Gas Laws (Charles, Boyle's, Avagadro's, Gay Lussacs and Dalton's law) and Ideal gas Equation Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि अंदर की हवा का प्रारंभिक दबाव $p_0$ (वायुमंडलीय दबाव) और प्रारंभिक आयतन $V_i$ है। जब पिस्टन से $m$ द्रव्यमान जोड़ा जाता है,तो पिस्टन नीचे चला जाता है और गैस का दबाव $p_f = p_0 - \frac{mg}{A}$ हो जाता है,जहाँ $A$ पाइप का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि इस विस्तार के दौरान तापमान स्थिर रहता है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $p_i V_i = p_f V_f$।
$p_0 V_i = (p_0 - \frac{mg}{A}) V_f$
$\frac{V_f}{V_i} = \frac{p_0}{p_0 - \frac{mg}{A}} = \frac{1}{1 - \frac{mg}{p_0 A}}$
छोटे $x = \frac{mg}{p_0 A}$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1-x)^{-1} \approx 1+x$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{V_f}{V_i} \approx 1 + \frac{mg}{p_0 A}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\frac{\Delta V}{V_i} = \frac{V_f - V_i}{V_i} = \frac{mg}{p_0 A}$।
जब गैस को $T$ से $T-\Delta T$ तक ठंडा किया जाता है,तो यह अपने मूल आयतन $V_i$ पर वापस आ जाती है। स्थिर दबाव प्रक्रिया (समदाबीय) के लिए,$\frac{V}{T} = \text{स्थिरांक}$,इसलिए $\frac{\Delta V}{V_f} = \frac{\Delta T}{T}$।
अतः,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta V}{V_f} \approx \frac{\Delta V}{V_i} = \frac{mg}{p_0 A}$।
दिया गया है $m = 50 \,kg$,$g = 10 \,m/s^2$,$p_0 = 10^5 \,Pa$,और $r = 0.2 \,m$ $(A = \pi r^2 = 3.14 \times 0.04 = 0.1256 \,m^2)$:
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{50 \times 10}{10^5 \times 0.1256} = \frac{500}{12560} \approx 0.0398 \approx 0.04$।

(C) कमरे का आयतन $V = 5 \,m \times 5 \,m \times 4 \,m = 100 \,m^3$ है।
मानक तापमान और दबाव $(STP)$ पर,दबाव $p = 1.013 \times 10^5 \,Pa \approx 10^5 \,Pa$ और तापमान $T = 273 \,K$ है।
बोल्ट्ज़मैन नियतांक $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \,J/K$ है।
आदर्श गैस समीकरण $pV = Nk_BT$ का उपयोग करते हुए,अणुओं की संख्या $N = \frac{pV}{k_BT}$ है।
मान रखने पर: $N = \frac{10^5 \times 100}{1.38 \times 10^{-23} \times 273} \approx \frac{10^7}{3.7674 \times 10^{-21}} \approx 2.65 \times 10^{27}$।
अतः,अणुओं की संख्या की कोटि $3 \times 10^{27}$ है।

(D) मान लीजिए नली के अंदर प्रारंभिक दबाव $P_0 = 10^5 \,N/m^2$ है और प्रारंभिक आयतन $V_1 = A \times 20 \,cm$ है,जहाँ $A$ नली का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
जब नली को इस प्रकार डुबोया जाता है कि $10 \,cm$ हिस्सा पानी के बाहर रहे,तो नली के अंदर का वायु स्तंभ दब जाता है। मान लीजिए वायु स्तंभ की नई लंबाई $L = (20 - h) \,cm$ है। नया आयतन $V_2 = A \times (20 - h) \,cm$ है।
चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
$10^5 \times 20 = P \times (20 - h) \quad \dots(1)$
पानी की सतह पर नली के अंदर का दबाव $P$,वायुमंडलीय दबाव और नली के अंदर हवा-पानी के इंटरफ़ेस के सापेक्ष बाहर के पानी के स्तंभ के कारण दबाव का योग है। बाहरी पानी की सतह के नीचे इंटरफ़ेस की गहराई $(10 - h) \,cm = \frac{10 - h}{100} \,m$ है।
$P = P_0 + \rho g \Delta y = 10^5 + 10^3 \times 10 \times \frac{10 - h}{100} = 10^5 + 100(10 - h) = 10^5 + 1000 - 100h \quad \dots(2)$
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$20 \times 10^5 = (10^5 + 1000 - 100h)(20 - h)$
$20 \times 10^5 = 20 \times 10^5 - 10^5 h + 20000 - 1000h - 2000h + 100h^2$
$0 = 100h^2 - 103000h + 20000$
$100$ से विभाजित करने पर:
$h^2 - 1030h + 200 = 0$
चूंकि $h$ बहुत छोटा है,$h^2 \approx 0$,इसलिए $1030h \approx 200 \implies h \approx \frac{200}{1030} \approx 0.194 \,cm$।
यह $0.2 \,cm$ के सबसे निकट है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हम लिख सकते हैं:
$\frac{1}{V} = \frac{P}{nRT}$
गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए,$n$ स्थिर है। अतः,$\frac{1}{V} = \left(\frac{1}{nRT}\right)P$.
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका ढाल $m = \frac{1}{nRT}$ है।
चूंकि ढाल $m$ तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(m \propto \frac{1}{T})$,सबसे अधिक ढाल वाली रेखा सबसे कम तापमान के अनुरूप होती है।
ग्राफ को देखने पर,रेखा $A$ का ढाल सबसे अधिक है,उसके बाद $B$,और फिर $C$ (अर्थात $m_A > m_B > m_C$)।
इसलिए,तापमान का क्रम $T_A < T_B < T_C$ होना चाहिए।

