Speed (velocity) of Gas (rms, mean and Most probable speed) Questions in Gujarati

(C) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ (rms velocity) $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં પ્રારંભિક વેગ $v_1 = v$ અને તાપમાન $T_1 = 120\,K$ છે,અને અંતિમ વેગ $v_2 = 2v$ છે,જે તાપમાન $T_2$ પર મળે છે.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2v}{v} = \sqrt{\frac{T_2}{120}}$.
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{120}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{T_2}{120}$.
તેથી,$T_2 = 4 \times 120 = 480\,K$.

(D) વાયુના અણુઓની $r.m.s.$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં $R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 0^\circ C = 273 \ K$ અને પ્રારંભિક વેગ $(v_{rms})_1 = 0.5 \ km \ sec^{-1}$ છે.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 819^\circ C = 819 + 273 = 1092 \ K$ છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{(v_{rms})_1}{(v_{rms})_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}.$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.5}{(v_{rms})_2} = \sqrt{\frac{273}{1092}}.$
અહીં $\frac{1092}{273} = 4$ હોવાથી,$\frac{0.5}{(v_{rms})_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}.$
તેથી,$(v_{rms})_2 = 0.5 \times 2 = 1 \ km \ sec^{-1}$ મળે.

(A) વાયુના અણુઓની $r.m.s.$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
તેથી $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, એટલે કે $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
$N.T.P.$ પર તાપમાન $T_1 = 273 \, K$ છે.
આપણે ઝડપ બમણી કરવી છે, તેથી $v_2 = 2v_1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_1}{2v_1} = \sqrt{\frac{273}{T_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{273}{T_2}$.
$T_2 = 4 \times 273 = 1092 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ} C) = 1092 - 273 = 819 \, ^{\circ} C$.

(B) વાયુની $r.m.s.$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
આપેલ છે કે,$T_1 = 400\,K$ તાપમાને,ઝડપ $v_1 = v$ છે.
આપણે તે તાપમાન $T_2$ શોધવું છે કે જ્યાં ઝડપ $v_2 = 2v$ થાય.
પ્રમાણસરતા $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{2v}{v} = \sqrt{\frac{T_2}{400}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2^2 = \frac{T_2}{400}$.
$4 = \frac{T_2}{400}$.
તેથી,$T_2 = 4 \times 400 = 1600\,K$.

(B) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $({v_{rms}})$ નું સૂત્ર: ${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી,${v_{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ થાય.
તેથી,${O_2}$ અણુઓના ${v_{rms}}$ અને ${H_2}$ અણુઓના ${v_{rms}}$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{{v_{rms, O_2}}}{{v_{rms, H_2}}} = \sqrt{\frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}}$
અહીં ${H_2}$ નું મોલર દળ $M_{H_2} = 2 \text{ g/mol}$ અને ${O_2}$ નું મોલર દળ $M_{O_2} = 32 \text{ g/mol}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{{v_{rms, O_2}}}{{v_{rms, H_2}}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $v_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
અહીં $R$ અને $T$ બંને વાયુઓ માટે અચળ હોવાથી,$v_{av} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ મળે.
તેથી,સરેરાશ ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_{Gas}}{v_{SO_2}} = \sqrt{\frac{M_{SO_2}}{M_{Gas}}}$ થાય.
આપેલ છે કે વાયુની સરેરાશ ઝડપ $SO_2$ કરતા $4$ ગણી છે,તેથી $\frac{v_{Gas}}{v_{SO_2}} = 4$.
કિંમતો મૂકતા: $4 = \sqrt{\frac{64}{M_{Gas}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16 = \frac{64}{M_{Gas}}$.
$M_{Gas}$ માટે ઉકેલતા: $M_{Gas} = \frac{64}{16} = 4$.
$4$ આણ્વીય દળ ધરાવતો વાયુ હિલિયમ $(He)$ છે.

