Motion Under Gravity Questions in Hindi

(N/A) $(i)$ प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर,ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंकी गई वस्तु का वेग शून्य होता है।
$(ii)$ चूंकि गेंद गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गति कर रही है,इसलिए इसका त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ के बराबर होता है। अतः,$a = 10 \, m/s^2$.
$(iii)$ गेंद पर कार्य करने वाला बल $F = m \times g$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर,$F = 0.2 \, kg \times 10 \, m/s^2 = 2 \, N$.

(D) गुरुत्वाकर्षण के तहत गेंद की गति,गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ द्वारा नियंत्रित होती है। $h$ ऊँचाई से विरामावस्था से गिरने वाली गेंद के लिए,किसी भी ऊँचाई $y$ पर वेग $v$,$v^2 = 2g(h - y)$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. $h$ से $0$ तक नीचे की ओर गति के दौरान,वेग $0$ से बढ़कर $\sqrt{2gh}$ हो जाता है। संबंध $v = \sqrt{2g(h-y)}$ दर्शाता है कि $v$,$y$ के सापेक्ष अरेखीय है।
$2$. फर्श के साथ टकराने पर,वेग तात्कालिक रूप से $-\sqrt{2gh}$ से बदलकर $+\sqrt{2g(h/2)} = \sqrt{gh}$ हो जाता है।
$3$. $0$ से $h/2$ तक ऊपर की ओर गति के दौरान,वेग $v^2 = 2g(h/2 - y)$ का पालन करते हुए $\sqrt{gh}$ से घटकर $0$ हो जाता है।
$4$. $v^2 = 2g(h-y)$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2v \frac{dv}{dy} = -2g$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dv}{dy} = -\frac{g}{v}$।
$5$. जैसे-जैसे $v \to 0$ (अधिकतम ऊँचाई पर),ढाल $\frac{dv}{dy} \to \infty$ हो जाती है। इसका मतलब है कि जहाँ $v=0$ है (अर्थात $h$ और $h/2$ पर),वहाँ ग्राफ़ को लंबवत होना चाहिए।
$6$. ग्राफ़ $D$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है,जो अरेखीय संबंध और अधिकतम ऊँचाई पर अनंत ढाल को प्रदर्शित करता है।

(C) $1$. सबसे पहले,$h$ ऊंचाई पर हेलीकॉप्टर का वेग ज्ञात करें। चूंकि यह स्थिर अवस्था से $g$ त्वरण के साथ शुरू होता है,$v^2 = u^2 + 2as \Rightarrow v^2 = 0 + 2gh \Rightarrow v = \sqrt{2gh}$।
$2$. जब पैकेट गिराया जाता है,तो इसका प्रारंभिक वेग ऊपर की ओर $u = \sqrt{2gh}$ होता है।
$3$. पैकेट ऊपर की ओर बढ़ता है,अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचता है और फिर जमीन पर गिरता है। पैकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H_{max} = \frac{u^2}{2g} = \frac{2gh}{2g} = h$ है।
$4$. जमीन से पैकेट की कुल ऊंचाई $H_{total} = h + h = 2h$ है।
$5$. नीचे की ओर गति के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए (ऊपर की दिशा को धनात्मक लेते हुए,$s = -h$,$u = \sqrt{2gh}$,$a = -g$):
$-h = \sqrt{2gh} \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$
$\frac{1}{2}gt^2 - \sqrt{2gh} \cdot t - h = 0$
$2/g$ से गुणा करने पर: $t^2 - 2\sqrt{\frac{2h}{g}} \cdot t - \frac{2h}{g} = 0$।
$6$. द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $t$ ज्ञात करने पर:
$t = \frac{2\sqrt{2h/g} + \sqrt{8h/g + 8h/g}}{2} = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \sqrt{\frac{4h}{g}} = (\sqrt{2} + 2) \sqrt{\frac{h}{g}} \approx (1.414 + 2) \sqrt{\frac{h}{g}} = 3.414 \sqrt{\frac{h}{g}}$।

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग,$u = 20\; m/s$
अंतिम वेग,$v = 80\; m/s$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10\; m/s^2$
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए:
$v^2 = u^2 + 2gh$
मान रखने पर:
$80^2 = 20^2 + 2 \times 10 \times h$
$6400 = 400 + 20h$
$6000 = 20h$
$h = \frac{6000}{20} = 300\; m$
अतः,मीनार की ऊँचाई $300\; m$ है।

(C) मान लीजिए कि खिड़की के शीर्ष पर गेंद का वेग $u$ है।
खिड़की के पार गेंद की गति के लिए गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
यहाँ,$S = 1.5 \; m$,$t = 0.1 \; s$,और $a = g = 10 \; m/s^2$ है।
मान रखने पर:
$1.5 = u(0.1) + \frac{1}{2} \times 10 \times (0.1)^2$
$1.5 = 0.1u + 5 \times 0.01$
$1.5 = 0.1u + 0.05$
$0.1u = 1.5 - 0.05$
$0.1u = 1.45$
$u = \frac{1.45}{0.1} = 14.5 \; m/s$.

(B) माना इमारत की कुल ऊँचाई $H$ है। पहले पत्थर को छत से गिराया जाता है $(u=0)$।
जब वह $5 \, m$ नीचे गिरता है,तो उसका वेग $v$,$v^2 = u^2 + 2gh = 0 + 2 \times 10 \times 5 = 100$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $v = 10 \, m/s$।
पहले पत्थर द्वारा $5 \, m$ गिरने में लगा समय $t_1 = v/g = 10/10 = 1 \, s$ है।
इस क्षण पर,दूसरा पत्थर छत से $25 \, m$ नीचे एक बिंदु से गिराया जाता है। माना पहले पत्थर को जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $T$ है। तो दूसरे पत्थर द्वारा लिया गया समय $(T - 1) \, s$ होगा।
पहले पत्थर द्वारा तय की गई दूरी $H = \frac{1}{2} g T^2$ है।
दूसरे पत्थर द्वारा तय की गई दूरी $H - 25 = \frac{1}{2} g (T - 1)^2$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $H - (H - 25) = \frac{1}{2} g [T^2 - (T - 1)^2] \Rightarrow 25 = 5 [T^2 - (T^2 - 2T + 1)] \Rightarrow 25 = 5(2T - 1) \Rightarrow 5 = 2T - 1 \Rightarrow 2T = 6 \Rightarrow T = 3 \, s$।
$T = 3 \, s$ को पहले समीकरण में रखने पर: $H = \frac{1}{2} \times 10 \times (3)^2 = 5 \times 9 = 45 \, m$।