(B) चूंकि सिलेंडर कठोर है,इसलिए यह प्रक्रिया स्थिर आयतन (constant volume) पर होती है।
गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए,दबाव निरपेक्ष तापमान के सीधे आनुपातिक होता है: $P \propto T$ या $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$।
दिया गया है:
प्रारंभिक दबाव $P_1 = 20 \,atm$
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \,K$
सिलेंडर द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम दबाव $P_2 = 100 \,atm$
हमें वह तापमान $T_2$ ज्ञात करना है जिस पर दबाव $100 \,atm$ तक पहुँच जाता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{20}{300} = \frac{100}{T_2}$
$T_2 = \frac{100 \times 300}{20}$
$T_2 = 5 \times 300 = 1500 \,K$
अतः,$1500 \,K$ तापमान पर विस्फोट का खतरा शुरू हो जाएगा।

(A) चूंकि तापमान स्थिर रहता है, हम बॉयल के नियम $PV = \text{स्थिरांक}$ का उपयोग करते हैं।
प्रारंभ में, गैस $P$ दाब पर $V$ आयतन घेरती है। जब पंप एक स्ट्रोक करता है, तो गैस फैलकर कुल आयतन $(V + v)$ घेर लेती है।
मान लीजिए कि पहले स्ट्रोक के बाद दाब $P_1$ है:
$P \cdot V = P_1 \cdot (V + v)$
$P_1 = P \left( \frac{V}{V + v} \right)$
दूसरे स्ट्रोक के बाद, $V$ आयतन में $P_1$ दाब वाली गैस फैलकर $(V + v)$ आयतन में चली जाती है:
$P_1 \cdot V = P_2 \cdot (V + v)$
$P_2 = P_1 \left( \frac{V}{V + v} \right) = P \left( \frac{V}{V + v} \right)^2$
इस पैटर्न का पालन करते हुए, $n$ स्ट्रोक के बाद, दाब $P_n$ होगा:
$P_n = P \left( \frac{V}{V + v} \right)^n$

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ मोलों की संख्या है।
प्रथम पात्र के लिए: $m(O_2) = 32 \,g$,$M(O_2) = 32 \,g/mol$. अतः,$n_1 = \frac{32}{32} = 1 \,mol$.
दाब $P = \frac{n_1 RT}{V} = \frac{1 \cdot RT}{V} = \frac{RT}{V}$ है।
दूसरे पात्र के लिए: $m(H_2) = 4 \,g$,$M(H_2) = 2 \,g/mol$. अतः,$n_2 = \frac{4}{2} = 2 \,mol$.
तापमान $2T$ है। दाब $P'$ का मान $P' = \frac{n_2 R(2T)}{V} = \frac{2 \cdot R(2T)}{V} = \frac{4RT}{V}$ होगा।
$\frac{RT}{V} = P$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P' = 4P$ प्राप्त होता है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ (द्रव्यमान/मोलर द्रव्यमान)।
चूंकि आयतन $V$ और मोलर द्रव्यमान $M$ स्थिर हैं,हमारे पास $P = \frac{m}{M} \frac{RT}{V}$ है,जिसका अर्थ है $P \propto m \cdot T$ या $m \propto \frac{P}{T}$।
प्रारंभिक स्थिति: $m_i = 28 \,g$,$P_i = 10 \,atm$,$T_i = 57 + 273 = 330 \,K$।
अंतिम स्थिति: $m_f$,$P_f = 5 \,atm$,$T_f = 27 + 273 = 300 \,K$।
अनुपात लेने पर: $\frac{m_f}{m_i} = \frac{P_f}{P_i} \times \frac{T_i}{T_f}$।
$\frac{m_f}{28} = \frac{5}{10} \times \frac{330}{300} = \frac{1}{2} \times \frac{11}{10} = \frac{11}{20}$।
$m_f = 28 \times \frac{11}{20} = 15.4 \,g$।
बाहर निकली गैस की मात्रा $\Delta m = m_i - m_f = 28 - 15.4 = 12.6 \,g$ है।
$12.6 \,g = \frac{126}{10} = \frac{63}{5} \,g$।

(B) माना वायुमंडलीय दबाव $P_0$ है।
प्रारंभ में,नली आधी डूबी हुई है,इसलिए $40 \,cm$ नली पारे के अंदर है। नली के अंदर ऊपर की ओर फंसी हवा की लंबाई $40 \,cm$ है और दबाव $P_0$ है।
जब नली को बाहर निकाला जाता है,तो $20 \,cm$ पारा शेष रहता है। नली की कुल लंबाई $80 \,cm$ है। चूंकि $20 \,cm$ पारे द्वारा घेरा गया है,इसलिए वायु स्तंभ के लिए शेष लंबाई $80 - 20 = 60 \,cm$ है।
बॉयल के नियम $(P_1 V_1 = P_2 V_2)$ का उपयोग करते हुए:
$P_0 \times 40 = P_1 \times 60 \Rightarrow P_1 = \frac{2}{3} P_0$.
नली के अंदर का दबाव $P_1$ और वायुमंडलीय दबाव पारे के स्तंभ की ऊंचाई से संबंधित हैं: $P_0 = P_1 + h$,जहां $h = 20 \,cm$.
$P_1$ का मान रखने पर: $P_0 = \frac{2}{3} P_0 + 20$.
$\frac{1}{3} P_0 = 20 \Rightarrow P_0 = 60 \,cm$ पारा स्तंभ।

