પૃથ્વીની ત્રિજ્યા અને દળ બંનેમાં $0.5\%$ નો વધારો કરવામાં આવે છે. પૃથ્વીની સપાટી પર નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

નીચેનામાંથી ઉપગ્રહો વિશેનું એકમાત્ર ખોટું વિધાન કયું છે?

$Assertion$ (વિધાન) : પૃથ્વી ધીમી પડી રહી છે અને પરિણામે ચંદ્ર તેની નજીક આવી રહ્યો છે.
$Reason$ (કારણ) : પૃથ્વી-ચંદ્ર તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત નથી.

બે પદાર્થો,દરેકનું દળ $M$ છે,તેમને $2L$ જેટલા અંતરે સ્થિર રાખવામાં આવ્યા છે. $m$ દળના એક કણને તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુથી,તે રેખાને લંબ દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G$ છે. સાચું વિધાન/વિધાનો કયું/કયા છે:
$(a)$ બે પદાર્થોના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે $m$ દળના કણનો લઘુત્તમ પ્રારંભિક વેગ $4 \sqrt{\frac{GM}{L}}$ છે.
$(b)$ બે પદાર્થોના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે $m$ દળના કણનો લઘુત્તમ પ્રારંભિક વેગ $2 \sqrt{\frac{GM}{L}}$ છે.
$(c)$ બે પદાર્થોના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે $m$ દળના કણનો લઘુત્તમ પ્રારંભિક વેગ $\sqrt{\frac{2GM}{L}}$ છે.
$(d)$ $m$ દળના કણની ઉર્જા અચળ રહે છે.

$M$ દળનો એક કણ સમાન દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $a$ ધરાવતા ગોલીય કવચના કેન્દ્ર પર સ્થિત છે. કેન્દ્રથી $\frac{a}{2}$ અંતરે આવેલા બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન કેટલું હશે?

સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર $1.6 \times 10^{11} \,m$ છે અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $6.4 \times 10^6 \,m$ છે. સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વીના કોણીય વેગમાન અને તેની પોતાની ધરી પરના કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર આશરે કેટલો થાય? (પૃથ્વીને સમાન દળ ઘનતા ધરાવતો નક્કર ગોળો ગણો અને તે સૂર્યની આસપાસ વર્તુળાકાર માર્ગે ફરે છે તેમ ધારો.)