Energy consideration in Planetary and Satellite motion Questions in Gujarati

(A) કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{mv^2}{r} = \frac{k}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણને $mv^2 = \frac{k}{r}$ મળે છે.
ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{k}{2r}$ દ્વારા મળે છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ બળના સંકલન દ્વારા મળે છે: $P.E. = -\int F dr = -\int \frac{k}{r^2} dr = -\frac{k}{r}$.
કુલ ઉર્જા $(E)$ એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $E = K.E. + P.E. = \frac{k}{2r} - \frac{k}{r} = -\frac{k}{2r}$.

(A) $R$ અંતરે $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K.E. = \frac{GMm}{2R}$
અહીં,$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે.
આપેલ સિસ્ટમ માટે $G$,$M$ અને $m$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$K.E. \propto \frac{1}{R}$.

(B) $r$ અંતરે પૃથ્વી $(M)$ ની આસપાસ ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગતિ ઊર્જા $(K)$ $K = \frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K}{U} = \frac{GMm/2r}{-GMm/r} = -\frac{1}{2}$ થાય છે.
નોંધ: મૂલ્યનો ગુણોત્તર $1/2$ છે,પરંતુ ચિહ્નને ધ્યાનમાં લેતા,ગુણોત્તર $-1/2$ છે.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = -\frac{GMm}{2r}$ છે.
અહીં,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે,$m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
ઉપગ્રહો $A$ અને $B$ માટે,તેમની કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{-\frac{GMm_A}{2r_A}}{-\frac{GMm_B}{2r_B}} = \frac{m_A}{m_B} \times \frac{r_B}{r_A}$.
આપેલ દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_A}{m_B} = \frac{3}{1}$ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_A}{r_B} = \frac{r}{4r} = \frac{1}{4}$ છે,તેથી $\frac{r_B}{r_A} = \frac{4}{1}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{3}{1} \times \frac{4}{1} = \frac{12}{1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $12:1$ છે.

(A) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{GMm}{r^2} = \frac{Mv^2}{r}$.
આનો અર્થ એ છે કે સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r} = -Mv^2$ થાય.
ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}Mv^2$ છે.
કુલ ઊર્જા $E$ એ ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે: $E = K + U = \frac{1}{2}Mv^2 - Mv^2 = -\frac{1}{2}Mv^2$.

(C) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $(E)$ $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઉપગ્રહ ઉર્જા ગુમાવે છે,ત્યારે તેની કુલ ઉર્જા વધુ ઋણ બને છે (એટલે કે,બંધન ઉર્જાનું મૂલ્ય વધે છે,પરંતુ કુલ ઉર્જા ઘટે છે).
$E = -\frac{GMm}{2r}$ હોવાથી,$E$ ઘટવા માટે (વધુ ઋણ થવા માટે),ત્રિજ્યા $r$ ઘટવી જોઈએ.
ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ ત્રિજ્યા $r$ ઘટે છે,તેમ કક્ષીય ઝડપ $v$ વધવી જોઈએ.
તેથી,$r$ ઘટશે અને $v$ વધશે.

(D) ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(E)$ એ તેની ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ નો સરવાળો છે.
પૃથ્વી (દળ $M$) ના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કેન્દ્રગામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2} \implies mv^2 = \frac{GMm}{r}$.
ગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{GMm}{r} \right) = \frac{GMm}{2r}$ છે.
કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = K.E. + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$ થાય છે.

(C) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\frac{GMm}{r}$ છે.
કુલ ઉર્જા $E_0$ એ ગતિજ ઉર્જા $K$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નો સરવાળો છે,જે $E_0 = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$ થાય છે.
$U$ અને $E_0$ ના સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $U = 2 \times (-\frac{GMm}{2r}) = 2 E_0$.
તેથી,ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઉર્જા $2 E_0$ છે.