(C) यह मानते हुए कि टायर का आयतन स्थिर रहता है,हम गे-लुसाक के नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
दिया गया है:
$P_1 = 270\,kPa$
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300\,K$
$T_2 = 36^{\circ}C = 36 + 273 = 309\,K$
मान रखने पर:
$P_2 = \frac{P_1 \times T_2}{T_1} = \frac{270 \times 309}{300}$.
$P_2 = 0.9 \times 309 = 278.1\,kPa$.
निकटतम पूर्णांक में,दाब $278\,kPa$ है।

(D) दिया गया संबंध $PT^2 = C$ है (जहाँ $C$ एक नियतांक है)।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं $P = \frac{nRT}{V}$।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $\left(\frac{nRT}{V}\right)T^2 = C$।
यह सरल होकर $\frac{nRT^3}{V} = C$ हो जाता है, जिसका अर्थ है $V = \left(\frac{nR}{C}\right)T^3$।
माना $K = \frac{nR}{C}$, इसलिए $V = KT^3$।
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ को $\gamma = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$V$ का $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dT} = 3KT^2$।
अब, $\gamma$ के सूत्र में मान रखने पर: $\gamma = \frac{1}{KT^3} \times (3KT^2) = \frac{3}{T}$।

(A) समआयतनिक प्रक्रिया (स्थिर आयतन) के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है,जिसे $P = (\frac{nR}{V})T$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
यहाँ,$T$ केल्विन में परम तापमान है,जो सेल्सियस में तापमान $t$ से $T = t + 273.15$ द्वारा संबंधित है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = (\frac{nR}{V})(t + 273.15)$ प्राप्त होता है।
यह $y = mx + c$ के रूप में एक सीधी रेखा का समीकरण दर्शाता है,जहाँ तापमान अक्ष पर अंतःखंड तब प्राप्त होता है जब दाब $P = 0$ हो।
$P = 0$ रखने पर,हमें $0 = (\frac{nR}{V})(t + 273.15)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t + 273.15 = 0$,या $t = -273.15^{\circ}\,C$।
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,बिंदु '$K$' पर तापमान $-273^{\circ}\,C$ है,जो परम शून्य तापमान को दर्शाता है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ मोलों की संख्या है।
चूंकि पात्रों का आकार समान $(V_A = V_B)$ है और वे समान तापमान $(T_A = T_B)$ पर हैं,इसलिए दबाव $P$,मोलों की संख्या $n$ के सीधे आनुपातिक है $(P \propto n)$।
अतः,$\frac{P_A}{P_B} = \frac{n_A}{n_B}$।
हाइड्रोजन $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_A = 2 \ g/mol$ है और ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_B = 32 \ g/mol$ है।
पात्र $A$ में मोलों की संख्या $n_A = \frac{1 \ g}{2 \ g/mol} = 0.5 \ mol$ है।
पात्र $B$ में मोलों की संख्या $n_B = \frac{1 \ g}{32 \ g/mol} = \frac{1}{32} \ mol$ है।
इस प्रकार,$\frac{P_A}{P_B} = \frac{0.5}{1/32} = 0.5 \times 32 = 16$।

(A) संख्या घनत्व $n = N/V$ के संदर्भ में आदर्श गैस समीकरण $P = nkT$ है।
दिया गया है:
संख्या घनत्व $n = 2.0 \times 10^{25} \text{ m}^{-3}$
दाब $P = 1.38 \text{ atm} = 1.38 \times 1.01325 \times 10^5 \text{ Pa} \approx 1.4 \times 10^5 \text{ Pa}$
बोल्ट्ज़मान नियतांक $k = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J K}^{-1}$
सूत्र $P = nkT$ का उपयोग करने पर:
$T = \frac{P}{nk}$
$T = \frac{1.38 \times 1.01325 \times 10^5}{2.0 \times 10^{25} \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{1.01325 \times 10^5}{2.0 \times 10^2}$
$T = \frac{101325}{200} \approx 506.6 \text{ K}$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $500 \text{ K}$ है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था समीकरण $PV = nRT$ है।
$V$ को $T$ के फलन के रूप में व्यवस्थित करने पर,हमें $V = \left(\frac{nR}{P}\right)T$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = V$ और $x = T$ है,$V-T$ ग्राफ की ढाल (slope) $\text{Slope} = \frac{nR}{P}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $n$ और $R$ स्थिरांक हैं,ढाल दबाव के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\text{Slope} \propto \frac{1}{P}$।
दी गई आकृति से,$P_2$ के अनुरूप रेखा की ढाल $P_1$ के अनुरूप रेखा की ढाल से अधिक है,अर्थात $(\text{Slope})_2 > (\text{Slope})_1$।
चूँकि $\text{Slope} \propto \frac{1}{P}$,उच्च ढाल का अर्थ है कम दबाव। इसलिए,$P_2 < P_1$ या $P_1 > P_2$ होगा।