(D) मान लीजिए कि पहली गेंद $t = 0$ पर और दूसरी गेंद $t = 3 \, \text{s}$ पर फेंकी जाती है。
मान लीजिए कि पहली गेंद के फेंके जाने के बाद का समय $t$ है。
पहली गेंद की स्थिति $y_1 = u t - \frac{1}{2} g t^2 = 35 t - 5 t^2$ है。
दूसरी गेंद की स्थिति $y_2 = u(t - 3) - \frac{1}{2} g(t - 3)^2 = 35(t - 3) - 5(t - 3)^2$ है。
टकराव के बिंदु पर, $y_1 = y_2$ होता है。
$35 t - 5 t^2 = 35(t - 3) - 5(t^2 - 6 t + 9)$
$35 t - 5 t^2 = 35 t - 105 - 5 t^2 + 30 t - 45$
$0 = 30 t - 150$
$30 t = 150 \implies t = 5 \, \text{s}$.
$y_1$ के समीकरण में $t = 5 \, \text{s}$ रखने पर:
$h = 35(5) - 5(5)^2 = 175 - 125 = 50 \, \text{m}$.
अतः, गेंदें $50 \, \text{m}$ की ऊँचाई पर टकराती हैं。

(D) माना कि क्रमिक बूंदों के बीच का समयांतराल $\Delta t$ है।
जब पहली बूंद फर्श पर पहुँचती है,तो कुल बीता हुआ समय $T = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 9.8}{9.8}} = \sqrt{2}\, s$ है।
चूँकि इस क्षण पर तीसरी बूंद गिरना शुरू कर रही है,इसलिए तीसरी बूंद के लिए बीता हुआ समय $0$ है।
दूसरी बूंद $\Delta t$ समय से गिर रही है और पहली बूंद $2\Delta t$ समय से गिर रही है।
अतः,$2\Delta t = T = \sqrt{2}\, s$,जिससे $\Delta t = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\, s$ प्राप्त होता है।
नोजल से दूसरी बूंद द्वारा तय की गई दूरी $y_2 = \frac{1}{2} g(\Delta t)^2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4.9 \times 0.5 = 2.45\, m$ है।
फर्श से दूसरी बूंद की स्थिति $H - y_2 = 9.8 - 2.45 = 7.35\, m$ है।

(A) मान लीजिए कि दो लगातार बूंदों के बीच का समय अंतराल $T$ है।
$t = 4 \, s$ पर, पहली बूंद $4 \, s$ तक गिर चुकी है। पहली बूंद द्वारा तय की गई दूरी $h_1 = \frac{1}{2} g (4)^2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 16 = 78.4 \, m$ है।
दूसरी बूंद पहली बूंद के $T$ सेकंड बाद छोड़ी गई थी, इसलिए उसका गिरने का समय $(4 - T) \, s$ है।
दूसरी बूंद द्वारा तय की गई दूरी $h_2 = \frac{1}{2} g (4 - T)^2$ है।
दो बूंदों के बीच की दूरी $h_1 - h_2 = 34.3 \, m$ दी गई है।
मान रखने पर: $78.4 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4 - T)^2 = 34.3$.
$78.4 - 4.9(4 - T)^2 = 34.3$.
$4.9(4 - T)^2 = 44.1$.
$(4 - T)^2 = 9$.
$4 - T = 3 \Rightarrow T = 1 \, s$.
चूंकि बूंदों के बीच का समय अंतराल $1 \, s$ है, इसलिए दर $1 \, \text{बूंद/सेकंड}$ है।

(A) वस्तु को गुब्बारे से गिराया जाता है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग गुब्बारे के वेग के समान $u = 10 \, m/s$ (ऊपर की ओर) होगा।
ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर,वस्तु का जमीन पर गिरने पर विस्थापन $s = -75 \, m$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $a = -g = -10 \, m/s^2$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$-75 = 10t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$-75 = 10t - 5t^2$
$5t^2 - 10t - 75 = 0$
$t^2 - 2t - 15 = 0$
$(t - 5)(t + 3) = 0$
समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $t = 5 \, s$ है।
इस समय के दौरान,गुब्बारा $10 \, m/s$ के एकसमान वेग से ऊपर की ओर गति करना जारी रखता है।
$5 \, s$ में गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी $d = v \times t = 10 \times 5 = 50 \, m$ है।
जब वस्तु जमीन से टकराती है,तब जमीन से गुब्बारे की ऊंचाई $H = 75 + 50 = 125 \, m$ होगी।

(A) $1$. गुब्बारे की प्रारंभिक गति: त्वरण $a = 10\,m/s^2$,समय $t_1 = 2\,s$। $t_1 = 2\,s$ पर वेग $v = a t_1 = 10 \times 2 = 20\,m/s$। $t_1 = 2\,s$ पर ऊंचाई $h_0 = \frac{1}{2} a t_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 2^2 = 20\,m$।
$2$. कण के गिरने के बाद की गति: प्रारंभिक वेग $u = 20\,m/s$,प्रारंभिक स्थिति $y_0 = 20\,m$,त्वरण $a = -g = -10\,m/s^2$,समय अंतराल $\Delta t = 2\,s$।
$3$. जमीन से कण की ऊंचाई: $y = y_0 + u(\Delta t) + \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 = 20 + 20(2) + \frac{1}{2}(-10)(2^2) = 20 + 40 - 20 = 40\,m$। अतः,$(A \rightarrow r)$।
$4$. कण की गति: $v = u + a(\Delta t) = 20 + (-10)(2) = 0\,m/s$। अतः,$(B \rightarrow p)$।
$5$. कण का विस्थापन: $\Delta y = y - y_0 = 40 - 20 = 20\,m$। अतः,$(C \rightarrow s)$।
$6$. कण का त्वरण: मुक्त होने के बाद,केवल गुरुत्वाकर्षण कार्य करता है,इसलिए $a = 10\,m/s^2$ (नीचे की ओर)। अतः,$(D \rightarrow q)$।
$7$. अंतिम मिलान: $(A \rightarrow r, B \rightarrow p, C \rightarrow s, D \rightarrow q)$।

(B) $n^{\text{th}}$ सेकंड में पिंड द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
चूंकि पिंड मुक्त रूप से गिर रहा है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g$ है।
अतः,$S_{n} = \frac{g}{2}(2n - 1)$.
इसका अर्थ है कि $S_{n} \propto (2n - 1)$.
$1^{\text{st}}, 2^{\text{nd}}, 3^{\text{rd}}$ और $4^{\text{th}}$ सेकंड के लिए अनुपात:
$S_{1} : S_{2} : S_{3} : S_{4} = (2(1) - 1) : (2(2) - 1) : (2(3) - 1) : (2(4) - 1)$.
$S_{1} : S_{2} : S_{3} : S_{4} = 1 : 3 : 5 : 7$.

