Motion Under Gravity Questions in Hindi

(C) गुरुत्वाकर्षण के तहत विरामावस्था से गिरने वाली वस्तु के लिए,$t$ समय में तय की गई दूरी $S = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
$t=0$ से शुरू होने वाले समान समय अंतराल $\Delta t$ में तय की गई दूरी विषम संख्याओं के अनुपात में होती है।
मान लीजिए समय अंतराल $\Delta t = 2\,s$ है।
पहले $2\,s$ में दूरी ($t=0$ से $t=2$): $S_1 = \frac{1}{2}g(2)^2 = 2g$.
दूसरे $2\,s$ में दूरी ($t=2$ से $t=4$): $S_2 = \frac{1}{2}g(4)^2 - \frac{1}{2}g(2)^2 = 8g - 2g = 6g$.
तीसरे $2\,s$ में दूरी ($t=4$ से $t=6$): $S_3 = \frac{1}{2}g(6)^2 - \frac{1}{2}g(4)^2 = 18g - 8g = 10g$.
अतः अनुपात $S_1 : S_2 : S_3 = 2g : 6g : 10g = 1 : 3 : 5$ है।

(C) माना कि दोनों गेंदें $t$ समय के बाद बिंदु $P$ पर मिलती हैं।
ऊपर से गिराई गई गेंद $A$ द्वारा तय की गई दूरी $h_1 = \frac{1}{2}gt^2$ है।
आधार से ऊपर फेंकी गई गेंद $B$ द्वारा तय की गई दूरी $h_2 = ut - \frac{1}{2}gt^2$ है,जहाँ $u = 50 \ m/s$ है।
टॉवर की कुल ऊँचाई $h_1 + h_2 = 400 \ m$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2}gt^2 + (ut - \frac{1}{2}gt^2) = 400$।
यह सरल होकर $ut = 400$ हो जाता है।
चूँकि $u = 50 \ m/s$ दिया गया है,$50t = 400$,जिससे $t = 8 \ s$ प्राप्त होता है।
आधार से ऊँचाई गेंद $B$ द्वारा तय की गई दूरी है,जो $h_2 = ut - \frac{1}{2}gt^2$ है।
$g = 10 \ m/s^2$ मानते हुए,$h_2 = 50(8) - \frac{1}{2}(10)(8^2) = 400 - 5(64) = 400 - 320 = 80 \ m$।

(A) $h$ ऊँचाई से गिराई गई वस्तु के लिए,जमीन तक पहुँचने में लगा समय गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,इसलिए $h = \frac{1}{2}gt^2$,जिससे $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
पहली गेंद के लिए जिसे $h_1 = h$ ऊँचाई से गिराया गया है,समय $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
दूसरी गेंद के लिए जिसे $h_2 = 2h$ ऊँचाई से गिराया गया है,समय $t_2 = \sqrt{\frac{2(2h)}{g}} = \sqrt{\frac{4h}{g}}$ है।
समय का अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2h/g}}{\sqrt{4h/g}} = \sqrt{\frac{2h}{4h}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,अनुपात $1:\sqrt{2}$ है।

(B) $n^{th}$ सेकंड में किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $h_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$।
चूंकि पिंड विरामावस्था से गिरता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
दिया गया है $g = 10\,m/s^2$ और $n = 5$ सेकंड।
सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$h_5 = 0 + \frac{10}{2}(2 \times 5 - 1)$
$h_5 = 5(10 - 1)$
$h_5 = 5 \times 9 = 45\,m$।
अतः,पांचवें सेकंड में तय की गई दूरी $45\,m$ है।

(A) प्रारंभिक वेग $u$ के साथ लंबवत ऊपर की ओर फेंकी गई वस्तु द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h_{\max}$ का सूत्र $h_{\max} = \frac{u^2}{2g}$ है।
यहाँ,प्रारंभिक वेग $u = 15 \, m/s$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$h_{\max} = \frac{(15)^2}{2 \times 10}$
$h_{\max} = \frac{225}{20}$
$h_{\max} = 11.25 \, m$।
अतः,प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $11.25 \, m$ है।

(B) जब पत्थर को ऊपर जाते हुए गुब्बारे से गिराया जाता है,तो उसका प्रारंभिक वेग $u$ गुब्बारे के वेग के बराबर और ऊपर की दिशा में होता है। मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है।
प्रारंभिक वेग $u = +29 \,ms^{-1}$।
लिया गया समय $t = 10 \,s$।
गुरुत्वीय त्वरण $g = -9.8 \,ms^{-2}$।
मान लीजिए गुब्बारे की ऊँचाई $h$ है। जब पत्थर जमीन पर पहुँचता है तो उसका विस्थापन $s = -h$ होता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$-h = (29)(10) + \frac{1}{2}(-9.8)(10)^2$
$-h = 290 - 4.9 \times 100$
$-h = 290 - 490$
$-h = -200$
$h = 200 \,m$।

(C) विराम अवस्था से छोड़ी गई गेंद के लिए,$T$ समय में तय की गई कुल ऊँचाई $h$ गति के समीकरण द्वारा दी जाती है:
$h = ut + \frac{1}{2}gT^2$
चूँकि प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,इसलिए:
$h = \frac{1}{2}gT^2$ --- $(1)$
$t = \frac{T}{3}$ समय के बाद,शीर्ष से गेंद द्वारा तय की गई दूरी $h'$ है:
$h' = \frac{1}{2}g\left(\frac{T}{3}\right)^2 = \frac{1}{2}g\left(\frac{T^2}{9}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{1}{2}gT^2\right)$
समीकरण $(1)$ का मान इसमें रखने पर:
$h' = \frac{h}{9}$
जमीन से गेंद की स्थिति कुल ऊँचाई में से शीर्ष से तय की गई दूरी को घटाने पर प्राप्त होती है:
$\text{जमीन से स्थिति} = h - h' = h - \frac{h}{9} = \frac{8h}{9} \text{ मीटर}$.