(B) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण इस प्रकार है:
$PV = nRT$
चूंकि $n = \frac{m}{M}$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है,हमारे पास है:
$PV = \frac{m}{M} RT$
दाब $P$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$P = \left( \frac{m}{V} \right) \frac{RT}{M}$
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$,हमें प्राप्त होता है:
$P = \left( \frac{\rho R}{M} \right) T$
यह $P-T$ ग्राफ में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जहाँ ढाल $\frac{\rho R}{M}$ है।
समान तापमान $T$ के लिए,ग्राफ से हम देख सकते हैं कि $P_1 > P_2 > P_3$ है।
समान $T$ और $M$ के लिए $P \propto \rho$ होने के कारण,यह निष्कर्ष निकलता है कि $\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$ है।
अतः,सही विकल्प $\rho_1 > \rho_2$ है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हमारे पास $T = (P/nR)V$ है।
गैस की निश्चित मात्रा के लिए ($n$ स्थिर है),$T-V$ ग्राफ का ढलान $m = P/nR$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $n$ और $R$ स्थिरांक हैं,ढलान $m$ सीधे दबाव $P$ के समानुपाती होता है।
इसलिए,$T-V$ ग्राफ में अधिक ढलान उच्च दबाव के अनुरूप होता है।
ग्राफ को देखने पर,$P_1$ के लिए वक्र का ढलान सबसे अधिक है,उसके बाद $P_2$ और फिर $P_3$ है।
अतः,सही संबंध $P_1 > P_2 > P_3$ है।

(C) आयतन प्रसार गुणांक को $\gamma = \frac{1}{V} \left( \frac{dV}{dT} \right)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया प्रक्रिया समीकरण: $PT^2 = \text{नियतांक}$.
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं $P = \frac{nRT}{V}$.
$P$ का मान प्रक्रिया समीकरण में रखने पर: $\left( \frac{nRT}{V} \right) T^2 = \text{नियतांक}$.
इसे सरल करने पर $\frac{T^3}{V} = \text{नियतांक}$, या $V = k T^3$ प्राप्त होता है (जहाँ $k$ एक नियतांक है)।
$V$ का $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dT} = 3k T^2$.
अब, इन मानों को $\gamma$ के व्यंजक में रखने पर:
$\gamma = \frac{1}{V} \left( \frac{dV}{dT} \right) = \frac{1}{kT^3} (3kT^2) = \frac{3}{T}$.

(B) निश्चित आयतन वाले पात्र में गैस के लिए,आयतन $V$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए,दाब $P$ निरपेक्ष तापमान $T$ के सीधे समानुपाती होता है ($P \propto T$ या $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$)।
दिया गया प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
माना प्रारंभिक दाब $P_1 = P$ है।
हम अंतिम दाब $P_2 = 2P$ चाहते हैं।
संबंध $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{P}{300} = \frac{2P}{T_2}$
$T_2 = 2 \times 300 = 600 \ K$।
तापमान को वापस सेल्सियस में बदलने के लिए: $T_2(^{\circ} C) = 600 - 273 = 327^{\circ} C$।

(C) एक बंद पात्र में आदर्श गैस के लिए आयतन $V$ स्थिर रहता है,जो एक समआयतनिक प्रक्रिया (isochoric process) को दर्शाता है।
गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन के लिए,दाब $P$ निरपेक्ष तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$।
इसका अर्थ है $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$,या छोटे परिवर्तनों के लिए,$\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta T}{T}$।
दिया गया है कि दाब में $0.4 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{\Delta P}{P} = \frac{0.4}{100}$।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 1 \ K$ दिया गया है (क्योंकि $1^{\circ} C$ का परिवर्तन $1 \ K$ के परिवर्तन के बराबर होता है)।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{0.4}{100} = \frac{1}{T}$।
$T$ के लिए हल करने पर,हमें $T = \frac{100}{0.4} = 250 \ K$ प्राप्त होता है।

(B) चूंकि निकाय बंद है,इसलिए गैस के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है।
माना छोटे पात्र का आयतन $V$ है और बड़े पात्र का आयतन $2V$ है।
बड़े पात्र में प्रारंभिक मोल: $n_1 = \frac{P_1 V_1}{R T_1} = \frac{8 \times 2V}{R \times 1000} = \frac{16V}{1000R}$.
छोटे पात्र में प्रारंभिक मोल: $n_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{7 \times V}{R \times 500} = \frac{14V}{1000R}$.
कुल प्रारंभिक मोल: $n_{total} = n_1 + n_2 = \frac{16V + 14V}{1000R} = \frac{30V}{1000R}$.
स्थिर अवस्था में,कुल आयतन $V_f = V + 2V = 3V$ है और तापमान $T_f = 600 \ K$ है।
अंतिम अवस्था के लिए आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करने पर: $n_{total} = \frac{P_f V_f}{R T_f}$.
$\frac{30V}{1000R} = \frac{P_f \times 3V}{R \times 600}$.
दोनों पक्षों से $V$ और $R$ को हटाने पर:
$\frac{30}{1000} = \frac{3 P_f}{600}$.
$\frac{30}{1000} = \frac{P_f}{200}$.
$P_f = \frac{30 \times 200}{1000} = 6 \ kPa$.

