Energy consideration in Planetary and Satellite motion Questions in Gujarati

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળા $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે:
$T^2 \propto r^3$
આનો અર્થ એ છે કે $r \propto T^{2/3}$.
$M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નીચે મુજબ છે:
$PE = -\frac{GMm}{r}$
અહીં $G, M,$ અને $m$ અચળાંકો હોવાથી,$PE \propto \frac{1}{r}$ થાય.
સ્થિતિ ઊર્જાના સમીકરણમાં $r \propto T^{2/3}$ મૂકતા:
$PE \propto \frac{1}{T^{2/3}}$
$PE \propto T^{-2/3}$
તેથી,સ્થિતિ ઊર્જા $T^{-2/3}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યાની ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $U = 2E$. તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
ઉપગ્રહની ગતિ ઉર્જા $K = \frac{GMm}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને કુલ ઉર્જા $E$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $K = -E$,જેનો અર્થ છે કે ગતિ ઉર્જાનું મૂલ્ય $|K|$ એ કુલ ઉર્જાના મૂલ્ય $|E|$ જેટલું જ છે.
આમ,વિધાન $II$ પણ ખોટું છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર દડાની પ્રારંભિક કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $TE_i = -\frac{GM_e m}{R_e}$ છે.
આપેલ ઊંચાઈ $h = 318.5 \ km$ અને $R_e = 6370 \ km$ હોવાથી,$h = \frac{R_e}{20}$ મળે છે.
$h$ ઊંચાઈએ વર્તુળાકાર કક્ષામાં દડાની અંતિમ કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $TE_f = -\frac{GM_e m}{2(R_e + h)}$ છે.
$h = \frac{R_e}{20}$ મૂકતા,$TE_f = -\frac{GM_e m}{2(R_e + R_e/20)} = -\frac{GM_e m}{2(21R_e/20)} = -\frac{10 GM_e m}{21 R_e}$ મળે છે.
કુલ યાંત્રિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta TE = TE_f - TE_i = -\frac{10 GM_e m}{21 R_e} - (-\frac{GM_e m}{R_e})$ છે.
$\Delta TE = \frac{GM_e m}{R_e} (1 - \frac{10}{21}) = \frac{11 GM_e m}{21 R_e}$ થાય.
આને $x \frac{GM_e m}{21 R_e}$ સાથે સરખાવતા,$x = 11$ મળે છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ઉપગ્રહ $r_1 = 2R$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં છે. તેની પ્રારંભિક ઊર્જા $E_1 = -\frac{GMm}{2(2R)} = -\frac{GMm}{4R}$ છે.
આપેલ છે કે ઉપગ્રહને $\Delta E = \frac{10^4 R}{6} \text{ J}$ ઊર્જા આપવામાં આવે છે,તેથી નવી કુલ ઊર્જા $E_2 = E_1 + \Delta E$ થશે.
$E_2 = -\frac{GMm}{4R} + \frac{10^4 R}{6}$.
ધારો કે નવી ત્રિજ્યા $r_2$ છે. તો $E_2 = -\frac{GMm}{2r_2}$.
$E_2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-\frac{GMm}{4R} + \frac{10^4 R}{6} = -\frac{GMm}{2r_2}$.
$g = \frac{GM}{R^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $GM = gR^2$ મળે છે. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{mgR^2}{4R} + \frac{10^4 R}{6} = -\frac{mgR^2}{2r_2}$.
આપેલ છે $m = 10^3 \text{ kg}$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$,તેથી $mg = 10^4 \text{ N}$.
$-\frac{10^4 R}{4} + \frac{10^4 R}{6} = -\frac{10^4 R^2}{2r_2}$.
$10^4 R$ વડે ભાગતા:
$-\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = -\frac{R}{2r_2}$.
$-\frac{3-2}{12} = -\frac{R}{2r_2} \implies -\frac{1}{12} = -\frac{R}{2r_2}$.
$\frac{1}{12} = \frac{R}{2r_2} \implies 2r_2 = 12R \implies r_2 = 6R$.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E_i = K_i + U_i = K_i - \frac{G M m}{R}$ છે.
સપાટીથી $2R$ ઊંચાઈએ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + 2R = 3R$ થાય છે.
$r = 3R$ અંતરે કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{G M}{3R}}$ છે.
કક્ષામાં કુલ ઉર્જા $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{3R} = \frac{1}{2} m \left(\frac{G M}{3R}\right) - \frac{G M m}{3R} = \frac{G M m}{6R} - \frac{G M m}{3R} = -\frac{G M m}{6R}$ થાય.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$E_i = E_f$:
$K_i - \frac{G M m}{R} = -\frac{G M m}{6R}$.
$K_i = \frac{G M m}{R} - \frac{G M m}{6R} = \frac{5 G M m}{6R}$.