(B) ऊपर जाते समय,गुरुत्वाकर्षण और हवा का प्रतिरोध दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं। कुल मंदक बल $F_{up} = mg + f = (5 \times 10) + 10 = 60 \, N$ है। ऊपर जाते समय त्वरण $a_{up} = F_{up} / m = 60 / 5 = 12 \, ms^{-2}$ है।
नीचे आते समय,गुरुत्वाकर्षण नीचे की ओर और हवा का प्रतिरोध ऊपर की ओर कार्य करता है। कुल बल $F_{down} = mg - f = (5 \times 10) - 10 = 40 \, N$ है। नीचे आते समय त्वरण $a_{down} = F_{down} / m = 40 / 5 = 8 \, ms^{-2}$ है।
मान लीजिए अधिकतम ऊँचाई $h$ है। ऊपर जाने के लिए,$h = \frac{1}{2} a_{up} t_1^2$,इसलिए $h = \frac{1}{2} \times 12 \times t_1^2 = 6 t_1^2$.
नीचे आने के लिए,$h = \frac{1}{2} a_{down} t_2^2$,इसलिए $h = \frac{1}{2} \times 8 \times t_2^2 = 4 t_2^2$.
$h$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $6 t_1^2 = 4 t_2^2$,जिससे $\frac{t_1^2}{t_2^2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,ऊपर जाने के समय और नीचे आने के समय का अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ होगा।

(A) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और पहले दो मामलों में प्रक्षेपण की गति $u$ है। नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर।
मामले-$I$ के लिए (ऊपर की ओर फेंकने पर): विस्थापन $h$ है। प्रारंभिक वेग $-u$ है। त्वरण $g$ है।
समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$h = -u(6) + \frac{1}{2}g(6)^2$
$h = -6u + 18g$ ... $(i)$
मामले-$II$ के लिए (नीचे की ओर फेंकने पर): विस्थापन $h$ है। प्रारंभिक वेग $u$ है। त्वरण $g$ है।
$h = u(1.5) + \frac{1}{2}g(1.5)^2$
$h = 1.5u + 1.125g$ ... $(ii)$
$u$ को हटाने के लिए,समीकरण $(ii)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$4h = 6u + 4.5g$ ... $(iii)$
समीकरण $(i)$ और समीकरण $(iii)$ को जोड़ने पर:
$h + 4h = (-6u + 18g) + (6u + 4.5g)$
$5h = 22.5g$
$h = 4.5g$ ... $(iv)$
मामले-$III$ के लिए (विराम अवस्था से छोड़ने पर): प्रारंभिक वेग $0$ है। त्वरण $g$ है।
$h = 0(t) + \frac{1}{2}gt^2$
$h = \frac{1}{2}gt^2$ ... $(v)$
समीकरण $(iv)$ को समीकरण $(v)$ में रखने पर:
$4.5g = \frac{1}{2}gt^2$
$t^2 = 9$
$t = 3 \, s$.

(A) मान लीजिए कि दोनों गेंदें पहली गेंद की गति शुरू होने के $t$ सेकंड बाद मिलती हैं।
पहली गेंद का $t$ समय पर विस्थापन $h_1 = 50t - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
दूसरी गेंद $t = 2 \; s$ पर प्रक्षेपित की जाती है,इसलिए इसका उड़ान का समय $(t - 2) \; s$ है। इसका विस्थापन $h_2 = 50(t - 2) - \frac{1}{2}g(t - 2)^2$ है।
चूंकि वे समान ऊंचाई पर मिलते हैं,इसलिए $h_1 = h_2$।
$50t - \frac{1}{2}gt^2 = 50(t - 2) - \frac{1}{2}g(t - 2)^2$
$50t - 5t^2 = 50t - 100 - 5(t^2 - 4t + 4)$
$50t - 5t^2 = 50t - 100 - 5t^2 + 20t - 20$
$0 = -120 + 20t$
$20t = 120$
$t = 6 \; s$.

(A) जब किसी वस्तु को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वीय त्वरण $g$ के कारण उसका वेग $v$ घटता है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वस्तु क्षण भर के लिए स्थिर हो जाती है,जिसका अर्थ है कि उसका अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
चूँकि संवेग $p$ को द्रव्यमान $m$ और वेग $v$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है $(p = mv)$,इसलिए जब $v = 0$ होता है,तो संवेग $p$ भी $0$ हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना गेंद को $H = 10 \; m$ की ऊँचाई से गिराया जाता है। प्रारंभिक वेग $u = 0 \; m/s$ है।
माना गेंद $s$ दूरी तय करती है जिससे उसका वेग $v$,$g = 10 \; m/s^2$ के बराबर हो जाता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$v^2 = 0^2 + 2(10)s$
चूँकि हमें $v = 10 \; m/s$ चाहिए,इसलिए:
$(10)^2 = 20s$
$100 = 20s$
$s = 5 \; m$.
यह $s$ ऊपर से तय की गई दूरी है।
जमीन से ऊँचाई $h = H - s = 10 \; m - 5 \; m = 5 \; m$ होगी।

(B) चरण $1$: पानी की सतह से टकराते समय गेंद का वेग $v$ ज्ञात करें।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0 \, m/s$,$g = 9.8 \, m/s^2$,और $h = 4.9 \, m$ है:
$v^2 = 0 + 2 \times 9.8 \times 4.9 = 96.04$
$v = \sqrt{96.04} = 9.8 \, m/s$.
चरण $2$: ऊँचाई $h$ से गिरने में लगा समय ज्ञात करें।
$v = u + gt$ का उपयोग करते हुए:
$9.8 = 0 + 9.8 \times t_1$
$t_1 = 1.0 \, s$.
चरण $3$: तली तक पहुँचने में लगा समय ज्ञात करें।
कुल समय $4.0 \, s$ है,इसलिए पानी में बिताया गया समय $t_2 = 4.0 - 1.0 = 3.0 \, s$ है।
चरण $4$: झील की गहराई ज्ञात करें।
चूँकि गेंद नियत वेग $v = 9.8 \, m/s$ से नीचे जाती है:
गहराई $= v \times t_2 = 9.8 \times 3.0 = 29.4 \, m$.