(D) વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા કણ માટે,કેન્દ્રગામી બળ આપેલ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $mv^2/r = k/r^2$
આના પરથી,ગતિઊર્જા $(K.E.)$ થશે: $K.E. = 1/2 mv^2 = k/(2r)$
સ્થિતિઊર્જા $(U)$ બળના સંકલન દ્વારા મેળવી શકાય છે: $U = -\int_{\infty}^{r} F \, dr = -\int_{\infty}^{r} (-k/r^2) \, dr = -k/r$
કુલ ઊર્જા $(E)$ એ ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $E = K.E. + U = k/(2r) - k/r = -k/(2r)$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે કણ બંધિત અવસ્થામાં છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કક્ષામાં $(r_1 = 2R)$ સ્થિતિ ઊર્જા $U_1 = -\frac{GMm}{2R}$ છે.
બીજી કક્ષામાં $(r_2 = 3R)$ સ્થિતિ ઊર્જા $U_2 = -\frac{GMm}{3R}$ છે.
ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = U_2 - U_1$ છે.
$\Delta U = \left( -\frac{GMm}{3R} \right) - \left( -\frac{GMm}{2R} \right)$.
$\Delta U = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{3R} = \frac{3GMm - 2GMm}{6R} = \frac{GMm}{6R}$.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી ઉપગ્રહનું અંતર $r = R + h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ સપાટીથી ઊંચાઈ છે.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે $h_1 = R$ હોવાથી,અંતર $r_1 = R + R = 2R$ થશે.
બીજા ઉપગ્રહ માટે $h_2 = 3R$ હોવાથી,અંતર $r_2 = R + 3R = 4R$ થશે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $K = \frac{GMm}{2r}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $K \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{4R}{2R} = \frac{2}{1} = 2$ થાય.

(D) ધારો કે $M$ પૃથ્વીનું દળ છે,$R$ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $r$ ઉપગ્રહની કક્ષીય ત્રિજ્યા છે.
$r$ અંતરે ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E_i = -\frac{GMm}{r}$ છે.
જ્યારે તે $R$ અંતરે પૃથ્વીની સપાટી પર અથડાય છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = -\frac{GMm}{R}$ અને ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $E_i = K_f + U_f$.
$-\frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{r}$.
$v^2 = \frac{2GM}{R} - \frac{2GM}{r}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$ અને $v_0^2 = \frac{GM}{r}$,તેથી $\frac{2GM}{r} = 2v_0^2$.
આ કિંમતો મૂકતા,$v^2 = v_e^2 - 2v_0^2$.
તેથી,$v = \sqrt{v_e^2 - 2v_0^2}$.

(B) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1$ કક્ષામાં પ્રારંભિક ઊર્જા $E_1 = -\frac{GMm}{2R_1}$ છે.
$R_2$ કક્ષામાં અંતિમ ઊર્જા $E_2 = -\frac{GMm}{2R_2}$ છે.
જરૂરી કુલ ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{GMm}{2R_2} - (-\frac{GMm}{2R_1}) = \frac{GMm}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
આમ,જરૂરી વધારાની ગતિઊર્જા $\frac{GMm}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.

(D) ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E$ એ તેની સ્થિતિ ઊર્જા $PE$ અને ગતિ ઊર્જા $KE$ નો સરવાળો છે.
$E = PE + KE = -\frac{GMm}{R + h} + \frac{1}{2}mv^2$
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{mv^2}{R + h} = \frac{GMm}{(R + h)^2} \implies v^2 = \frac{GM}{R + h}$
ઊર્જાના સમીકરણમાં $v^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = -\frac{GMm}{R + h} + \frac{1}{2}m\left(\frac{GM}{R + h}\right) = -\frac{GMm}{2(R + h)}$
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_0 = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$GM = g_0 R^2$ થાય.
આ કિંમત $E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = -\frac{m g_0 R^2}{2(R + h)}$

(C) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{G M_E m}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_i = 3 R_E$ પર પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા $E_i = -\frac{G M_E m}{2(3 R_E)} = -\frac{G M_E m}{6 R_E}$ છે.
$r_f = 9 R_E$ પર અંતિમ કુલ ઉર્જા $E_f = -\frac{G M_E m}{2(9 R_E)} = -\frac{G M_E m}{18 R_E}$ છે.
જરૂરી વધારાની ઉર્જા $\Delta E = E_f - E_i$ છે.
$\Delta E = -\frac{G M_E m}{18 R_E} - (-\frac{G M_E m}{6 R_E})$.
$\Delta E = -\frac{G M_E m}{18 R_E} + \frac{3 G M_E m}{18 R_E} = \frac{2 G M_E m}{18 R_E} = \frac{G M_E m}{9 R_E}$.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $K = \frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r = R + h$,જ્યાં $h$ એ પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ છે.
ઉપગ્રહ $A$ માટે,ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r_A = R + R = 2R$ છે.
ઉપગ્રહ $B$ માટે,ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r_B = R + 2R = 3R$ છે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_A}{K_B} = \frac{GMm / (2r_A)}{GMm / (2r_B)} = \frac{r_B}{r_A}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{K_A}{K_B} = \frac{3R}{2R} = \frac{3}{2}$ મળે છે.

