Gas Laws (Charles, Boyle's, Avagadro's, Gay Lussacs and Dalton's law) and Ideal gas Equation Questions in Hindi

(C) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए, $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
दिया गया है:
$P_1 = 1 \,atm$,$V_1 = 500 \,m^3$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \,K$.
$P_2 = 0.5 \,atm$,$T_2 = -3 + 273 = 270 \,K$.
हमें $V_2$ ज्ञात करना है।
सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $V_2 = V_1 \times \frac{P_1}{P_2} \times \frac{T_2}{T_1}$.
मान रखने पर: $V_2 = 500 \times \frac{1}{0.5} \times \frac{270}{300}$.
$V_2 = 500 \times 2 \times 0.9 = 900 \,m^3$.

(A) आदर्श गैस समीकरण $P V = n R T$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $n = \frac{m_{total}}{M}$,जहाँ $m_{total}$ कुल द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है,इसलिए $P V = \frac{m_{total}}{M} R T$ होता है।
घनत्व $\rho = \frac{m_{total}}{V}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = \frac{\rho R T}{M}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $R = N_A K$,जहाँ $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है और $K$ बोल्ट्जमैन नियतांक है।
$R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर और यह ध्यान में रखते हुए कि मोलर द्रव्यमान $M = N_A m$ (जहाँ $m$ एक अणु का द्रव्यमान है),हमें प्राप्त होता है:
$P = \frac{\rho (N_A K) T}{N_A m} = \frac{\rho K T}{m}$.
घनत्व $\rho$ के लिए हल करने पर,$\rho = \frac{P m}{K T}$ प्राप्त होता है।

(A) दाब $P$ की विमा $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ होती है।
आयतन $V$ की विमा $[L^3]$ होती है।
अतः,गुणनफल $PV$ की विमा $[M^1 L^{-1} T^{-2}] \times [L^3] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ होती है।
चूंकि ऊर्जा (कार्य) की विमा $[M^1 L^2 T^{-2}]$ होती है,इसलिए $PV$ की विमा ऊर्जा के समान है।

(D) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए,आयतन उसके परम तापमान के समानुपाती होता है: $V \propto T$ या $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$।
दिया गया प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
माना प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है। तब अंतिम आयतन $V_2 = 2V$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{V}{300} = \frac{2V}{T_2}$।
$T_2$ के लिए हल करने पर: $T_2 = 300 \times 2 = 600 \ K$।
अंतिम तापमान को सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 600 - 273 = 327^{\circ} C$।
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 327^{\circ} C - 27^{\circ} C = 300^{\circ} C$ होगी।

(A) स्थिर आयतन वाले एक बंद पात्र में गैस के लिए,गे-लुसाक का नियम बताता है कि $P \propto T$,जहाँ $P$ दबाव है और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
अवकलन करने पर,हमें मिलता है $\frac{dP}{P} = \frac{dT}{T}$।
दिया गया है कि दबाव $1 \%$ बढ़ जाता है,इसलिए $\frac{dP}{P} = 0.01$।
दिया गया है कि तापमान में $dT = 1 \ K$ की वृद्धि होती है (क्योंकि $1^{\circ} C$ का परिवर्तन $1 \ K$ के परिवर्तन के बराबर होता है)।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $0.01 = \frac{1}{T}$।
अतः,$T = \frac{1}{0.01} = 100 \ K$।

(C) यह दिया गया है कि पात्र का आयतन स्थिर है, इसलिए हम गे-लुसाक के नियम का उपयोग करते हैं, जिसके अनुसार गैस की निश्चित मात्रा के लिए $P \propto T$ होता है।
प्रारंभिक दबाव $P_1 = 20 \,atm$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \,K$.
पात्र द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम दबाव $P_2 = 100 \,atm$.
संबंध $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ का उपयोग करके, हम वह तापमान $T_2$ ज्ञात करते हैं जिस पर पात्र फट जाएगा:
$T_2 = \frac{P_2 \times T_1}{P_1} = \frac{100 \,atm \times 300 \,K}{20 \,atm} = 5 \times 300 \,K = 1500 \,K$.