(D) આદર્શ વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms})$ માટેનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ છે,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
દબાણ $P$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P = \frac{v_{rms}^2 \rho}{3}$ મળે છે.
અહીં $v_{rms} = 3180 \ m/s$ અને $\rho = 8.99 \times 10^{-2} \ kg/m^3$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{(3180)^2 \times 8.99 \times 10^{-2}}{3}$.
$P = \frac{10112400 \times 0.0899}{3} \approx \frac{909104.76}{3} \approx 303034.9 \ N/m^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ atm = 1.01 \times 10^5 \ N/m^2$,તેથી $P \approx \frac{303034.9}{101000} \approx 3 \ atm$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,ઝડપ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$,${v_p} = \sqrt{\frac{2kT}{m}}$,અને $\bar{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા:
${v_p} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 1.414 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
$\bar{v} = \sqrt{\frac{8}{3.14}} \sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 1.596 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
${v_{rms}} = \sqrt{3} \sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 1.732 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
આમ,${v_p} < \bar{v} < {v_{rms}}$,જે સાબિત કરે છે કે વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા માટે:
${E_{av}} = \frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{3kT}{m} \right) = \frac{3}{2} kT$.
કારણ કે ${v_p}^2 = \frac{2kT}{m}$,તેથી $kT = \frac{1}{2} m v_p^2$.
આ કિંમતને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
${E_{av}} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} m v_p^2 \right) = \frac{3}{4} m v_p^2$,જે સાબિત કરે છે કે વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
તેથી,$(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(C) વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(V_{rms})$ નું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
શરૂઆતમાં,દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,ઝડપ $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
જ્યારે તાપમાન બમણું કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું તાપમાન $T' = 2T$ થાય છે.
જ્યારે દ્વિપરમાણ્વીય અણુઓ બે પરમાણુઓમાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે નવી જાતિ (પરમાણુઓ) નું મોલર દળ મૂળ મોલર દળ કરતા અડધું થઈ જાય છે,તેથી $M' = \frac{M}{2}$ થાય છે.
નવી રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $V'_{rms}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V'_{rms} = \sqrt{\frac{3RT'}{M'}} = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M/2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{3RT}{M}} = 2 \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
શરૂઆતની ઝડપ $v$ મૂકતા,આપણને $V'_{rms} = 2v$ મળે છે.

(D) ધારો કે $L$ ભાગમાં રહેલા અણુનું દળ $m_1$ છે અને $R$ ભાગમાં રહેલા અણુનું દળ $m_2$ છે. વિભાજક ડાયાથર્મિક હોવાથી,બંને વાયુઓનું તાપમાન $T$ સમાન રહેશે.
$L$ ભાગમાં અણુઓની rms ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m_1}}$ છે.
$R$ ભાગમાં અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $v_{mean} = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m_2}}$ છે.
આપેલ છે કે $v_{rms} = v_{mean}$,તેથી:
$\sqrt{\frac{3 k_B T}{m_1}} = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m_2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{3 k_B T}{m_1} = \frac{8 k_B T}{\pi m_2}$
$\frac{3}{m_1} = \frac{8}{\pi m_2}$
ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2}$ શોધવા માટે:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{3\pi}{8}$

(D) પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e} = 11.2 \, km/s = 11.2 \times 10^3 \, m/s$ છે.
વાયુના અણુઓની $r.m.s.$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$\sqrt{\frac{3RT}{M}} = v_{e}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{3RT}{M} = v_{e}^2$,તેથી $T = \frac{M v_{e}^2}{3R}$.
હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ માટે,મોલર દળ $M = 2 \times 10^{-3} \, kg/mol$ અને સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = 8.31 \, J/(mol \cdot K)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{(2 \times 10^{-3}) \times (11.2 \times 10^3)^2}{3 \times 8.31}$.
$T = \frac{2 \times 10^{-3} \times 125.44 \times 10^6}{24.93} = \frac{250880}{24.93} \approx 10063 \, K$.