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हम $V = (\frac{nR}{P})T$ लिख सकते हैं।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = V$ और $x = T$,ढाल $m = \frac{nR}{P}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n$ और $R$ स्थिरांक हैं,ढाल दबाव के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $\text{slope} \propto \frac{1}{P}$।
दिए गए $V-T$ ग्राफ में,अवस्था-$1$ से अवस्था-$2$ तक की प्रक्रिया को दर्शाने वाली रेखा,मूल बिंदु से अवस्था-$1$ से गुजरने वाली रेखा की तुलना में अधिक तीव्र है।
इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे हम अवस्था-$1$ से अवस्था-$2$ की ओर बढ़ते हैं,ढाल बढ़ती है।
चूँकि $\text{slope} \propto \frac{1}{P}$,ढाल में वृद्धि का अर्थ है दबाव में कमी।
अतः,दबाव घट गया।

(C) पात्र का आयतन $V$ स्थिर रहता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ ($m$ गैस का द्रव्यमान है,$M$ मोलर द्रव्यमान है)।
चूंकि $V$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $\frac{P}{mT} = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{P_1}{m_1 T_1} = \frac{P_2}{m_2 T_2}$.
दिया गया है: $P_1 = P$,$m_1 = 8 \ g$,$T_1 = 400 \ K$,$P_2 = P/4$,$T_2 = 200 \ K$.
मान रखने पर: $\frac{P}{8 \times 400} = \frac{P/4}{m_2 \times 200}$.
$\frac{1}{3200} = \frac{1}{800 \times m_2}$.
$m_2 = \frac{3200}{800} = 4 \ g$.
बाहर निकली ऑक्सीजन का द्रव्यमान $\Delta m = m_1 - m_2 = 8 \ g - 4 \ g = 4 \ g$ है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ से,जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $PV = (\mu R)T$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = PV$ और $x = T$ है,ग्राफ का ढाल $m = \mu R$ है।
चूंकि $R$ एक सार्वत्रिक गैस नियतांक है,ढाल मोलों की संख्या $\mu$ के सीधे आनुपातिक है।
दिए गए द्रव्यमान $m$ के लिए,मोलों की संख्या $\mu = \frac{m}{M}$ है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
इस प्रकार,$\mu \propto \frac{1}{M}$ है।
मोलर द्रव्यमान $M(H_2) = 2 \text{ g/mol}$,$M(He) = 4 \text{ g/mol}$,और $M(O_2) = 32 \text{ g/mol}$ हैं।
चूंकि $M(H_2) < M(He) < M(O_2)$ है,इसलिए मोलों की संख्या का क्रम $\mu(H_2) > \mu(He) > \mu(O_2)$ है।
परिणामस्वरूप,ढाल का क्रम $\text{Slope}(H_2) > \text{Slope}(He) > \text{Slope}(O_2)$ है।
ग्राफ को देखने पर,रेखा $C$ का ढाल सबसे अधिक है,उसके बाद $B$ और फिर $A$ है।
इसलिए,$C, H_2$ के अनुरूप है,$B, He$ के अनुरूप है,और $A, O_2$ के अनुरूप है।
यह विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(C) एक बंद पात्र में गैस के लिए,आयतन $V$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$P \propto T$,जिसका अर्थ है $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$।
माना प्रारंभिक दबाव $P$ है और प्रारंभिक तापमान $T$ है। अतः $P_1 = P$ और $T_1 = T$ है।
दबाव $2.5 \%$ बढ़ जाता है,इसलिए $P_2 = P + 0.025P = 1.025P$ है।
तापमान $4 \ K$ बढ़ जाता है,इसलिए $T_2 = T + 4$ है।
इन मानों को संबंध $\frac{P}{T} = \frac{1.025P}{T + 4}$ में रखने पर:
$T + 4 = 1.025T$
$4 = 1.025T - T$
$4 = 0.025T$
$T = \frac{4}{0.025} = \frac{4000}{25} = 160 \ K$।
अतः,गैस का प्रारंभिक तापमान $160 \ K$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है। अणुओं की संख्या $N$ को $N = nN_A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N_A$ एवोगैड्रो संख्या है।
अतः,$N = \frac{PV}{RT} N_A$.
जार $A$ के लिए: $N_A = \frac{PV}{RT} N_A$.
जार $B$ के लिए: $N_B = \frac{(2P)(V/4)}{(T/4)} N_A = \frac{2PV/4}{T/4} N_A = \frac{2PV}{T} N_A = 2 \left( \frac{PV}{RT} \right) N_A = 2N_A$.
इसलिए,जार $A$ और जार $B$ में अणुओं की संख्या का अनुपात $N_A / N_B = 1 / 2$ है,जो कि $1: 2$ है।

(C) बॉयल के नियम के अनुसार,नियत तापमान पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक दबाव $P_1 = P$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
आयतन में $5 \%$ की कमी की जाती है,इसलिए अंतिम आयतन $V_2 = V - 0.05V = 0.95V$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $P \times V = P_2 \times 0.95V$।
$P_2$ के लिए हल करने पर: $P_2 = P / 0.95 = (100/95)P = (20/19)P \approx 1.0526P$।
दबाव में वृद्धि $\Delta P = P_2 - P = 1.0526P - P = 0.0526P$ है।
दबाव में प्रतिशत वृद्धि $(\Delta P / P) \times 100 = 0.0526 \times 100 = 5.26 \%$ है।

