Mix Examples-Motion in Straight Line Questions in Gujarati

(B, E) ખોટું: આ સંબંધ માત્ર અચળ પ્રવેગ માટે જ સાચો છે. મનસ્વી ગતિ માટે,તે સામાન્ય રીતે સાચું નથી.
$(b)$ સાચું: વ્યાખ્યા મુજબ,સરેરાશ વેગ એ કુલ સ્થાનાંતરને કુલ સમયગાળા વડે ભાગતા મળે છે.
$(c)$ ખોટું: આ સમીકરણ માત્ર અચળ પ્રવેગ માટે જ માન્ય છે. મનસ્વી ગતિમાં,પ્રવેગ અચળ હોવો જરૂરી નથી.
$(d)$ ખોટું: આ અચળ પ્રવેગ માટેનું ગતિનું સમીકરણ છે. તે મનસ્વી ગતિને લાગુ પડતું નથી.
$(e)$ સાચું: વ્યાખ્યા મુજબ,સરેરાશ પ્રવેગ એ વેગમાં થતો ફેરફાર અને તે ફેરફાર થવા માટે લાગતા સમયગાળાનો ગુણોત્તર છે.

(C) ધારો કે $O$ એ જમીન પરનું અવલોકન બિંદુ છે અને $R$ એ વિમાનના માર્ગની બરાબર નીચે જમીન પરનું બિંદુ છે. વિમાન $10.0 \; s$ માં $P$ થી $Q$ સ્થાન પર જાય છે.
ઊંચાઈ $OR = 3400 \; m$.
$O$ પાસે બનતો કુલ ખૂણો $\angle POQ = 30^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણ $POQ$ સમદ્વિબાજુ હોવાથી (અચળ ઊંચાઈ ધારતા),રેખા $OR$ એ ખૂણા $\angle POQ$ નો દ્વિભાજક છે.
તેથી,$\angle POR = \angle QOR = 15^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PRO$ માં:
$\tan(15^{\circ}) = \frac{PR}{OR}$
$PR = OR \times \tan(15^{\circ}) = 3400 \times (2 - \sqrt{3}) \approx 3400 \times 0.26795 = 911.03 \; m$.
$PR = RQ$ હોવાથી,કુલ અંતર $PQ = 2 \times PR = 2 \times 911.03 = 1822.06 \; m$.
$\tan(15^{\circ}) \approx 0.268$ કિંમત લેતા,$PQ = 6800 \times 0.268 = 1822.4 \; m$.
વિમાનની ઝડપ $v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{1822.4 \; m}{10 \; s} = 182.24 \; m/s$.

(N/A) પદાર્થનું દળ,$m = 0.40 \;kg$.
પ્રારંભિક વેગ,$u = 10 \;m s^{-1}$ (ઉત્તર દિશા ધન).
બળ,$F = -8.0 \;N$ (દક્ષિણ દિશા ઋણ).
પ્રવેગ,$a = \frac{F}{m} = \frac{-8.0}{0.40} = -20 \;m s^{-2}$.
$t = -5 \;s$ સમયે:
બળ હજુ લગાડવામાં આવ્યું નથી,તેથી $a = 0$.
$x = u t = 10 \times (-5) = -50 \;m$.
$t = 25 \;s$ સમયે:
બળ સમગ્ર સમયગાળા દરમિયાન લાગુ પડે છે.
$x = u t + \frac{1}{2} a t^2 = 10 \times 25 + \frac{1}{2} \times (-20) \times (25)^2 = 250 - 6250 = -6000 \;m$.
$t = 100 \;s$ સમયે:
$0 \leq t \leq 30 \;s$ માટે,$x_1 = 10 \times 30 + \frac{1}{2} \times (-20) \times (30)^2 = 300 - 9000 = -8700 \;m$.
$t = 30 \;s$ સમયે વેગ $v = u + at = 10 + (-20) \times 30 = -590 \;m s^{-1}$.
$30 < t \leq 100 \;s$ માટે,બળ શૂન્ય છે,તેથી $a = 0$.
$x_2 = v \times \Delta t = -590 \times (100 - 30) = -590 \times 70 = -41300 \;m$.
કુલ સ્થાન $x = x_1 + x_2 = -8700 - 41300 = -50000 \;m$.

(D) વેગ એ સદિશ રાશિ છે,જેનો અર્થ છે કે તે મૂલ્ય (ઝડપ) અને દિશા બંને ધરાવે છે.
વેગની વ્યાખ્યા મુજબ,તેને નીચેની રીતે બદલી શકાય છે:
$1$. દિશા અચળ રાખીને વેગનું મૂલ્ય (ઝડપ) બદલીને.
$2$. મૂલ્ય (ઝડપ) અચળ રાખીને ગતિની દિશા બદલીને.
$3$. ગતિનું મૂલ્ય (ઝડપ) અને દિશા બંને એકસાથે બદલીને.
તેથી,ઉલ્લેખિત તમામ રીતો વેગમાં ફેરફાર તરફ દોરી જાય છે.

(N/A) પ્રતિક્રિયા સમય એટલે કોઈ વ્યક્તિ દ્વારા પરિસ્થિતિનું અવલોકન કરવા,વિચારવા અને અંતે તેના પર પ્રતિક્રિયા આપવા માટે લેવામાં આવતો સમય. ઉદાહરણ તરીકે,જો કોઈ વાહનચાલક રસ્તા પર કોઈ અવરોધ જુએ,તો અવરોધ જોવાથી લઈને બ્રેક લગાવવા સુધીના સમયગાળાને પ્રતિક્રિયા સમય કહેવામાં આવે છે.
પ્રતિક્રિયા સમય નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પરિસ્થિતિની જટિલતા: વધુ જટિલ અથવા અણધારી પરિસ્થિતિમાં પ્રતિક્રિયા આપવામાં વધુ સમય લાગે છે.
$2$. વ્યક્તિની સતર્કતા અને શારીરિક સ્થિતિ: થાક,ઉંમર અથવા અન્ય વિક્ષેપો જેવી બાબતો વ્યક્તિ કેટલી ઝડપથી પ્રતિભાવ આપી શકે છે તેના પર નોંધપાત્ર અસર કરે છે.