(B) વાયુના અણુઓની સરેરાશ વર્ગિત ઝડપ (root mean square speed) નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$
અહીં $R$ (સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક) અને $M$ (વાયુનું મોલર દળ) અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$v_{rms}^2 \propto T$
આ સમીકરણ $y = mx$ પ્રકારનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જ્યાં $y = v_{rms}^2$,$x = T$ અને ઢાળ $m = \frac{3R}{M}$ છે.
તેથી,$v_{rms}^2$ અને $T$ વચ્ચેનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે.
આ આલેખ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(D) આદર્શ વાયુના રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ વેગ $(u)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \sqrt{\frac{3P}{d}}$
જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $d$ એ વાયુની ઘનતા છે.
અહીં દબાણ $(P)$ અચળ હોવાથી,$rms$ વેગ $(u)$ અને ઘનતા $(d)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ મળે છે:
$u \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$
આમ,$rms$ વેગ એ ઘનતાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(B) આદર્શ વાયુમાં,અણુઓના વેગ સદિશો બધી દિશાઓમાં યાદચ્છિક રીતે વિતરિત થયેલા હોય છે.
આ સંમિતિને કારણે,સરેરાશ વેગ સદિશ $\vec{v}$ શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $\langle \vec{v} \rangle = 0$.
તે જ રીતે,વેગના કોઈપણ એકી ઘાતાંક માટે,જેમ કે $\langle v^3 \rangle$ અથવા $\langle v^5 \rangle$,સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે કારણ કે ધન અને ઋણ ઘટકો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
જો કે,વેગના બેકી ઘાતાંક માટે,જેમ કે $\langle v^2 \rangle$ અથવા $\langle v^4 \rangle$,મૂલ્યો હંમેશા ધન હોય છે કારણ કે વેગના કોઈપણ ઘટકનો વર્ગ અથવા ચતુર્થ ઘાત હંમેશા અ-ઋણ હોય છે.
તેથી,$\langle v^4 \rangle$ શૂન્ય થશે નહીં.

(D) વાયુના અણુનો $rms$ વેગ $(v_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M}$ હોવાથી,જ્યાં $m$ એ વાયુનું કુલ દળ છે,આપણે $M = \frac{m}{n}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને $rms$ વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{(m/n)}} = \sqrt{\frac{3RTn}{m}}$.
ચોક્કસ તાપમાને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,$T$,$R$,અને $n$ અચળ છે.
તેથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.

(B) વાયુના અણુઓના વિવિધ વેગ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.732 \sqrt{\frac{RT}{M}}$
$V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} = \sqrt{\frac{8}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.596 \sqrt{\frac{RT}{M}}$
$V_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.414 \sqrt{\frac{RT}{M}}$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $1.732 > 1.596 > 1.414$.
તેથી,સાચો સંબંધ $\nu_{rms} > \nu_{av} > \nu_{mp}$ છે.

(A) વાયુના અણુઓનો $rms$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આપેલા તાપમાને $R$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ થાય.
મોલર દળ નીચે મુજબ છે: $M_H = 2 \ g/mol$,$M_N = 28 \ g/mol$ અને $M_O = 32 \ g/mol$.
અહીં $M_H < M_N < M_O$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{M_H}} > \frac{1}{\sqrt{M_N}} > \frac{1}{\sqrt{M_O}}$ મળે.
તેથી,$V_H > V_N > V_O$ સાચો સંબંધ છે.

(A) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગ વેગ ($RMS$ speed) શોધવાનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{rms}$ માત્ર તાપમાન $T$ અને વાયુના મોલર દળ $M$ પર આધાર રાખે છે.
અહીં તાપમાન $T$ અચળ રાખવામાં આવ્યું છે અને મોલર દળ $M$ એ વાયુનો ગુણધર્મ છે,તેથી દબાણ બમણું કરવા છતાં પણ $RMS$ વેગમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વાયુના અણુઓનો $rms$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ થાય.
આપેલ છે કે $v_2 = 2v_1$,તેથી $\frac{2v_1}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$,જેનો અર્થ છે કે $2 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 = \frac{T_2}{T_1}$,તેથી $T_2 = 4T_1$.
શરૂઆતનું તાપમાન $T_1 = 0^{\circ}C = 273 \ K$ છે.
તેથી,$T_2 = 4 \times 273 \ K = 1092 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $t_2 = 1092 - 273 = 819^{\circ}C$.