(C) गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति के समीकरणों के अनुसार,$h$ ऊंचाई से गिरने में लगा समय $t$,$h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है,जिसे $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
चूंकि गुरुत्वीय त्वरण $g$ वस्तु के द्रव्यमान या घनत्व से स्वतंत्र है,इसलिए दोनों गेंदें समान त्वरण का अनुभव करेंगी।
अतः,दोनों गेंदें पृथ्वी पर एक साथ पहुंचेंगी।

(C) जब पैकेट को गुब्बारे से छोड़ा जाता है,तो प्रारंभ में उसका वेग गुब्बारे के वेग के समान होता है,जो कि $u = +12 \, m/s$ है (ऊपर की दिशा को धनात्मक मानते हुए)।
छोड़े जाने के बाद,पैकेट केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में होता है,इसलिए इसका त्वरण $a = -g = -9.8 \, m/s^2$ है।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = u + at$:
$v = 12 + (-9.8) \times 2$
$v = 12 - 19.6$
$v = -7.6 \, m/s$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि पैकेट नीचे की ओर गति कर रहा है।

(B) मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g = 9.8 \ m/s^2$ है।
कुल समय $t$ के लिए गति के अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र है:
$S_{\text{last}} = u + \frac{g}{2}(2t - 1) = 0 + \frac{9.8}{2}(2t - 1) = 4.9(2t - 1)$.
पहले $3 \ s$ में तय की गई दूरी:
$S_{3} = ut + \frac{1}{2}gt^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3)^2 = 4.9 \times 9 = 44.1 \ m$.
प्रश्न के अनुसार,$S_{\text{last}} = S_{3}$:
$4.9(2t - 1) = 44.1$
$2t - 1 = \frac{44.1}{4.9}$
$2t - 1 = 9$
$2t = 10$
$t = 5 \ s$.

(C) जब किसी पिंड को $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो उस पर नीचे की ओर गुरुत्वीय त्वरण $g$ भी कार्य करता है।
चूंकि त्वरण $a$ ऊपर की दिशा में है और गुरुत्वीय त्वरण $g$ नीचे की दिशा में है,इसलिए शुद्ध (प्रभावी) त्वरण दोनों का अंतर होगा।
अतः,प्रभावी त्वरण = $a - g$.

(B) $n$ वें सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि पिंड ऊपर की ओर गति कर रहा है,गुरुत्वीय त्वरण $-g$ है। अतः,$S_n = u - \frac{g}{2}(2n - 1)$.
$5$ वें सेकंड के लिए $(n=5)$: $S_5 = u - \frac{g}{2}(2(5) - 1) = u - 4.5g$.
$6$ वें सेकंड के लिए $(n=6)$: $S_6 = u - \frac{g}{2}(2(6) - 1) = u - 5.5g$.
हालाँकि,तय की गई दूरी विस्थापन का परिमाण है। यदि पिंड $5$ वें और $6$ वें सेकंड के बीच अपने उच्चतम बिंदु पर पहुँचता है,तो $5$ वें सेकंड में विस्थापन धनात्मक होता है और $6$ वें सेकंड में ऋणात्मक होता है।
दिया गया है $|S_5| = |S_6|$,इसलिए $u - 4.5g = -(u - 5.5g)$.
$u - 4.5g = -u + 5.5g$.
$2u = 10g$.
$u = 5g = 5 \times 9.8 = 49\, m/s$.

(B) किसी पिंड को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर $u$ प्रारंभिक वेग से फेंकने पर प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र है: $H = \frac{u^2}{2g}$।
इस संबंध से स्पष्ट है कि $H \propto u^2$।
हवा के प्रतिरोध की अनुपस्थिति में,पिंड का द्रव्यमान अधिकतम ऊँचाई को प्रभावित नहीं करता है,इसलिए द्रव्यमान में परिवर्तन का कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा।
यदि प्रारंभिक वेग को दोगुना $(u' = 2u)$ कर दिया जाए,तो नई अधिकतम ऊँचाई $H'$ होगी: $H' = \frac{(2u)^2}{2g} = 4 \times \frac{u^2}{2g} = 4H$।
चूँकि $H = 50 \,m$ दिया गया है,इसलिए नई ऊँचाई $H' = 4 \times 50 \,m = 200 \,m$ होगी।

(A) $1$. मुक्त पतन चरण (बिंदु $A$ से $B$ तक): पैराशूटिस्ट गुरुत्वाकर्षण के तहत $s_1 = 50\, m$ की दूरी तक मुक्त रूप से गिरता है। प्रारंभिक वेग $u_1 = 0$,त्वरण $a_1 = 9.8\, m/s^2$ है।
बिंदु $B$ पर वेग $v$ इस प्रकार है: $v^2 = u_1^2 + 2a_1s_1 = 0 + 2 \times 9.8 \times 50 = 980$.
अतः,$v = \sqrt{980}\, m/s$.
$2$. मंदन चरण (बिंदु $B$ से $C$ तक): पैराशूट खुलता है और पैराशूटिस्ट $a_2 = -2\, m/s^2$ की दर से मंदन करता है। जमीन पर अंतिम वेग $v_f = 3\, m/s$ है। मान लीजिए तय की गई दूरी $h$ है।
समीकरण $v_f^2 = v^2 + 2a_2h$ का उपयोग करने पर:
$(3)^2 = 980 + 2(-2)h$
$9 = 980 - 4h$
$4h = 980 - 9 = 971$
$h = 971 / 4 = 242.75\, m$.
$3$. कुल ऊँचाई: वह कुल ऊँचाई जहाँ से उसने छलांग लगाई थी,$H = s_1 + h = 50 + 242.75 = 292.75\, m \approx 293\, m$ है।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, यदि किसी कण पर केवल गुरुत्वाकर्षण बल कार्य कर रहा हो, तो उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
मान लीजिए मीनार की ऊँचाई $h$ है और प्रत्येक कण की प्रारंभिक चाल $u$ है।
मीनार की चोटी पर प्रत्येक कण की प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2}mu^2 + mgh$ है।
जमीन से टकराने से ठीक पहले प्रत्येक कण की अंतिम ऊर्जा $E_f = \frac{1}{2}mV^2 + 0$ है, जहाँ $V$ अंतिम चाल है।
चूँकि $E_i = E_f$, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2}mu^2 + mgh = \frac{1}{2}mV^2$
$u^2 + 2gh = V^2$
$V = \sqrt{u^2 + 2gh}$
चूँकि तीनों कणों के लिए $u$ और $h$ समान हैं, इसलिए प्रक्षेपण की दिशा चाहे जो भी हो, तीनों कणों के लिए अंतिम चाल $V$ समान रहेगी।
अतः, $V_A = V_B = V_C$।