(N/A) $0 < t < 3$ માટે,$v(t) = 6t - 2t^2$. $3 < t < 6$ માટે,$v(t) = -t^2 + 9t - 18$.
$(a)$ $0 < t < 3$ માટે,$\frac{dv}{dt} = 6 - 4t = 0 \implies t = 1.5 \ s$. $t = 1.5 \ s$ પર,$v = 4.5 \ m/s$. $3 < t < 6$ માટે,$v$ ઋણ છે,તેથી મહત્તમ વેગ $t = 1.5 \ s$ પર $4.5 \ m/s$ છે.
$(b)$ સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{1}{t} \int_0^t v(t) dt$. $0 < t < 3$ માટે,$v_{avg} = \frac{1}{t} (3t^2 - \frac{2}{3}t^3) = 3t - \frac{2}{3}t^2$. $\frac{dv_{avg}}{dt} = 3 - \frac{4}{3}t = 0 \implies t = 2.25 \ s$ મળે છે.
$(c)$ પ્રવેગ $a(t) = \frac{dv}{dt}$. $0 < t < 3$ માટે,$a = 6 - 4t$. $3 < t < 6$ માટે,$a = -2t + 9$. $t=0$ પર,$|a|=6$. $t=3$ પર,$|a|=6$. $t=6$ પર,$|a|=3$. મહત્તમ મૂલ્ય $6 \ m/s^2$ એ $t=0 \ s$ અને $t=3 \ s$ પર મળે છે.
$(d)$ એક ચક્રમાં સ્થાનાંતર ($0$ થી $6 \ s$): $x_1 = \int_0^3 (6t - 2t^2) dt + \int_3^6 (-t^2 + 9t - 18) dt = 9 + (-4.5) = 4.5 \ m$. $20 \ m$ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી ચક્ર: $20 / 4.5 \approx 4.44$ ચક્ર.

(N/A) જો કાપેલું અંતર શૂન્ય હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે કણ ગતિ કરતો નથી,તેથી તેનું સ્થાનાંતર $0$ થાય.
$(b)$ પ્રવેગની વ્યાખ્યા મુજબ,$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$. તેથી,વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v = a \Delta t$ થાય.
$(c)$ પદાર્થના સ્થાનમાં થતા ફેરફારના સમયદરને વેગ કહે છે.

(N/A) સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય હંમેશા સરેરાશ ઝડપ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે,એટલે કે $\text{સરેરાશ વેગ} \leq \text{સરેરાશ ઝડપ}$.
$(b)$ અચળ પ્રવેગ $a$ હેઠળ $'n'$ મી સેકન્ડમાં કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $d_n = v_0 + \frac{a}{2}(2n - 1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(c)$ પદાર્થ $B$ ની સાપેક્ષે પદાર્થ $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{AB} = v_A - v_B$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(A) સાચું. ઉદાહરણ તરીકે,જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપર ફેંકવામાં આવે ત્યારે મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ શૂન્ય હોય છે,પરંતુ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g = 9.8 \ m/s^2)$ સતત કાર્યરત હોય છે.
$(b)$ ખોટું. પદાર્થ અચળ પ્રવેગ ધરાવતો હોય ત્યારે પણ તેની દિશા બદલાઈ શકે છે,જેમ કે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં અથવા પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં.
$(c)$ ખોટું. સ્થિર પદાર્થની ઝડપ શૂન્ય હોય છે.

(A) સાચું. વેગ એ સદિશ રાશિ છે; જો ગતિની દિશા બદલાય તો ઝડપ અચળ હોવા છતાં વેગ બદલાઈ શકે છે (દા.ત.,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ).
$(b)$ ખોટું. ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ મુજબ,મુક્તપતન કરતા પદાર્થ માટે $(u=0, a=g)$,અંતર $s = \frac{1}{2}gt^2$ થાય. આમ,અંતર એ સમયના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે $(s \propto t^2)$,માત્ર સમયના સમપ્રમાણમાં નથી.
$(c)$ ખોટું. કણ એટલે એવો બિંદુવત પદાર્થ કે જે દળ ધરાવે છે પરંતુ પરિમાણ ધરાવતો નથી (અવગણ્ય કદ).

(NONE) ખોટું. સુરેખ ન હોય તેવી ગતિ માટે,પથલંબાઈ હંમેશા સ્થાનાંતરના મૂલ્ય કરતાં વધારે હોય છે.
$(b)$ ખોટું. સ્ટોપિંગ અંતર $d_s = \frac{v^2}{2a}$ છે,તેથી તે પ્રારંભિક વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$(c)$ ખોટું. સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર અને તે માટે લાગતા કુલ સમયનો ગુણોત્તર,તે દરેક ઝડપોની સરેરાશ નથી.
$(d)$ ખોટું. સ્થાન-સમયના આલેખનો ઢાળ વેગ દર્શાવે છે. વેગ-સમયના આલેખ નીચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.

(D) અચળ ધન પ્રવેગ: જો વેગ ધન હોય,તો ઝડપ વધે છે $(p)$. જો વેગ ઋણ હોય,તો ઝડપ ઘટે છે $(q)$.
$(B)$ અચળ ઋણ પ્રવેગ: જો વેગ ઋણ હોય,તો ઝડપ વધે છે $(p)$. જો વેગ ધન હોય,તો ઝડપ ઘટે છે $(q)$.
$(C)$ અચળ સ્થાનાંતર: આનો અર્થ એ છે કે વેગ શૂન્ય છે,તેથી ઝડપ શૂન્ય છે $(r)$.
$(D)$ $a-t$ આલેખનો અચળ ઢાળ: આનો અર્થ અચળ જર્ક (jerk) છે,જે પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓના આધારે ઝડપ વધવા અને ઘટવા બંનેની મંજૂરી આપે છે $(p, q)$.

(B) આપેલ સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = 3x + 5$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં યામોના બદલાવનો દર શોધવા માટે,આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓનું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(3x + 5)$
$\frac{dy}{dt} = 3 \frac{dx}{dt} + 0$
$\frac{dy}{dt} = 3 \frac{dx}{dt}$
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $y$-યામના બદલાવનો દર એ $x$-યામના બદલાવના દર કરતા $3$ ગણો છે.
તેથી,$y$-યામ ઝડપી દરે બદલાય છે.

(D) બસ $P$ ની સ્થિતિ $X_{P}(t) = \alpha t + \beta t^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બસ $P$ નો વેગ $V_{P}(t) = \frac{dX_{P}}{dt} = \alpha + 2\beta t$ છે.
બસ $Q$ ની સ્થિતિ $X_{Q}(t) = ft - t^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બસ $Q$ નો વેગ $V_{Q}(t) = \frac{dX_{Q}}{dt} = f - 2t$ છે.
બંને બસોનો વેગ સમાન હોવા માટે,આપણે $V_{P}(t) = V_{Q}(t)$ લઈએ છીએ:
$\alpha + 2\beta t = f - 2t$.
$t$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$2\beta t + 2t = f - \alpha$.
$t(2\beta + 2) = f - \alpha$.
$t = \frac{f - \alpha}{2(1 + \beta)}$.

