Motion Under Gravity Questions in Hindi

(C) माना बिंदु $Q$ की ऊँचाई $h$ है और बिंदु $P$ की ऊँचाई $2h$ है। माना जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$ है। नीचे की दिशा को ऋणात्मक और जमीन को मूल बिंदु $(y=0)$ मानते हुए:
$P$ पर कण के लिए: प्रारंभिक वेग $u_P = -5 \, m/s$,विस्थापन $s_P = -2h$। $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,$-2h = -5t - 5t^2$,जो $2h = 5t + 5t^2$ (समीकरण $1$) में सरल हो जाता है।
$Q$ पर कण के लिए: प्रारंभिक वेग $u_Q = +5 \, m/s$,विस्थापन $s_Q = -h$। $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,$-h = 5t - 5t^2$,जो $h = 5t^2 - 5t$ (समीकरण $2$) में सरल हो जाता है।
समीकरण $2$ से $h$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $2(5t^2 - 5t) = 5t + 5t^2 \Rightarrow 10t^2 - 10t = 5t + 5t^2 \Rightarrow 5t^2 = 15t$। चूँकि $t \neq 0$,हमें $t = 3 \, s$ प्राप्त होता है।
अब,$t = 3$ को समीकरण $2$ में रखने पर: $h = 5(3)^2 - 5(3) = 45 - 15 = 30 \, m$।
$P$ और $Q$ के बीच की दूरी $PQ = 2h - h = h = 30 \, m$ है। अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(C) जादूगर हवा में $4$ गेंदें रखता है। लगातार गेंदों को फेंकने के बीच का समय अंतराल $T = 1/4 \, s$ है।
चूंकि कुल $4$ गेंदें हैं,इसलिए एक गेंद का हवा में रहने का कुल समय (उड़ान का समय) $T_{flight} = 4 \times T = 4 \times (1/4) = 1 \, s$ होना चाहिए।
अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगा समय $t = T_{flight} / 2 = 1 / 2 = 0.5 \, s$ है।
ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,अधिकतम ऊंचाई पर अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
$v = u - gt$ का उपयोग करने पर,$0 = u - (10)(0.5)$,जिससे $u = 5 \, m/s$ प्राप्त होता है।
अधिकतम ऊंचाई $H = \frac{u^2}{2g} = \frac{5^2}{2 \times 10} = \frac{25}{20} = 1.25 \, m$ है।
वैकल्पिक रूप से,शीर्ष से नीचे की गति के लिए $H = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर: $H = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.5)^2 = 5 \times 0.25 = 1.25 \, m$।

(C) माना मीनार की कुल ऊँचाई $H$ है और जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $t$ है।
विराम अवस्था से गिराए गए पिंड के लिए गति का समीकरण: $H = \frac{1}{2} gt^2$ --- $(1)$
अंतिम सेकंड में,पिंड कुल ऊँचाई का $7/16$ भाग तय करता है,जिसका अर्थ है कि वह पहले $(t-1)$ सेकंड में $H - \frac{7}{16}H = \frac{9}{16}H$ दूरी तय करता है।
अतः,$\frac{9}{16}H = \frac{1}{2} g(t-1)^2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{H}{\frac{9}{16}H} = \frac{\frac{1}{2} gt^2}{\frac{1}{2} g(t-1)^2}$
$\frac{16}{9} = \frac{t^2}{(t-1)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{4}{3} = \frac{t}{t-1}$
$4(t-1) = 3t$
$4t - 4 = 3t$
$t = 4 \ s$

(C) $1$. जिस क्षण पत्थर को छोड़ा जाता है,जड़त्व के कारण उसका वेग गुब्बारे के वेग के समान होता है। इसलिए,छोड़े जाने के तुरंत बाद पत्थर का वेग $v$ (ऊपर की ओर) होता है।
$2$. एक बार पत्थर के छूट जाने के बाद,वह गुब्बारे के संपर्क में नहीं रहता है और केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में होता है।
$3$. पत्थर पर कार्य करने वाला एकमात्र बल उसका भार है,जो लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है।
$4$. न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,पत्थर का त्वरण $F/m = mg/m = g$ होता है।
$5$. इस प्रकार,पत्थर का त्वरण $g$ (नीचे की ओर) है।

(A) माना गति का कुल समय $n$ सेकंड है। प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $g = 10\,m/s^2$ है।
पहले $3$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_3 = ut + \frac{1}{2}gt^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times 3^2 = 45\,m$ है।
गति के अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी $S_{last} = u + \frac{g}{2}(2n - 1) = 0 + \frac{10}{2}(2n - 1) = 5(2n - 1)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$S_{last} = S_3$,इसलिए $5(2n - 1) = 45$.
$2n - 1 = 9 \Rightarrow 2n = 10 \Rightarrow n = 5\,s$.
कुल ऊँचाई $h$,$5$ सेकंड में तय की गई दूरी है: $h = \frac{1}{2}gn^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 5^2 = 5 \times 25 = 125\,m$.