(D) વર્તુળાકાર ગ્રહીય ગતિમાં રહેલા પદાર્થ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $r$ અંતરે:
$1$. ગતિ ઉર્જા $K = \frac{GMm}{2r}$ છે,જે હંમેશા ધન હોય છે અને $r$ વધતા ઘટે છે. આ વક્ર $A$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ છે,જે હંમેશા ઋણ હોય છે અને $r$ વધતા વધે છે (ઓછી ઋણ બને છે). આ વક્ર $B$ ને અનુરૂપ છે.
$3$. કુલ ઉર્જા $E = K + U = -\frac{GMm}{2r}$ છે,જે હંમેશા ઋણ હોય છે અને $r$ વધતા વધે છે. આ વક્ર $C$ ને અનુરૂપ છે.
આલેખ સાથે સરખામણી કરતા,$A$ ગતિ ઉર્જા છે,$B$ સ્થિતિ ઉર્જા છે,અને $C$ કુલ ઉર્જા છે. તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે $A$ અને $B$ ગતિ અને સ્થિતિ ઉર્જા છે અને $C$ તંત્રની કુલ ઉર્જા છે.

(B) ગ્રહની સપાટી પર ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E_i = K_i + U_i = K_i - \frac{GmM}{R}$ છે,જ્યાં $K_i$ એ સપાટી પર આપેલી ગતિઊર્જા છે.
$h = 2R$ ઊંચાઈ પરની અંતિમ વર્તુળાકાર કક્ષામાં,કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = 3R$ થાય.
કક્ષીય વેગ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{3R}}$ દ્વારા મળે છે.
કક્ષામાં કુલ ઊર્જા $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{GmM}{3R} = \frac{1}{2}m\left(\frac{GM}{3R}\right) - \frac{GmM}{3R} = \frac{GmM}{6R} - \frac{2GmM}{6R} = -\frac{GmM}{6R}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$E_i = E_f$:
$K_i - \frac{GmM}{R} = -\frac{GmM}{6R}$.
$K_i = \frac{GmM}{R} - \frac{GmM}{6R} = \frac{5GmM}{6R}$.

(B) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1 = 3R$ પર પ્રારંભિક ઉર્જા $E_1 = -\frac{GMm}{2(3R)} = -\frac{GMm}{6R}$ છે.
$r_2 = 5R$ પર અંતિમ ઉર્જા $E_2 = -\frac{GMm}{2(5R)} = -\frac{GMm}{10R}$ છે.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ યાંત્રિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = E_2 - E_1$.
$W = -\frac{GMm}{10R} - (-\frac{GMm}{6R}) = GMm \left( \frac{1}{6R} - \frac{1}{10R} \right)$.
$W = GMm \left( \frac{5 - 3}{30R} \right) = GMm \left( \frac{2}{30R} \right) = \frac{1}{15} \frac{GMm}{R}$.

(B) ઉપગ્રહને $h$ ઊંચાઈ પર લઈ જવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E_1$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $E_1 = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
$h$ ઊંચાઈ પર વર્તુળાકાર કક્ષા માટે જરૂરી ગતિ ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2}mv^2$ છે. કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ હોવાથી,$E_2 = \frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{R+h} \right) = \frac{GMm}{2(R+h)}$.
$E_1 = E_2$ લેતા:
$\frac{GMmh}{R(R+h)} = \frac{GMm}{2(R+h)}$.
બંને બાજુથી $GMm$ અને $(R+h)$ સામાન્ય પદો દૂર કરતા:
$\frac{h}{R} = \frac{1}{2} \implies h = \frac{R}{2}$.
અહીં $R = 6.4 \times 10^3 \, km$ આપેલ હોવાથી,$h = \frac{6.4 \times 10^3}{2} = 3.2 \times 10^3 \, km$ મળે છે.