(C) मान लीजिए मीनार की ऊंचाई $h$ है। गुरुत्वीय त्वरण $g$ नीचे की ओर कार्य करता है।
पहले पत्थर के लिए जिसे $u$ गति से ऊपर फेंका गया है:
जब यह मीनार की चोटी के स्तर पर वापस आता है,तो इसकी गति नीचे की ओर $u$ होती है। गति के तीसरे समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v$ जमीन पर अंतिम गति है,$u$ मीनार की चोटी पर प्रारंभिक गति है,$a = g$ और $s = h$ है:
$v_1^2 = u^2 + 2gh$
दूसरे पत्थर के लिए जिसे $u$ गति से नीचे फेंका गया है:
नीचे की ओर $u$ प्रारंभिक गति और $a = g$ के साथ उसी गति के समीकरण का उपयोग करते हुए:
$v_2^2 = u^2 + 2gh$
चूंकि अंतिम गति $v_1$ और $v_2$ केवल प्रारंभिक गति $u$,ऊंचाई $h$ और त्वरण $g$ पर निर्भर करती है,इसलिए दोनों पत्थर समान गति से जमीन पर टकराएंगे। वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में द्रव्यमान अंतिम गति को प्रभावित नहीं करता है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) प्रारंभिक वेग $u$ के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर फेंकी गई गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{u^2}{2g}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $h \propto u^2$,जिसका अर्थ है $u \propto \sqrt{h}$।
मान लीजिए कि $h$ ऊँचाई के लिए प्रारंभिक वेग $V_o$ है और $3h$ ऊँचाई के लिए नया वेग $V'$ है।
अतः,$\frac{V'}{V_o} = \sqrt{\frac{3h}{h}} = \sqrt{3}$।
इसलिए,$V' = \sqrt{3} V_o$।

(C) $h$ ऊँचाई से गिराए गए पत्थर के लिए गति का समीकरण: $h = \frac{1}{2} g t^2$ ... $(i)$
$u$ वेग से ऊपर की ओर फेंके गए पत्थर के लिए: $h = u t_1 - \frac{1}{2} g t_1^2$ ... (ii)
$u$ वेग से नीचे की ओर फेंके गए पत्थर के लिए: $h = u t_2 + \frac{1}{2} g t_2^2$ ... (iii)
$(i)$,(ii) और (iii) की तुलना करने पर:
$u t_1 = \frac{1}{2} g (t^2 + t_1^2)$ ... (iv)
$u t_2 = \frac{1}{2} g (t^2 - t_2^2)$ ... $(v)$
(iv) को $(v)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{t_1}{t_2} = \frac{t^2 + t_1^2}{t^2 - t_2^2}$
$t^2 (t_1 - t_2) = t_1 t_2 (t_1 - t_2)$
अतः,$t^2 = t_1 t_2$,इसलिए $t = \sqrt{t_1 t_2}$.

(C) मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है और नीचे की दिशा ऋणात्मक है। प्रारंभिक स्थिति $y_0 = h$ है और अंतिम स्थिति $y = 0$ है।
गति के समीकरण $y = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ का उपयोग करते हुए:
$0 = h + vt - \frac{1}{2} g t^2$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करके $t$ में द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं:
$\frac{1}{2} g t^2 - vt - h = 0$
$g t^2 - 2vt - 2h = 0$
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए:
$t = \frac{2v \pm \sqrt{(-2v)^2 - 4(g)(-2h)}}{2g}$
$t = \frac{2v \pm \sqrt{4v^2 + 8gh}}{2g}$
चूंकि समय धनात्मक होना चाहिए,हम धनात्मक मान लेते हैं:
$t = \frac{2v + 2\sqrt{v^2 + 2gh}}{2g}$
$t = \frac{v}{g} + \frac{\sqrt{v^2(1 + \frac{2gh}{v^2})}}{g}$
$t = \frac{v}{g} \left[ 1 + \sqrt{1 + \frac{2gh}{v^2}} \right]$

(C) मान लीजिए कि कण $d = 1\, m$ की क्रमिक दूरियाँ तय करता है।
$n$ मीटर की कुल दूरी $H_n = n \times d = n$ तय करने में लगा कुल समय $T_n$,$H_n = \frac{1}{2}g T_n^2$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $T_n = \sqrt{\frac{2n}{g}}$।
$n$-वीं $1\, m$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_n$,$n$ मीटर गिरने के कुल समय और $(n-1)$ मीटर गिरने के कुल समय का अंतर है।
$t_n = T_n - T_{n-1} = \sqrt{\frac{2n}{g}} - \sqrt{\frac{2(n-1)}{g}} = \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{n} - \sqrt{n-1})$।
इस प्रकार,क्रमिक अंतरालों के लिए लिया गया समय $(\sqrt{1} - \sqrt{0}), (\sqrt{2} - \sqrt{1}), (\sqrt{3} - \sqrt{2}), \dots$ के अनुपात में है,जो $1, (\sqrt{2} - 1), (\sqrt{3} - \sqrt{2}), \dots$ के रूप में सरल हो जाता है।