(D) जब वस्तुओं को समान ऊंचाई से गिराया जाता है,तो वे गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त रूप से गिरती हैं।
गति के समीकरणों के अनुसार,मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु का त्वरण उसके द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है और यह गुरुत्वीय त्वरण $g$ के बराबर होता है।
चूंकि दोनों गोलों को समान ऊंचाई से गिराया गया है और वे जमीन से समान स्थिति ($1\, m$ ऊपर) पर हैं,इसलिए उनका वेग समान होगा।
हालाँकि,संवेग $(p = mv)$,गतिज ऊर्जा $(K = \frac{1}{2}mv^2)$,और स्थितिज ऊर्जा $(U = mgh)$ सभी वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर करते हैं।
चूंकि द्रव्यमान अलग-अलग ($2\, kg$ और $4\, kg$) हैं,इसलिए उनका संवेग,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा अलग-अलग होगी।
अतः,केवल त्वरण ही वह राशि है जो दोनों गोलों के लिए समान रहती है,जो कि $g$ है।

(C) गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत गति करने वाले कण के लिए,त्वरण हमेशा गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के बराबर होता है,जो कि नीचे की ओर लगभग $9.8\,ms^{-2}$ होता है।
चूंकि पूरी गति के दौरान त्वरण स्थिर रहता है,इसलिए $t = 1\,s$ पर त्वरण $a_1 = 9.8\,ms^{-2}$ है।
इसी प्रकार,$t = 2\,s$ पर त्वरण $a_2 = 9.8\,ms^{-2}$ है।
त्वरणों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{9.8}{9.8} = 1$ है।

(C) पिंड द्वारा उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लिया गया समय गति के समीकरण $v = u - gt$ द्वारा दिया जाता है।
उच्चतम बिंदु पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
यहाँ $u = 19.6 \, ms^{-1}$ और $g = 9.8 \, ms^{-2}$ दिया गया है।
$0 = 19.6 - 9.8 \times t$
$t = \frac{19.6}{9.8} = 2 \, s$।
चूंकि ऊपर जाने में लगा समय और नीचे आने में लगा समय समान होता है,इसलिए पिंड $2 \, s + 2 \, s = 4 \, s$ के बाद वापस प्रारंभिक बिंदु पर आ जाएगा।

(B) ऊँचाई के लिए गति का समीकरण $y(t) = ut - \frac{1}{2}gt^2$ है।
ग्राफ से,गेंद $t_1 = 1\,s$ और $t_4 = 6\,s$ पर समान ऊँचाई पर है। कुल उड़ान का समय $T = t_1 + t_4 = 1 + 6 = 7\,s$ है।
अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय $t_{max} = \frac{T}{2} = 3.5\,s$ है।
$t_{max} = 3.5\,s$ पर,वेग शून्य हो जाता है,इसलिए $u = gt_{max} = 7.5 \times 3.5 = 26.25\,m/s$ है।
$t = 2\,s$ पर ऊँचाई $y(2) = u(2) - \frac{1}{2}g(2)^2 = 26.25(2) - 0.5(7.5)(4) = 52.5 - 15 = 37.5\,m$ है।
$t = 1\,s$ पर ऊँचाई $y(1) = u(1) - \frac{1}{2}g(1)^2 = 26.25(1) - 0.5(7.5)(1) = 26.25 - 3.75 = 22.5\,m$ है।
ऊँचाई $h$,$t = 2\,s$ और $t = 1\,s$ पर ऊँचाई के बीच का अंतर है: $h = y(2) - y(1) = 37.5 - 22.5 = 15\,m$।

(A) टावर की कुल ऊँचाई $h$ विराम अवस्था से गिरने वाली वस्तु के गति के समीकरण द्वारा दी जाती है: $h = \frac{1}{2}gT^2$.
समय $t = T/3$ पर,गेंद द्वारा शीर्ष से तय की गई दूरी $h'$ है: $h' = \frac{1}{2}g(T/3)^2 = \frac{1}{2}g(T^2/9) = \frac{1}{9}(\frac{1}{2}gT^2) = \frac{h}{9}$.
जमीन से गेंद की स्थिति कुल ऊँचाई में से शीर्ष से तय की गई दूरी को घटाने पर प्राप्त होती है: $h_{ground} = h - h' = h - \frac{h}{9} = \frac{8h}{9}$ मीटर।

(C) मान लीजिए कि पहली वस्तु $n$ समय तक गिरती है। इसका विस्थापन $y_1 = \frac{1}{2} g n^2$ है।
दूसरी वस्तु $N$ समय के अंतराल के बाद शुरू होती है,इसलिए यह $(n - N)$ समय तक गिरती है। इसका विस्थापन $y_2 = \frac{1}{2} g (n - N)^2$ है।
दोनों वस्तुओं के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी $1 \, m$ दी गई है,इसलिए $y_1 - y_2 = 1$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} g n^2 - \frac{1}{2} g (n - N)^2 = 1$.
$(n - N)^2 = n^2 - 2nN + N^2$ का विस्तार करने पर:
$\frac{g}{2} [n^2 - (n^2 - 2nN + N^2)] = 1$.
$\frac{g}{2} [2nN - N^2] = 1$.
$gNn - \frac{gN^2}{2} = 1$.
$gNn = 1 + \frac{gN^2}{2}$.
$gN$ से विभाजित करने पर: $n = \frac{1}{gN} + \frac{N}{2}$.