(C) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है।
माना प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
आयतन में $7 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए अंतिम आयतन $V_2 = V + 0.07V = 1.07V$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $P_1 V = P_2 (1.07V)$।
$P_2 = \frac{P_1}{1.07} \approx 0.9346 P_1$।
दबाव में कमी $\Delta P = P_1 - P_2 = P_1 - 0.9346 P_1 = 0.0654 P_1$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने पर: $\frac{\Delta P}{P_1} \times 100 = 0.0654 \times 100 = 6.54 \%$।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M} RT$ से,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि घनत्व $\varrho = \frac{m}{V}$ है,हम $P = \frac{\varrho RT}{M}$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $P \propto \varrho T$।
बिंदु $A$ पर: $P_A = P_0$,$T_A = T_0$,और $\varrho_A = \varrho_0$। अतः,$P_0 = k \cdot \varrho_0 T_0$ (जहाँ $k = \frac{R}{M}$)।
बिंदु $B$ पर: $P_B = Y$,$T_B = 3T_0$,और $\varrho_B = \frac{4}{3} \varrho_0$।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{P_B}{P_A} = \frac{\varrho_B T_B}{\varrho_A T_A}$
$\frac{Y}{P_0} = \frac{(\frac{4}{3} \varrho_0) (3T_0)}{\varrho_0 T_0}$
$\frac{Y}{P_0} = \frac{4}{3} \times 3 = 4$
अतः,$Y = 4 P_0$।

(A) $PV$ के मात्रकों की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
दाब $(P)$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका $SI$ मात्रक $N/m^2$ या $kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}$ है।
आयतन $(V)$ का $SI$ मात्रक $m^3$ है।
अतः,$PV$ गुणनफल का मात्रक:
मात्रक $= (kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}) \times (m^3) = kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}$ होता है।
चूंकि $1 \text{ Joule} = 1 \text{ kg} \cdot m^2 \cdot s^{-2}$,इसलिए यह मात्रक ऊर्जा (या कार्य) के मात्रक के समान है।

(B) चार्ल्स के नियम के अनुसार,जब दाब स्थिर रखा जाता है,तो एक आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान का आयतन $(V)$ उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,इसे $V \propto T$ या $V = kT$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
यह संबंध $V$ बनाम $T$ ग्राफ पर मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
दिए गए विकल्पों में से,ग्राफ $Q$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा दिखाता है,जो स्थिर दाब पर तापमान के साथ आयतन के परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
ऑक्सीजन गैस $(O_2)$ के लिए: $P_1 V_1 = \frac{m_1}{M_1} RT_1$ ... $(i)$
हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ के लिए: $P_2 V_2 = \frac{m_2}{M_2} RT_2$ ... (ii)
दिया गया है कि $P_1 = P_2$,$V_1 = V_2$,और $m_1 = m_2$,समीकरण $(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{P_1 V_1}{P_2 V_2} = \frac{m_1 / M_1}{m_2 / M_2} \cdot \frac{T_1}{T_2}$
$1 = \frac{M_2}{M_1} \cdot \frac{T_1}{T_2}$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{M_1}{M_2}$
मोलर द्रव्यमान $M_1 (O_2) = 32 \text{ g/mol}$ और $M_2 (H_2) = 2 \text{ g/mol}$ रखने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{32}{2} = \frac{16}{1}$
अतः,उनके परम ताप का अनुपात $16: 1$ है।

(D) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$ होता है।
यहाँ,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,और $T$ तापमान है।
हम जानते हैं कि मोलों की संख्या $n = \frac{N}{N_A}$ होती है,जहाँ $N$ अणुओं की कुल संख्या है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
इस मान को आदर्श गैस समीकरण में रखने पर: $PV = \left(\frac{N}{N_A}\right) RT$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $PV = N \left(\frac{R}{N_A}\right) T$ प्राप्त होता है।
चूंकि बोल्ट्ज़मैन नियतांक $k = \frac{R}{N_A}$ होता है,इसलिए समीकरण $PV = NkT$ बन जाता है।
अतः,$\frac{PV}{kT} = N$,जो गैस के अणुओं की कुल संख्या को दर्शाता है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है। चूंकि अणुओं की संख्या $N$ मोलों की संख्या के समानुपाती होती है $(N = nN_A)$,इसलिए अणुओं की संख्या का अनुपात मोलों की संख्या के अनुपात के बराबर होता है।
पहले नमूने के लिए: $P_1 = P, V_1 = V, T_1 = T$. अतः,$n_1 = \frac{PV}{RT}$.
दूसरे नमूने के लिए: $P_2 = 2P, V_2 = V/4, T_2 = 2T$. अतः,$n_2 = \frac{(2P)(V/4)}{R(2T)} = \frac{PV/2}{2RT} = \frac{PV}{4RT}$.
अणुओं की संख्या का अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{PV/RT}{PV/4RT} = \frac{1}{1/4} = 4:1$ है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ गैस के मोलों की संख्या है।
$\mu = \frac{\text{दिया गया द्रव्यमान}}{\text{आणविक द्रव्यमान}} = \frac{m}{M}$ है।
यहाँ,$m = 2 \ g$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,$M = 32 \ g/mol$ है।
इन मानों को आदर्श गैस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$PV = \left( \frac{2}{32} \right) RT$.
$PV = \frac{1}{16} RT$.