(B) લંબગોળ કક્ષામાં ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ગ્રહનું દળ છે,$m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે અને $a$ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કક્ષાના કોઈપણ બિંદુએ કુલ ઉર્જા એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$
ગ્રહથી $r = a/2$ અંતરે,સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$-\frac{GMm}{2a} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{a/2}$
$-\frac{GMm}{2a} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{2GMm}{a}$
$v^2$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2GMm}{a} - \frac{GMm}{2a}$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{a} \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = \frac{GMm}{a} \left( \frac{3}{2} \right)$
$v^2 = \frac{3GM}{a}$
$v = \sqrt{\frac{3GM}{a}}$

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર ઉપગ્રહની પ્રારંભિક કુલ ઊર્જા $E_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
ઉપગ્રહને $h = R$ ઊંચાઈ પર વર્તુળાકાર કક્ષામાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે,તેથી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = R + h = 2R$ થશે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E_f = -\frac{GMm}{2r} = -\frac{GMm}{2(2R)} = -\frac{GMm}{4R}$ છે.
જરૂરી લઘુત્તમ ઊર્જા એ કુલ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $\Delta E = E_f - E_i$.
$\Delta E = -\frac{GMm}{4R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta E = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4} mgR$.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ $PE = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ઉપગ્રહો માટે,કેન્દ્રથી અંતર $r_1 = R + R = 2R$ અને $r_2 = R + 7R = 8R$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{PE_1}{PE_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{8R}{2R} = 4$ થાય.
ગતિ ઉર્જા $(KE)$ $KE = \frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{KE_1}{KE_2} = \frac{r_2}{r_1} = 4$ થાય.
કુલ ઉર્જા $(TE)$ $TE = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{TE_1}{TE_2} = \frac{r_2}{r_1} = 4$ થાય.
કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $4$ હોવાથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલ વિધાન (ગુણોત્તર $5$ છે) ખોટું છે. ઉપરાંત,સ્થિતિ ઉર્જાના મૂલ્ય અને ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $|PE|/KE = |-\frac{GMm}{r}| / (\frac{GMm}{2r}) = 2$ થાય છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $TE = -\frac{GM_Em}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_i = 2R_E$ પર પ્રારંભિક કુલ ઊર્જા $(TE)_i = -\frac{GM_Em}{2(2R_E)} = -\frac{GM_Em}{4R_E}$ છે.
$r_f = 4R_E$ પર અંતિમ કુલ ઊર્જા $(TE)_f = -\frac{GM_Em}{2(4R_E)} = -\frac{GM_Em}{8R_E}$ છે.
ઉપગ્રહને સ્થાનાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = (TE)_f - (TE)_i$ છે.
$\Delta E = -\frac{GM_Em}{8R_E} - (-\frac{GM_Em}{4R_E}) = \frac{GM_Em}{4R_E} - \frac{GM_Em}{8R_E} = \frac{GM_Em}{8R_E}$.

(B) $r$ ત્રિજ્યાની ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા $m$ દળના ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ એ તેની ગતિ ઉર્જા અને ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે.
$E = K.E. + P.E. = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$
કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$,જેનો અર્થ છે કે $v^2 = \frac{GM}{r}$.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $E = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{r}) - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ કુલ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = E_{final} - E_{initial}$.
$W = \left(-\frac{GMm}{2(3R)}\right) - \left(-\frac{GMm}{2(2R)}\right) = \frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{6R}$.
$W = \frac{GMm}{R} \left(\frac{3-2}{12}\right) = \frac{GMm}{12R}$.

(D) $1$. લંબગોળ કક્ષામાં,સૂર્યથી ગ્રહનું અંતર બદલાય છે,જેના કારણે ઝડપ બદલાય છે. તેથી,ગતિઊર્જા $T$ સંરક્ષિત રહેતી નથી.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $V$ ને $V = -GMm/r$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે બંધ અવસ્થાઓ માટે હંમેશા ઋણ હોય છે.
$3$. કોણીય વેગમાન $L$ મૂલ્ય અને દિશામાં સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે,જેનો અર્થ છે કે ટોર્ક $\tau = r \times F = 0$ થાય છે. ગતિ એક સમતલમાં મર્યાદિત હોવાથી,કોણીય વેગમાન સદિશની દિશા અચળ રહે છે.
$4$. બંધ કક્ષા (લંબગોળ) માટે,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E = T + V$ હંમેશા ઋણ હોય છે,જે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત થવા માટે જરૂરી ઊર્જા દર્શાવે છે.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઉપગ્રહ ઉર્જા ગુમાવે છે,ત્યારે તેની કુલ ઉર્જા $E$ વધુ ઋણ બને છે (એટલે કે ઘટે છે).
$E = -\frac{GMm}{2r}$ હોવાથી,$E$ ઘટવા માટે (વધુ ઋણ થવા માટે),ત્રિજ્યા $r$ ઘટવી જોઈએ.
જેમ ઉપગ્રહ નીચી કક્ષામાં (નાની $r$) જાય છે,તેમ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા ઘટે છે,અને કક્ષીય વેગની શરત $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ ને સંતોષવા માટે ગતિ ઉર્જા વધે છે.
તેથી,જેમ $r$ ઘટે છે,તેમ કક્ષીય ઝડપ $v$ વધે છે.