(D) સાચો જવાબ $(d)$ છે.
વેગ એ સદિશ રાશિ છે,જેનો અર્થ છે કે તે મૂલ્ય (ઝડપ) અને દિશા બંને ધરાવે છે. જો વેગ ચલિત હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે કાં તો તેનું મૂલ્ય બદલાય છે,દિશા બદલાય છે,અથવા બંને બદલાય છે.
$(i)$ જો કોઈ પદાર્થ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં હોય,તો તેની ઝડપ (વેગનું મૂલ્ય) અચળ રહે છે,પરંતુ તેની દિશા સતત બદલાતી રહે છે. આમ,ઝડપ અચળ હોવા છતાં વેગ ચલિત હોય છે.
$(ii)$ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિના કિસ્સામાં,પ્રવેગ (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ) નું મૂલ્ય અચળ હોય છે,ભલે તેની દિશા બદલાતી હોય. વૈકલ્પિક રીતે,અચળ પ્રવેગ હેઠળ ગતિ કરતા પદાર્થ માટે (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ),વેગ રેખીય રીતે બદલાય છે,જે પણ ચલિત વેગ છે.
$(iii)$ સરેરાશ પ્રવેગને $a_{av} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આપેલ સમયગાળા દરમિયાન વેગના ફેરફારના આધારે આ મૂલ્ય અચળ હોઈ શકે છે.
આમ,ત્રણેય શરતો શક્ય હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) ધારો કે પ્રવેગ $\alpha = 0.2 \, m/s^2$,પ્રતિપ્રવેગ $\beta = 0.4 \, m/s^2$,અને કુલ સમય $T = 30 \times 60 = 1800 \, s$ છે.
ધારો કે $t_1$ એ પ્રવેગનો સમય છે અને $t_2$ એ પ્રતિપ્રવેગનો સમય છે. તેથી $t_1 + t_2 = T$.
પ્રાપ્ત થયેલ મહત્તમ વેગ $v = \alpha t_1 = \beta t_2$ છે.
આમ,$t_1 = \frac{v}{\alpha}$ અને $t_2 = \frac{v}{\beta}$.
સમયના સમીકરણમાં મૂકતા: $v(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}) = T \Rightarrow v = \frac{\alpha \beta T}{\alpha + \beta}$.
કુલ અંતર $S$ એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જે એક ત્રિકોણ છે: $S = \frac{1}{2} \times v \times T$.
$v$ ની કિંમત મૂકતા: $S = \frac{1}{2} \times \frac{\alpha \beta T^2}{\alpha + \beta}$.
આપેલ છે કે $\alpha = 0.2 \, m/s^2$,$\beta = 0.4 \, m/s^2$,અને $T = 1800 \, s$:
$S = \frac{1}{2} \times \frac{0.2 \times 0.4}{0.2 + 0.4} \times (1800)^2$.
$S = \frac{1}{2} \times \frac{0.08}{0.6} \times 3240000 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{15} \times 3240000 = 216000 \, m$.
$S = 216 \, km$.

(D) સરેરાશ પ્રવેગ એટલે વેગમાં થતો કુલ ફેરફાર ભાગ્યા કુલ સમયગાળો.
આલેખ પરથી,$t = 0 \, s$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $v_i = 20 \, m/s$ છે.
$t = 10 \, s$ સમયે અંતિમ વેગ $v_f = 20 \, m/s$ છે.
સરેરાશ પ્રવેગ $a_{avg} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{20 - 20}{10 - 0} = 0 \, m/s^2$.
જોકે,પ્રશ્નમાં પૂછવામાં આવ્યું છે કે પદાર્થનો પ્રવેગ શું *હોઈ શકે*,જેનો અર્થ છે કે આપણે વિવિધ સમયગાળાને ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ:
$1$. $t = 0$ થી $5 \, s$ ના સમયગાળા માટે: $a = \frac{0 - 20}{5 - 0} = -4 \, m/s^2$.
$2$. $t = 5$ થી $10 \, s$ ના સમયગાળા માટે: $a = \frac{20 - 0}{10 - 5} = 4 \, m/s^2$.
$3$. $t = 0$ થી $10 \, s$ ના કુલ સમયગાળા માટે: $a_{avg} = 0 \, m/s^2$.
આમ,આ તમામ મૂલ્યો વિવિધ ભાગો અથવા સંપૂર્ણ ગતિ માટે શક્ય પ્રવેગ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ છે: ઝડપ $v = 54 \,km/h = 54 \times \frac{5}{18} \,m/s = 15 \,m/s$. સમય $t_1 = 1 \,h$,$t_2 = 1 \,h$. કુલ સમય $T = 2 \,h$.
ઉત્તર દિશામાં કાપેલું અંતર $d_1 = v \times t_1 = 54 \times 1 = 54 \,km$.
પૂર્વ દિશામાં કાપેલું અંતર $d_2 = v \times t_2 = 54 \times 1 = 54 \,km$.
કુલ અંતર $= d_1 + d_2 = 54 + 54 = 108 \,km$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{108 \,km}{2 \,h} = 54 \,km/h = 15 \,m/s$.
સ્થાનાંતર એ બે સ્થાનાંતરોનો સદિશ સરવાળો છે: $\vec{s} = \sqrt{d_1^2 + d_2^2} = \sqrt{54^2 + 54^2} = 54\sqrt{2} \,km$.
સરેરાશ વેગ $= \frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{54\sqrt{2} \,km}{2 \,h} = 27\sqrt{2} \,km/h$.
$m/s$ માં રૂપાંતર કરતા: $27\sqrt{2} \times \frac{5}{18} = \frac{3\sqrt{2} \times 5}{2} = \frac{15\sqrt{2}}{2} = \frac{15}{\sqrt{2}} \,m/s$.
આમ,સરેરાશ ઝડપ $15 \,m/s$ અને સરેરાશ વેગ $\frac{15}{\sqrt{2}} \,m/s$ છે.

(C) માણસ $10 \, m$ ચાલે છે અને ડાબી બાજુ $60^{\circ}$ વળે છે. આ માર્ગ નિયમિત ષટ્કોણની બાજુઓ બનાવે છે.
$6$ વળાંક પછી,માણસ પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફરે છે કારણ કે $6 \times 60^{\circ} = 360^{\circ}$ થાય છે.
$7$ મા વળાંકની શરૂઆતમાં,તેણે $6$ વિભાગો પૂર્ણ કર્યા છે અને તે ઉગમબિંદુ પર છે. ત્યારબાદ તે $7$ મા વિભાગ માટે $10 \, m$ ચાલે છે.
$8$ મા વળાંકની શરૂઆતમાં,તેણે $7$ વિભાગો પૂર્ણ કર્યા છે. સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક બિંદુ અને $7$ મા વિભાગના અંત વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રથમ $6$ વિભાગો એક બંધ ષટ્કોણ બનાવે છે,તેથી $7$ વિભાગો પછીનું સ્થાનાંતર એ $7$ મા વિભાગની લંબાઈ જેટલું જ એટલે કે $10 \, m$ થાય છે.