(D) टॉवर की ऊँचाई $H = 180 \,m$ है। गेंदें जमीन से $100 \,m$ ऊपर मिलती हैं,इसलिए उन्होंने शीर्ष से $S = 180 - 100 = 80 \,m$ की दूरी तय की है।
गेंद $A$ के लिए,जिसे विरामावस्था से मुक्त किया गया है $(u_A = 0)$:
$S = \frac{1}{2} g t_A^2 \implies 80 = \frac{1}{2} \times 10 \times t_A^2 \implies t_A^2 = 16 \implies t_A = 4 \,s$.
गेंद $B$ को $t = 2 \,s$ पर फेंका जाता है,इसलिए इसका यात्रा समय $t_B = t_A - 2 = 4 - 2 = 2 \,s$ है।
गेंद $B$ के लिए,गति के समीकरण $S = u t_B + \frac{1}{2} g t_B^2$ का उपयोग करते हुए (नीचे की दिशा को धनात्मक लेते हुए):
$80 = u(2) + \frac{1}{2}(10)(2)^2$
$80 = 2u + 20$
$2u = 60$
$u = 30 \,m \,s^{-1}$.

(C) अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t_a = \frac{u}{g} = \frac{19.6}{9.8} = 2 \, s$ है।
प्रक्षेपण बिंदु से गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2}{2g} = \frac{(19.6)^2}{2 \times 9.8} = \frac{19.6 \times 19.6}{19.6} = 19.6 \, m$ है।
मान लीजिए मीनार की ऊँचाई $h$ है। मीनार की चोटी से जमीन तक के कुल विस्थापन के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$-h = (19.6)(6) + \frac{1}{2}(-9.8)(6)^2$
$-h = 117.6 - 4.9 \times 36$
$-h = 117.6 - 176.4 = -58.8 \, m$,अतः $h = 58.8 \, m$ है।
जमीन से अधिकतम ऊँचाई $H_{max} = h + H = 58.8 + 19.6 = 78.4 \, m$ है।
दिया गया है कि $H_{max} = \frac{k}{5} = 78.4$,इसलिए $k = 78.4 \times 5 = 392$।

(A) आम को जमीन तक पहुँचने में लगा समय मुक्त पतन के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
दिए गए मान $h = 19.6\,m$ और $g = 9.8\,m/s^2$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$t = \sqrt{\frac{2 \times 19.6}{9.8}} = \sqrt{4} = 2\,s$.
परेड की गति $v = 9\,km/h$ है। इसे $m/s$ में बदलने पर:
$v = 9 \times \frac{5}{18} = 2.5\,m/s$.
कैडेट द्वारा $t$ समय में तय की गई दूरी $d = v \times t$ है।
$d = 2.5 \times 2 = 5\,m$.
अतः,आम को पकड़ने के लिए आम गिराते समय कैडेट को पेड़ से $5\,m$ की दूरी पर होना चाहिए।

(D) माना गेंद का प्रारंभिक वेग $u$ है।
गेंद को उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{u}{g}$ है।
चूँकि बाजीगर प्रति सेकंड $n$ गेंदें फेंकता है,इसलिए दो लगातार गेंदों को फेंकने के बीच का समय अंतराल $T = \frac{1}{n}$ है।
प्रश्न के अनुसार,अगली गेंद तब फेंकी जाती है जब पहली गेंद अपने उच्चतम बिंदु पर पहुँचती है। इसलिए,फेंकने के बीच का समय अंतराल उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगे समय के बराबर होना चाहिए:
$T = t \implies \frac{1}{n} = \frac{u}{g}$.
$u$ के लिए हल करने पर,हमें $u = \frac{g}{n}$ प्राप्त होता है।
गेंदों द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_{\max}$ का सूत्र $H_{\max} = \frac{u^{2}}{2g}$ है।
$u$ का मान रखने पर:
$H_{\max} = \frac{(\frac{g}{n})^{2}}{2g} = \frac{g^{2} / n^{2}}{2g} = \frac{g}{2n^{2}}$.

(D) पहली आधी दूरी $\frac{h}{2}$ के लिए,लगा समय $t_{1}$ है:
$\frac{h}{2} = \frac{1}{2} g t_{1}^{2} \implies h = g t_{1}^{2}$ (समीकरण $1$)
कुल दूरी $h$ के लिए,कुल लगा समय $(t_{1} + t_{2})$ है:
$h = \frac{1}{2} g (t_{1} + t_{2})^{2}$ (समीकरण $2$)
$h$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$g t_{1}^{2} = \frac{1}{2} g (t_{1} + t_{2})^{2}$
$2 t_{1}^{2} = (t_{1} + t_{2})^{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{2} t_{1} = t_{1} + t_{2}$
$t_{2} = \sqrt{2} t_{1} - t_{1}$
$t_{2} = (\sqrt{2} - 1) t_{1}$

(B) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u$ है। अधिकतम ऊँचाई $h = \frac{u^2}{2g}$ है,जिसका अर्थ है $u = \sqrt{2gh}$।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,ऊँचाई $y = \frac{h}{3}$ के लिए:
$\frac{h}{3} = ut - \frac{1}{2}gt^2$
$u = \sqrt{2gh}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}gt^2 - \sqrt{2gh}t + \frac{h}{3} = 0$
यह $t$ में एक द्विघात समीकरण है। मान लीजिए मूल $t_1$ (ऊपर जाते समय) और $t_2$ (नीचे आते समय) हैं।
$t = \frac{\sqrt{2gh} \pm \sqrt{2gh - 4(\frac{g}{2})(\frac{h}{3})}}{g} = \frac{\sqrt{2gh} \pm \sqrt{\frac{4gh}{3}}}{g}$
समय का अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{4/3}}{\sqrt{2} + \sqrt{4/3}} = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$।