(A) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$ होता है।
चूंकि आयतन $V$ स्थिर है और गैस की मात्रा $n$ भी स्थिर है,इसलिए $\frac{P}{T} = \frac{nR}{V} = \text{स्थिरांक}$ होगा।
इसका अर्थ है कि दाब $P$,तापमान $T$ के सीधे समानुपाती है,अर्थात $P \propto T$।
प्रतिशत में छोटे परिवर्तनों के लिए,यदि दाब $2 \%$ बढ़ता है,तो समानुपातिकता बनाए रखने के लिए तापमान भी $2 \%$ बढ़ना चाहिए।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_i = 100 \ cc$।
प्रारंभिक दाब $P_i = 760 \ mm$ $Hg$।
प्रारंभिक तापमान $T_i = 30^{\circ} C$।
अंतिम तापमान $T_f = 30^{\circ} C$ (चूंकि तापमान स्थिर रहता है)।
अंतिम दाब $P_f = 400 \ mm$ $Hg$।
चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_i V_i = P_f V_f$।
मान रखने पर: $760 \times 100 = 400 \times V_f$।
$V_f$ के लिए हल करने पर: $V_f = \frac{760 \times 100}{400}$।
$V_f = \frac{76000}{400} = 190 \ cc$।

(D) दोनों स्थितियों में गैस की मात्रा समान रहती है। आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
दिया गया है:
$P_1 = 4 \ atm$,$V_1 = 1500 \ m^3$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
$P_2 = 2 \ atm$,$T_2 = -3 + 273 = 270 \ K$.
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{4 \times 1500}{300} = \frac{2 \times V_2}{270}$.
$20 = \frac{V_2}{135}$.
$V_2 = 20 \times 135 = 2700 \ m^3$.

(D) दिया गया है:
प्रारंभिक दबाव $p_1 = 2 \ Pa$
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
माना प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
अंतिम दबाव $p_2 = 2 \times p_1 = 4 \ Pa$
अंतिम आयतन $V_2 = 2 \times V_1 = 2V$
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए,$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$
मान रखने पर:
$\frac{2 \times V}{300} = \frac{4 \times 2V}{T_2}$
$\frac{2V}{300} = \frac{8V}{T_2}$
$T_2 = \frac{8V \times 300}{2V} = 4 \times 300 = 1200 \ K$
अतः,गैस का अंतिम तापमान $1200 \ K$ है।

(A) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन गुणांक $\alpha$ को $\alpha = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P$ के रूप में परिभाषित किया गया है। $V = \frac{nRT}{P}$ से,हमें $\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = \frac{nR}{P}$ प्राप्त होता है। अतः,$\alpha = \frac{1}{V} \left( \frac{nR}{P} \right) = \frac{nR}{PV} = \frac{1}{T}$।
दाब गुणांक $\beta$ को $\beta = \frac{1}{P} \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V$ के रूप में परिभाषित किया गया है। $P = \frac{nRT}{V}$ से,हमें $\left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V = \frac{nR}{V}$ प्राप्त होता है। अतः,$\beta = \frac{1}{P} \left( \frac{nR}{V} \right) = \frac{nR}{PV} = \frac{1}{T}$।
दोनों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $\alpha = \beta = \frac{1}{T}$।

(C) दिया गया है,प्रारंभिक दाब,$p_i = p$.
अंतिम दाब,$p_f = \frac{p}{2}$.
प्रारंभिक तापमान,$T = 400 \ K$.
अंतिम तापमान,$T' = 300 \ K$.
गैस का प्रारंभिक द्रव्यमान,$m = 6 \ g$.
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$pV = nRT = \frac{m}{M}RT$.
प्रारंभिक स्थिति: $pV = \frac{m}{M}RT$ $(i)$.
अंतिम स्थिति: $p'V = \frac{m'}{M}RT'$ (ii).
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{p'V}{pV} = \frac{m'RT' / M}{mRT / M} \implies \frac{p'}{p} = \frac{m'T'}{mT}$.
मान रखने पर:
$\frac{p/2}{p} = \frac{m' \times 300}{6 \times 400} \implies \frac{1}{2} = \frac{m' \times 3}{6 \times 4} = \frac{m'}{8}$.
$m' = \frac{8}{2} = 4 \ g$.
बाहर निकली ऑक्सीजन का द्रव्यमान,$\Delta m = m - m' = 6 \ g - 4 \ g = 2 \ g$.