(A) पैकेट का प्रारंभिक वेग गुब्बारे के वेग के समान होता है,इसलिए $u = 12\,ms^{-1}$।
चूंकि पैकेट को ऊंचाई से छोड़ा जाता है,इसलिए जमीन पर पहुँचने पर उसका विस्थापन $s = -65\,m$ होगा (ऊपर की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
गुरुत्वीय त्वरण $g = -10\,ms^{-2}$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$-65 = 12t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$-65 = 12t - 5t^2$
$5t^2 - 12t - 65 = 0$
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके हल करने पर:
$t = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(5)(-65)}}{2(5)}$
$t = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 1300}}{10}$
$t = \frac{12 \pm \sqrt{1444}}{10}$
$t = \frac{12 \pm 38}{10}$
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए हम $t = \frac{12 + 38}{10} = \frac{50}{10} = 5\,s$ लेते हैं।

(A) जब किसी पिंड को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो उच्चतम बिंदु पर उसका वेग $0 \ m/s$ हो जाता है।
हालाँकि,गुरुत्वाकर्षण बल उस पर लगातार कार्य करता रहता है,जिसके परिणामस्वरूप $g \approx 9.8 \ m/s^2$ का नीचे की ओर त्वरण बना रहता है।
इस प्रकार,किसी विशिष्ट क्षण पर वेग शून्य होने पर भी पिंड में त्वरण हो सकता है।
अतः,$Assertion$ सही है।
जब कोई पिंड अपनी गति की दिशा बदलता है,तो विपरीत दिशा में गति करने से पहले उसे क्षणिक रूप से विराम अवस्था (वेग शून्य) में आना पड़ता है।
वेग में यह परिवर्तन पिंड पर कार्य कर रहे त्वरण के कारण होता है।
इसलिए,$Reason$ सही है और यह $Assertion$ के लिए एक वैध व्याख्या प्रदान करता है।

$(A)$ जब किसी वस्तु को प्रारंभिक वेग $u$ के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है, तो वह $H = \frac{u^2}{2g}$ की अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचती है。
चूंकि अधिकतम ऊँचाई केवल प्रारंभिक वेग $u$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करती है, इसलिए यह वस्तु के द्रव्यमान $m$ से स्वतंत्र है。
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, प्रक्षेपण बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mu^2$ होती है। जब वस्तु उसी बिंदु पर वापस आती है, तो उसकी स्थितिज ऊर्जा शुरुआत के समान होती है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा समान होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि उसकी गति $v = u$ होगी。
इस प्रकार, अधिकतम ऊँचाई और प्रक्षेपण बिंदु पर अंतिम गति दोनों गेंद के द्रव्यमान से स्वतंत्र हैं。
अतः, $Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं, और $Reason$ का $Assertion$ के लिए सही स्पष्टीकरण है।

(A) ऊपर की गति के लिए,उच्चतम बिंदु पर अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए,गति के अंतिम सेकंड के लिए,उस अंतिम सेकंड की शुरुआत में प्रारंभिक वेग $u' = v - at = 0 - (-g)(1) = g$ होता है।
अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी $s = u't + \frac{1}{2}at^2 = g(1) + \frac{1}{2}(-g)(1)^2 = g - \frac{g}{2} = \frac{g}{2}$ है।
$g \approx 10 \ m/s^2$ लेने पर,हमें $s = \frac{10}{2} = 5 \ m$ प्राप्त होता है।
यह दूरी प्रक्षेपण के प्रारंभिक वेग से स्वतंत्र है।
Reason भी सही है क्योंकि गति सममित है; ऊपर की गति के अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी,स्थिर अवस्था $(u=0)$ से शुरू होने वाले मुक्त पतन (नीचे की गति) के पहले सेकंड में तय की गई दूरी के बराबर होती है।
अतः,Assertion और Reason दोनों सही हैं,और Reason,Assertion की सही व्याख्या है।

(B) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 - u^2 = 2as$।
यहाँ,प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$ (क्योंकि पानी विरामावस्था से गिरता है),त्वरण $a = g = 9.8 \ m/s^2$,और विस्थापन $s = 19.6 \ m$ है।
मान रखने पर:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6$
$v^2 = 2 \times 9.8 \times (2 \times 9.8)$
$v^2 = (2 \times 9.8)^2$
$v = 2 \times 9.8 = 19.6 \ m/s$।
अतः,टरबाइन पर पानी का वेग $19.6 \ m/s$ है।

(D) नियत त्वरण $a$ के अंतर्गत $h$ दूरी तय करने में वस्तु द्वारा लिया गया समय $t = \sqrt{\frac{2h}{a}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो इसका त्वरण $0$ होता है,इसलिए फर्श के सापेक्ष सिक्के का प्रभावी त्वरण $g$ होता है।
जब लिफ्ट एकसमान वेग (नियत वेग) से गति कर रही होती है,तो इसका त्वरण भी $0$ होता है। इसलिए,फर्श के सापेक्ष सिक्के का प्रभावी त्वरण $g$ ही रहता है।
चूंकि दोनों स्थितियों में प्रभावी त्वरण समान $(a_{real} = g)$ है,इसलिए सिक्के को फर्श तक पहुँचने में लगा समय समान होगा।
अतः,$t_{1} = t_{2}$।

(B) मान लीजिए कि जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $T$ सेकंड है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ (विराम अवस्था से गिराया गया):
कुल दूरी $100\; m$ के लिए,$100 = \frac{1}{2}aT^2 \implies T = \sqrt{\frac{200}{a}}$।
अंतिम $\frac{1}{2}\; s$ में,गेंद $19\; m$ की दूरी तय करती है। इसका मतलब है कि $(T - 0.5)\; s$ समय में,गेंद $(100 - 19) = 81\; m$ की दूरी तय करती है।
अतः,$81 = \frac{1}{2}a(T - 0.5)^2 \implies T - 0.5 = \sqrt{\frac{162}{a}}$।
$T = \sqrt{\frac{200}{a}}$ को समीकरण में रखने पर:
$\sqrt{\frac{200}{a}} - 0.5 = \sqrt{\frac{162}{a}}$
$\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{a}} - \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{a}} = 0.5$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}} = 0.5$
$\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2}{a} = \frac{1}{4} \implies a = 8\; m/s^2$।