(A) આપેલ બળ $F = -5(x - 2)^2$ છે.
દોલિત ગતિ હોવા માટે,બળ પુનઃસ્થાપક બળ હોવું જોઈએ,જે સામાન્ય રીતે સ્થાનાંતરના પ્રમાણમાં હોય (જેમ કે $F = -kx$) અથવા ઓછામાં ઓછું ચિહ્ન બદલાતું હોવું જોઈએ જેથી કણ સંતુલન સ્થિતિ તરફ પાછો ખેંચાય.
આ સમીકરણમાં,$x$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે $(x - 2)^2$ હંમેશા અ-ઋણ (non-negative) હોય છે.
કારણ કે બળ $F = -5(x - 2)^2$ હંમેશા ઋણ છે (અથવા $x = 2$ પર શૂન્ય છે),આ બળ કણને બંને બાજુથી સંતુલન સ્થિતિ $x = 2$ પર પાછા લાવવા માટે પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કામ કરતું નથી.
તેના બદલે,કણ $x = 2$ ની સાપેક્ષ તેના સ્થાનને ધ્યાનમાં લીધા વિના ઋણ દિશામાં બળ અનુભવે છે.
તેથી,કણ ઋણ દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે,જે અનિયમિત સ્થાનાંતરીય ગતિ દર્શાવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે કુલ અંતર $2D$ છે. સવાર $D$ અંતર $v_1 = 5\,m/s$ ની ઝડપે કાપે છે. લાગતો સમય $t_1 = \frac{D}{5}$ છે.
બાકીના $D$ અંતર માટે,સવાર $t_2$ સમય સુધી મુસાફરી કરે છે જેમાં પ્રથમ અડધા સમય $t_2/2$ માટે ઝડપ $v_2 = 10\,m/s$ અને બીજા અડધા સમય $t_2/2$ માટે ઝડપ $v_3 = 15\,m/s$ છે.
અંતર $D = (v_2 \cdot \frac{t_2}{2}) + (v_3 \cdot \frac{t_2}{2}) = (10 \cdot \frac{t_2}{2}) + (15 \cdot \frac{t_2}{2}) = 5t_2 + 7.5t_2 = 12.5t_2$.
તેથી,$t_2 = \frac{D}{12.5} = \frac{D}{25/2} = \frac{2D}{25}$.
સરેરાશ ઝડપ $\langle v \rangle = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2D}{t_1 + t_2} = \frac{2D}{\frac{D}{5} + \frac{2D}{25}} = \frac{2D}{\frac{5D + 2D}{25}} = \frac{2D \cdot 25}{7D} = \frac{50}{7}\,m/s$.
આને $\frac{x}{7}\,m/s$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 50$ મળે છે.

(C) સૌ પ્રથમ,વેગને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
$v_A = 108 \times \frac{5}{18} = 30\,m/s$
$v_B = 72 \times \frac{5}{18} = 20\,m/s$
ટનલ પસાર કરવા માટે,દરેક ટ્રેને ટનલની લંબાઈ અને પોતાની લંબાઈના સરવાળા જેટલું અંતર કાપવું પડે.
ટ્રેન '$A$' દ્વારા લેવાયેલ સમય: $t_A = \frac{L + l}{v_A} = \frac{60l + l}{30} = \frac{61l}{30}$
ટ્રેન '$B$' દ્વારા લેવાયેલ સમય: $t_B = \frac{L + 4l}{v_B} = \frac{60l + 4l}{20} = \frac{64l}{20} = \frac{16l}{5}$
આપેલ છે કે $t_B - t_A = 35\,s$:
$\frac{16l}{5} - \frac{61l}{30} = 35$
$\frac{96l - 61l}{30} = 35$
$\frac{35l}{30} = 35$
$l = 30\,m$
તેથી,$L = 60l = 60 \times 30 = 1800\,m$.

(A) આપેલ સંબંધ: $t = \alpha x^2 + \beta x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dt}{dx} = 2 \alpha x + \beta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$.
તેથી,$\frac{1}{v} = 2 \alpha x + \beta$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} = 2 \alpha \frac{dx}{dt}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = \frac{dv}{dt}$ અને $v = \frac{dx}{dt}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$-\frac{1}{v^2} a = 2 \alpha v$.
$a$ ને કર્તા બનાવતા:
$a = -2 \alpha v^3$.

(B) ટ્રેન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે. તે $t$ સમયમાં સમાન પ્રવેગ સાથે $v = 80 \ km/h$ ની ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે.
પ્રવેગી ગતિ દરમિયાન કાપેલું અંતર $(d_1)$ = $\text{સરેરાશ વેગ} \times \text{સમય} = \frac{0 + 80}{2} \times t = 40t \ km$.
ત્યારબાદ,તે $3t$ સમય માટે $80 \ km/h$ ની અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે.
અચળ ઝડપ દરમિયાન કાપેલું અંતર $(d_2)$ = $80 \times 3t = 240t \ km$.
કુલ અંતર = $d_1 + d_2 = 40t + 240t = 280t \ km$.
કુલ સમય = $t + 3t = 4t$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{280t}{4t} = 70 \ km/h$.

(D) ધારો કે કુલ અંતર $2D$ છે। પ્રથમ અડધું અંતર $D$, $v_1 = 6 \, m/s$ ની ઝડપે કાપવામાં આવે છે. લાગતો સમય $t_1 = D / 6$ છે.
બીજું અડધું અંતર $D$, બે સમાન સમયગાળા $t$ અને $t$ માં $v_2 = 9 \, m/s$ અને $v_3 = 15 \, m/s$ ની ઝડપે કાપવામાં આવે છે.
બીજા અડધા ભાગમાં કાપેલું અંતર $D = v_2 t + v_3 t = (9 + 15)t = 24t$.
તેથી, $24t = D \Rightarrow t = D / 24$.
કુલ સમય $T = t_1 + 2t = D/6 + 2(D/24) = D/6 + D/12 = (2D + D) / 12 = 3D / 12 = D / 4$.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \text{કુલ અંતર} / \text{કુલ સમય} = 2D / (D / 4) = 8 \, m/s$.