(B) $h$ ઊંચાઈએ ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E = -\frac{GMm}{2(R+h)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $GM = gR^2$.
અહીં ઊંચાઈ $h = R$ આપેલી છે,તેથી ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r = R + h = R + R = 2R$ થશે.
$GM = gR^2$ અને $r = 2R$ ની કિંમત ઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = -\frac{(gR^2)m}{2(2R)}$
$E = -\frac{gR^2m}{4R}$
$E = -\frac{mgR}{4}$.

(D) $M$ દળ ધરાવતી પૃથ્વીની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ નીચે મુજબ છે: $K.E. = \frac{GMm}{2r}$.
તે જ અંતરે ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નીચે મુજબ છે: $P.E. = -\frac{GMm}{r}$.
આપણે સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
ગુણોત્તર: $\frac{P.E.}{K.E.} = \frac{-GMm/r}{GMm/2r} = -2$.
અહીં સ્થિતિ ઊર્જા ઋણ હોવાથી ગુણોત્તર $-2$ મળે છે. જો માત્ર મૂલ્યની વાત કરવામાં આવે તો તે $2$ થાય.

(B) ઉપગ્રહની બંધન ઉર્જા $(BE)$ એટલે ઉપગ્રહને તેની ભ્રમણકક્ષામાંથી અનંત અંતરે લઈ જવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r = R + h$ અંતરે રહેલા $m$ દળના ઉપગ્રહ માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ છે.
ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E = K + U = -\frac{GMm}{2r}$ છે.
બંધન ઉર્જા એ કુલ ઉર્જાનું ઋણ મૂલ્ય છે: $BE = -E = \frac{GMm}{2r}$.
$BE$ અને $U$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $U = -2 \times BE$.
આપેલ છે કે $BE = 3.5 \times 10^8 \ J$,તેથી સ્થિતિ ઉર્જા $U = -2 \times (3.5 \times 10^8 \ J) = -7 \times 10^8 \ J$ થાય.

(B) ઉપગ્રહની બંધન ઊર્જા $(BE)$ એ કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $(E)$ ના ઋણ મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$BE = -E = - (K.E. + P.E.) = - (\frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r}) = \frac{GMm}{2r}$.
ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = -\frac{GMm}{r}$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $P.E. = -2 \times BE$.
આપેલ છે કે $BE = 3.5 \times 10^{8} \,J$.
તેથી, $P.E. = -2 \times (3.5 \times 10^{8} \,J) = -7.0 \times 10^{8} \,J$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર સ્થિર રહેલા ઉપગ્રહની બંધન ઉર્જા $E_1 = \frac{GMm}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની બંધન ઉર્જા $E_2 = \frac{GMm}{2(R+h)}$ છે.
બંને ઉર્જાઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{GMm}{2R}}{\frac{GMm}{2(R+h)}} = \frac{R+h}{R}$.

(B) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે $m$ દળ ધરાવતા ઉપગ્રહ માટે,સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ છે.
વર્તુળાકાર કક્ષા માટે જરૂરી ગતિઊર્જા $K = \frac{GMm}{2r}$ છે.
કુલ ઊર્જા $E$ એ ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $E = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$.
$E$ અને $K$ ની સરખામણી કરતા: $E = -K$,જેનો અર્થ છે કે કુલ ઊર્જા એ ગતિઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી જ પણ વિરુદ્ધ નિશાની ધરાવે છે.
$E$ અને $U$ ની સરખામણી કરતા: $E = \frac{1}{2} U$,જેનો અર્થ છે કે કુલ ઊર્જા એ સ્થિતિઊર્જા કરતા અડધી હોય છે.