(D) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{GMm}{2r}$ છે.
કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણ સમય $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$.
આનો અર્થ એ થાય કે $r \propto T^{2/3}$.
આ કિંમતને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $K.E. \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{T^{2/3}}$.
તેથી,$K.E. \propto T^{-2/3}$.

(B) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કક્ષા $(r_1 = 2R)$ માં ઉર્જા $E_1 = -\frac{GMm}{2(2R)} = -\frac{GMm}{4R}$ છે.
બીજી કક્ષા $(r_2 = 3R)$ માં ઉર્જા $E_2 = -\frac{GMm}{2(3R)} = -\frac{GMm}{6R}$ છે.
લેબને સ્થાનાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
$\Delta E = -\frac{GMm}{6R} - (-\frac{GMm}{4R}) = \frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{6R} = \frac{3GMm - 2GMm}{12R} = \frac{GMm}{12R}$.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$GM = gR^2$ મળે છે.
$GM = gR^2$ ને $\Delta E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta E = \frac{(gR^2)m}{12R} = \frac{mgR}{12}$.

(D) ધારો કે $M$ પૃથ્વીનું દળ છે,$R$ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $r$ ઉપગ્રહની કક્ષીય ત્રિજ્યા છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કક્ષીય સ્થાન પરની કુલ ઉર્જા એ પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$r$ અંતરે પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = -\frac{GMm}{r}$.
સપાટી પર અંતિમ ઉર્જા $(r=R)$: $E_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા: $-\frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
$v^2$ માટે ગોઠવતા: $v^2 = \frac{2GM}{R} - \frac{2GM}{r}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તેથી $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$.
આપણે કક્ષીય ઝડપ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ પણ જાણીએ છીએ,તેથી $v_0^2 = \frac{GM}{r}$,જેનો અર્થ છે કે $2v_0^2 = \frac{2GM}{r}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $v^2 = v_e^2 - 2v_0^2$.
તેથી,$v = \sqrt{v_e^2 - 2v_0^2}$.

(C) $m$ દળ ધરાવતા ઉપગ્રહની કક્ષીય વેગ $v$ સાથેની ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે વેગને $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvr$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$L$ ના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$L = m \left( \sqrt{\frac{2E}{m}} \right) r$
$L = \sqrt{m^2 \cdot \frac{2E}{m} \cdot r^2}$
$L = \sqrt{2Emr^2}$.

(D) ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$K.E. \propto v^2 \propto \frac{1}{r}$ મળે.
કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણ સમયનો વર્ગ એ કક્ષીય ત્રિજ્યાના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $T^2 \propto r^3$,જેનો અર્થ છે કે $r \propto T^{2/3}$.
આ કિંમતને ગતિ ઊર્જાના પ્રમાણસરતાના સંબંધમાં મૂકતા: $K.E. \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{T^{2/3}} = T^{-2/3}$.

(B) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા $m$ દળના ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર: $E = -\frac{GMm}{2r}$ છે.
અહીં દળનો ગુણોત્તર $m_A : m_B = 3 : 1$ અને ત્રિજ્યાઓ $r_A = r$,$r_B = 4r$ આપેલ છે.
કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{-\frac{GMm_A}{2r_A}}{-\frac{GMm_B}{2r_B}} = \frac{m_A}{m_B} \times \frac{r_B}{r_A}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{3}{1} \times \frac{4r}{r} = \frac{3}{1} \times 4 = \frac{12}{1}$.
આમ,$A$ અને $B$ ની કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનો ગુણોત્તર $12 : 1$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $(TE)$ નું સૂત્ર $TE = -\frac{GmM}{2r}$ છે.
ઉપગ્રહને $R_1$ કક્ષામાંથી $R_2$ કક્ષામાં લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જાનો ફેરફાર $\Delta E = TE_2 - TE_1$ છે.
$\Delta E = \left( -\frac{GmM}{2R_2} \right) - \left( -\frac{GmM}{2R_1} \right)$.
$\Delta E = \frac{GmM}{2R_1} - \frac{GmM}{2R_2}$.
$\Delta E = \frac{1}{2}GmM \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.