(B) मान लीजिए गेंद का प्रारंभिक वेग ऊपर की दिशा में $v_0 = 20 \; m s^{-1}$ है।
अधिकतम ऊंचाई पर,गेंद का अंतिम वेग $v = 0 \; m s^{-1}$ हो जाता है।
गुरुत्वीय त्वरण $a = -g = -10 \; m s^{-2}$ है।
मान लीजिए गेंद प्रक्षेपण बिंदु से $h$ अधिकतम ऊंचाई तक पहुँचती है।
गति के समीकरण $v^2 = v_0^2 + 2ah$ का उपयोग करने पर:
$0^2 = (20)^2 + 2(-10)h$
$0 = 400 - 20h$
$20h = 400$
$h = 20 \; m$.
अतः,गेंद प्रक्षेपण बिंदु से $20 \; m$ ऊपर तक जाएगी।

(C) मान लीजिए कि जमीन मूल बिंदु $(y = 0)$ है और ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा धनात्मक है।
प्रारंभिक स्थिति $y_0 = 25 \; m$,प्रारंभिक वेग $v_0 = 20 \; m s^{-1}$,और त्वरण $a = -g = -10 \; m s^{-2}$ है।
किसी भी समय $t$ पर गेंद की स्थिति गति के समीकरण द्वारा दी जाती है:
$y = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$
जब गेंद जमीन से टकराती है,तो $y = 0$ होता है। मान रखने पर:
$0 = 25 + 20t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$0 = 25 + 20t - 5t^2$
$-5$ से विभाजित करने पर:
$t^2 - 4t - 5 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(t - 5)(t + 1) = 0$
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए हम $t = 5 \; s$ लेते हैं।

(N/A) पृथ्वी की सतह के निकट छोड़ी गई कोई वस्तु गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में नीचे की ओर त्वरित होती है। गुरुत्वीय त्वरण के परिमाण को $g$ द्वारा दर्शाया जाता है। यदि वायु प्रतिरोध की उपेक्षा की जाए,तो वस्तु को मुक्त पतन में कहा जाता है। यदि वह ऊँचाई जिससे वस्तु गिरती है,पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में कम है,तो $g$ को स्थिर माना जा सकता है,जो $9.8 \ m \ s^{-2}$ के बराबर है। इस प्रकार मुक्त पतन एकसमान त्वरण के साथ गति का एक उदाहरण है।
हम मानते हैं कि गति $y$-दिशा में है,अधिक सही रूप से $-y$-दिशा में है क्योंकि हम ऊपर की दिशा को धनात्मक चुनते हैं। चूँकि गुरुत्वीय त्वरण हमेशा नीचे की ओर होता है,यह ऋणात्मक दिशा में है और हमारे पास $a = -g = -9.8 \ m \ s^{-2}$ है।
वस्तु को $y = 0$ पर विरामावस्था से छोड़ा जाता है। इसलिए,$v_0 = 0$ और गति के समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$v = 0 - gt = -9.8t \ m \ s^{-1}$
$y = 0 - 1/2 gt^2 = -4.9t^2 \ m$
$v^2 = 0 - 2gy = -19.6y \ m^2 \ s^{-2}$
ये समीकरण समय के फलन के रूप में वेग और तय की गई दूरी देते हैं और दूरी के साथ वेग में परिवर्तन भी दर्शाते हैं। त्वरण,वेग और दूरी का समय के साथ परिवर्तन नीचे दिए गए चित्रों में दिखाया गया है।

(N/A) मान लीजिए कि मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु की गति के समयांतराल को हम कई समान अंतरालों $\tau$ में विभाजित करते हैं और क्रमिक समयांतरालों के दौरान तय की गई दूरियों का पता लगाते हैं। चूंकि प्रारंभिक वेग शून्य है, इसलिए समय $t$ पर स्थिति $y$ इस प्रकार दी जाती है:
$y = -\frac{1}{2} g t^2$
इस समीकरण का उपयोग करके, हम $t = 0, \tau, 2\tau, 3\tau, \dots$ समयांतरालों के बाद वस्तु की स्थिति की गणना करते हैं। यदि हम $y_0 = -\frac{1}{2} g \tau^2$ को पहले अंतराल $\tau$ के बाद की स्थिति के रूप में परिभाषित करते हैं, तो $n\tau$ समय पर स्थिति $n^2 y_0$ होगी। $n$ वें अंतराल में तय की गई दूरी $n\tau$ और $(n-1)\tau$ पर स्थिति के बीच का अंतर है:
$n$ वें अंतराल में दूरी $= |n^2 y_0 - (n-1)^2 y_0| = |(n^2 - (n^2 - 2n + 1)) y_0| = (2n - 1) |y_0|$.
$n = 1, 2, 3, 4, \dots$ के लिए, दूरियाँ $1|y_0|, 3|y_0|, 5|y_0|, 7|y_0|, \dots$ हैं। इस प्रकार, दूरियों का अनुपात $1: 3: 5: 7: \dots$ है, जो विषम संख्याएँ हैं। यह नियम गैलीलियो गैलीली ($1564$-$1642$) द्वारा स्थापित किया गया था, जो मुक्त पतन का मात्रात्मक अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे।