(B) दिया गया है कि गेंद के जमीन से टकराने की आवाज गेंद फेंकने के $5.25 \, s$ बाद सुनाई देती है।
गेंद के जमीन से टकराने के बाद ध्वनि जमीन से टॉवर के शीर्ष तक पहुँचती है। ध्वनि को टॉवर के शीर्ष तक पहुँचने में लगा समय:
$t_1 = \frac{D}{v_{sound}} = \frac{85}{340} = 0.25 \, s$
अतः,गेंद को जमीन तक पहुँचने में लगा समय:
$t_2 = 5.25 - 0.25 = 5 \, s$
मान लीजिए $t = 0$ पर गेंद की प्रारंभिक गति $u$ है। गेंद की गति के लिए:
विस्थापन $s = -85 \, m$ (नीचे की ओर),
त्वरण $a = -g = -10 \, m/s^2$,
समय $t = 5 \, s$.
गति के समीकरण का उपयोग करने पर:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$-85 = u(5) + \frac{1}{2}(-10)(5)^2$
$-85 = 5u - 125$
$5u = 125 - 85$
$5u = 40$
$u = 8 \, m/s$

(D) गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है। पहली टक्कर से ठीक पहले वेग $v_0 = \sqrt{2gh}$ है।
पहली टक्कर के बाद,उछाल का वेग $v_1 = rv_0$ है। पहली टक्कर के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = r^2 h$ है।
दूसरी टक्कर के बाद,उछाल का वेग $v_2 = rv_1 = r^2 v_0$ है। प्राप्त ऊँचाई $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = r^4 h$ है।
सामान्य तौर पर,$n$-वीं टक्कर के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_n = r^{2n} h$ है।
$10$वीं टक्कर तक गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी $d$ में प्रारंभिक $h$ ऊँचाई का गिरना,और उसके बाद $h_1, h_2, \dots, h_{10}$ ऊँचाई के $10$ ऊपर और $10$ नीचे के मार्ग शामिल हैं।
$d = h + 2(h_1 + h_2 + \dots + h_{10})$
$d = h + 2(r^2 h + r^4 h + \dots + r^{20} h)$
$d = h + 2h(r^2 + r^4 + \dots + r^{20})$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें पहला पद $a = r^2$,सार्व अनुपात $R = r^2$,और $n = 10$ पद हैं।
योग $S_{10} = r^2 \frac{1-(r^2)^{10}}{1-r^2} = r^2 \frac{1-r^{20}}{1-r^2}$ है।
अतः,$d = h + 2h \left( r^2 \frac{1-r^{20}}{1-r^2} \right)$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$2h \left( \frac{1-r^{20}}{1-r^2} \right) - h$ सही उत्तर है।

(A) गेंद के लिए,हमारे पास प्रारंभिक वेग $u = 45 \,m/s$ और त्वरण $g = -10 \,m/s^2$ है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2gh$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v^2 = u^2 + 2gh$
$v^2 = (45)^2 + 2(-10)h$
$v^2 = 2025 - 20h$
$v = \sqrt{2025 - 20h}$
यह समीकरण $v-h$ तल में बाईं ओर खुलने वाले परवलय (parabola) को दर्शाता है।
जब $h = 0$ है,तो $v = 45 \,m/s$ है।
जब $v = 0$ है,तो $h = 2025 / 20 = 101.25 \,m \approx 101 \,m$ है।
चूंकि संबंध $v^2 = 2025 - 20h$ है,इसलिए $v$ बनाम $h$ का ग्राफ एक परवलय का हिस्सा है। दिए गए विकल्पों में से,विकल्प $(A)$ में दिखाया गया वक्र इस परवलयिक संबंध को सही ढंग से दर्शाता है जहाँ ऊँचाई बढ़ने के साथ वेग घटता है।

(D) प्रारंभिक वेग $u$ के साथ लंबवत ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए,समय $t$ पर विस्थापन $h$ गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$h = u t - \frac{1}{2} g t^2$
दोनों पक्षों को $t$ से विभाजित करने पर ($t \neq 0$ के लिए):
$\frac{h}{t} = u - \frac{1}{2} g t$
इसे रैखिक समीकरण के रूप $y = m x + c$ में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{h}{t} = (-\frac{g}{2}) t + u$
इसकी तुलना $y = m x + c$ से करने पर,जहाँ $y = \frac{h}{t}$,$x = t$,ढाल $m = -\frac{g}{2}$,और अंतःखंड $c = u$ है।
इस प्रकार,$\frac{h}{t}$ बनाम $t$ का ग्राफ प्लॉट करने पर एक सीधी रेखा प्राप्त होती है।
गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान इस रेखा की ढाल के परिमाण को $2$ से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है।

(B) जब गेंद हवा में होती है,तो उस पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण होता है,इसलिए इसका त्वरण $-g = -9.8 \, m/s^2$ पर स्थिर रहता है।
फर्श के साथ टक्कर के क्षण में,गेंद बहुत कम समय के लिए एक बहुत बड़ा आवेगी बल अनुभव करती है,जिससे वेग में अचानक परिवर्तन होता है। इसके परिणामस्वरूप प्रत्येक टक्कर बिंदु पर एक बहुत उच्च धनात्मक त्वरण स्पाइक उत्पन्न होता है।
इसलिए,त्वरण-समय आलेख में $-9.8 \, m/s^2$ पर एक स्थिर रेखा होती है और टक्कर के समय तीक्ष्ण,धनात्मक ऊर्ध्वाधर स्पाइक्स होते हैं। यह विकल्प $(b)$ में दिखाए गए आलेख के अनुरूप है।

(B) मान लीजिए कि जमीन से बिंदु की ऊँचाई $h$ है।
नीचे की ओर $u$ गति से फेंके गए पहले पत्थर के लिए:
$-h = -u t_1 - \frac{1}{2} g t_1^2 \Rightarrow h = u t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 \quad \dots(i)$
ऊपर की ओर $u$ गति से फेंके गए दूसरे पत्थर के लिए:
$-h = u t_2 - \frac{1}{2} g t_2^2 \Rightarrow h = \frac{1}{2} g t_2^2 - u t_2 \quad \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$u t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 = \frac{1}{2} g t_2^2 - u t_2$
$u(t_1 + t_2) = \frac{1}{2} g (t_2^2 - t_1^2) = \frac{1}{2} g (t_2 - t_1)(t_2 + t_1)$
$u = \frac{g}{2} (t_2 - t_1)$
दूसरे पत्थर द्वारा जमीन से प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$,बिंदु की ऊँचाई $h$ और बिंदु से ऊपर प्राप्त ऊँचाई का योग है:
$H = h + \frac{u^2}{2g}$
$(ii)$ से $h$ और $u$ का मान रखने पर:
$H = (\frac{1}{2} g t_2^2 - u t_2) + \frac{u^2}{2g}$
$H = \frac{1}{2} g t_2^2 - \frac{g}{2}(t_2 - t_1)t_2 + \frac{1}{2g} \cdot \frac{g^2}{4}(t_2 - t_1)^2$
$H = \frac{1}{2} g t_2^2 - \frac{1}{2} g t_2^2 + \frac{1}{2} g t_1 t_2 + \frac{g}{8}(t_2^2 - 2 t_1 t_2 + t_1^2)$
$H = \frac{g}{8}(4 t_1 t_2 + t_2^2 - 2 t_1 t_2 + t_1^2) = \frac{g}{8}(t_1^2 + 2 t_1 t_2 + t_2^2) = \frac{g}{8}(t_1 + t_2)^2$