(N/A) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{G M_{E} m}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_{i} = 2 R_{E}$ પર પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા $E_{i} = -\frac{G M_{E} m}{4 R_{E}}$ છે.
$r_{f} = 4 R_{E}$ પર અંતિમ કુલ ઉર્જા $E_{f} = -\frac{G M_{E} m}{8 R_{E}}$ છે.
જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_{f} - E_{i} = -\frac{G M_{E} m}{8 R_{E}} - (-\frac{G M_{E} m}{4 R_{E}}) = \frac{G M_{E} m}{8 R_{E}}$ છે.
$g = \frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\Delta E = \frac{g m R_{E}}{8} = \frac{9.8 \times 400 \times 6.37 \times 10^{6}}{8} \approx 3.12 \times 10^{9} \; J$ મળે છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{G M_{E} m}{2r}$ હોવાથી,$\Delta K = K_{f} - K_{i} = \frac{G M_{E} m}{8 R_{E}} - \frac{G M_{E} m}{4 R_{E}} = -\frac{G M_{E} m}{8 R_{E}} = -3.12 \times 10^{9} \; J$ થાય.
સ્થિતિ ઉર્જા $V = -\frac{G M_{E} m}{r}$ હોવાથી,$\Delta V = V_{f} - V_{i} = -\frac{G M_{E} m}{4 R_{E}} - (-\frac{G M_{E} m}{2 R_{E}}) = \frac{G M_{E} m}{4 R_{E}} = 6.24 \times 10^{9} \; J$ થાય.

(A) ગતિ ઊર્જા
$(b)$ ઓછી
સમજૂતી:
$(a)$ ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ એ તેની ગતિ ઊર્જા $K$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નો સરવાળો છે. વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,$E = -K = U/2$. ગતિ ઊર્જા $K$ હંમેશા ધન હોવાથી,કુલ ઊર્જા ઋણ હોય છે,જે તેની ગતિ ઊર્જાના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે.
$(b)$ ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ પાસે તેની કક્ષીય વેગને કારણે પહેલેથી જ ગતિ ઊર્જા હોય છે. પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત થવા માટે,તેણે કુલ ઊર્જા શૂન્ય સુધી પહોંચાડવી પડે છે. તેની પાસે પહેલેથી જ થોડી ઊર્જા હોવાથી,તેને શૂન્ય ઊર્જા સુધી પહોંચાડવા માટે જરૂરી વધારાની ઊર્જા,તે જ ઊંચાઈએ રહેલા સ્થિર પદાર્થ કરતા ઓછી હોય છે,કારણ કે સ્થિર પદાર્થ પાસે શરૂઆતમાં કોઈ ગતિ ઊર્જા હોતી નથી.

(N/A) ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા તેની ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે.
કુલ ઉર્જા $E = K + U = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M m}{R_{e} + h}$.
કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{G M}{R_{e} + h}}$ હોવાથી,ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} m \left( \frac{G M}{R_{e} + h} \right)$ થાય.
આમ,$E = \frac{G M m}{2(R_{e} + h)} - \frac{G M m}{R_{e} + h} = -\frac{G M m}{2(R_{e} + h)}$.
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રભાવમાંથી મુક્ત થવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ કુલ ઉર્જાનું ઋણ મૂલ્ય છે: $E_{req} = -E = \frac{G M m}{2(R_{e} + h)}$.
આપેલ છે: $G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^{2} kg^{-2}$,$M = 6.0 \times 10^{24} \; kg$,$m = 200 \; kg$,$R_{e} = 6.4 \times 10^{6} \; m$,$h = 0.4 \times 10^{6} \; m$.
$R_{e} + h = 6.8 \times 10^{6} \; m$.
$E_{req} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24} \times 200}{2 \times 6.8 \times 10^{6}} = \frac{80.04 \times 10^{14}}{13.6 \times 10^{6}} \approx 5.885 \times 10^{8} \; J \approx 5.9 \times 10^{8} \; J$.