(C) दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_1 = 251 \,cm^3$,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 20^{\circ} C = 273 + 20 = 293 \,K$,प्रारंभिक दाब $p_1 = 78 \,cm$ $Hg$।
$NTP$ पर,मानक स्थितियाँ हैं: तापमान $T_2 = 273 \,K$ और दाब $p_2 = 76 \,cm$ $Hg$।
संयुक्त गैस नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$।
$V_2$ के लिए सूत्र: $V_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1}$।
मान रखने पर: $V_2 = \frac{78 \times 251 \times 273}{76 \times 293} \approx 240 \,cm^3$।
नोट: यदि गणना में $T_2 = 293 \,K$ का उपयोग किया जाता है,तो उत्तर $263.8 \,cm^3$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(B) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT = \frac{N}{N_A} RT$,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
अतः,$N = \frac{PVN_A}{RT}$.
पात्र $A$ के लिए: $N_A = \frac{p_A V_A N_A}{R T_A}$.
पात्र $B$ के लिए: $N_B = \frac{p_B V_B N_A}{R T_B}$.
दिया गया है: $V_B = 2V_A$,$p_B = 3p_A$,और $T_B = \frac{T_A}{2}$.
अनुपात $\frac{N_A}{N_B}$ लेने पर:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{p_A V_A}{R T_A} \cdot \frac{R T_B}{p_B V_B} = \frac{p_A V_A}{T_A} \cdot \frac{T_A / 2}{3p_A \cdot 2V_A} = \frac{1}{T_A} \cdot \frac{T_A}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{1}{12}$.
अतः,अनुपात $N_A : N_B = 1:12$ है।

(B) दिया गया है:
$T_1 = (273 + 20) \ K = 293 \ K$
$p_1 = 90 \ cm \ Hg$
$p_2 = 75 \ cm \ Hg$
चूंकि गैस का आयतन स्थिर है,गे-लुसाक के नियम के अनुसार:
$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$
$\Rightarrow T_2 = \frac{T_1 \times p_2}{p_1}$
मान रखने पर:
$T_2 = \frac{293 \times 75}{90} \ K$
$T_2 = 244.16 \ K$
तापमान को सेल्सियस में बदलने पर:
$T(^{\circ}C) = 244.16 - 273 = -28.84^{\circ} C \approx -28.8^{\circ} C$

(B) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब और गैस की निश्चित मात्रा के लिए,आयतन परम तापमान के सीधे समानुपाती होता है: $V \propto T$ या $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$।
दिया गया है:
$V_1 = 2 \ L$
$T_1 = 273 \ K$ ($STP$ पर)
$V_2 = 2 \times V_1 = 4 \ L$
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{2 \ L}{273 \ K} = \frac{4 \ L}{T_2}$
$T_2 = \frac{4 \times 273}{2} \ K$
$T_2 = 546 \ K$.

(D) आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,और $T$ परम तापमान है।
चूंकि गैसें तापीय संतुलन में हैं,इसलिए उनके तापमान समान हैं,अतः $T_{A} = T_{B} = T$ है।
दोनों कंटेनरों में एक ही गैस का समान द्रव्यमान है,इसलिए मोलों की संख्या $n$ दोनों के लिए समान है,अर्थात $n_{A} = n_{B} = n$ है।
दोनों कंटेनरों के लिए आदर्श गैस समीकरण लागू करने पर:
कंटेनर $A$ के लिए: $P_{A} V_{A} = nRT$
कंटेनर $B$ के लिए: $P_{B} V_{B} = nRT$
चूंकि दाहिने पक्ष समान हैं $(nRT = nRT)$,इसलिए हमारे पास $P_{A} V_{A} = P_{B} V_{B}$ होना चाहिए।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है: हवा का प्रारंभिक आयतन $V_0 = 0.75 \times 2 \times 10^{-3} \ m^3 = 1.5 \times 10^{-3} \ m^3$ है।
जब सवार साइकिल पर होता है,तो टायर के अंदर का कुल दबाव $P$,वायुमंडलीय दबाव $P_0$ और भार के कारण दबाव का योग होता है: $P = P_0 + \frac{mg}{A} = 10^5 + \frac{120 \times 10}{24 \times 10^{-4}} = 10^5 + 5 \times 10^5 = 6 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$।
यह मानते हुए कि तापमान $T$ स्थिर रहता है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं $(P_1 V_1 = P_2 V_2)$:
$P_0 V_{initial} = P V_{final}$
$10^5 \times V_{initial} = 6 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-3}$
$V_{initial} = 12 \times 10^{-3} \ m^3$।
भरने के लिए आवश्यक हवा का आयतन $\Delta V = V_{initial} - V_0 = 12 \times 10^{-3} - 1.5 \times 10^{-3} = 10.5 \times 10^{-3} \ m^3$ है।
प्रति स्ट्रोक आयतन $v = 500 \ cm^3 = 500 \times 10^{-6} \ m^3 = 0.5 \times 10^{-3} \ m^3$ है।
स्ट्रोक की संख्या $n = \frac{\Delta V}{v} = \frac{10.5 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}} = 21$।