(C) रूलर मुक्त पतन के तहत नीचे गिरता है। इसलिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g = 9.8 \; m/s^2$ है।
तय की गई दूरी $d$ और प्रतिक्रिया समय $t_r$ गति के समीकरण द्वारा संबंधित हैं:
$d = ut_r + \frac{1}{2}gt_r^2$
चूंकि $u = 0$,हमारे पास है:
$d = \frac{1}{2}gt_r^2$
$t_r = \sqrt{\frac{2d}{g}}$
दिया गया है $d = 21.0 \; cm = 0.21 \; m$ और $g = 9.8 \; m/s^2$:
$t_r = \sqrt{\frac{2 \times 0.21}{9.8}}$
$t_r = \sqrt{\frac{0.42}{9.8}}$
$t_r = \sqrt{0.0428} \approx 0.207 \; s$
अतः,प्रतिक्रिया समय लगभग $0.2 \; s$ है।

(B) गेंद पर कार्य करने वाला त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ है।
गेंद की गति की दिशा चाहे जो भी हो (चाहे वह ऊपर की ओर जा रही हो या नीचे की ओर आ रही हो),गुरुत्वीय त्वरण हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर यानी ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में कार्य करता है।
इसलिए,त्वरण की दिशा नीचे की ओर है।

(A) अधिकतम ऊंचाई पर,गेंद का वेग क्षण भर के लिए शून्य हो जाता है क्योंकि यह ऊपर की दिशा से नीचे की दिशा में अपनी गति बदलती है।
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ एक स्थिर बल है जो अपनी पूरी उड़ान के दौरान वस्तु पर कार्य करता है,चाहे उसकी स्थिति या वेग कुछ भी हो।
इसलिए,उच्चतम बिंदु पर वेग $0\; m s^{-1}$ है और त्वरण $9.8\; m s^{-2}$ है जो नीचे की ओर कार्य करता है।

(N/A) यह दिया गया है कि उच्चतम बिंदु $x=0$ है और नीचे की दिशा धनात्मक है:
$1$. ऊपर की ओर गति के दौरान: गेंद उच्चतम बिंदु (जो $x=0$ है) के ऊपर है,इसलिए स्थिति $x$ ऋणात्मक है। गेंद ऊपर की ओर गति कर रही है (धनात्मक $x$-अक्ष के विपरीत),इसलिए वेग $v$ ऋणात्मक है। गुरुत्वीय त्वरण $g$ हमेशा नीचे की ओर कार्य करता है,जो कि धनात्मक दिशा है,इसलिए त्वरण $a$ धनात्मक है।
$2$. नीचे की ओर गति के दौरान: गेंद उच्चतम बिंदु के नीचे है,इसलिए स्थिति $x$ धनात्मक है। गेंद नीचे की ओर गति कर रही है (धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में),इसलिए वेग $v$ धनात्मक है। गुरुत्वीय त्वरण $g$ नीचे की ओर कार्य करता है,जो कि धनात्मक दिशा है,इसलिए त्वरण $a$ धनात्मक है।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 29.4 \; m s^{-1}$,अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $v = 0 \; m s^{-1}$,त्वरण $a = -g = -9.8 \; m s^{-2}$।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^{2} - u^{2} = 2as$:
$0^{2} - (29.4)^{2} = 2(-9.8)s$
$s = \frac{-(29.4)^{2}}{-19.6} = \frac{864.36}{19.6} = 44.1 \; m$।
ऊपर जाने का समय $(t_{a})$ ज्ञात करने के लिए गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए:
$0 = 29.4 + (-9.8)t_{a}$
$t_{a} = \frac{-29.4}{-9.8} = 3 \; s$।
चूँकि ऊपर जाने का समय और नीचे आने का समय समान होता है,इसलिए खिलाड़ी के हाथों में वापस आने में लगा कुल समय $T = t_{a} + t_{d} = 3 + 3 = 6 \; s$ है।

(N/A) गेंद को $s = 90 \; m$ की ऊँचाई से गिराया जाता है।
प्रारंभिक वेग $u = 0$,त्वरण $a = g = 9.8 \; m/s^2$.
जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$: $s = ut + (1/2)at^2 \implies 90 = 0 + (1/2) \times 9.8 \times t^2 \implies t = \sqrt{18.367} \approx 4.29 \; s$.
पहली टक्कर से ठीक पहले का अंतिम वेग: $v = u + at = 0 + 9.8 \times 4.29 = 42.04 \; m/s$.
उछाल के बाद का वेग $u_r = (9/10)v = 0.9 \times 42.04 = 37.84 \; m/s$.
पहले उछाल के बाद अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय: $v = u_r + at' \implies 0 = 37.84 - 9.8 \times t' \implies t' = 3.86 \; s$.
गेंद को वापस फर्श पर आने में लगा कुल समय: $t + 2t' = 4.29 + 2 \times 3.86 = 12.01 \; s$.
दूसरी टक्कर से ठीक पहले का वेग: $v_2 = 37.84 - 9.8 \times 3.86 = 0 \; m/s$ (अधिकतम ऊँचाई पर),जिसके बाद यह वापस $37.84 \; m/s$ के वेग से फर्श पर टकराएगी।
दूसरी टक्कर के बाद,नया उछाल वेग $u_{r2} = (9/10) \times 37.84 = 34.06 \; m/s$ होगा।

(N/A) नहीं,यह सही नहीं है। $t < 0$ के लिए एक सीधी रेखा में और $t > 0$ के लिए एक परवलयिक पथ पर चलने वाले कण का $x-t$ ग्राफ दिए गए ग्राफ द्वारा नहीं दर्शाया जा सकता है।
इसका कारण यह है कि ग्राफ दिखाता है कि $t < 0$ के लिए कण स्थिर $(x = 0)$ है,और फिर $t > 0$ के लिए यह त्वरण के साथ चलना शुरू करता है।
इस ग्राफ के लिए एक उपयुक्त भौतिक संदर्भ एक गेंद का है जिसे $x = 0$ ऊंचाई पर पकड़ा गया है और $t = 0$ पर गुरुत्वाकर्षण के तहत स्वतंत्र रूप से गिरने के लिए छोड़ दिया गया है।