(N/A) ધારો કે $m$ દળનો એક ઉપગ્રહ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે. તેનો કક્ષીય વેગ $v_{0}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં ઉપગ્રહની સ્થિતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$V = -\frac{GM_{E}m}{r}$
ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા:
$K = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}$
કક્ષીય વેગ $v_{0} = \sqrt{\frac{GM_{E}}{r}}$ હોવાથી,ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}m\left(\sqrt{\frac{GM_{E}}{r}}\right)^{2} = \frac{GM_{E}m}{2r}$
ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E$ એ તેની સ્થિતિઊર્જા અને ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$E = V + K = -\frac{GM_{E}m}{r} + \frac{GM_{E}m}{2r}$
તેથી,કુલ ઊર્જા:
$E = -\frac{GM_{E}m}{2r}$,જ્યાં $r = R_{E} + h$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઉપગ્રહ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં બંધાયેલી અવસ્થામાં છે. આ કક્ષામાંથી મુક્ત થવા માટે,ઉપગ્રહને તેની કુલ ઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી ઊર્જા આપવી પડે.

(N/A) ઉપગ્રહને તેની ભ્રમણકક્ષામાંથી મુક્ત કરવા અને તેને અનંત અંતરે લઈ જવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જાને,જ્યાં તે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની અસર હેઠળ ન રહે,તેને ઉપગ્રહની બંધન ઉર્જા કહેવામાં આવે છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $(E)$ નીચે મુજબ છે: $E = -\frac{GM_E m}{2r}$.
પૃથ્વીથી અનંત અંતરે,ઉપગ્રહની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જા બંને શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે અનંત અંતરે કુલ ઉર્જા શૂન્ય છે.
ઉપગ્રહને તેની ભ્રમણકક્ષામાંથી અનંત અંતરે લઈ જવા માટે,આપણે તેની કુલ ઉર્જાના વિરોધી મૂલ્ય જેટલી બાહ્ય ઉર્જા આપવી પડે છે. તેથી,બંધન ઉર્જા $(BE)$:
$BE = -E = \frac{GM_E m}{2r}$
જ્યાં $r = R_E + h$,જેમાં $R_E$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપગ્રહની ઊંચાઈ છે.

(N/A) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $(E)$ એ તેની ગતિ ઉર્જા $(K)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ નો સરવાળો છે.
$K = \frac{GMm}{2r}$
$U = -\frac{GMm}{r}$
$E = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$
કુલ ઉર્જા ઋણ છે કારણ કે ઉપગ્રહ ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં 'બંધ અવસ્થા' (bound state) માં છે. ઋણ કુલ ઉર્જા સૂચવે છે કે ઉપગ્રહ પાસે ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી મુક્ત થઈને અનંત અંતરે જવા માટે પૂરતી ઉર્જા નથી. કુલ ઉર્જાને શૂન્ય (મુક્તિ માટેની શરત) કરવા માટે,ઉપગ્રહને $+\frac{GMm}{2r}$ જેટલી વધારાની ઉર્જા આપવી પડે છે.

(A) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,ગતિ-ઊર્જા $(K)$,સ્થિતિ-ઊર્જા $(U)$ અને કુલ ઊર્જા $(E)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$K = -E$
$U = 2E = -2K$
અહીં ગતિ-ઊર્જા $K = 6 \times 10^9 \ J$ આપેલ છે.
તેથી,સ્થિતિ-ઊર્જા $U = -2 \times (6 \times 10^9 \ J) = -12 \times 10^9 \ J$.
કુલ ઊર્જા $E = -K = -6 \times 10^9 \ J$ થાય.

(N/A) ધારો કે $m$ દળનો એક ઉપગ્રહ $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે. કક્ષીય ઝડપ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
$(a)$ ગતિઊર્જા $(KE)$: $K = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{GMm}{2R}$. આમ,$K \propto \frac{1}{R}$. આલેખ પ્રથમ ચરણમાં લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) છે,જે દર્શાવે છે કે $R$ વધતા $KE$ ઘટે છે.
$(b)$ સ્થિતિઊર્જા $(PE)$: $U = -\frac{GMm}{R}$. આમ,$U \propto -\frac{1}{R}$. આલેખ ચોથા ચરણમાં આવેલો છે,જ્યાં $U$ ઋણ છે અને $R$ વધતા તેનું મૂલ્ય શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
$(c)$ કુલ ઊર્જા $(TE)$: $E = K + U = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{R} = -\frac{GMm}{2R}$. આમ,$E \propto -\frac{1}{R}$. $PE$ ની જેમ જ,આ આલેખ ચોથા ચરણમાં છે,જે બંધ અવસ્થા દર્શાવે છે જ્યાં કુલ ઊર્જા ઋણ હોય છે.