(A) ગ્રહના કેન્દ્રથી $r = R + h$ અંતરે વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E_0 = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઊંચાઈ $h = 2R$ હોવાથી,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = R + 2R = 3R$ થશે.
તેથી,કક્ષાની ઉર્જા $E_0 = -\frac{GMm}{2(3R)} = -\frac{GMm}{6R}$ છે.
ગ્રહની સપાટી પર ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઉર્જા $E_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
ઉપગ્રહને પ્રક્ષેપિત કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા એ અંતિમ કક્ષીય ઉર્જા અને પ્રારંભિક સપાટીની ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta E = E_0 - E_i = -\frac{GMm}{6R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{6R} = \frac{5GMm}{6R}$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ $m$ દળના ઉપગ્રહને લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે:
$E_1 = U_h - U_R = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
$GM = gR^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$E_1 = \frac{mgR^2h}{R(R+h)} = \frac{mghR}{R+h}$.
$h$ ઊંચાઈએ વર્તુળાકાર ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E_{orbit} = -\frac{GMm}{2(R+h)}$ છે.
તે ઊંચાઈએ તેને ભ્રમણકક્ષામાં મૂકવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ ભ્રમણકક્ષાની ઊર્જા અને સપાટી પરની ઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$E_2 = E_{orbit} - U_R = -\frac{GMm}{2(R+h)} + \frac{GMm}{R} = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{2(R+h)} \right) = GMm \left( \frac{2R+2h-R}{2R(R+h)} \right) = \frac{GMm(R+2h)}{2R(R+h)}$.
$GM = gR^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$E_2 = \frac{mgR^2(R+2h)}{2R(R+h)} = \frac{mgR(R+2h)}{2(R+h)}$.
ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{mghR}{R+h} \times \frac{2(R+h)}{mgR(R+2h)} = \frac{2h}{R+2h}$.
જ્યારે $h \ll R$ હોય,ત્યારે $R+2h \approx R$,તેથી ગુણોત્તર $\frac{2h}{R}$ થાય.

(D) $m$ દળના ઉપગ્રહને પૃથ્વીની સપાટીથી '$h$' ઊંચાઈ પર લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા તેની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે:
$W = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
'$h$' ઊંચાઈ પર વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા '$m$' દળના ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{GMm}{2(R+h)}$.
હવે,ઉપગ્રહને ઊંચાઈ પર લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા અને તેને કક્ષામાં મૂકવા માટે જરૂરી ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{W}{E} = \frac{\frac{GMmh}{R(R+h)}}{\frac{GMm}{2(R+h)}} = \frac{GMmh}{R(R+h)} \times \frac{2(R+h)}{GMm} = \frac{2h}{R}$.

(D) ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઉર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,આપણને $KE \propto v^2 \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળાનો વર્ગ એ કક્ષીય ત્રિજ્યાના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $T^2 \propto r^3$,જેનો અર્થ છે કે $r \propto T^{2/3}$.
આને ગતિ ઉર્જાના પ્રમાણસરતામાં મૂકતા: $KE \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{T^{2/3}} = T^{-2/3}$.

(C) ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે વેગ $v$ ને $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
$r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા કણનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvr$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$L$ ના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = m \cdot \sqrt{\frac{2E}{m}} \cdot r$
$L = \sqrt{m^{2} \cdot \frac{2E}{m} \cdot r^{2}}$
$L = \sqrt{2mEr^{2}}$
$L = (2mEr^{2})^{\frac{1}{2}}$.

(A) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = -\frac{GMm}{2r}$
જ્યાં:
- $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે.
- $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
- $m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે.
- $r = R + h$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $r = R + h$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E = -\frac{GMm}{2(R+h)}$
અહીં $G, M, m,$ અને $2$ અચળાંકો હોવાથી,કુલ ઉર્જા $E$ એ $-\frac{1}{R+h}$ ના પ્રમાણમાં છે.
આમ,કુલ ઉર્જા $-\frac{1}{R+h}$ મુજબ બદલાય છે.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $h$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E_0 = -\frac{GMm}{2h}$ છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $U = 2 \times (-\frac{GMm}{2h})$.
તેથી,સ્થિતિ ઉર્જા $U = 2 E_0$ થાય.

(D) $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક ઊર્જા $E_1 = -\frac{GMm}{2r}$.
$r' = \frac{3r}{2}$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં અંતિમ ઊર્જા $E_2 = -\frac{GMm}{2(3r/2)} = -\frac{GMm}{3r}$ છે.
ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{GMm}{3r} - (-\frac{GMm}{2r}) = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{3r} = \frac{GMm}{6r}$ છે.
ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta E}{|E_1|} \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી વધારો $= \frac{GMm/6r}{GMm/2r} \times 100 = \frac{2}{6} \times 100 = \frac{1}{3} \times 100 = 33.33 \%$.