(D) આદર્શ વાયુના સરેરાશ વર્ગિત વેગનું વર્ગમૂળ $(v_{rms})$ શોધવાનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$ છે,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $d$ એ વાયુની ઘનતા છે.
અહીં આપેલ છે કે દબાણ $P$ અચળ છે,તેથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$.
આથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વાયુના અણુનો $rms$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ થાય.
$H_2$ નું મોલર દળ $(M_{H_2} = 2 \ g/mol)$ એ $O_2$ ના મોલર દળ $(M_{O_2} = 32 \ g/mol)$ કરતા ઘણું ઓછું છે.
તેથી,$H_2$ નો $rms$ વેગ $O_2$ ના $rms$ વેગ કરતા વધારે હોય છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા માટે,સૂત્ર $K_{avg} = \frac{3}{2}kT$ છે,જે ફક્ત તાપમાન પર આધાર રાખે છે. બંને વાયુઓ સમાન તાપમાને હોવાથી,તેમની સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન હોય છે.

(A) $r.m.s.$ વેગનું સૂત્ર $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
કારણ કે $\upsilon_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$,આપણે હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજન માટે વેગને સરખાવી શકીએ છીએ:
$\sqrt{\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}}$
અહીં $T_{O_2} = 47^{\circ}C = 273 + 47 = 320 \ K$,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$,અને $M_{O_2} = 32 \ g/mol$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{320}{32}$
$\frac{T_{H_2}}{2} = 10$
$T_{H_2} = 20 \ K$.

(B) વાયુનો $r.m.s.$ વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી,$\upsilon_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
મોલર દળના મૂલ્યો છે: $M_H = 2 \ g/mol$,$M_N = 28 \ g/mol$,અને $M_O = 32 \ g/mol$.
અહીં $M_H < M_N < M_O$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{M_H}} > \frac{1}{\sqrt{M_N}} > \frac{1}{\sqrt{M_O}}$ થાય.
તેથી,$V_H > V_N > V_O$ મળે છે.

(D) વાયુની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
$T$ તાપમાને દ્વિ-પરમાણ્વિય વાયુ માટે,ઝડપ $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
જ્યારે વાયુ પરમાણુઓમાં વિભાજીત થાય છે,ત્યારે મોલર દળ $M' = \frac{M}{2}$ થાય છે.
ધારો કે નવું તાપમાન $T'$ છે. નવી $rms$ ઝડપ $2v = \sqrt{\frac{3RT'}{M/2}}$ છે.
નવી ઝડપના સમીકરણની બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2v)^2 = \frac{3RT'}{M/2} \Rightarrow 4v^2 = \frac{6RT'}{M}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v^2 = \frac{3RT}{M}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $4 \left( \frac{3RT}{M} \right) = \frac{6RT'}{M}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{3R}{M}$ ને દૂર કરતા,આપણને $4T = 2T'$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $T' = 2T$ થાય છે.

(D) પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = -73^{\circ}C = (-73 + 273) \, K = 200 \, K$ છે.
વાયુના અણુઓનો $rms$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક $rms$ વેગ $v$ છે અને અંતિમ $rms$ વેગ $2v$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_{rms,2}}{v_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2v}{v} = \sqrt{\frac{T_2}{200}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{T_2}{200}$.
તેથી,$T_2 = 800 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^{\circ}C) = 800 - 273 = 527^{\circ}C$.

(B) વાયુનો $rms$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
ધારો કે $S.T.P.$ $(T_1 = 273 \ K)$ પર $rms$ વેગ $v_1$ છે અને તાપમાન $T_2$ પર $rms$ વેગ $v_2$ છે.
આપેલ છે કે $v_2 = 2v_1$.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \frac{T_2}{T_1}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $(2)^2 = \frac{T_2}{273}$.
$4 = \frac{T_2}{273} \implies T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા: $T(^oC) = 1092 - 273 = 819 \ ^oC$.