(C) मान लीजिए कि $m_1$ द्रव्यमान का पहला पत्थर $t=0$ पर गिराया जाता है।
समय $t$ पर,इसका वेग $v_1$ और विस्थापन $s_1$ हैं:
$v_1 = -gt$ और $s_1 = -\frac{1}{2}gt^2$.
चूंकि $m_2$ द्रव्यमान का दूसरा पत्थर $\Delta t$ समय बाद गिराया जाता है,इसलिए $t$ समय पर इसका वेग $v_2$ और विस्थापन $s_2$ हैं:
$v_2 = -g(t - \Delta t)$ और $s_2 = -\frac{1}{2}g(t - \Delta t)^2$.
गति में अंतर $\Delta v = |v_1 - v_2| = |-gt - (-g(t - \Delta t))| = |-g\Delta t| = g\Delta t$ है।
चूंकि $g$ और $\Delta t$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\Delta v$ समय के साथ स्थिर रहता है।
आपसी अलगाव $\Delta s = |s_1 - s_2|$ है:
$\Delta s = |-\frac{1}{2}gt^2 - (-\frac{1}{2}g(t - \Delta t)^2)| = |\frac{1}{2}g((t - \Delta t)^2 - t^2)| = |\frac{1}{2}g(t^2 + \Delta t^2 - 2t\Delta t - t^2)| = |\frac{1}{2}g(\Delta t^2 - 2t\Delta t)|$.
जैसे-जैसे समय $t$ बढ़ता है,$2t\Delta t$ पद बढ़ता है,जिससे अलगाव $\Delta s$ का मान घटता है।

(A) मान लीजिए कि टक्कर से ठीक पहले और ठीक बाद गेंद की गति $v$ है। वायु प्रतिरोध बल $F_r$ गति के समानुपाती है,इसलिए $F_r = kv$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
जब गेंद नीचे की ओर गति कर रही होती है,तो गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ नीचे की ओर कार्य करता है और वायु प्रतिरोध $kv$ ऊपर की ओर कार्य करता है। नेट बल $F_{net} = mg - kv$ है। त्वरण $a_1$ इस प्रकार है:
$a_1 = \frac{mg - kv}{m} = g - \frac{k}{m}v$
जब गेंद ऊपर की ओर गति कर रही होती है,तो गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ नीचे की ओर कार्य करता है और वायु प्रतिरोध $kv$ भी नीचे की ओर (गति के विपरीत) कार्य करता है। नेट बल $F_{net} = mg + kv$ है। त्वरण $a_2$ इस प्रकार है:
$a_2 = \frac{mg + kv}{m} = g + \frac{k}{m}v$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,यह स्पष्ट है कि $a_2 > a_1$ या $a_1 < a_2$ है।

(C) मान लीजिए कि पहली गेंद अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2}{2g}$ तक पहुँचती है।
जिस क्षण पहली गेंद ऊँचाई $H$ पर पहुँचती है,वह नीचे गिरना शुरू करती है। मान लीजिए कि दोनों गेंदें दूसरी गेंद के फेंके जाने के $t$ समय बाद जमीन से $h$ ऊँचाई पर टकराती हैं।
पहली गेंद $t$ समय में $(H - h)$ दूरी तय करती है। पहली गेंद के लिए गति का समीकरण उपयोग करने पर:
$H - h = \frac{1}{2}gt^2 \quad \dots(i)$
दूसरी गेंद $t$ समय में $h$ ऊँचाई तक ऊपर जाती है। दूसरी गेंद के लिए गति का समीकरण उपयोग करने पर:
$h = ut - \frac{1}{2}gt^2 \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(H - h) + h = \frac{1}{2}gt^2 + ut - \frac{1}{2}gt^2$
$H = ut \implies t = \frac{H}{u}$
चूँकि $H = \frac{u^2}{2g}$,इसलिए $u = \sqrt{2gH}$. अतः,$t = \frac{H}{\sqrt{2gH}} = \sqrt{\frac{H}{2g}}$.
$t$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$h = u\left(\frac{H}{u}\right) - \frac{1}{2}g\left(\frac{H}{u}\right)^2 = H - \frac{1}{2}g\left(\frac{H^2}{u^2}\right)$
चूँकि $u^2 = 2gH$,हमें प्राप्त होता है:
$h = H - \frac{1}{2}g\left(\frac{H^2}{2gH}\right) = H - \frac{H}{4} = \frac{3H}{4}$.

(B) गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में कार्य करता है,चाहे पिंड की गति की दिशा कुछ भी हो।
चूंकि ऊपर की दिशा को धनात्मक माना गया है,इसलिए नीचे की दिशा ऋणात्मक होगी।
ऊपर की यात्रा के दौरान,पिंड गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध गति करता है,लेकिन त्वरण अभी भी नीचे की ओर निर्देशित होता है,इसलिए यह ऋणात्मक है।
नीचे की यात्रा के दौरान,पिंड गुरुत्वाकर्षण की दिशा में गति करता है,लेकिन त्वरण अभी भी नीचे की ओर निर्देशित होता है,इसलिए यह ऋणात्मक ही रहता है।
अतः,ऊपर और नीचे दोनों यात्राओं के दौरान त्वरण ऋणात्मक होता है।

(A) गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत पिंड की गति सममित होती है। ऊपर की ओर यात्रा के अंतिम सेकंड में पिंड द्वारा तय की गई दूरी,उच्चतम बिंदु से नीचे की ओर यात्रा के पहले सेकंड में तय की गई दूरी के बराबर होती है।
उच्चतम बिंदु पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
नीचे की ओर यात्रा के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$ और समय $t = 1 \, s$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$s = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (1)^2$
$s = 4.9 \, m$
अतः,ऊपर की ओर यात्रा के अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी $4.9 \, m$ है। यह दूरी पिंड की प्रारंभिक प्रक्षेपण गति से स्वतंत्र है।

(B) जब किसी कण को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो वह अपनी अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचता है जहाँ उसका अंतिम वेग $v = 0 \ m/s$ हो जाता है।
अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचने के बाद,कण विरामावस्था से गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में अपना नीचे का सफर (अधोमुखी गति) शुरू करता है।
नीचे आने के पहले सेकंड के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$,समय $t = 1 \ s$,और त्वरण $a = g$ है।
गति के दूसरे समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$s = (0 \times 1) + \frac{1}{2} \times g \times (1)^2$
$s = \frac{g}{2}$.