(N/A) दिए गए $v-t$ ग्राफ में,वेग का चिह्न समय के साथ बदलता है और समय बीतने के साथ इसका परिमाण कम होता जाता है।
यह इंगित करता है कि वस्तु निरंतर त्वरण (गुरुत्वाकर्षण के कारण) के साथ गति कर रही है,लेकिन प्रत्येक टक्कर पर अपने वेग का एक अंश खो देती है।
इस ग्राफ के लिए एक उपयुक्त भौतिक स्थिति एक गेंद है जिसे ऊंचाई से कठोर फर्श पर गिराया जाता है।
जब गेंद फर्श से टकराती है,तो टक्कर के दौरान ऊर्जा की हानि के कारण यह उस वेग से कम वेग के साथ वापस उछलती है जिस वेग से वह फर्श से टकराई थी।
यह प्रक्रिया प्रत्येक बाद के उछाल के साथ दोहराई जाती है,जिससे अधिकतम वेग और उछाल के बीच के समय अंतराल में कमी आती है,जब तक कि गेंद अंततः स्थिर नहीं हो जाती।

(10 S, 10 S) गेंद का प्रारंभिक वेग,$u = 49\; m s^{-1}$.
गुरुत्वीय त्वरण,$a = -g = -9.8\; m s^{-2}$.
स्थिति $I$: जब लिफ्ट स्थिर हो।
गेंद की ऊपर की गति को लेते हुए,उच्चतम बिंदु पर अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,ऊपर जाने का समय $t_a$:
$t_a = \frac{v - u}{a} = \frac{0 - 49}{-9.8} = 5\; s$.
चूंकि ऊपर जाने का समय नीचे आने के समय के बराबर होता है,इसलिए कुल समय $T = t_a + t_d = 5 + 5 = 10\; s$ होगा।
स्थिति $II$: जब लिफ्ट $5\; m s^{-1}$ के एकसमान वेग से ऊपर जा रही हो।
चूंकि लिफ्ट एकसमान वेग से चल रही है,इसलिए इसका त्वरण $0$ है। लड़के के सापेक्ष गेंद का आपेक्षिक वेग $49\; m s^{-1}$ ही रहता है। संदर्भ फ्रेम (लिफ्ट) जड़त्वीय होने के कारण,गेंद को वापस आने में लगा समय $10\; s$ ही रहेगा।

(N/A) पहले पत्थर के लिए:
प्रारंभिक वेग,$u_{1} = 15 \; m s^{-1}$
त्वरण,$a = -g = -10 \; m s^{-2}$
गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,$x_{1} = x_{0} + u_{1}t + \frac{1}{2}at^{2}$
चट्टान की ऊँचाई $x_{0} = 200 \; m$ दी गई है,इसलिए $x_{1} = 200 + 15t - 5t^{2} \; \dots (i)$
जब यह पत्थर जमीन से टकराता है,$x_{1} = 0$,इसलिए $-5t^{2} + 15t + 200 = 0 \implies t^{2} - 3t - 40 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर,$(t - 8)(t + 5) = 0$. चूँकि $t > 0$,$t = 8 \; s$.
दूसरे पत्थर के लिए:
प्रारंभिक वेग,$u_{2} = 30 \; m s^{-1}$
त्वरण,$a = -g = -10 \; m s^{-2}$
$x_{2} = 200 + 30t - 5t^{2} \; \dots (ii)$
जब यह पत्थर जमीन से टकराता है,$x_{2} = 0$,इसलिए $-5t^{2} + 30t + 200 = 0 \implies t^{2} - 6t - 40 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर,$(t - 10)(t + 4) = 0$. चूँकि $t > 0$,$t = 10 \; s$.
$0 \le t \le 8 \; s$ के लिए,दोनों पत्थर हवा में हैं:
$x_{2} - x_{1} = (200 + 30t - 5t^{2}) - (200 + 15t - 5t^{2}) = 15t$.
यह ग्राफ के सीधी रेखा वाले भाग का प्रतिनिधित्व करने वाला एक रैखिक समीकरण है।
$8 \; s < t \le 10 \; s$ के लिए,केवल दूसरा पत्थर हवा में है $(x_{1} = 0)$:
$x_{2} - x_{1} = x_{2} - 0 = 200 + 30t - 5t^{2}$.
यह ग्राफ के वक्र भाग का प्रतिनिधित्व करने वाला एक द्विघात समीकरण है।

(A) आवाज़ सुनाई देने तक का कुल समय पत्थर को नीचे गिरने में लगा समय $(t_1)$ और ध्वनि को वापस चोटी तक पहुँचने में लगा समय $(t_2)$ का योग है।
$1$. पत्थर को पानी तक पहुँचने में लगा समय $(t_1)$:
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$,$s = 300 \; m$,और $g = 9.8 \; m s^{-2}$:
$300 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t_1^2$
$t_1^2 = \frac{600}{9.8} \approx 61.22$
$t_1 = \sqrt{61.22} \approx 7.82 \; s$
$2$. ध्वनि को चोटी तक पहुँचने में लगा समय $(t_2)$:
$t_2 = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$t_2 = \frac{300}{340} \approx 0.88 \; s$
$3$. कुल समय $(t)$:
$t = t_1 + t_2 = 7.82 + 0.88 = 8.7 \; s$.