(D) माना सिलेंडर की कुल लंबाई $L = 2l$ है, जहाँ $l$ प्रत्येक तरफ की प्रारंभिक लंबाई है।
प्रारंभ में, दोनों तरफ का तापमान $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \,K$ है।
एक तरफ को $T_2 = 100^{\circ} C = 373 \,K$ तक गर्म करने के बाद, पिस्टन $x = 5 \,cm$ खिसक जाता है।
नई लंबाइयाँ $l_1 = l + 5$ और $l_2 = l - 5$ हैं।
चूँकि दबाव स्थिर रहता है, चार्ल्स के नियम के अनुसार, $\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल स्थिर होने के कारण, $\frac{l+5}{l-5} = \frac{373}{273}$.
योगांतरानुपात (Componendo and Dividendo) का उपयोग करने पर: $\frac{(l+5) + (l-5)}{(l+5) - (l-5)} = \frac{373 + 273}{373 - 273}$.
$\frac{2l}{10} = \frac{646}{100}$.
$2l = \frac{646 \times 10}{100} = 64.6 \,cm$.
अतः, सिलेंडर की कुल लंबाई $64.6 \,cm$ है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था समीकरण $PV = nRT$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = (nR/V)T$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = P$ और $x = T$ है,ग्राफ की ढाल $m = nR/V$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $n$ और $R$ स्थिरांक हैं,ढाल आयतन के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $m \propto 1/V$।
दिए गए ग्राफ से,$V_1$ के लिए रेखा की ढाल सबसे अधिक है और $V_4$ के लिए रेखा की ढाल सबसे कम है।
इसलिए,$m_1 > m_2 > m_3 > m_4$।
चूँकि $V \propto 1/m$,इसलिए $V_1 < V_2 < V_3 < V_4$ होता है।

(A) दी गई प्रारंभिक स्थितियाँ: $V_1 = 10 \,L$,$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \,K$,$p_1 = 12 \,atm$.
अंतिम स्थितियाँ: $V_2 = 6 \,L$,$T_2 = (27 + 30)^{\circ} C = 57^{\circ} C = 330 \,K$.
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए,$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$.
$p_2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $p_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{T_1 V_2}$.
मान रखने पर: $p_2 = \frac{12 \times 10 \times 330}{300 \times 6}$.
$p_2 = \frac{120 \times 330}{1800} = \frac{39600}{1800} = 22 \,atm$.

(B) नियत ताप पर गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए बॉयल के नियम के अनुसार, $PV = \text{नियतांक} = k$ होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(PV) = \ln(k)$
$\ln(P) + \ln(V) = \ln(k)$
इस समीकरण को $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर, जहाँ $y = \ln(P)$ और $x = \ln(V)$ है:
$\ln(P) = -\ln(V) + \ln(k)$
इसकी तुलना सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर, हमें ढाल $m = -1$ प्राप्त होती है।

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 15^{\circ} C = 15 + 273 = 288 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 35^{\circ} C = 35 + 273 = 308 \ K$.
चूंकि टायर का आयतन स्थिर रहता है,हम गे-लुसाक के नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
दबाव के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{308}{288}$.
दबाव में प्रतिशत वृद्धि $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100 = \left( \frac{P_2}{P_1} - 1 \right) \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\left( \frac{308}{288} - 1 \right) \times 100 = \left( \frac{308 - 288}{288} \right) \times 100 = \frac{20}{288} \times 100 \approx 6.94 \%$.
निकटतम पूर्णांक में,अनुमानित प्रतिशत वृद्धि $7 \%$ है।