(N/A) $M$ દળ ધરાવતા તારાની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા $m$ દળના પદાર્થ માટે:
$1$. રેખીય વેગ: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$. જેમ $r$ વધે છે,તેમ $v$ ઘટે છે.
$2$. કોણીય વેગ: $\omega = \frac{v}{r} = \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$. જેમ $r$ વધે છે,તેમ $\omega$ ઘટે છે.
$3$. ગતિઊર્જા: $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r}$. જેમ $r$ વધે છે,તેમ $K$ ઘટે છે.
$4$. ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા: $U = -\frac{GMm}{r}$. જેમ $r$ વધે છે,તેમ $U$ વધે છે (ઓછી ઋણ બને છે).
$5$. કુલ ઊર્જા: $E = K + U = -\frac{GMm}{2r}$. જેમ $r$ વધે છે,તેમ $E$ વધે છે (ઓછી ઋણ બને છે).
$6$. કોણીય વેગમાન: $l = mvr = m\sqrt{GMr}$. જેમ $r$ વધે છે,તેમ $l$ વધે છે.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે $E \propto \frac{m}{r}$.
અહીં દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_A}{m_B} = \frac{4}{3}$ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_A}{r_B} = \frac{3r}{4r} = \frac{3}{4}$ આપેલ છે.
તેથી,$A$ અને $B$ ની કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_A}{E_B} = \frac{m_A}{m_B} \times \frac{r_B}{r_A}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_A}{E_B} = \frac{4}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{16}{9}$.

(B) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $K.E. = x$,તેથી $x = \frac{GMm}{2r}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $r = \frac{GMm}{2x}$.
અહીં $GMm/2$ અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $r \propto \frac{1}{x}$.
કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણ સમય $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન ના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$.
આ સંબંધમાં $r \propto x^{-1}$ મૂકતા,આપણને $T^2 \propto (x^{-1})^3 = x^{-3}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$T \propto (x^{-3})^{1/2} = x^{-3/2}$ મળે છે.
આમ,પરિભ્રમણ સમય $T$ એ $x^{-3/2}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની બંધન ઉર્જા એટલે ઉપગ્રહને અનંત અંતરે મોકલવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા. તે ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જાના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે.
કુલ ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$.
બંધન ઉર્જા $BE = -E = \frac{GMm}{2r}$.
આપેલ છે:
$G = 6.67 \times 10^{-11} \,N \cdot m^2/kg^2$
$M = 5 \times 10^{30} \,kg$
$m = 200 \,kg$
$r = 6.6 \times 10^6 \,m$
કિંમતો મૂકતા:
$BE = \frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (5 \times 10^{30}) \times 200}{2 \times 6.6 \times 10^6}$
$BE = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 10^{33}}{13.2 \times 10^6}$
$BE \approx \frac{6.67 \times 10^{22}}{13.2 \times 10^6} \approx 0.505 \times 10^{16} \approx 5 \times 10^{15} \,J$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ અને ગતિઊર્જા $(KE)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $PE = -2 \times KE$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
$PE$ ના સૂત્રમાં $KE$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $PE = -2 \times (\frac{1}{2} m v^2) = -m v^2$.
આપેલ છે:
દળ $m = 400 \, kg$
ઝડપ $v = 200 \, m/s$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$PE = -(400 \, kg) \times (200 \, m/s)^2$
$PE = -400 \times 40,000 \, J$
$PE = -16,000,000 \, J$
કારણ કે $1 \, MJ = 10^6 \, J$,તેથી:
$PE = -16 \, MJ$.

(C) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ $PE = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણ સમય $(T)$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ ના ઘન ના પ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$,જેનો અર્થ છે કે $r \propto T^{2/3}$.
સ્થિતિ ઊર્જાના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$PE \propto -\frac{1}{r}$
કારણ કે $r \propto T^{2/3}$,તેથી $PE \propto -\frac{1}{T^{2/3}}$.
આમ,સ્થિતિ ઊર્જાનું મૂલ્ય $T^{-2/3}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{G M m}{2 r}$ છે.
જેમ $r$ ઘટે છે,તેમ છેદ ઘટવાથી ગતિઊર્જા $(K.E.)$ વધે છે.
ઉપગ્રહની સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = -\frac{G M m}{r}$ છે.
જેમ $r$ ઘટે છે,તેમ ઋણ મૂલ્યનું માન વધે છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતિઊર્જા વધુ ઋણ બને છે,એટલે કે સ્થિતિઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,ગતિઊર્જા વધે છે અને સ્થિતિઊર્જા ઘટે છે.