(D) लगातार फेंकी गई गेंदों के बीच का अंतराल $\Delta t = 2\,s$ है।
किसी भी समय दो से अधिक गेंदों के हवा में रहने के लिए,पहली गेंद का उड़ान समय $(T)$,तीसरी गेंद को फेंकने में लगने वाले समय से अधिक होना चाहिए।
पहली गेंद $t = 0$ पर फेंकी जाती है।
दूसरी गेंद $t = 2\,s$ पर फेंकी जाती है।
तीसरी गेंद $t = 4\,s$ पर फेंकी जाती है।
तीसरी गेंद फेंके जाने के समय पहली गेंद के हवा में रहने के लिए,उसका उड़ान समय $T > 4\,s$ होना चाहिए।
चूंकि उड़ान का समय $T = \frac{2u}{g}$ होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{2u}{9.8} > 4$
$2u > 39.2$
$u > 19.6\,m/s$.
अतः,फेंकने की गति $19.6\,m/s$ से अधिक होनी चाहिए।

(A) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद की गति सममित होती है। गेंद द्वारा अपनी ऊपर की गति के अंतिम $t$ सेकंड के दौरान तय की गई दूरी,उच्चतम बिंदु से नीचे की ओर गति के पहले $t$ सेकंड में तय की गई दूरी के बिल्कुल बराबर होती है।
उच्चतम बिंदु पर,नीचे की ओर गति के लिए प्रारंभिक वेग $u_{down} = 0$ होता है।
नीचे की ओर गति के लिए गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
यहाँ,$u = 0$,$a = g$,और समय $= t$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h = (0)t + \frac{1}{2}gt^2$
$h = \frac{1}{2}gt^2$
अतः,इसकी ऊपर की गति के अंतिम $t$ सेकंड के दौरान तय की गई दूरी $\frac{1}{2}gt^2$ है।

(D) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित पिंड के लिए गति का समीकरण $v = u - gt$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ अंतिम वेग है,$u$ प्रारंभिक वेग है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $t$ समय है।
चूंकि $g$ स्थिर है,इसलिए यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जो एक सरल रेखा को दर्शाता है।
अतः,ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित पिंड के लिए वेग-समय ग्राफ $-g$ के बराबर ऋणात्मक ढाल वाली एक सरल रेखा होती है।

(B) जब एक गेंद को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो वायु प्रतिरोध गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
ऊपर की ओर गति के दौरान,गुरुत्वाकर्षण $(g)$ और वायु प्रतिरोध $(a)$ दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं। अतः,शुद्ध त्वरण $a_{up} = -(g + a)$ है,जो स्थिर है और नीचे की ओर निर्देशित है। चूंकि त्वरण स्थिर है,गति समय के साथ रैखिक रूप से घटती है।
नीचे की ओर गति के दौरान,गुरुत्वाकर्षण $(g)$ नीचे की ओर और वायु प्रतिरोध $(a)$ ऊपर की ओर कार्य करता है। अतः,शुद्ध त्वरण $a_{down} = (g - a)$ है,जो भी स्थिर है और नीचे की ओर निर्देशित है। चूंकि त्वरण स्थिर है,गति समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है।
हालाँकि,चूंकि $|a_{up}| > |a_{down}|$ है,इसलिए गति-समय ग्राफ का ढलान (जो त्वरण के परिमाण को दर्शाता है) ऊपर की ओर गति के दौरान नीचे की ओर गति की तुलना में अधिक तीव्र होगा। यह विकल्प $B$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) जब किसी वस्तु को ऊंचाई से गिराया जाता है,तो वह गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त रूप से गिरती है।
विराम अवस्था से गिरने वाली वस्तु के लिए गति के समीकरणों के अनुसार,शुरुआती बिंदु से $h$ दूरी पर वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गुरुत्वीय त्वरण $g$ स्थिर है और वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र है,इसलिए जमीन से किसी भी ऊंचाई पर दोनों पिंडों द्वारा प्राप्त वेग समान होगा।
अतः,जमीन से $20 cm$ की दूरी पर,दोनों पिंडों का वेग समान होगा।

(B) $h$ ऊँचाई से गुरुत्वाकर्षण के तहत गिरने वाली वस्तु के लिए नीचे आने का समय $t$,गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि गेंदों को विरामावस्था से गिराया जाता है,इसलिए $u = 0$,अतः $h = \frac{1}{2}gt^2$ होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
निर्वात में,कोई वायु प्रतिरोध नहीं होता है,और वस्तुओं पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है। चूँकि समय $t$ केवल ऊँचाई $h$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करता है,और दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान या पदार्थ से स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों गेंदें जमीन तक पहुँचने में समान समय लेंगी।
अतः,लिया गया समय बिल्कुल बराबर है।