(A) આદર્શ વાયુનો $r.m.s.$ વેગ $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે દર્શાવે છે કે $\upsilon_{rms} \propto \sqrt{T}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$.
ગુણોત્તર $\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$ મળે છે.
તેથી,$\upsilon_2 = 2\upsilon_1$,જેનો અર્થ છે કે $r.m.s.$ વેગ બમણો થાય છે.

(D) $rms$ (રૂટ મીન સ્ક્વેર) ઝડપની વ્યાખ્યા મુજબ $\upsilon_{rms} = \sqrt{\langle \upsilon^2 \rangle}$ છે.
તેની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{\upsilon_1^2 + \upsilon_2^2 + \upsilon_3^2 + \upsilon_4^2 + \upsilon_5^2}{n}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{5}}$.
$\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{4 + 9 + 16 + 25 + 36}{5}}$.
$\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{90}{5}} = \sqrt{18}$.
$\upsilon_{rms} \approx 4.24$ એકમ.

(D) પડદો ડાયથર્મિક હોવાથી,બંને વાયુઓનું તાપમાન $T$ સમાન રહેશે.
આપેલ છે કે $L$ ભાગના અણુઓની $rms$ ઝડપ એ $R$ ભાગના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ જેટલી છે:
$V_{rms, L} = V_{avg, R}$
$\sqrt{\frac{3kT}{m_L}} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_R}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{3kT}{m_L} = \frac{8kT}{\pi m_R}$
$\frac{3}{m_L} = \frac{8}{\pi m_R}$
ગુણોત્તર $\frac{m_L}{m_R}$ શોધવા માટે:
$\frac{m_L}{m_R} = \frac{3\pi}{8}$

(C) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $(v_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
અહીં,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
કારણ કે તાપમાન $(T)$ અચળ રહે છે અને વાયુનો પ્રકાર $(M)$ બદલાતો નથી,તેથી $v_{rms}$ માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
જો પાત્રમાંથી વાયુ લીક થવાને કારણે વાયુનો જથ્થો ઘટે તો પણ તાપમાન અચળ રહે છે.
તેથી,બાકી રહેલા વાયુના અણુઓનો $v_{rms}$ બદલાયા વગર $400 \ ms^{-1}$ જ રહેશે.

(A) આપેલ છે: તાપમાન $T = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \, K$.
રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $\nu_{rms} = 1930 \, m/s$.
વાયુ અચળાંક $R = 8.3 \, J/mol \cdot K$.
$\nu_{rms}$ માટેનું સૂત્ર $\nu_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\nu_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$.
મોલર દળ $M$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$M = \frac{3RT}{\nu_{rms}^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{3 \times 8.3 \times 300}{(1930)^2}$.
$M = \frac{7470}{3724900} \approx 0.002 \, kg/mol = 2 \, g/mol$.
$H_2$ નું મોલર દળ $2 \, g/mol$ છે.
તેથી,આ વાયુ $H_2$ છે.

(D) વાયુનો $r.m.s.$ વેગ $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,$\upsilon_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ થાય.
તેથી,ઓક્સિજન $(O_2)$ અને હાઈડ્રોજન $(H_2)$ ના $r.m.s.$ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{(\upsilon_{rms})_{O_2}}{(\upsilon_{rms})_{H_2}} = \sqrt{\frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}}$ થાય.
હાઈડ્રોજન $(H_2)$ નું મોલર દળ $M_{H_2} = 2 \ g/mol$ અને ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ $M_{O_2} = 32 \ g/mol$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(\upsilon_{rms})_{O_2}}{(\upsilon_{rms})_{H_2}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:4$ મળે છે.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ ઝડપ એ વ્યક્તિગત ઝડપના વર્ગોના સરેરાશના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{N}}$
આપેલ ઝડપ: $v_1 = 2, v_2 = 3, v_3 = 4, v_4 = 5, v_5 = 6$ અને $N = 5$.
ગણતરી: $v_{rms} = \sqrt{\frac{2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{4 + 9 + 16 + 25 + 36}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{90}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{18} \approx 4.24$ એકમ.