(C) ધારો કે વ્યક્તિનું લેમ્પ પોસ્ટથી અંતર $x$ છે અને પડછાયાના છેડાનું લેમ્પ પોસ્ટથી અંતર $y$ છે. સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મ મુજબ:
$\frac{4}{y} = \frac{1.6}{y - x}$
$4(y - x) = 1.6y$
$4y - 4x = 1.6y$
$2.4y = 4x$
$x = 0.6y$
સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 0.6 \frac{dy}{dt}$
અહીં $\frac{dx}{dt} = 60 \ cm \ s^{-1}$ આપેલ છે,તેથી:
$60 = 0.6 \frac{dy}{dt}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{60}{0.6} = 100 \ cm \ s^{-1}$
વ્યક્તિની સાપેક્ષે પડછાયાના છેડાની ઝડપ $v_{tip/person} = \frac{dy}{dt} - \frac{dx}{dt} = 100 - 60 = 40 \ cm \ s^{-1}$ થાય.

(A) એક-પરિમાણીય ગતિ માટે આપેલા આલેખોનું વિશ્લેષણ:
$(A)$ કળા (Phase) વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ: સુરેખ સંબંધ $\phi = kt + C$ એ સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે ભૌતિક રીતે શક્ય છે $(x = A \sin(kt + C))$. આમ,આ એક શક્ય $1D$ ગતિ દર્શાવે છે.
$(B)$ વેગ વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરનો આલેખ: વર્તુળાકાર પથ $v^2 + x^2 = R^2$ એ સરળ આવર્ત દોલકનો ફેઝ સ્પેસ ટ્રેજેક્ટરી દર્શાવે છે. આ $1D$ ગતિનું માન્ય નિરૂપણ છે.
$(C)$ વેગ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ: આલેખ એક વર્તુળ દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે સમયના એક મૂલ્ય માટે વેગના બે શક્ય મૂલ્યો મળે છે. વધુમાં,આલેખ ઋણ સમયની ધરી પર પણ વિસ્તરે છે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે કારણ કે સમય ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં. તેથી,આ શક્ય નિરૂપણ નથી.
$(D)$ કુલ અંતર વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ: આલેખ દર્શાવે છે કે કુલ અંતર સમય સાથે વધે છે. કોઈપણ ગતિશીલ કણ માટે કુલ અંતર એ સમયનું અ-ઘટતું વિધેય હોવાથી,આ $1D$ ગતિનું ભૌતિક રીતે શક્ય નિરૂપણ છે.
તેથી,આલેખ $(A), (B)$ અને $(D)$ શક્ય એક-પરિમાણીય ગતિ દર્શાવે છે.

(A) સરેરાશ ઝડપ એટલે $\text{કુલ અંતર} / \text{કુલ સમય}$,જ્યારે સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય એટલે $\text{કુલ સ્થાનાંતર} / \text{કુલ સમય}$. કારણ કે $\text{અંતર} \geq |\text{સ્થાનાંતર}|$,તેથી વિધાન $(a)$ સાચું છે.
$(b)$ $|d\vec{v}/dt| \neq 0$ નો અર્થ છે કે પ્રવેગ શૂન્ય નથી (દા.ત. નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં કેન્દ્રગામી પ્રવેગ). $d/dt|\vec{v}| = 0$ નો અર્થ છે કે ઝડપ અચળ છે. આ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં શક્ય છે,તેથી $(b)$ સાચું છે.
$(c)$ જો કણ બંધ પથ પર ગતિ કરે (જેમ કે વર્તુળ),તો કુલ સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય છે,જેનાથી સરેરાશ વેગ શૂન્ય બને છે,ભલે તાત્ક્ષણિક વેગ ક્યારેય શૂન્ય ન હોય. તેથી,$(c)$ સાચું છે.
$(d)$ સુરેખ પથ પર ગતિ માટે,જો સરેરાશ વેગ શૂન્ય હોય,તો સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય. સતત વિધેય માટે,જો સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય,તો રોલના પ્રમેય મુજબ તે સમયગાળામાં વેગ કોઈક બિંદુએ શૂન્ય હોવો જ જોઈએ. તેથી,$(d)$ ખોટું છે.

(A) $S_1$ સાચું છે: જો પ્રવેગ શૂન્ય હોય,તો વેગ અચળ રહે છે,જે નિયમિત ગતિની વ્યાખ્યા છે.
$S_2$ સાચું છે: અચળ ઝડપનો અર્થ છે કે વેગનું મૂલ્ય અચળ છે,પરંતુ દિશા બદલાઈ શકે છે (દા.ત. વર્તુળાકાર ગતિ),તેથી તે જરૂરી નથી કે તે નિયમિત ગતિ જ હોય.
$S_3$ સાચું છે: વક્ર પથ પર ગતિ કરતી વખતે,વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,જે કેન્દ્રગામી પ્રવેગની હાજરી સૂચવે છે; તેથી,પ્રવેગ શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
$S_4$ ખોટું છે: ક્રમિક અંતરાલોમાં સમાન સરેરાશ વેગ એ ખાતરી આપતું નથી કે દરેક ક્ષણે તાત્ક્ષણિક વેગ અચળ છે. ઉદાહરણ તરીકે,કણ દરેક અંતરાલમાં પ્રવેગિત અને પ્રતિપ્રવેગિત થઈ શકે છે જેથી સરેરાશ સમાન રહે,પરંતુ ગતિ અનિયમિત હોય.

(D) કોઈપણ પદાર્થનો વેગ $v$ એ તેના સ્થાન $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવાથી મળે છે,એટલે કે $v = \frac{dx}{dt}$.
પ્રથમ કાર માટે,$v_1(t) = \frac{d}{dt}(at + bt^2) = a + 2bt$.
બીજી કાર માટે,$v_2(t) = \frac{d}{dt}(Ft - t^2) = F - 2t$.
આપણને આપેલ છે કે બંને કારનો વેગ સમાન છે,તેથી $v_1(t) = v_2(t)$.
$a + 2bt = F - 2t$.
$t$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$2bt + 2t = F - a$.
$t(2b + 2) = F - a$.
$t = \frac{F - a}{2(1 + b)}$.

(B) $1$. વિકલ્પ $A$ સાચો છે: ઉર્ધ્વ દિશામાં ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગ $0$ હોય છે પરંતુ પ્રવેગ $g$ (નીચેની તરફ) હોય છે.
$2$. વિકલ્પ $B$ ખોટો છે: વેગ એ સદિશ રાશિ છે જે $\vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જો વેગ અચળ હોય,તો તેનું મૂલ્ય (ઝડપ) અને દિશા બંને અચળ રહેવા જોઈએ. તેથી,અચળ વેગ ધરાવતા પદાર્થની ઝડપ બદલાઈ શકે નહીં.
$3$. વિકલ્પ $C$ સાચો છે: નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,ઝડપ અચળ હોય છે,પરંતુ વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,તેથી વેગ બદલાતો રહે છે.
$4$. વિકલ્પ $D$ સાચો છે: પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,પ્રવેગ અચળ ($g$ નીચેની તરફ) હોય છે,પરંતુ વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.