(B) एक आदर्श गैस द्वारा पात्र की दीवार पर लगाया गया दबाव $P$,प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ पर लगने वाले बल $F$ के रूप में परिभाषित होता है,जो $P = F/A$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पात्र की दीवार का क्षेत्रफल $A$ स्थिर है,इसलिए हमारे पास $P \propto F$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n$ मोल की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $V$ आयतन है।
एक बंद पात्र के लिए,आयतन $V$ स्थिर रहता है। अतः,$P = (nR/V)T$,जिसका अर्थ है कि $P \propto T$।
इन दोनों संबंधों $F \propto P$ और $P \propto T$ की तुलना करने पर,हमें $F \propto T^1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$F \propto T^x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(D) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = Nk_B T$,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है।
जार $A$ के लिए: $PV = N_A k_B T$ --- $(i)$
जार $B$ के लिए: $(2P) \times (V/4) = N_B k_B (2T)$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $(1/2) PV = N_B k_B (2T)$
$PV = 4 N_B k_B T$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर: $N_A k_B T = 4 N_B k_B T$
$N_A = 4 N_B$
अतः,अनुपात $N_A / N_B = 4/1$ या $4: 1$ है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n = m/M$ (द्रव्यमान/मोलर द्रव्यमान)।
$n$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $PV = (m/M)RT$ प्राप्त होता है।
चूंकि घनत्व $\rho = m/V$ है,हम $P = (\rho/M)RT$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $\rho = (PM)/(RT)$।
अतः,$\rho \propto P/T$।
दिया गया है: प्रारंभिक स्थिति $(\rho_0, P_0, T_0)$ और अंतिम स्थिति $(\rho', 3P_0, 2T_0)$ है।
समानुपात $\rho' / \rho_0 = (P'/P_0) \times (T_0/T')$ का उपयोग करने पर:
$\rho' = \rho_0 \times (3P_0 / P_0) \times (T_0 / 2T_0)$।
$\rho' = \rho_0 \times 3 \times (1/2) = \frac{3}{2} \rho_0$।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके,हम गैस के प्रारंभिक और अंतिम मोलों की संख्या ज्ञात कर सकते हैं।
प्रारंभिक मोलों की संख्या,$n_1 = \frac{PV}{RT}$.
अंतिम मोलों की संख्या,$n_2 = \frac{P^{\prime}V}{RT}$.
बाहर निकली गैस के मोलों की संख्या प्रारंभिक और अंतिम मोलों का अंतर है: $\Delta n = n_1 - n_2$.
मान रखने पर,$\Delta n = \frac{PV}{RT} - \frac{P^{\prime}V}{RT} = \frac{V}{RT}(P - P^{\prime})$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक दाब $P_1 = 270 \text{ kPa}$,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
अंतिम तापमान $T_2 = 37^{\circ}C = 37 + 273 = 310 \text{ K}$.
यह मानते हुए कि टायर का आयतन स्थिर रहता है,गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
मान रखने पर: $\frac{270}{300} = \frac{P_2}{310}$.
$P_2 = \frac{270 \times 310}{300} = 0.9 \times 310 = 279 \text{ kPa}$.
अतः,अंतिम दाब $279 \text{ kPa}$ है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $n = \frac{m}{M}$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है,हमारे पास $PV = \frac{m}{M} RT$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} = \varrho \frac{RT}{M}$ प्राप्त होता है,जहाँ $\varrho$ घनत्व है।
अतः,$\varrho = \frac{PM}{RT}$।
प्रारंभिक अवस्था के लिए: $\varrho_0 = \frac{P_0 M}{R T_0}$।
अंतिम अवस्था के लिए: $\varrho' = \frac{P' M}{R T'} = \frac{(3 P_0) M}{R (2 T_0)}$।
$\varrho'$ के व्यंजक में $\varrho_0$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\varrho' = \frac{3}{2} \left( \frac{P_0 M}{R T_0} \right) = \frac{3}{2} \varrho_0$ प्राप्त होता है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए: $PV = \frac{m}{M_{O_2}} RT_{O_2}$ --- $(i)$
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए: $PV = \frac{m}{M_{H_2}} RT_{H_2}$ --- $(ii)$
चूंकि $P$,$V$ और $m$ दोनों गैसों के लिए समान हैं,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$\frac{m}{M_{O_2}} RT_{O_2} = \frac{m}{M_{H_2}} RT_{H_2}$
$\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{H_2}}{M_{H_2}}$
$\frac{T_{O_2}}{T_{H_2}} = \frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}$
दिया गया है कि $M_{O_2} = 32$ और $M_{H_2} = 2$:
$\frac{T_{O_2}}{T_{H_2}} = \frac{32}{2} = \frac{16}{1}$
अतः,उनके परम तापमान का अनुपात $16: 1$ है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 100^{\circ} C = 373 \ K$। एक बंद पात्र में आयतन स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए $P \propto T$ होता है।
इसलिए,$\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$।
चूंकि दबाव में $4 \%$ की वृद्धि होती है,$P_2 = P_1 + 0.04 P_1 = 1.04 P_1$।
इसे अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = 1.04$।
$T_2 = 1.04 \times 373 \ K = 387.92 \ K$।
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 387.92 \ K - 373 \ K = 14.92 \ K$।
चूंकि केल्विन में तापमान का परिवर्तन सेल्सियस में तापमान के परिवर्तन के बराबर होता है,इसलिए $\Delta T = 14.92^{\circ} C$।

