2 + 2gh}$ चाल के साथ जमीन पर पहुँचती है।
चूँकि दोनों गेंदों के लिए $u$,$g$ और $h$ समान हैं,इसलिए $v_A = v_B$ होगा।

(B) मान लीजिए कि टावर के शीर्ष से गिराई गई पहली गेंद $t$ समय में $h_1$ दूरी तय करती है। गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ और $a = g$ है,हमें प्राप्त होता है:
$h_1 = \frac{1}{2}gt^2$
मान लीजिए कि टावर के निचले हिस्से से फेंकी गई दूसरी गेंद उसी $t$ समय में $h_2$ दूरी तय करती है। $s = ut - \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 50 \, m/s$ है,हमें प्राप्त होता है:
$h_2 = 50t - \frac{1}{2}gt^2$
चूंकि टावर की कुल ऊँचाई $100 \, m$ है,इसलिए जब दोनों गेंदें मिलती हैं तो उनके द्वारा तय की गई दूरियों का योग टावर की ऊँचाई के बराबर होता है:
$h_1 + h_2 = 100$
$h_1$ और $h_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}gt^2 + (50t - \frac{1}{2}gt^2) = 100$
$50t = 100$
$t = 2 \, s$
अतः,गेंदें $2 \, s$ बाद एक-दूसरे को पार करेंगी।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 19.6 \ m/s$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$,और अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $v = 0 \ m/s$ है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 = u^2 - 2gH$.
मान रखने पर: $0^2 = (19.6)^2 - 2 \times 9.8 \times H$.
$0 = 384.16 - 19.6 \times H$.
$19.6 \times H = 384.16$.
$H = \frac{384.16}{19.6} = 19.6 \ m$.
अतः,प्राप्त की गई अधिकतम ऊँचाई $19.6 \ m$ है।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $H$ है और पिंड को ऊपर से नीचे तक गिरने में लगा कुल समय $T$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ और $a = g = 10 \ m/s^2$ है:
$H = \frac{1}{2}gT^2 = 5T^2$ ... $(i)$
अंतिम $2 \ s$ में,पिंड $40 \ m$ की दूरी तय करता है। इसका अर्थ है कि $(T - 2) \ s$ में,पिंड $(H - 40) \ m$ की दूरी तय करता है।
$(H - 40) = \frac{1}{2}g(T - 2)^2 = 5(T - 2)^2$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ से $H = 5T^2$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
$5T^2 - 40 = 5(T^2 - 4T + 4)$
$5T^2 - 40 = 5T^2 - 20T + 20$
$20T = 60$
$T = 3 \ s$
अब,$T = 3 \ s$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$H = 5(3)^2 = 5 \times 9 = 45 \ m$.
अतः,मीनार की ऊँचाई $45 \ m$ है।