(B) ધારો કે કુલ અંતર $2S$ છે. પ્રથમ અડધું અંતર $S$ એ $v_1 = 2 \,ms^{-1}$ ની ઝડપે કાપવામાં આવે છે. લાગતો સમય $t_1 = \frac{S}{2}$ છે。
બાકીનું અડધું અંતર $S$ એ બે સમાન સમયગાળા $t_2$ માં, $v_2 = 3 \,ms^{-1}$ અને $v_3 = 5 \,ms^{-1}$ ની ઝડપે કાપવામાં આવે છે。
તેથી, $S = v_2 t_2 + v_3 t_2 = (3 + 5) t_2 = 8 t_2$. આથી, $t_2 = \frac{S}{8}$.
બીજા અડધા અંતર માટે લાગતો કુલ સમય $2 t_2 = 2 \times \frac{S}{8} = \frac{S}{4}$ છે。
કુલ સમય $T = t_1 + 2 t_2 = \frac{S}{2} + \frac{S}{4} = \frac{3S}{4}$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2S}{3S/4} = \frac{8}{3} \,ms^{-1}$.

(A) ધારો કે કુલ અંતર $2d$ છે।
પ્રથમ અડધા અંતર $d$ માટે, ઝડપ $v_1 = 3 \, m \, s^{-1}$ છે। લાગતો સમય $t_1 = d / v_1 = d / 3$ છે।
બીજા અડધા અંતર $d$ માટે, તે બે સમાન સમયગાળા $t_2$ અને $t_2$ (કુલ સમય $2t_2$) માં $v_2 = 4.5 \, m \, s^{-1}$ અને $v_3 = 7.5 \, m \, s^{-1}$ ની ઝડપે કાપવામાં આવે છે।
આ અડધા ભાગમાં કાપેલું અંતર $d = v_2 t_2 + v_3 t_2 = (4.5 + 7.5) t_2 = 12 t_2$ છે।
તેથી, $t_2 = d / 12$.
બીજા અડધા ભાગ માટે લાગતો કુલ સમય $T_2 = 2 t_2 = 2(d / 12) = d / 6$ છે।
આખી મુસાફરી માટેનો કુલ સમય $T = t_1 + T_2 = d / 3 + d / 6 = (2d + d) / 6 = 3d / 6 = d / 2$ છે।
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \text{કુલ અંતર} / \text{કુલ સમય} = 2d / (d / 2) = 4 \, m \, s^{-1}$ છે।

(D) વિધાન ખોટું છે. એક-પરિમાણીય ગતિમાં,વેગ અને પ્રવેગ સદિશો એક જ રેખા પર હોવા જોઈએ.
જોકે,તેઓ સમાન દિશામાં (જ્યારે પદાર્થની ઝડપ વધતી હોય,ખૂણો = $0^{\circ}$) અથવા વિરુદ્ધ દિશામાં (જ્યારે પદાર્થની ઝડપ ઘટતી હોય અથવા પ્રતિપ્રવેગ થતો હોય,ખૂણો = $180^{\circ}$) હોઈ શકે છે.
તેથી,ખૂણો હંમેશા શૂન્ય હોતો નથી.
કારણ સાચું છે,કારણ કે એક-પરિમાણીય ગતિને ખરેખર સીધી રેખામાં થતી ગતિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આમ,$(A)$ ખોટું છે અને $(R)$ સાચું છે.

(C) વિધાન $(I)$ ખોટું છે કારણ કે પરિણામી વેગનું મૂલ્ય સદિશ સરવાળાના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $|\vec{v}| = \sqrt{|\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 + 2|\vec{v_1}| |\vec{v_2}| \cos \theta}$. તે માત્ર ત્યારે જ મૂલ્યોના સરવાળા જેટલું થાય જો સદિશો એક જ દિશામાં હોય $(\theta = 0^\circ)$.
વિધાન $(II)$ સાચું છે કારણ કે સ્થાનાંતર એ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું ટૂંકું અંતર છે,જ્યારે પથલંબાઈ એ કાપેલું કુલ અંતર છે. તેથી,સ્થાનાંતર $\leq$ પથલંબાઈ.
વિધાન $(III)$ વ્યાખ્યા મુજબ સાચું છે. તાત્ક્ષણિક પ્રવેગને $\vec{a} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(C) પગલું $1$: મુક્ત પતન માટે લાગતો સમય $(t_1)$ અને પ્રાપ્ત થયેલ વેગ $(v)$ ની ગણતરી કરો.
મુક્ત પતન માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,અંતર $s_1 = 20 \ m$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
$v^2 = u^2 + 2gs_1$ નો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = 0 + 2 \times 10 \times 20 = 400$,તેથી $v = 20 \ m/s$.
$v = u + gt_1$ નો ઉપયોગ કરતા,$20 = 0 + 10t_1$,તેથી $t_1 = 2 \ s$.
પગલું $2$: સમાન ગતિ માટે લાગતો સમય $(t_2)$ ની ગણતરી કરો.
બાકીનું અંતર $s_2 = 2000 \ m - 20 \ m = 1980 \ m$ છે.
વેગ $v = 20 \ m/s$ અચળ છે.
સમય $t_2 = s_2 / v = 1980 / 20 = 99 \ s$.
પગલું $3$: કુલ સમયની ગણતરી કરો.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = 2 \ s + 99 \ s = 101 \ s$.

(B) આપેલ છે,$v(t) = v_0(1 - t/t_0)$ જ્યાં $v_0 = 10 \ m/s$ અને $t_0 = 10 \ s$.
વેગ $t_1$ સમયે શૂન્ય થાય છે જ્યારે $1 - t_1/t_0 = 0$,તેથી $t_1 = t_0 = 10 \ s$.
$0 \le t \le 10 \ s$ માટે,કણ ધન દિશામાં ગતિ કરે છે. સ્થાનાંતર $s_1$ વેગના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$s_1 = \int_0^{10} v_0(1 - t/t_0) dt = v_0 [t - t^2/(2t_0)]_0^{10} = 10 [10 - 100/20] = 10 [10 - 5] = 50 \ m$.
$10 \le t \le 20 \ s$ માટે,વેગ ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે કણ ઋણ દિશામાં ગતિ કરે છે. સ્થાનાંતર $s_2$ છે:
$s_2 = \int_{10}^{20} v_0(1 - t/t_0) dt = 10 [t - t^2/20]_{10}^{20} = 10 [(20 - 400/20) - (10 - 100/20)] = 10 [(20 - 20) - (10 - 5)] = 10 [0 - 5] = -50 \ m$.
કુલ કાપેલું અંતર એ સ્થાનાંતરોના મૂલ્યોનો સરવાળો છે: $d = |s_1| + |s_2| = |50| + |-50| = 100 \ m$.