(A) $h$ ऊँचाई से विरामावस्था से गिरने वाली वस्तु के लिए गति का समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $t$ लिया गया समय है।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
निर्वात में,कोई वायु प्रतिरोध नहीं होता है,और गुरुत्वीय त्वरण $g$ गिरने वाली वस्तु के द्रव्यमान और आकार से स्वतंत्र होता है।
चूंकि दोनों गेंदें समान ऊँचाई $h$ से गिराई जाती हैं और समान त्वरण $g$ का अनुभव करती हैं,इसलिए जमीन तक पहुँचने में लिया गया समय $t$ दोनों के लिए समान होगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) जब किसी गेंद को प्रारंभिक वेग $u$ के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो किसी भी समय $t$ पर उसका वेग $v = u - gt$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चाल वेग का परिमाण है,इसलिए $\text{Speed} = |v| = |u - gt|$.
ऊपर की यात्रा के दौरान,जैसे-जैसे $t$,$0$ से $u/g$ तक बढ़ता है,वेग $u$ से $0$ तक रैखिक रूप से घटता है। अतः,चाल रैखिक रूप से घटती है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग $0$ होता है,इसलिए चाल भी $0$ होती है।
नीचे की यात्रा के दौरान,वेग ऋणात्मक हो जाता है और जैसे-जैसे $t$,$u/g$ से आगे बढ़ता है,इसका परिमाण $0$ से रैखिक रूप से बढ़ता है। अतः,चाल रैखिक रूप से बढ़ती है।
इसलिए,चाल-समय ग्राफ दो सीधी रेखाओं से बना होता है जो समय अक्ष पर मिलती हैं,जो एक रैखिक कमी और उसके बाद एक रैखिक वृद्धि को दर्शाती हैं। यह विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(D) जब एक गेंद को प्रारंभिक वेग $u$ के साथ ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो यह नीचे की ओर कार्य करने वाले निरंतर गुरुत्वीय त्वरण $g$ के प्रभाव में गति करती है।
ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर,किसी भी समय $t$ पर वेग $v = u - gt$ द्वारा दिया जाता है।
यह $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ ढाल $-g$ (एक निरंतर ऋणात्मक मान) है।
प्रारंभ में,वेग धनात्मक होता है और जैसे-जैसे गेंद ऊपर जाती है,यह रैखिक रूप से घटता जाता है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग शून्य हो जाता है।
अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचने के बाद,गेंद नीचे की ओर गति करना शुरू कर देती है,इसलिए इसका वेग ऋणात्मक हो जाता है और गुरुत्वाकर्षण के कारण निरंतर दर से घटता (अधिक ऋणात्मक होता) रहता है।
इसलिए,वेग-समय ग्राफ एक निरंतर ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है जो समय अक्ष को पार करती है,जो ऊपर की गति (धनात्मक वेग) से नीचे की गति (ऋणात्मक वेग) में परिवर्तन को दर्शाती है।
यह विकल्प $D$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 15 \ m/s$,अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $v = 0 \ m/s$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 = u^2 - 2gH$.
मान रखने पर: $0^2 = (15)^2 - 2 \times 10 \times H$.
$0 = 225 - 20H$.
$20H = 225$.
$H = \frac{225}{20} = 11.25 \ m$.
अतः,गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $11.25 \ m$ है।

(A) गेंद द्वारा अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लिया गया कुल समय $T = \frac{u}{g}$ है।
ऊपर की गति के अंतिम $t$ सेकंड में गति,विराम अवस्था से $t$ सेकंड के लिए मुक्त रूप से गिरने वाली वस्तु की गति के समतुल्य है।
मान लीजिए कि गेंद $T = \frac{u}{g}$ समय पर अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचती है। इस बिंदु पर,इसका वेग $v = 0$ है।
गति को विपरीत दिशा में देखने पर (अधिकतम ऊँचाई से $t=0$ समय पर शुरू करते हुए,प्रारंभिक वेग $u_0 = 0$ और नीचे की ओर त्वरण $g$ के साथ),$t$ समय में तय की गई दूरी $h$ गति के समीकरण द्वारा दी जाती है:
$h = u_0 t + \frac{1}{2} g t^2$
चूंकि $u_0 = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$h = 0 \cdot t + \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} g t^2$
अतः,अंतिम $t$ सेकंड में तय की गई दूरी $\frac{1}{2} g t^2$ है।

(B) माना अधिकतम ऊँचाई $H$ है। प्रारंभिक वेग $u$ है। अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $0$ होता है।
समीकरण $v^2 = u^2 - 2gh$ का उपयोग करते हुए,अधिकतम ऊँचाई $H$ पर,$0 = u^2 - 2gH$,जिससे हमें $u^2 = 2gH$ प्राप्त होता है।
अधिकतम ऊँचाई की आधी ऊँचाई पर,$h = H/2$,वेग $v = 10 \ m/s$ है।
इन मानों को समीकरण $v^2 = u^2 - 2gh$ में रखने पर:
$(10)^2 = u^2 - 2g(H/2)$
$100 = u^2 - gH$
चूँकि $u^2 = 2gH$,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$100 = 2gH - gH$
$100 = gH$
चूँकि $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $100 = 10 \times H$।
अतः,$H = 10 \ m$।

(B) मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है और नीचे की दिशा ऋणात्मक है।
प्रारंभिक वेग $u = +20 \, m/s$ है।
विस्थापन $s = -200 \, m$ है (क्योंकि यह शुरुआती बिंदु से नीचे गिरता है)।
त्वरण $a = g = -10 \, m/s^2$ है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2as$.
$v^2 = (20)^2 + 2(-10)(-200)$.
$v^2 = 400 + 4000 = 4400$.
$v = \sqrt{4400} \approx 66.33 \, m/s$.
यदि हम ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करें:
शीर्ष पर कुल ऊर्जा = तल पर कुल ऊर्जा।
$\frac{1}{2}mu^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2$.
$v^2 = u^2 + 2gh = (20)^2 + 2(10)(200) = 400 + 4000 = 4400$.
$v = \sqrt{4400} \approx 66.33 \, m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, निकटतम पूर्णांक मान $65 \, m/s$ है।