(N/A) गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला कि मुक्त रूप से गिरती सभी वस्तुओं के लिए समय के साथ वेग में परिवर्तन की दर (त्वरण) गति का एक स्थिरांक है,जो वस्तु के द्रव्यमान या आकार पर निर्भर नहीं करता है।
इसके विपरीत,उन्होंने देखा कि दूरी के साथ वेग में परिवर्तन स्थिर नहीं होता है।
विशेष रूप से,जैसे-जैसे गिरने की दूरी बढ़ती है,दूरी के साथ वेग में परिवर्तन की दर कम होती जाती है।

(N/A) गैलीलियो गैलीली ने अरस्तू के इस विचार को चुनौती दी कि भारी वस्तुएं हल्की वस्तुओं की तुलना में तेजी से गिरती हैं। अपने प्रयोगों और तार्किक तर्क के माध्यम से,उन्होंने देखा कि हवा के प्रतिरोध की अनुपस्थिति में,सभी वस्तुएं अपने द्रव्यमान की परवाह किए बिना समान निरंतर त्वरण के साथ पृथ्वी की ओर गिरती हैं। इस त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण कहा जाता है,जिसे $g$ द्वारा दर्शाया जाता है,जो पृथ्वी की सतह के पास लगभग $9.8 \ m/s^2$ होता है। गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला कि यदि अलग-अलग द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं को निर्वात में एक ही ऊंचाई से एक साथ गिराया जाए,तो वे एक ही समय में जमीन पर पहुंचेंगी।

(N/A) केवल गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में नीचे गिरती हुई वस्तु की गति को मुक्त पतन कहा जाता है।
इस गति में उत्पन्न त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ है,जो नीचे की दिशा में कार्य करता है।
यदि वायु के प्रतिरोध को नगण्य माना जाए,तो इस गति को एकसमान त्वरित गति माना जाता है,जहाँ त्वरण $a = -g$ होता है।
प्रारंभिक वेग $v_{0} = 0$,त्वरण $a = -g$ और विस्थापन $d = -h$ को मानक गति के समीकरणों में रखने पर:
$1$. वेग के लिए: $v = v_{0} + at \implies v = -gt$
$2$. विस्थापन के लिए: $d = v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2} \implies -h = 0 - \frac{1}{2}gt^{2} \implies h = \frac{1}{2}gt^{2}$
$3$. वेग-विस्थापन संबंध के लिए: $v^{2} - v_{0}^{2} = 2ad \implies v^{2} - 0 = 2(-g)(-h) \implies v^{2} = 2gh \implies v = \sqrt{2gh}$

(N/A) मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,त्वरण स्थिर और $-g$ के बराबर होता है। अतः,ग्राफ $(a)$ समय के सापेक्ष स्थिर त्वरण $(a \to t)$ को दर्शाता है।
मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु का वेग $v = -gt$ द्वारा दिया जाता है। यह समय के साथ एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,जैसा कि $v \to t$ के लिए ग्राफ $(b)$ में दिखाया गया है।
मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु का विस्थापन $x = -\frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है (नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानते हुए)। यह समय के साथ एक परवलयिक संबंध को दर्शाता है,जैसा कि $x \to t$ के लिए ग्राफ $(c)$ में दिखाया गया है।

(A) जब कोई वस्तु केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गति करती है,बिना किसी प्रारंभिक धक्का या फेंक के,तो उसे मुक्त पतन (free fall) कहा जाता है।
परिभाषा के अनुसार,विराम अवस्था से स्वतंत्र रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए प्रारंभिक वेग $(u)$ $0 \ m/s$ होता है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण के तहत मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g$ है।
$n^{th}$ सेकंड में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है:
$S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$
इस समीकरण में $u = 0$ और $a = g$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S_n = 0 + \frac{g}{2}(2n - 1)$
अतः,$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत $h$ ऊँचाई से मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$ है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 - u^2 = 2as$.
यहाँ,$v$ अंतिम वेग है,$u = 0$,$a = g$ (गुरुत्वीय त्वरण),और $s = h$ (विस्थापन) है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $v^2 - 0^2 = 2gh$.
अतः,वेग का समीकरण $v = \sqrt{2gh}$ है।

(N/A) विराम अवस्था से गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए गति का समीकरण $y = \frac{1}{2}gt^2$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि $y$ समय के वर्ग के समानुपाती है $(y \propto t^2)$,इसलिए $y$ बनाम $t$ का ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय (parabola) होता है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से शुरू होकर,जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,वक्र ऊपर की ओर जाता है,जो वस्तु के नीचे की ओर त्वरित होने पर उसके बढ़ते विस्थापन को दर्शाता है।

(N/A) हाँ,एक सीधी रेखा में गति कर रहे कण का किसी क्षण वेग शून्य और त्वरण अशून्य हो सकता है।
उदाहरण के लिए,जब किसी गेंद को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो अपने प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर उसका तात्क्षणिक वेग $0 \ m/s$ होता है,लेकिन उस पर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वीय त्वरण $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$ निरंतर बना रहता है।