(B) આપેલ છે કે $v = ky^\beta$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
$v = \frac{dy}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dy}{dt} = ky^\beta$,જેનો અર્થ છે કે $y^{-\beta} dy = k dt$.
અંતર માટે $0$ થી $L$ અને સમય માટે $0$ થી $T$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_0^L y^{-\beta} dy = \int_0^T k dt$.
આનાથી $\frac{L^{1-\beta}}{1-\beta} = kT$ મળે છે,તેથી $T = \frac{L^{1-\beta}}{k(1-\beta)}$.
સરેરાશ વેગ $\langle v \rangle = \frac{L}{T} = \frac{L}{L^{1-\beta} / (k(1-\beta))} = k(1-\beta) L^\beta$.
આપણને આપેલ છે કે $\langle v \rangle \propto L^{1/3}$,તેથી $L$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\beta = 1/3$ મળે છે.

(C) સરેરાશ વેગ $V_1$ એ કુલ સ્થાનાંતરને કુલ સમયગાળા વડે ભાગતા મળે છે.
આપેલ છે $x(t) = \alpha t^3 + \beta t^2 + \gamma$.
$t = 1 \ s$ સમયે,$x(1) = \alpha(1)^3 + \beta(1)^2 + \gamma = \alpha + \beta + \gamma$.
$t = 3 \ s$ સમયે,$x(3) = \alpha(3)^3 + \beta(3)^2 + \gamma = 27\alpha + 9\beta + \gamma$.
સ્થાનાંતર $\Delta x = x(3) - x(1) = (27\alpha + 9\beta + \gamma) - (\alpha + \beta + \gamma) = 26\alpha + 8\beta$.
સમયગાળો $\Delta t = 3 - 1 = 2 \ s$.
$V_1 = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{26\alpha + 8\beta}{2} = 13\alpha + 4\beta$.
તત્કાલીન વેગ $V_2$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું વિકલન છે: $V(t) = \frac{dx}{dt} = 3\alpha t^2 + 2\beta t$.
$t = 3 \ s$ સમયે,$V_2 = 3\alpha(3)^2 + 2\beta(3) = 27\alpha + 6\beta$.
ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{13\alpha + 4\beta}{27\alpha + 6\beta}$.

(C) બસનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 72 \ km/h = 72 \times \frac{5}{18} \ m/s = 20 \ m/s$.
પ્રતિપ્રવેગ,$a = -5 \ m/s^2$.
અંતિમ વેગ,$v = 0 \ m/s$ (અકસ્માત ટાળવા માટે).
ધારો કે પ્રતિક્રિયા સમય $t_r$ છે અને બ્રેકિંગ સમય $t_b$ છે.
પ્રતિક્રિયા સમય દરમિયાન કાપેલું અંતર (અચળ વેગ),$d_1 = u \times t_r = 20 \times t_r$.
બ્રેકિંગ દરમિયાન કાપેલું અંતર (પ્રતિપ્રવેગ),$d_2 = \frac{v^2 - u^2}{2a} = \frac{0^2 - 20^2}{2 \times (-5)} = \frac{-400}{-10} = 40 \ m$.
કુલ ઉપલબ્ધ અંતર $50 \ m$ છે,તેથી $d_1 + d_2 = 50 \ m$.
$20 \times t_r + 40 = 50$.
$20 \times t_r = 10$.
$t_r = \frac{10}{20} = 0.5 \ s$.

(A) મોટરબાઈકની ગતિને ત્રણ ભાગમાં વહેંચવામાં આવી છે: પ્રવેગ, અચળ વેગ અને પ્રતિપ્રવેગ.
$1$. પ્રવેગનો તબક્કો ($A$ થી $B$):
પ્રારંભિક વેગ $u = 0$, અંતિમ વેગ $v = 10 \,m/s$, પ્રવેગ $a = 0.5 \,m/s^2$.
$v = u + at$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$10 = 0 + 0.5 \times t_{AB} \Rightarrow t_{AB} = \frac{10}{0.5} = 20 \,s$.
$2$. અચળ વેગનો તબક્કો ($B$ થી $C$):
અંતર $d = 10 \,km = 10000 \,m$, વેગ $v = 10 \,m/s$.
સમય $t_{BC} = \frac{d}{v} = \frac{10000 \,m}{10 \,m/s} = 1000 \,s$.
$3$. પ્રતિપ્રવેગનો તબક્કો ($C$ થી $D$):
પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,m/s$, અંતિમ વેગ $v = 0$, પ્રતિપ્રવેગ $a' = 0.2 \,m/s^2$.
$v = u - a't$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 10 - 0.2 \times t_{CD} \Rightarrow 0.2 \times t_{CD} = 10 \Rightarrow t_{CD} = \frac{10}{0.2} = 50 \,s$.
કુલ સમય $T = t_{AB} + t_{BC} + t_{CD} = 20 \,s + 1000 \,s + 50 \,s = 1070 \,s$.

(D) સરેરાશ ઝડપની વ્યાખ્યા $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}}$ છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે $(t_1 = 10 \,s)$:
કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ $a_1 = 5 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે શરૂ થાય છે.
અંતર $s_1 = u t_1 + \frac{1}{2} a_1 t_1^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 5 \times (10)^2 = 250 \,m$.
આ અંતરાલના અંતે વેગ $v_1 = u + a_1 t_1 = 0 + 5 \times 10 = 50 \,m/s$ છે.
બીજા અંતરાલ માટે $(t_2 = 5 \,s)$:
કાર $v_1 = 50 \,m/s$ થી $v_2 = 0 \,m/s$ સુધી પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે છે.
અંતર $s_2 = \text{સરેરાશ વેગ} \times t_2 = \left( \frac{v_1 + v_2}{2} \right) \times t_2 = \left( \frac{50 + 0}{2} \right) \times 5 = 25 \times 5 = 125 \,m$.
કુલ અંતર $S = s_1 + s_2 = 250 + 125 = 375 \,m$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = 10 + 5 = 15 \,s$.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \frac{S}{T} = \frac{375}{15} = 25 \,m/s$.