(C) विरामावस्था से गिरती हुई वस्तु के लिए,$h$ दूरी तय करने के बाद वेग $v$ को गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ $u = 0$,$a = g$,और $s = h$ है।
अतः,$V^2 = 0 + 2gh$ ... $(i)$
मान लीजिए कि $2V$ का वेग प्राप्त करने के लिए तय की गई कुल दूरी $x$ है। उसी समीकरण का उपयोग करने पर:
$(2V)^2 = 0 + 2gx$
$4V^2 = 2gx$ ... (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$4V^2 / V^2 = (2gx) / (2gh)$
$4 = x / h$
$x = 4h$
$2V$ वेग तक पहुँचने के लिए कुल दूरी $4h$ है। अतः,बिंदु $B$ से उसे और कितनी अतिरिक्त दूरी तय करनी होगी,वह $x - h = 4h - h = 3h$ होगी।

(C) माना टावर की ऊँचाई $h$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g$ है। मुक्त रूप से गिरने के लिए समय $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
जब पत्थर को $V_0$ वेग से ऊपर फेंका जाता है,तो विस्थापन $-h$ होता है:
$-h = V_0 t_1 - \frac{1}{2}g t_1^2 \implies h = \frac{1}{2}g t_1^2 - V_0 t_1$. चूँकि $h = \frac{1}{2}gt^2$,इसलिए $\frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}g t_1^2 - V_0 t_1 \implies V_0 t_1 = \frac{1}{2}g(t_1^2 - t^2) \dots (1)$.
जब पत्थर को $V_0$ वेग से नीचे फेंका जाता है,तो विस्थापन $-h$ होता है:
$-h = -V_0 t_2 - \frac{1}{2}g t_2^2 \implies h = V_0 t_2 + \frac{1}{2}g t_2^2$. चूँकि $h = \frac{1}{2}gt^2$,इसलिए $\frac{1}{2}gt^2 = V_0 t_2 + \frac{1}{2}g t_2^2 \implies V_0 t_2 = \frac{1}{2}g(t^2 - t_2^2) \dots (2)$.
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{V_0 t_1}{V_0 t_2} = \frac{\frac{1}{2}g(t_1^2 - t^2)}{\frac{1}{2}g(t^2 - t_2^2)} \implies \frac{t_1}{t_2} = \frac{t_1^2 - t^2}{t^2 - t_2^2}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $t_1 t^2 - t_1 t_2^2 = t_2 t_1^2 - t_2 t^2$.
$t^2(t_1 + t_2) = t_1 t_2(t_1 + t_2)$.
$t^2 = t_1 t_2 \implies t = \sqrt{t_1 t_2}$.

(B) माना जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $n$ सेकंड है।
कुल तय की गई दूरी $h = \frac{1}{2}gn^2$ है ---$(1)$
अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,$S_n = \frac{9h}{25}$ है।
समीकरण $(1)$ से $h$ का मान $S_n$ के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{g}{2}(2n - 1) = \frac{9}{25} \times (\frac{1}{2}gn^2)$
$(2n - 1) = \frac{9n^2}{25}$
$50n - 25 = 9n^2$
$9n^2 - 50n + 25 = 0$
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके हल करने पर:
$n = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{18} = \frac{50 \pm \sqrt{1600}}{18} = \frac{50 \pm 40}{18}$
धनात्मक मान लेने पर,$n = \frac{90}{18} = 5 \, s$ प्राप्त होता है।
अब,$n = 5$ का मान समीकरण $(1)$ में $g = 9.8 \, m/s^2$ के साथ रखने पर:
$h = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (5)^2 = 4.9 \times 25 = 122.5 \, m$.

(A) वस्तु को गिराया गया है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0\, m/s$ है।
जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = 4\, s$ है।
मुक्त पतन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर: $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$.
$u = 0$,$g = 10\, m/s^2$ और $t = 4\, s$ का मान रखने पर:
$h = 0 \times 4 + \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2$.
$h = 0 + 5 \times 16$.
$h = 80\, m$.
अतः,टावर की ऊंचाई $80\, m$ है।

(A) $h$ ऊँचाई से गिराए गए किसी पिंड द्वारा जमीन तक पहुँचने में लिया गया समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूँकि दोनों पिंडों को गिराया गया है,उनका प्रारंभिक वेग $0$ है और वे समान गुरुत्वीय त्वरण $g$ के प्रभाव में हैं।
पिंड $A$ द्वारा लिए गए समय $(t_A)$ और पिंड $B$ द्वारा लिए गए समय $(t_B)$ का अनुपात है:
$\frac{t_A}{t_B} = \frac{\sqrt{\frac{2h_A}{g}}}{\sqrt{\frac{2h_B}{g}}} = \sqrt{\frac{h_A}{h_B}}$
यहाँ $h_A = 16\,m$ और $h_B = 25\,m$ दिया गया है:
$\frac{t_A}{t_B} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} = 0.8$
अतः,लिए गए समय का अनुपात $0.8$ है।

(A) मान लीजिए कि प्लेटफॉर्म से जिस दूरी पर दोनों गेंदें मिलती हैं,वह $x$ है।
पहली गेंद के लिए:
प्रारंभिक वेग $u_1 = 0$,समय $t_1 = 18\,s$,त्वरण $g = 10\,m/s^2$ है।
गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर:
$x = 0 \times 18 + \frac{1}{2} \times 10 \times (18)^2 = 5 \times 324 = 1620\,m$।
दूसरी गेंद के लिए:
प्रारंभिक वेग $u_2 = v$,समय $t_2 = 18 - 6 = 12\,s$,त्वरण $g = 10\,m/s^2$ है।
गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर:
$x = v \times 12 + \frac{1}{2} \times 10 \times (12)^2 = 12v + 5 \times 144 = 12v + 720$।
$x$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$1620 = 12v + 720$
$12v = 1620 - 720 = 900$
$v = \frac{900}{12} = 75\,m/s$।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$ और ऊँचाई $h = 20 \, m$ है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 = u^2 + 2gh$.
मान रखने पर: $v^2 = 0^2 + 2 \times 10 \times 20$.
$v^2 = 400$.
वर्गमूल लेने पर: $v = \sqrt{400} = 20 \, m/s$.
अतः,वह वेग जिससे पत्थर जमीन से टकराता है,$20 \, m/s$ है।