(C) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है। चूंकि $n = \frac{m}{M}$,इसलिए $PV = \frac{m}{M}RT$ होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = \rho \frac{RT}{M}$ प्राप्त होता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $M$ आणविक भार है।
अतः,$M = \frac{\rho RT}{P}$ होता है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{M_A}{M_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{P_B}{P_A}$
दिया गया है कि $P_A = 2P_B$ और $\rho_A = 1.5\rho_B = \frac{3}{2}\rho_B$,इन मानों को रखने पर:
$\frac{M_A}{M_B} = \frac{1.5\rho_B}{\rho_B} \times \frac{P_B}{2P_B} = 1.5 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$
इसलिए,$A$ और $B$ के आणविक भार का अनुपात $3: 4$ है।

(C) चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
मान लीजिए प्रारंभिक दबाव $P$ है और प्रारंभिक आयतन $V$ है।
दबाव में $20 \%$ की कमी की जाती है,इसलिए नया दबाव $P_2 = P - 0.20P = 0.80P$ होगा।
समीकरण में मान रखने पर: $P \times V = 0.80P \times V_2$.
$V_2$ के लिए हल करने पर: $V_2 = \frac{V}{0.80} = 1.25V$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V = 1.25V - V = 0.25V$ है।
आयतन में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 0.25 \times 100 = 25 \%$ है।
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए आयतन $25 \%$ बढ़ जाता है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = Nk_B T$ के अनुसार,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $k_B$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
जार $P$ के लिए,समीकरण है: $PV = N_P k_B T$ ... $(i)$
जार $Q$ के लिए,समीकरण है: $(2P) \left( \frac{V}{4} \right) = N_Q k_B (2T)$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\frac{PV}{2} = N_Q k_B (2T)$
$\Rightarrow PV = 4 N_Q k_B T$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$N_P k_B T = 4 N_Q k_B T$
$N_P = 4 N_Q$
अतः,जार $P$ और जार $Q$ में अणुओं की संख्या का अनुपात $\frac{N_P}{N_Q} = 4:1$ है।

(D) नियत तापमान पर बॉयल के नियम के अनुसार,$P \propto \frac{1}{V}$,जिसका अर्थ है $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
माना प्रारंभिक दाब $P_1 = P$ है।
नया दाब $P_2 = P + 0.05P = 1.05P$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $P V_1 = 1.05P V_2$।
नए आयतन के लिए हल करने पर: $V_2 = \frac{V_1}{1.05} \approx 0.9524 V_1$।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V_1 = 0.9524 V_1 - V_1 = -0.0476 V_1$ है।
आयतन में प्रतिशत कमी $\frac{|\Delta V|}{V_1} \times 100 = 0.0476 \times 100 = 4.76 \%$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
अतः,$PV = \frac{m}{M}RT$,जिसका अर्थ है $m = \frac{PVM}{RT}$।
पात्र $A$ के लिए:
$m_A = \frac{PVM}{RT} \quad (1)$
पात्र $B$ के लिए:
$m_B = \frac{(2P)(2V)M}{R(T/2)} = \frac{4PVM}{RT/2} = \frac{8PVM}{RT} \quad (2)$
$m_A$ और $m_B$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{m_A}{m_B} = \frac{PVM/RT}{8PVM/RT} = \frac{1}{8}$।
अतः,अनुपात $1: 8$ है।

(C) बॉयल के नियम के अनुसार, नियत तापमान पर, $PV = \text{स्थिरांक}$.
मान लीजिए प्रारंभिक दबाव $P_1 = P$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है。
यदि दबाव $20 \%$ कम हो जाता है, तो नया दबाव $P_2 = P - 0.20P = 0.8P$ होगा。
संबंध $P_1 V_1 = P_2 V_2$ का उपयोग करते हुए:
$P \cdot V = (0.8P) \cdot V_2$
$V_2 = \frac{PV}{0.8P} = \frac{V}{0.8} = 1.25V$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V_1 = 1.25V - V = 0.25V$ है。
आयतन में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V_1} \times 100 = \frac{0.25V}{V} \times 100 = 25 \%$ है。
चूंकि मान धनात्मक है, इसलिए आयतन में $25 \%$ की वृद्धि होती है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
अतः,$\frac{PV}{T} = \frac{m}{M}R$.
प्रारंभ में,$P_1 = 10 \text{ atm}$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$,और द्रव्यमान $m$ है।
इसलिए,$\frac{10V}{300} = \frac{m}{M}R \implies \frac{m}{M}R = \frac{10V}{300} = \frac{V}{30}$.
आधा द्रव्यमान हटाने के बाद,नया द्रव्यमान $m' = \frac{m}{2}$ है।
नया तापमान $T_2 = 87 + 273 = 360 \text{ K}$ है।
अंतिम स्थिति के लिए गैस समीकरण का उपयोग करने पर: $P_2 V = n' R T_2 = \frac{m}{2M} R T_2$.
$\frac{m}{M}R = \frac{V}{30}$ का मान रखने पर:
$P_2 V = \frac{1}{2} \left( \frac{V}{30} \right) \times 360$.
$P_2 = \frac{360}{60} = 6 \text{ atm}$.