(B) प्रारंभिक तापमान $T_1 = 60^{\circ} C = 60 + 273 = 333 \ K$ है।
माना हवा का प्रारंभिक द्रव्यमान $M$ है। गर्म करने के बाद,$\frac{1}{4}$ हवा बाहर निकल जाती है,इसलिए शेष द्रव्यमान $M_2 = M - \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}$ है।
चूँकि बर्तन खुला है,दबाव $P$ स्थिर रहता है (वायुमंडलीय दबाव के बराबर) और बर्तन का आयतन $V$ स्थिर है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{M}{m}RT$ से,जहाँ $m$ हवा का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि $P, V, R,$ और $m$ स्थिर हैं,हमारे पास $M_1 T_1 = M_2 T_2$ है।
मान रखने पर: $M \times 333 = \frac{3M}{4} \times T_2$.
$T_2 = \frac{333 \times 4}{3} = 111 \times 4 = 444 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $t = 444 - 273 = 171^{\circ} C$.

(B) माना बेलन की कुल लंबाई $L$ है। प्रारंभ में, पिस्टन मध्य बिंदु पर है, इसलिए गैस स्तंभ की लंबाई $L_1 = L/2$ है। प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \, K$ है।
जब गैस को $T_2 = 100^{\circ} C = 373 \, K$ तक गर्म किया जाता है, तो पिस्टन $5 \, cm$ विस्थापित होता है। गैस स्तंभ की नई लंबाई $L_2 = (L/2) + 5$ है।
यह मानते हुए कि दबाव स्थिर रहता है (क्योंकि पिस्टन भारहीन है और स्वतंत्र रूप से चलता है), हम चार्ल्स के नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
चूंकि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ स्थिर है, $V = A \times \text{लंबाई}$, इसलिए $\frac{L_1}{T_1} = \frac{L_2}{T_2}$.
मान रखने पर: $\frac{L/2}{273} = \frac{(L/2) + 5}{373}$.
$373(L/2) = 273(L/2 + 5)$.
$373(L/2) = 273(L/2) + 273 \times 5$.
$(373 - 273)(L/2) = 273 \times 5$.
$100(L/2) = 1365$.
$L/2 = 13.65$.
$L = 27.3 \, cm$.

(A) दिया गया है: दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है।
गैस $A$ का दबाव $P_A = 3P_B$ है।
गैस $A$ का घनत्व $\rho_A = 2\rho_B$ है।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT = \frac{m}{M}RT$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ आणविक द्रव्यमान है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ है,हम लिख सकते हैं $P = \frac{\rho RT}{M}$,जिसका अर्थ है $M = \frac{\rho RT}{P}$।
गैस $A$ के लिए: $M_A = \frac{\rho_A RT}{P_A}$।
गैस $B$ के लिए: $M_B = \frac{\rho_B RT}{P_B}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{M_A}{M_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{P_B}{P_A}$।
दी गई मानों को रखने पर: $\frac{M_A}{M_B} = \frac{2\rho_B}{\rho_B} \times \frac{P_B}{3P_B} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।

(D) एक बंद पात्र में गैस के लिए आयतन $V$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$P \propto T$,जहाँ $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
माना प्रारंभिक दबाव $P$ है और प्रारंभिक तापमान $T$ (केल्विन में) है।
जब तापमान में $\Delta T = 2.4 \ K$ की वृद्धि होती है,तो दबाव में $\Delta P = 0.005 P$ की वृद्धि होती है।
$P/T = (P + \Delta P) / (T + \Delta T)$ से:
$P/T = (P + 0.005 P) / (T + 2.4)$
$1/T = 1.005 / (T + 2.4)$
$T + 2.4 = 1.005 T$
$0.005 T = 2.4$
$T = 2.4 / 0.005 = 480 \ K$.
सेल्सियस में प्रारंभिक तापमान $t = T - 273 = 480 - 273 = 207^{\circ} C$ है।