(B) विराम अवस्था से मुक्त रूप से गिरने वाली वस्तु के लिए $(u = 0)$,$t$ समय में तय की गई दूरी $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
$1$. पहले $5 \ s$ में तय की गई दूरी $(t = 5 \ s)$:
$h_1 = \frac{1}{2}g(5)^2 = \frac{25}{2}g$ ... $(i)$
$2$. पहले $10 \ s$ में तय की गई दूरी $(t = 10 \ s)$:
$h_1 + h_2 = \frac{1}{2}g(10)^2 = \frac{100}{2}g$ ... (ii)
$3$. पहले $15 \ s$ में तय की गई दूरी $(t = 15 \ s)$:
$h_1 + h_2 + h_3 = \frac{1}{2}g(15)^2 = \frac{225}{2}g$ ... (iii)
(ii) में से $(i)$ घटाने पर:
$h_2 = (h_1 + h_2) - h_1 = \frac{100}{2}g - \frac{25}{2}g = \frac{75}{2}g = 3 \left( \frac{25}{2}g \right) = 3h_1$
(iii) में से (ii) घटाने पर:
$h_3 = (h_1 + h_2 + h_3) - (h_1 + h_2) = \frac{225}{2}g - \frac{100}{2}g = \frac{125}{2}g = 5 \left( \frac{25}{2}g \right) = 5h_1$
अतः,$h_1 = \frac{h_2}{3} = \frac{h_3}{5}$.

(B) जब एक पत्थर को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो जमीन से टकराते समय उसका वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
अतः,प्रारंभिक संवेग $P = m\sqrt{2gh} \dots (i)$ है।
यदि ऊँचाई में $100\%$ की वृद्धि की जाती है,तो नई ऊँचाई $h' = h + 100\% \text{ of } h = h + h = 2h$ होगी।
नया संवेग $P'$ होगा $P' = m\sqrt{2g(2h)} = m\sqrt{2gh} \times \sqrt{2} = P\sqrt{2}$।
यहाँ $\sqrt{2} \approx 1.414$ लेने पर।
संवेग में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{P' - P}{P} \times 100\% = \frac{P\sqrt{2} - P}{P} \times 100\% = (\sqrt{2} - 1) \times 100\%$.
$= (1.414 - 1) \times 100\% = 0.414 \times 100\% = 41.4\% \approx 41\%$.

(A) $h$ ऊँचाई से गिराए गए पहले पत्थर के लिए,प्रारंभिक वेग $u_1 = 0$ है। $t$ समय में इसके द्वारा तय की गई दूरी $h_1 = \frac{1}{2}gt^2$ है।
जमीन से ऊपर की ओर फेंके गए दूसरे पत्थर के लिए,यह अधिकतम $H = 4h$ ऊँचाई तक पहुँचता है। सूत्र $H = \frac{u_2^2}{2g}$ का उपयोग करने पर,$4h = \frac{u_2^2}{2g}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $u_2^2 = 8gh$ या $u_2 = \sqrt{8gh}$।
$t$ समय में दूसरे पत्थर द्वारा तय की गई दूरी $h_2 = u_2t - \frac{1}{2}gt^2 = \sqrt{8gh}t - \frac{1}{2}gt^2$ है।
चूंकि पत्थर एक-दूसरे को पार करते हैं,इसलिए उनके द्वारा तय की गई दूरियों का योग कुल ऊँचाई $h$ के बराबर होना चाहिए,अतः $h_1 + h_2 = h$।
मान रखने पर: $\frac{1}{2}gt^2 + (\sqrt{8gh}t - \frac{1}{2}gt^2) = h$।
इसे सरल करने पर $\sqrt{8gh}t = h$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{h}{\sqrt{8gh}} = \sqrt{\frac{h^2}{8gh}} = \sqrt{\frac{h}{8g}}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$ है।
पहला कंचा $t = 0$ पर गिराया जाता है और $t = 4 \, s$ पर जमीन पर पहुँचता है। चोटी से इसकी दूरी $h_1 = \frac{1}{2} g (4)^2 = 8g = 80 \, m$ है।
दूसरा कंचा $t = 1 \, s$ पर गिराया जाता है,इसलिए $t = 4 \, s$ पर,यह $3 \, s$ तक गिर चुका होगा। इसकी दूरी $h_2 = \frac{1}{2} g (3)^2 = 4.5g = 45 \, m$ है।
तीसरा कंचा $t = 2 \, s$ पर गिराया जाता है,इसलिए $t = 4 \, s$ पर,यह $2 \, s$ तक गिर चुका होगा। इसकी दूरी $h_3 = \frac{1}{2} g (2)^2 = 2g = 20 \, m$ है।
चौथा कंचा $t = 3 \, s$ पर गिराया जाता है,इसलिए $t = 4 \, s$ पर,यह $1 \, s$ तक गिर चुका होगा। इसकी दूरी $h_4 = \frac{1}{2} g (1)^2 = 0.5g = 5 \, m$ है।
पहले और दूसरे कंचे के बीच की दूरी $h_1 - h_2 = 80 - 45 = 35 \, m$ है।
दूसरे और तीसरे कंचे के बीच की दूरी $h_2 - h_3 = 45 - 20 = 25 \, m$ है।
तीसरे और चौथे कंचे के बीच की दूरी $h_3 - h_4 = 20 - 5 = 15 \, m$ है।
अतः,दूरियाँ $35 \, m, 25 \, m$ और $15 \, m$ हैं।