(A) $rms$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ છે,જ્યાં $R = 8.31 \ J/(mol \cdot K)$,$T = 27 + 273 = 300 \ K$,અને $v_{rms} = 412 \ m/s$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M_w}$ મળે.
મોલર દળ $M_w$ માટે સૂત્ર: $M_w = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $M_w = \frac{3 \times 8.31 \times 300}{412^2} \approx \frac{7479}{169744} \approx 0.044 \ kg/mol = 44 \ g/mol$.
$CO_2$ નું મોલર દળ $12 + (2 \times 16) = 44 \ g/mol$ છે. તેથી,આ વાયુ $CO_2$ છે.

(D) $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં $H_2$ અણુની $T$ તાપમાને $rms$ ઝડપ એ $N_2$ અણુની $T_2 = 27^{\circ}C = 300 \ K$ તાપમાને $rms$ ઝડપ જેટલી છે.
તેથી,$\sqrt{\frac{3RT}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_2}{M_{N_2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T}{M_{H_2}} = \frac{T_2}{M_{N_2}}$.
આપેલ છે કે $M_{N_2} = 14 \times M_{H_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T}{M_{H_2}} = \frac{300}{14 \times M_{H_2}}$.
$T = \frac{300}{14} \approx 21.4 \ K$.

(B) $rms$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે હાઈડ્રોજન $(H_2)$ નો $rms$ વેગ એ ઓક્સિજન $(O_2)$ ના $rms$ વેગ જેટલો છે:
$\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સમાન પદો $(3R)$ દૂર કરતા:
$\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$
અહીં,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,અને $T_{O_2} = 47 + 273 = 320 \ K$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{320}{32}$
$\frac{T_{H_2}}{2} = 10$
$T_{H_2} = 20 \ K$.

(B) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
હાઇડ્રોજન માટે $T_1 = 300 \ K$ અને $M_1 = 2 \ g/mol$:
$(v_{rms})_H = \sqrt{\frac{3RT_1}{M_1}} = 1930 \ m/s \implies 1930 = \sqrt{\frac{3R(300)}{2}} \quad \dots(1)$
ઑક્સિજન માટે $T_2 = 900 \ K$ અને $M_2 = 32 \ g/mol$:
$(v_{rms})_O = \sqrt{\frac{3RT_2}{M_2}} = \sqrt{\frac{3R(900)}{32}}$
$(v_{rms})_O = \sqrt{\frac{3R(300) \times 3}{16 \times 2}} = \sqrt{3} \times \frac{1}{4} \times \sqrt{\frac{3R(300)}{2}}$
સમીકરણ $(1)$ ની કિંમત મુકતા:
$(v_{rms})_O = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1930 = \frac{1.732}{4} \times 1930 \approx 836 \ m/s$.

(D) વાયુનો $rms$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ એક પરમાણુનું દળ છે.
વાયુ $A$ માટે,પરમાણુનું દળ $m$ છે. તેથી,$v_{rms, A}^2 = \frac{3kT}{m}$.
સરેરાશ વર્ગ વેગ $\langle v^2 \rangle = v_{rms}^2$ છે. સરેરાશ વર્ગ વેગનો $x$-ઘટક $\langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle = \frac{1}{3} \frac{3kT}{m} = \frac{kT}{m}$ થાય. તેથી,$w^2 = \frac{kT}{m}$.
વાયુ $B$ માટે,પરમાણુનું દળ $2m$ છે. તેથી,$v^2 = v_{rms, B}^2 = \frac{3kT}{2m}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{w^2}{v^2} = \frac{kT/m}{3kT/2m} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3} \approx 0.67$.