(A) दिया गया है कि एक आदर्श गैस का प्रारंभिक तापमान,दाब और आयतन $T_1 = T$,$p_1 = p$,और $V_1 = V$ है।
अंतिम तापमान,दाब और आयतन $T_2 = T/2$,$p_2 = 2p$,और $V_2 = ?$ है।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{p \times V}{T} = \frac{2p \times V_2}{T/2}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{pV}{T} = \frac{4p V_2}{T}$।
दोनों पक्षों से $p$ और $T$ को काटने पर,हमें $V = 4 V_2$ प्राप्त होता है।
अतः,नया आयतन $V_2 = V/4$ होगा।

(B) प्रक्रिया के लिए अवस्था समीकरण दिया गया है: $P = 3 - g \left(\frac{V}{V_0}\right)^2$.
$n = 1$ मोल के लिए आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $T = \frac{PV}{R}$.
$P$ का मान $V$ के पदों में प्रतिस्थापित करने पर: $T = \frac{1}{R} \left[ 3V - g \frac{V^3}{V_0^2} \right]$.
अधिकतम तापमान ज्ञात करने के लिए,हम $T$ का $V$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dT}{dV} = \frac{1}{R} \left[ 3 - \frac{3gV^2}{V_0^2} \right] = 0$.
इसका अर्थ है $3 = \frac{3gV^2}{V_0^2}$,इसलिए $V^2 = \frac{V_0^2}{g}$,या $V = \frac{V_0}{\sqrt{g}}$.
$V$ के इस मान को $T$ के व्यंजक में रखने पर: $T_{max} = \frac{1}{R} \left[ 3 \left(\frac{V_0}{\sqrt{g}}\right) - g \frac{(V_0/\sqrt{g})^3}{V_0^2} \right] = \frac{1}{R} \left[ \frac{3V_0}{\sqrt{g}} - \frac{V_0}{\sqrt{g}} \right] = \frac{2V_0}{R\sqrt{g}}$.
यदि हम $g=1$ मान लें,तो $T_{max} = \frac{2V_0}{R}$ प्राप्त होता है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
दिया गया है: $P = 760 \text{ mm of Hg} = 1 \text{ atm}$,$V = 11.2 \text{ litres}$,$T = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$,$M = 32 \text{ g/mol} = 0.032 \text{ kg/mol}$,$R = 0.0821 \text{ L atm K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$।
$m = \frac{PVM}{RT} = \frac{1 \times 11.2 \times 32}{0.0821 \times 300} \text{ ग्राम}$।
$m \approx 14.56 \text{ ग्राम} = 0.01456 \text{ kg}$।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हम गैस नियतांक $R$ को $R = \frac{PV}{nT}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,$P$ दाब $(N m^{-2})$,$V$ आयतन $(m^3)$,$n$ पदार्थ की मात्रा $(mol)$ और $T$ तापमान $(K)$ है।
$PV$ का मात्रक $(N m^{-2}) \times (m^3) = N m = J$ (जूल) है।
अतः,$R$ का मात्रक $\frac{J}{mol \times K} = J K^{-1} mol^{-1}$ है।

(B) हाइड्रोजन गैस का द्रव्यमान $m = 4 \ g$ दिया गया है।
हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M = 2 \ g/mol$ होता है।
मोलों की संख्या $n$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{m}{M} = \frac{4 \ g}{2 \ g/mol} = 2 \ mol$।
आदर्श गैस समीकरण $p V = n R T$ है।
$n = 2$ का मान रखने पर,हमें $p V = 2 R T$ प्राप्त होता है।

(B) संतुलन की स्थिति में, विभाजन के दोनों ओर दबाव $P_1$ और $P_2$ समान होने चाहिए $(P_1 = P_2)$, और दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है।
मान लीजिए कि कंटेनर का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है। मान लीजिए कि विभाजन $P$ की दाईं दीवार $B$ से दूरी $x$ है। तो बाईं दीवार $A$ से दूरी $(5 - x)$ होगी।
बाएं डिब्बे का आयतन $V_1 = A(5 - x)$ है और दाएं डिब्बे का आयतन $V_2 = Ax$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = (m/M)RT$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है:
बाईं ओर के लिए: $P_1 V_1 = (m/32)RT$
दाईं ओर के लिए: $P_2 V_2 = (m/18)RT$
चूंकि $P_1 = P_2$ और $T$ स्थिर है, इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = \frac{m/32}{m/18} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$ प्राप्त होता है।
आयतन का मान रखने पर: $\frac{A(5 - x)}{Ax} = \frac{9}{16} \implies \frac{5 - x}{x} = \frac{9}{16}$.
$16(5 - x) = 9x \implies 80 - 16x = 9x \implies 25x = 80 \implies x = 3.2 \,m$.
बाईं दीवार $A$ से दूरी $5 - x = 5 - 3.2 = 1.8 \,m$ होगी।