(A) गुरुत्वाकर्षण के अधीन पिंड की गति सममित (symmetric) होती है। अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $5 \text{ s}$ है,इसलिए कुल उड़ान का समय $10 \text{ s}$ है।
गति की सममिति के कारण,ऊपर की ओर यात्रा के दौरान किसी भी समय अंतराल $t$ में पिंड द्वारा तय की गई दूरी,नीचे की ओर यात्रा के दौरान संबंधित समय अंतराल में तय की गई दूरी के बराबर होती है।
विशेष रूप से,ऊपर की ओर यात्रा के $n^{\text{th}}$ सेकंड में तय की गई दूरी,गति के अंत से $n^{\text{th}}$ सेकंड में तय की गई दूरी (अर्थात $(10-n+1)^{\text{th}}$ सेकंड) के बराबर होती है।
$1$. $n=1$ के लिए: $1^{\text{st}}$ सेकंड में दूरी = $10^{\text{th}}$ सेकंड में दूरी।
$2$. $n=2$ के लिए: $2^{\text{nd}}$ सेकंड में दूरी = $9^{\text{th}}$ सेकंड में दूरी।
$3$. $n=4$ के लिए: $4^{\text{th}}$ सेकंड में दूरी = $7^{\text{th}}$ सेकंड में दूरी।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर:
- विकल्प $(a)$ सही है ($1^{\text{st}}$ और $10^{\text{th}}$ सेकंड)।
- विकल्प $(b)$ गलत है ($2^{\text{nd}}$ और $8^{\text{th}}$ सेकंड समान नहीं हैं)।
- विकल्प $(c)$ गलत है ($4^{\text{th}}$ और $6^{\text{th}}$ सेकंड समान नहीं हैं)।
अतः,सही उत्तर $(a)$ है।

(C) पहली गेंद के लिए,तय की गई दूरी $h = 122.5 \ m$ है। गति के समीकरण $h = \frac{1}{2} g t^2$ का उपयोग करने पर:
$122.5 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{122.5 \times 2}{9.8} = 25$
$t = 5 \ s$.
दूसरी गेंद $2 \ s$ बाद फेंकी जाती है,इसलिए इसे पानी तक पहुँचने के लिए केवल $(5 - 2) = 3 \ s$ का समय मिलता है।
दूसरी गेंद के लिए गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2} g t^2$ का उपयोग करने पर:
$122.5 = u(3) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3)^2$
$122.5 = 3u + 4.9 \times 9$
$122.5 = 3u + 44.1$
$3u = 122.5 - 44.1 = 78.4$
$u = \frac{78.4}{3} \approx 26.13 \ m/s$.

(B) $1$. गुब्बारे की प्रारंभिक गति: गुब्बारा विरामावस्था $(u = 0)$ से $a = 2 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ शुरू होता है। $t = 1 \, s$ के बाद,गुब्बारे का वेग $v = u + at = 0 + 2(1) = 2 \, m/s$ है। गुब्बारे द्वारा तय की गई ऊँचाई $h = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}(2)(1)^2 = 1 \, m$ है।
$2$. पत्थर की गति: जब पत्थर को गिराया जाता है,तो उसका प्रारंभिक वेग उस क्षण गुब्बारे के वेग के बराबर यानी $u_s = 2 \, m/s$ (ऊपर की ओर) होता है। पत्थर $1 \, m$ की ऊँचाई पर है और उस पर गुरुत्वाकर्षण ($g = 9.8 \, m/s^2$ नीचे की ओर) कार्य करता है।
$3$. पत्थर के लिए गति का समीकरण: $s = u_s t - \frac{1}{2}gt^2$. यहाँ,$s = -1 \, m$ (क्योंकि यह प्रारंभिक बिंदु से नीचे जमीन पर गिरता है)।
$-1 = 2t - \frac{1}{2}(9.8)t^2$
$-1 = 2t - 4.9t^2$
$4.9t^2 - 2t - 1 = 0$
$4$. द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके हल करने पर:
$t = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(4.9)(-1)}}{2(4.9)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 19.6}}{9.8} = \frac{2 \pm \sqrt{23.6}}{9.8}$
धनात्मक मान लेने पर: $t = \frac{2 + 4.858}{9.8} \approx \frac{6.858}{9.8} \approx 0.7 \, s$.

(C) गेंद द्वारा अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लिया गया समय दो लगातार थ्रो के बीच का समय अंतराल है,जो $t = 2 \, s$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,गेंद का अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = u - gt$,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है:
$0 = u - (9.8)(2)$
$u = 19.6 \, m/s$।
गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ सूत्र $H = \frac{u^2}{2g}$ द्वारा दी जाती है:
$H = \frac{(19.6)^2}{2 \times 9.8}$
$H = \frac{19.6 \times 19.6}{19.6}$
$H = 19.6 \, m$।

(B) मान लीजिए कि प्रारंभिक प्रक्षेपण गति $u$ है। समय $t$ पर ऊँचाई $h$ के लिए गति का समीकरण $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $t$ में एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$।
चूँकि गेंद $t_1$ और $t_2$ समय पर समान ऊँचाई $h$ पर है,इसलिए ये द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $t_1 + t_2 = -\frac{b}{a} = \frac{u}{g/2} = \frac{2u}{g}$ होता है।
$u$ के लिए हल करने पर,हमें $u = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि गेंद को जमीन से $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है।
जब गेंद $d = (h - y)$ दूरी तय कर लेती है,जहाँ $y$ जमीन से उसकी ऊँचाई है,तो उसके वेग $v$ की गणना गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करके की जा सकती है: $v^2 = u^2 + 2as$।
यहाँ,प्रारंभिक वेग $u = 0$,त्वरण $a = g$,और तय की गई दूरी $s = h - y$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $v^2 = 0^2 + 2g(h - y)$।
अतः,ऊँचाई $y$ के फलन के रूप में वेग $v = \sqrt{2g(h - y)}$ है।

