એક કણ પૃથ્વી પર $R$ (પૃથ્વીની ત્રિજ્યા) ઊંચાઈથી નીચે પાડવામાં આવે છે અને તે $R/2$ ઊંચાઈ સુધી પાછો ઉછળે છે. અથડામણ માટે રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક (coefficient of restitution) કેટલો હશે? (હવાનો અવરોધ અને પૃથ્વીનું પરિભ્રમણ અવગણો).

નીચે બે વિધાનો આપેલા છે: એકને વિધાન $(A)$ તરીકે અને બીજાને કારણ $(R)$ તરીકે લેબલ કરવામાં આવ્યું છે.
વિધાન $(A)$: પૃથ્વીની આસપાસ તેની ભ્રમણકક્ષામાં ચંદ્રની કોણીય ઝડપ,સૂર્યની આસપાસ તેની ભ્રમણકક્ષામાં પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ કરતા વધારે છે.
કારણ $(R)$: ચંદ્રને પૃથ્વીની આસપાસ ફરવા માટે પૃથ્વીને સૂર્યની આસપાસ ફરવા માટે લાગતા સમય કરતા ઓછો સમય લાગે છે.
ઉપરોક્ત વિધાનોના પ્રકાશમાં,નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી યોગ્ય જવાબ પસંદ કરો:

બે પદાર્થો,દરેકનું દળ $M$ છે,તેમને $2L$ જેટલા અંતરે સ્થિર રાખવામાં આવ્યા છે. $m$ દળના એક કણને તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુથી,તે રેખાને લંબ દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G$ છે. સાચું વિધાન/વિધાનો કયું/કયા છે:
$(a)$ બે પદાર્થોના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે $m$ દળના કણનો લઘુત્તમ પ્રારંભિક વેગ $4 \sqrt{\frac{GM}{L}}$ છે.
$(b)$ બે પદાર્થોના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે $m$ દળના કણનો લઘુત્તમ પ્રારંભિક વેગ $2 \sqrt{\frac{GM}{L}}$ છે.
$(c)$ બે પદાર્થોના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે $m$ દળના કણનો લઘુત્તમ પ્રારંભિક વેગ $\sqrt{\frac{2GM}{L}}$ છે.
$(d)$ $m$ દળના કણની ઉર્જા અચળ રહે છે.

$m$ દળનો એક ઉપગ્રહ $M$ દળના તારાથી $a$ અંતરે છે। ઉપગ્રહની ઝડપ $u$ છે। ધારો કે સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ $F = -G \frac{Mm}{r^2}$ ને બદલે $F = -G \frac{Mm}{r^{2.1}}$ છે। જ્યારે ઉપગ્રહ તારાથી $b$ અંતરે હોય ત્યારે તેની ઝડપ શોધો।

$Assertion$: અવકાશ રોકેટ સામાન્ય રીતે વિષુવવૃત્તીય રેખા પર પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશામાં છોડવામાં આવે છે.
$Reason$: ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ વિષુવવૃત્ત પર ન્યૂનતમ હોય છે.

પૃથ્વીની નજીક પરિભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $(V_e)$,કક્ષીય વેગ $(V_0)$ કરતા કેટલા ગણો હોય છે?