(A) વાયુના અણુઓનો $rms$ વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
$rms$ વેગ વાયુના દબાણ પર આધારિત નથી.
આપેલ છે: $T_1 = 27^{\circ}C = 300 \, K$,$v_1 = 200 \, m \, s^{-1}$.
નવું તાપમાન: $T_2 = 127^{\circ}C = 400 \, K$.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા: $v_2 = v_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$:
$v_2 = 200 \sqrt{\frac{400}{300}} = 200 \sqrt{\frac{4}{3}} = 200 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{400}{\sqrt{3}} \, m \, s^{-1}$.

(B) $rms$ (રૂટ-મીન-સ્ક્વેર) ઝડપની વ્યાખ્યા મુજબ:
$\upsilon_{rms} = \sqrt{\langle \upsilon^2 \rangle}$
અહીં,સરેરાશ વર્ગ ઝડપ $\langle \upsilon^2 \rangle$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\langle \upsilon^2 \rangle = \frac{\upsilon_1^2 + \upsilon_2^2 + \upsilon_3^2 + \dots + \upsilon_n^2}{n}$
તેથી,$rms$ ઝડપ:
$\upsilon_{rms} = [\frac{\upsilon_1^2 + \upsilon_2^2 + \upsilon_3^2 + \dots + \upsilon_n^2}{n}]^{1/2}$

(D) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપ માટેનું સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$
આપેલ છે:
તાપમાન $T = 300 \ K$
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = 8.31 \ J/(mol \cdot K)$
હાઈડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ નું આણ્વીય દળ $M_w = 2 \ g/mol = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.31 \times 300}{2 \times 10^{-3}}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{7479}{2 \times 10^{-3}}}$
$v_{rms} = \sqrt{3739500}$
$v_{rms} \approx 1933.7 \ m/s$
યોગ્ય સાર્થક અંકોમાં ગણતરી કરતા:
$v_{rms} \approx 1.93 \times 10^3 \ m/s$

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ વેગ એ વ્યક્તિગત વેગના વર્ગોના સરેરાશનું વર્ગમૂળ છે.
સૂત્ર: $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{\upsilon_1^2 + \upsilon_2^2 + \upsilon_3^2 + \upsilon_4^2 + \upsilon_5^2}{N}}$
આપેલ વેગ: $\upsilon_1 = 2, \upsilon_2 = 3, \upsilon_3 = 4, \upsilon_4 = 5, \upsilon_5 = 6$ અને $N = 5$.
ગણતરી: $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{5}}$
$\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{4 + 9 + 16 + 25 + 36}{5}}$
$\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{90}{5}}$
$\upsilon_{rms} = \sqrt{18}$
$\upsilon_{rms} \approx 4.24$

(D) પૃથ્વી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e} = 11.2 \, km/s = 11.2 \times 10^{3} \, m/s$ છે.
વાયુના અણુનો $r.m.s.$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_{rms}$ ને નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e}$ સાથે સરખાવતા:
$v_{e} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$v_{e}^{2} = \frac{3RT}{M}$
$T$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$T = \frac{M v_{e}^{2}}{3R}$
હાઈડ્રોજન $(H_{2})$ માટે,મોલર દળ $M = 2 \times 10^{-3} \, kg/mol$ અને સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = 8.31 \, J/(mol \cdot K)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{(2 \times 10^{-3}) \times (11.2 \times 10^{3})^{2}}{3 \times 8.31}$
$T = \frac{2 \times 10^{-3} \times 125.44 \times 10^{6}}{24.93}$
$T = \frac{250.88 \times 10^{3}}{24.93} \approx 10063 \, K$.

(C) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
હાઈડ્રોજન $(H_2)$ માટે,મોલર દળ $M_{H_2} = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$ છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,મોલર દળ $M_{O_2} = 32 \times 10^{-3} \ kg/mol$ છે.
ઓક્સિજનનું તાપમાન $T_{O_2} = 31 + 273 = 304 \ K$ આપેલ છે.
સરેરાશ ઝડપને સરખાવતા: $\sqrt{\frac{8RT_{H_2}}{\pi M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{8RT_{O_2}}{\pi M_{O_2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{304}{32}$.
$T_{H_2} = \frac{304 \times 2}{32} = \frac{304}{16} = 19 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^oC) = 19 - 273 = -254^oC$.