(B) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2gh$,जहाँ $v$ अंतिम वेग है,$u$ प्रारंभिक वेग है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ मीनार की ऊँचाई है।
यहाँ,प्रारंभिक वेग $u = 10 \, m/s$ (ऊपर की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
अंतिम वेग $v = -20 \, m/s$ (नीचे की दिशा को ऋणात्मक लेते हुए)।
त्वरण $g = -10 \, m/s^2$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$(-20)^2 = (10)^2 + 2(-10)(-h)$
$400 = 100 + 20h$
$300 = 20h$
$h = 15 \, m$.
अतः,मीनार की ऊँचाई $15 \, m$ है।

(A) माना मीनार की कुल ऊँचाई $H$ है और जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $T$ है। प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
ऊँचाई के पहले आधे भाग $(H/2)$ के लिए,लगा समय $t_1 = 10 \, s$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{H}{2} = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times g \times (10)^2$
$\frac{H}{2} = 50g \Rightarrow H = 100g$
कुल ऊँचाई $H$ के लिए,कुल समय $T$ इस प्रकार है:
$H = 0 \times T + \frac{1}{2} \times g \times T^2$
$100g = \frac{1}{2} \times g \times T^2$
$T^2 = 200$
$T = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \, s$
$T = 10 \times 1.414 = 14.14 \, s$.

(C) माना $h = 5 \, m$ ऊँचाई है और $\Delta t = 10 \, s$ दो बार पार करने के बीच का समय अंतराल है।
गति के समीकरण $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $gt^2 - 2ut + 2h = 0$।
माना $t_1$ और $t_2$ वे दो समय हैं जब वस्तु $h$ ऊँचाई पर होती है। ये द्विघात समीकरण $t^2 - (2u/g)t + (2h/g) = 0$ के मूल हैं।
मूलों के बीच का अंतर $|t_2 - t_1| = \sqrt{(2u/g)^2 - 4(2h/g)} = 10$ है।
माना $T = u/g$ अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय है। अतः $2T = 2u/g$।
इसलिए,$\sqrt{(2T)^2 - 8h/g} = 10$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4T^2 - 8h/g = 100$।
दिया गया है $h = 5 \, m$ और $g = 10 \, m/s^2$,अतः $4T^2 - 8(5)/10 = 100$।
$4T^2 - 4 = 100 \Rightarrow 4T^2 = 104 \Rightarrow T^2 = 26$।
$T = \sqrt{26} \, s$।
उड़ान का कुल समय $2T = 2\sqrt{26} = \sqrt{4 \times 26} = \sqrt{104} \, s$ है।

(B) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u = 52 \,m/s$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$ है।
गति के समीकरण $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर,हमें $gt^2 - 2ut + 2h = 0$ प्राप्त होता है।
यह $t$ में एक द्विघात समीकरण है,जिसके दो मूल $t_1$ और $t_2$ हैं,जो उस समय को दर्शाते हैं जब वस्तु $h$ ऊँचाई पर होती है।
मूलों का योग $t_1 + t_2 = \frac{2u}{g} = \frac{2 \times 52}{10} = 10.4 \,s$ है।
मूलों का अंतर $t_2 - t_1 = 10 \,s$ दिया गया है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2t_2 = 20.4 \,s \Rightarrow t_2 = 10.2 \,s$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2t_1 = 0.4 \,s \Rightarrow t_1 = 0.2 \,s$।
मूलों का गुणनफल $t_1 t_2 = \frac{2h}{g}$ होता है।
मान रखने पर: $0.2 \times 10.2 = \frac{2h}{10}$।
$2.04 = \frac{h}{5} \Rightarrow h = 2.04 \times 5 = 10.2 \,m$।

(B) माना कि पिंड $h = 10 \, m$ की ऊँचाई से गिराया जाता है। रेत से टकराने से पहले उसके द्वारा तय की गई मुक्त दूरी $h_1 = 10 \, m - 1 \, m = 9 \, m$ है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 0$,$a = g$,और $s = 9 \, m$:
$v^2 - 0 = 2g(9)$
$v^2 = 18g$
अब,पिंड रेत में प्रवेश करता है और $s' = 1 \, m$ की दूरी तय करने के बाद रुक जाता है। माना मंदन $a'$ है। अंतिम वेग $v_f = 0$ और प्रारंभिक वेग $v_i^2 = v^2 = 18g$ है।
$v_f^2 - v_i^2 = 2a's'$ का उपयोग करने पर:
$0 - 18g = 2(a')(1)$
$-18g = 2a'$
$a' = -9g$
अतः,मंदन का परिमाण $9g$ है।

(C) माना अधिकतम ऊँचाई $H$ है। ऊँचाई $h = H/3$ पर वेग $v = 10 \sqrt{2} \, m/s$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $v_f = 0$ होता है।
ऊँचाई $H/3$ और अधिकतम ऊँचाई $H$ के बीच गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर:
$v_f^2 = v^2 - 2g \Delta y$
यहाँ,$\Delta y = H - H/3 = 2H/3$ और $g = 10 \, m/s^2$ है।
$0^2 = (10 \sqrt{2})^2 - 2 \times 10 \times (2H/3)$
$0 = 200 - 40H/3$
$40H/3 = 200$
$H = (200 \times 3) / 40 = 15 \, m$.
अतः,प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $15 \, m$ है।

(C) माना $H$ ऊँचाई से गिरने में लगा कुल समय $T$ है। गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है:
$H = \frac{1}{2} g T^2 \Rightarrow T = \sqrt{\frac{2H}{g}}$
माना यात्रा के पहले आधे भाग,यानी $H/2$ दूरी को तय करने में लगा समय $t_1$ है:
$\frac{H}{2} = \frac{1}{2} g t_1^2 \Rightarrow t_1 = \sqrt{\frac{H}{g}}$
यात्रा के दूसरे आधे भाग को तय करने में लगा समय कुल समय और पहले आधे भाग के समय का अंतर है:
$t_2 = T - t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}} - \sqrt{\frac{H}{g}}$
$t_2 = \sqrt{\frac{H}{g}} (\sqrt{2} - 1)$