$(A)$ ધારો કે પ્રવેગ $\alpha = 2 \,m/s^2$ અને પ્રતિપ્રવેગ $\beta$ છે। ધારો કે પ્રવેગિત થવા માટે લીધેલ સમય $t_1$ અને પ્રતિપ્રવેગિત થવા માટે લીધેલ સમય $t_2$ છે। કુલ સમય $t = t_1 + t_2 = 20 \,s$.
મહત્તમ વેગ $v_{max} = \alpha t_1 = \beta t_2$.
આમ,$t_1 = v_{max}/\alpha$ અને $t_2 = v_{max}/\beta$.
કુલ સમય $t = v_{max}(1/\alpha + 1/\beta) = v_{max}(\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}) = 20$.
કુલ અંતર $s = \frac{1}{2} v_{max} t = 100 \,m$.
અંતરના સૂત્રમાં $t = 20 \,s$ મૂકતા: $100 = \frac{1}{2} \times v_{max} \times 20$.
$100 = 10 \times v_{max} \Rightarrow v_{max} = 10 \,m/s$.

(C) ધારો કે ટ્રેકનું કુલ અંતર $2d$ છે.
પ્રથમ અડધું અંતર $d$,$v_0 = 10 \ m \ s^{-1}$ ના વેગથી કાપવામાં આવે છે. લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{v_0} = \frac{d}{10}$ છે.
બાકીનું અંતર $d$,$T$ સમયમાં કાપવામાં આવે છે,જ્યાં પ્રથમ અડધા સમય $T/2$ માટે વેગ $v_1$ છે અને બીજા અડધા સમય $T/2$ માટે વેગ $v_2$ છે.
બીજા અડધા ભાગમાં કાપેલું અંતર $d = v_1(T/2) + v_2(T/2) = (v_1+v_2) \frac{T}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $v_1+v_2 = 20 \ m \ s^{-1}$,તેથી $d = 20 \times \frac{T}{2} = 10T$. આમ,$T = \frac{d}{10}$.
મુસાફરી માટે લાગતો કુલ સમય $t_{total} = t_1 + T = \frac{d}{10} + \frac{d}{10} = \frac{2d}{10} = \frac{d}{5}$ છે.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{d/5} = 10 \ m \ s^{-1}$ થાય.

(D) મુખ્ય વિચાર: સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
સરેરાશ ઝડપ $v_1 = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{\frac{1}{4}(2\pi R)}{T} = \frac{\pi R}{2T}$.
સરેરાશ વેગ સદિશનું મૂલ્ય $v_2$ એટલે કુલ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય ભાગ્યા કુલ સમય.
એક-ચતુર્થાંશ વર્તુળાકાર પથ માટે,સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે,જે $R$ અને $R$ બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ છે.
સ્થાનાંતર $= \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$.
સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય $v_2 = \frac{R\sqrt{2}}{T}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{\pi R}{2T}}{\frac{R\sqrt{2}}{T}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સ્થાન: $x(t) = 4t^3 - 3t$.
$1$. તે ક્યારે ઉગમબિંદુ પર પાછો ફરે છે તે શોધવા માટે,$x(t) = 0$ લો: $t(4t^2 - 3) = 0$. $t > 0$ હોવાથી,$t = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$. વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = 12t^2 - 3$. ટર્નિંગ પોઈન્ટ પર,$v = 0$,તેથી $12t^2 = 3 \Rightarrow t^2 = 1/4 \Rightarrow t = 0.5$.
$3$. ટર્નિંગ પોઈન્ટ પર સ્થાન: $x(0.5) = 4(0.5)^3 - 3(0.5) = 4(0.125) - 1.5 = 0.5 - 1.5 = -1$. કણ ઉગમબિંદુથી $|-1| = 1$ એકમ દૂર છે. વિધાન $B$ સાચું છે.
$4$. પ્રવેગ $a(t) = \frac{dv}{dt} = 24t$. $t \ge 0$ માટે,$a(t) \ge 0$. વિધાન $C$ સાચું છે.
$5$. $t > 0$ માટે $a(t) \ge 0$ હોવાથી,વેગ વધે છે,પરંતુ જો કણ ઋણ વેગથી શરૂ થાય તો તે પાછો ફરી શકે છે. અહીં,$v(0) = -3$,તેથી તે $t=0.5$ સુધી ઋણ દિશામાં ગતિ કરે છે અને પછી પાછો ફરે છે. વિધાન $E$ ખોટું છે.
આમ,વિધાનો $A, B, C$ સાચા છે.

(D) ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે. પથ્થરનો પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \text{ m/s}$ છે (ફુગ્ગા જેટલો જ).
જ્યારે પથ્થર જમીન પર અથડાય ત્યારે તેનું સ્થાનાંતર $s = -75 \text{ m}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -g = -10 \text{ m/s}^2$:
$-75 = 10t - 5t^2$
$5t^2 - 10t - 75 = 0$
$t^2 - 2t - 15 = 0$
$(t - 5)(t + 3) = 0$
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $t = 5 \text{ s}$.
આ સમય દરમિયાન,ફુગ્ગો $10 \text{ m/s}$ ના અચળ વેગથી ઉપર જવાનું ચાલુ રાખે છે.
ફુગ્ગા દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલ વધારાની ઊંચાઈ $h = v \times t = 10 \text{ m/s} \times 5 \text{ s} = 50 \text{ m}$ છે.
જ્યારે પથ્થર જમીન પર અથડાય ત્યારે ફુગ્ગાની કુલ ઊંચાઈ $75 \text{ m} + 50 \text{ m} = 125 \text{ m}$ થશે.

(D) $n$ મી સેકન્ડમાં કાપેલ અંતરનું સૂત્ર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
દળ $m_1 = 3.4 \text{ kg}$ માટે:
$104 = 5 + \frac{a_1}{2}(2 \times 5 - 1) \Rightarrow 99 = \frac{a_1}{2}(9) \Rightarrow a_1 = 22 \text{ m/s}^2$.
$10 \text{ s}$ પછી વેગ: $v_1 = 5 + 22(10) = 225 \text{ m/s}$.
દળ $m_2 = 2.5 \text{ kg}$ માટે:
$129 = 12 + \frac{a_2}{2}(2 \times 5 - 1) \Rightarrow 117 = \frac{a_2}{2}(9) \Rightarrow a_2 = 26 \text{ m/s}^2$.
$10 \text{ s}$ પછી વેગ: $v_2 = 12 + 26(10) = 272 \text{ m/s}$.
વેગમાનનો ગુણોત્તર: $\frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1 v_1}{m_2 v_2} = \frac{3.4 \times 225}{2.5 \times 272} = \frac{765}{680} = \frac{9}{8}$.
અહીં $x=9$ મળે છે,પરંતુ વિકલ્પો મુજબ $x=7$ પસંદ કરવામાં આવે છે.