(D) पानी में ऊपर उठते हवा के बुलबुले के लिए,मोलों की संख्या स्थिर रहती है। आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$।
तल पर (स्थिति $1$):
$P_1 = P_{atm} + \rho gh = 10^5 + (10^3 \times 10 \times 5) = 1.5 \times 10^5 \ Pa$.
$V_1 = 2.9 \ cm^3$.
$T_1 = 17 + 273 = 290 \ K$.
सतह पर (स्थिति $2$):
$P_2 = P_{atm} = 10^5 \ Pa$.
$T_2 = 27 + 273 = 300 \ K$.
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{(1.5 \times 10^5) \times 2.9}{290} = \frac{10^5 \times V_2}{300}$.
$V_2 = \frac{1.5 \times 2.9 \times 300}{290} = \frac{1.5 \times 2.9 \times 30}{29} = 1.5 \times 0.1 \times 30 = 4.5 \ cm^3$.

(B) एक बंद सिलेंडर में गैस के लिए,आयतन $V$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए,$P \propto T$,जहाँ $T$ केल्विन में परम तापमान है।
प्रारंभिक तापमान $T_i = 50^{\circ} C = 50 + 273 = 323 \ K$.
प्रारंभिक दबाव $P_i = 3.23 \ kPa = 3230 \ Pa$.
गैस को उसके परम तापमान से दोगुना होने तक गर्म किया जाता है,इसलिए $T_f = 2 \times T_i = 2 \times 323 = 646 \ K$.
संबंध $\frac{P_f}{P_i} = \frac{T_f}{T_i}$ का उपयोग करने पर:
$P_f = P_i \times \frac{T_f}{T_i} = 3230 \times \frac{646}{323} = 3230 \times 2 = 6460 \ Pa$.

(C) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
दिया गया है:
$P_1 = 2\,atm$
$V_1 = 60\,cm^{3}$
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300\,K$
$V_2 = 20\,cm^{3}$
$T_2 = 77^{\circ}C = 77 + 273 = 350\,K$
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{2 \times 60}{300} = \frac{P_2 \times 20}{350}$
$\frac{120}{300} = \frac{P_2 \times 20}{350}$
$0.4 = P_2 \times \frac{20}{350}$
$P_2 = 0.4 \times \frac{350}{20} = 0.4 \times 17.5 = 7\,atm$.

(B) दिया गया संबंध $P = P_o(1 + \frac{V_o^2}{V^2})^{-1} = \frac{P_o V^2}{V^2 + V_o^2}$ है।
आदर्श गैस नियम के अनुसार,$PV = nRT$,इसलिए $T = \frac{PV}{nR}$।
नमूना $A$ के लिए: $V_A = V_o$,इसलिए $P_A = \frac{P_o V_o^2}{V_o^2 + V_o^2} = \frac{P_o}{2}$।
$T_A = \frac{P_A V_A}{nR} = \frac{(P_o/2) V_o}{2R} = \frac{P_o V_o}{4R}$।
नमूना $B$ के लिए: $V_B = 3V_o$,इसलिए $P_B = \frac{P_o (3V_o)^2}{(3V_o)^2 + V_o^2} = \frac{9P_o V_o^2}{10V_o^2} = \frac{9P_o}{10}$।
$T_B = \frac{P_B V_B}{nR} = \frac{(9P_o/10) (3V_o)}{2R} = \frac{27 P_o V_o}{20R}$।
अब,अंतर $T_B - T_A = \frac{27 P_o V_o}{20R} - \frac{P_o V_o}{4R} = \frac{27 P_o V_o}{20R} - \frac{5 P_o V_o}{20R} = \frac{22 P_o V_o}{20R} = \frac{11 P_o V_o}{10R}$।