(B) गुब्बारा विरामावस्था से $a = g/8$ त्वरण के साथ गति शुरू करता है। $h$ ऊँचाई पर इसका वेग $v^2 = u^2 + 2ah = 0 + 2(g/8)h = gh/4$ के अनुसार $v = \frac{1}{2}\sqrt{gh}$ होगा।
जब पत्थर छोड़ा जाता है,तो इसका प्रारंभिक वेग $v = \frac{1}{2}\sqrt{gh}$ (ऊपर की ओर) होता है।
पत्थर के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$,जहाँ $s = -h$ (नीचे की ओर विस्थापन),$u = v = \frac{1}{2}\sqrt{gh}$,और $a = -g$ है।
$-h = (\frac{1}{2}\sqrt{gh})t - \frac{1}{2}gt^2$.
इसे व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{2}gt^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{gh})t - h = 0$.
$2/g$ से गुणा करने पर: $t^2 - (\sqrt{h/g})t - 2h/g = 0$.
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{\sqrt{h/g} \pm \sqrt{h/g + 8h/g}}{2} = \frac{\sqrt{h/g} \pm 3\sqrt{h/g}}{2}$.
धनात्मक मान लेने पर,$t = \frac{4\sqrt{h/g}}{2} = 2\sqrt{\frac{h}{g}}$।

(B) मान लीजिए कि मीनार मूल बिंदु है। ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंके गए पिंड के लिए,$t$ समय के बाद विस्थापन $y_1 = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$ है।
ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर फेंके गए पिंड के लिए,$t$ समय के बाद विस्थापन $y_2 = -v_0t - \frac{1}{2}gt^2$ है (नीचे की दिशा को ऋणात्मक लेते हुए)।
दोनों पिंडों के बीच की दूरी उनकी स्थितियों के अंतर का परिमाण है: $d = |y_1 - y_2|$.
$d = |(v_0t - \frac{1}{2}gt^2) - (-v_0t - \frac{1}{2}gt^2)|$.
$d = |v_0t - \frac{1}{2}gt^2 + v_0t + \frac{1}{2}gt^2| = |2v_0t| = 2v_0t$.

(D) माना मीनार की कुल ऊंचाई $h$ है और जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $t$ सेकंड है।
चूंकि वस्तु स्वतंत्र रूप से गिरती है,प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,$h = \frac{1}{2}gt^2$ ... $(i)$.
अंतिम सेकंड में,वस्तु कुल ऊंचाई का $36\%$ यानी $0.36h$ तय करती है।
इसलिए,पहले $(t - 1)$ सेकंड में,वस्तु शेष ऊंचाई तय करती है: $h - 0.36h = 0.64h$.
$(t - 1)$ सेकंड के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $0.64h = \frac{1}{2}g(t - 1)^2$ ... $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{0.64h}{h} = \frac{\frac{1}{2}g(t - 1)^2}{\frac{1}{2}gt^2}$
$0.64 = \frac{(t - 1)^2}{t^2}$
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर: $0.8 = \frac{t - 1}{t}$.
$0.8t = t - 1 \implies 0.2t = 1 \implies t = 5 \text{ s}$.
$t = 5$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर ($g = 10 \text{ m/s}^2$ लेते हुए):
$h = \frac{1}{2} \times 10 \times (5)^2 = 5 \times 25 = 125 \text{ m}$.

(D) माना कि प्रक्षेपण का प्रारंभिक वेग $u$ है। ऊँचाई $h$ पर कण के लिए गति का समीकरण $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $t$ में एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$।
इस समीकरण के मूल $t_1$ और $t_2$ हैं,जो यह दर्शाते हैं कि कण ऊपर जाते समय और नीचे आते समय किस समय पर $h$ ऊँचाई पर है।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $t_1 + t_2 = -\frac{b}{a} = \frac{u}{1/2g} = \frac{2u}{g}$ होता है।
प्रारंभिक वेग $u$ के लिए हल करने पर,हमें $u = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) पहले प्रक्षेप्य के लिए,$t$ समय पर ऊँचाई $h_1 = ut - \frac{1}{2}gt^2$ है।
दूसरे प्रक्षेप्य के लिए,जिसे $T$ समय बाद फेंका जाता है,$t$ समय पर ऊँचाई $h_2 = u(t - T) - \frac{1}{2}g(t - T)^2$ है।
जब दोनों मिलते हैं,तो $h_1 = h_2$ होता है।
$ut - \frac{1}{2}gt^2 = u(t - T) - \frac{1}{2}g(t - T)^2$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $ut - \frac{1}{2}gt^2 = ut - uT - \frac{1}{2}g(t^2 - 2tT + T^2)$.
$ut - \frac{1}{2}gt^2 = ut - uT - \frac{1}{2}gt^2 + gtT - \frac{1}{2}gT^2$.
समान पदों को काटने पर: $0 = -uT + gtT - \frac{1}{2}gT^2$.
$uT + \frac{1}{2}gT^2 = gtT$.
$gT$ से विभाजित करने पर: $t = \frac{u}{g} + \frac{T}{2}$.
$t$ का मान $h_1$ में रखने पर: $h_1 = u(\frac{u}{g} + \frac{T}{2}) - \frac{1}{2}g(\frac{u}{g} + \frac{T}{2})^2$.
$h_1 = \frac{u^2}{g} + \frac{uT}{2} - \frac{1}{2}g(\frac{u^2}{g^2} + \frac{uT}{g} + \frac{T^2}{4})$.
$h_1 = \frac{u^2}{g} + \frac{uT}{2} - \frac{u^2}{2g} - \frac{uT}{2} - \frac{gT^2}{8}$.
$h_1 = \frac{u^2}{2g} - \frac{gT^2}{8}$.