(B) विराम अवस्था से मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g$ है।
$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$।
$u = 0$ और $a = g$ रखने पर,हमें $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ प्राप्त होता है।
$n = 1$ के लिए: $S_1 = \frac{g}{2}(2(1) - 1) = \frac{g}{2}(1) = \frac{g}{2}$।
$n = 2$ के लिए: $S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{g}{2}(3) = \frac{3g}{2}$।
$n = 3$ के लिए: $S_3 = \frac{g}{2}(2(3) - 1) = \frac{g}{2}(5) = \frac{5g}{2}$।
अतः,दूरियों का अनुपात $S_1 : S_2 : S_3 = \frac{g}{2} : \frac{3g}{2} : \frac{5g}{2} = 1 : 3 : 5$ है।

(A) मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$ और त्वरण $a = g = 10 \ m/s^2$ है।
समय $t$ में तय की गई दूरी के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$t = 1 \ s$ के लिए मान रखने पर:
$s = (0)(1) + \frac{1}{2}(10)(1)^2$
$s = 0 + 5(1)$
$s = 5 \ m$
अतः,पहली सेकंड में तय की गई दूरी $5 \ m$ है।

(N/A) ग्राफ से यह स्पष्ट है कि गति के दौरान विस्थापन $x$ धनात्मक है। गेंद को एक ऊंचाई से गिराया जाता है और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के कारण इसका वेग नीचे की दिशा में बढ़ता है। इस स्थिति में $v$ ऋणात्मक है,लेकिन गेंद का त्वरण गुरुत्वीय त्वरण के बराबर है,अर्थात $a = -g$।
जब गेंद ऊपर की दिशा में उछलती है तो उसका वेग धनात्मक होता है,लेकिन त्वरण $a = -g$ ही रहता है।
$(a)$ गेंद का वेग-समय ग्राफ चित्र $(i)$ में दर्शाया गया है।
$(b)$ गेंद का त्वरण-समय ग्राफ चित्र $(ii)$ में दर्शाया गया है।

(N/A) जब एक फुटबॉल को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर किक किया जाता है,तो यह केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गति करती है (वायु प्रतिरोध को नजरअंदाज करते हुए)।
$(a)$ उच्चतम बिंदु पर,फुटबॉल नीचे की ओर गति शुरू करने से पहले क्षण भर के लिए स्थिर हो जाती है। हालाँकि,गुरुत्वाकर्षण बल उस पर लगातार कार्य करता रहता है। इसलिए,इसका त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 9.8 \ m/s^2$ के बराबर होता है,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर निर्देशित होता है।
$(b)$ उच्चतम बिंदु पर,फुटबॉल अपनी गति की दिशा बदलने से पहले क्षण भर के लिए रुक जाती है। इसलिए,उच्चतम बिंदु पर इसका वेग $0 \ m/s$ होता है।

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा जमीन पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$PE_{top} = KE_{ground}$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gh$
यहाँ $g = 10\,ms^{-2}$ और $h = 2\,m$ दिया गया है:
$v^2 = 2 \times 10 \times 2 = 40$
$v = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\,ms^{-1}$
अतः,जमीन पर पिंड की गति $2\sqrt{10}\,ms^{-1}$ है।

(D) दिया गया है: $h = 1\, km = 1000\, m$,$g = 10\, m/s^2$,$\rho = 10^3\, kg/m^3$.
$(a)$ $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करते हुए $(u = 0)$: $v = \sqrt{2 \times 10 \times 1000} = \sqrt{20000} \approx 141.4\, m/s$। $km/h$ में: $141.4 \times (18/5) \approx 509\, km/h$।
$(b)$ त्रिज्या $r = 2\, mm = 2 \times 10^{-3}\, m$। द्रव्यमान $m = \rho \times (4/3)\pi r^3 = 10^3 \times (4/3) \times 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^3 \approx 3.35 \times 10^{-5}\, kg$। संवेग $p = mv = 3.35 \times 10^{-5} \times 141.4 \approx 4.74 \times 10^{-3}\, kg\cdot m/s$।
$(c)$ चपटा होने का समय $t = d/v = (4 \times 10^{-3}) / 141.4 \approx 2.83 \times 10^{-5}\, s$।
$(d)$ बल $F = \Delta p / \Delta t = (4.74 \times 10^{-3}) / (2.83 \times 10^{-5}) \approx 167.5\, N$।
$(e)$ छाते का क्षेत्रफल $A = \pi R^2 = \pi (0.5)^2 \approx 0.785\, m^2$। दूरी $s = 5\, cm = 0.05\, m$। बूंदों की संख्या $N = A / s^2 = 0.785 / (0.05)^2 = 314$। कुल बल $F_{total} = N \times F \approx 314 \times 167.5 \approx 5.26 \times 10^4\, N$।

(A) मान लीजिए कि दो गेंदों के वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
दिया गया है $v_2 = v$,तो $v_1 = 2v$ है।
चूंकि गेंदों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी स्थिर रहती है,इसका अर्थ है कि $t > \Delta t$ पर दोनों गेंदें समान वेग से गति कर रही हैं।
गेंदों का विस्थापन $y_1 = v_1 t - \frac{1}{2} g t^2$ और $y_2 = v_2 (t - \Delta t) - \frac{1}{2} g (t - \Delta t)^2$ है।
अंतर $y_1 - y_2 = 15$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $vt + v\Delta t - g t \Delta t + \frac{1}{2}g \Delta t^2 = 15$.
दूरी स्थिर रहने के लिए,$t$ का गुणांक शून्य होना चाहिए: $v - g \Delta t = 0 \implies v = g \Delta t$.
यह मान रखने पर: $5 \Delta t^2 = 15 \implies \Delta t = \sqrt{3} \approx 1.732\, s$.
अतः $v = 17.32\, m/s$। इस प्रकार,$v_1 = 34.64\, m/s$ और $v_2 = 17.32\, m/s$।