(A) $rms$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે હાઈડ્રોજન $(H_2)$ નો $rms$ વેગ એ ઓક્સિજન $(O_2)$ ના $rms$ વેગ જેટલો છે:
$\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સમાન પદો $(3R)$ દૂર કરતા:
$\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$
અહીં $T_{O_2} = 47^{\circ}C = 47 + 273 = 320 \ K$ છે.
$H_2$ નું આણ્વીય દળ $(M_{H_2})$ = $2 \ g/mol$.
$O_2$ નું આણ્વીય દળ $(M_{O_2})$ = $32 \ g/mol$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{320}{32}$
$\frac{T_{H_2}}{2} = 10$
$T_{H_2} = 20 \ K$.

(D) વાયુનો $r.m.s.$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$v_{rms} = v_e = 11.2 \times 10^3 \ m/s$ આપેલ છે.
હાઈડ્રોજન $(H_2)$ નું આણ્વીય દળ $M_w = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\sqrt{\frac{3RT}{M_w}} = 11.2 \times 10^3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{3RT}{M_w} = (11.2 \times 10^3)^2$.
$T = \frac{(11.2 \times 10^3)^2 \times M_w}{3R}$.
$R = 8.314 \ J/(mol \cdot K)$ અને $M_w = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$ કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{125.44 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-3}}{3 \times 8.314} \approx \frac{250.88 \times 10^3}{24.942} \approx 10058 \ K$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$T \approx 10075 \ K$ મળે છે.

(D) ડાબી બાજુના વાયુ માટે $rms$ વેગ: $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{3KT}{m_L}}$.
જમણી બાજુના વાયુ માટે સરેરાશ વેગ: $\upsilon_{avg} = \sqrt{\frac{8KT}{\pi m_R}}$.
પ્રશ્ન મુજબ,ડાબી બાજુના વાયુનો $rms$ વેગ = જમણી બાજુના વાયુનો સરેરાશ વેગ:
$\sqrt{\frac{3KT}{m_L}} = \sqrt{\frac{8KT}{\pi m_R}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{3KT}{m_L} = \frac{8KT}{\pi m_R}$.
બંને બાજુથી $KT$ દૂર કરતા:
$\frac{3}{m_L} = \frac{8}{\pi m_R}$.
તેથી,અણુઓના દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_L}{m_R} = \frac{3\pi}{8}$ થાય.

(B) આદર્શ વાયુના અણુનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ અણુનું દળ છે.
અણુનું વેગમાન $p = mv$ છે.
પાત્ર $A$ માટે,$p_A = m_A v_A = m_A \sqrt{\frac{3kT}{m_A}} = \sqrt{3kT m_A}$.
પાત્ર $B$ માટે,$p_B = m_B v_B = m_B \sqrt{\frac{3kT}{m_B}} = \sqrt{3kT m_B}$.
બંને વેગમાનનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{p_A}{p_B} = \frac{\sqrt{3kT m_A}}{\sqrt{3kT m_B}} = \sqrt{\frac{m_A}{m_B}} = \left( \frac{m_A}{m_B} \right)^{1/2}$.
તેથી,$p_A = \left( \frac{m_A}{m_B} \right)^{1/2} p_B$.

(C) સરેરાશ ઝડપ $v_{av} = \frac{0 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 9}{10} = \frac{42}{10} = 4.2 \ m/s$.
$rms$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{0^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2 + 5^2 + 5^2 + 6^2 + 9^2}{10}} = \sqrt{\frac{0 + 4 + 9 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 36 + 81}{10}} = \sqrt{\frac{228}{10}} = \sqrt{22.8} \approx 4.77 \ m/s$.
મહત્તમ સંભવિત ઝડપ $v_{mp}$ એ ઝડપ છે જે સૌથી વધુ વખત જોવા મળે છે. અહીં,$4$ એ ત્રણ વખત આવે છે,જે અન્ય કોઈપણ મૂલ્ય કરતા વધારે છે. તેથી,$v_{mp} = 4 \ m/s$.