(D) $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T$,કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ $T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R^3 \propto T^2$,અથવા $R \propto T^{2/3}$.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $K = \frac{GMm}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $G$,$M$,અને $m$ અચળાંકો હોવાથી,$K \propto \frac{1}{R}$ થાય.
સંબંધ $R \propto T^{2/3}$ ને મૂકતા,આપણને $K \propto \frac{1}{T^{2/3}}$ મળે છે.
તેથી,$K \propto T^{-2/3}$.

(B) '$r$' ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,ગતિઊર્જા $K = \frac{GMm}{2r}$ અને સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ છે.
આમ,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E_{total} = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r} = -K = -E$ થાય.
પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત થવા માટે,ઉપગ્રહની અંતિમ કુલ ઊર્જા ઓછામાં ઓછી $0$ હોવી જોઈએ.
ધારો કે ઉમેરવાની ઊર્જા $\Delta E$ છે.
$E_{final} = E_{initial} + \Delta E = 0$.
$-E + \Delta E = 0$.
$\Delta E = E$.

(A) $m$ દળ ધરાવતા ઉપગ્રહની $M_e$ દળ ધરાવતી પૃથ્વીની આસપાસ $r$ અંતરે કુલ ઊર્જા $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = -\frac{G M_e m}{2r}$
આ દર્શાવે છે કે $E \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને પ્રારંભિક ઊર્જા $E_1 = -\frac{G M_e m}{2r_1}$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા અડધી કરવામાં આવે,ત્યારે $r_2 = \frac{r_1}{2}$ થાય.
નવી ઊર્જા $E_2 = -\frac{G M_e m}{2r_2} = -\frac{G M_e m}{2(r_1/2)} = -\frac{G M_e m}{r_1} = 2 E_1$ થાય.
કુલ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E = E_2 - E_1 = 2E_1 - E_1 = E_1$ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $\frac{|\Delta E|}{|E_1|} \times 100\% = \frac{|E_1|}{|E_1|} \times 100\% = 100\%$ થાય.

(A) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $(KE)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$KE = \frac{G M m}{2 R}$
અહીં,$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે.
આપેલ તંત્ર માટે $G$,$M$ અને $m$ અચળ હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
$KE \propto \frac{1}{R}$
તેથી,ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ આકર્ષી પ્રકારનું હોવાથી,સ્થિતિ ઊર્જા હંમેશા ઋણ હોય છે.
ઉપગ્રહની ગતિ ઊર્જા $(K)$ $K = \frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $G, M, m,$ અને $r$ બધા ધન હોવાથી,ગતિ ઊર્જા હંમેશા ધન હોય છે.
ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $(TE)$ એ તેની ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે:
$TE = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$.
આમ,કુલ ઊર્જા હંમેશા ઋણ હોય છે.
અનંત અંતરે $(r = \infty)$ ઉપગ્રહની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા:
$U = -\frac{GMm}{\infty} = 0$.
આ પરિણામોને આપેલા સ્તંભો સાથે સરખાવતા:
$A$ (સ્થિતિ ઊર્જા) $\rightarrow II$ (ઋણ)
$B$ (કુલ ઊર્જા) $\rightarrow II$ (ઋણ)
$C$ (ગતિ ઊર્જા) $\rightarrow I$ (ધન)
$D$ (અનંત અંતરે સ્થિતિ ઊર્જા) $\rightarrow III$ (શૂન્ય)
સાચી જોડ $A-II, B-II, C-I, D-III$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા એ તેની સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે. તે સપાટી પર સ્થિર હોવાથી,તેની ગતિ ઉર્જા $0$ છે. તેથી,$E_1 = -\frac{GMm}{R}$.
જ્યારે ઉપગ્રહ $r = 7R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં હોય,ત્યારે તેની કુલ ઉર્જા $E_2 = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = 7R$ મૂકતા,આપણને $E_2 = -\frac{GMm}{2(7R)} = -\frac{GMm}{14R}$ મળે છે.
પ્રક્ષેપણ વાહન દ્વારા ખર્ચવી પડતી ન્યૂનતમ ઉર્જા એ અંતિમ ઉર્જા અને પ્રારંભિક ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta E = E_2 - E_1$.
$\Delta E = -\frac{GMm}{14R} - (-\frac{GMm}{R}) = -\frac{GMm}{14R} + \frac{GMm}{R}$.
$\Delta E = \frac{-GMm + 14GMm}{14R} = \frac{13GMm}{14R}$.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે રહેલા $m$ દળના ઉપગ્રહની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m R^2$ થાય છે.
કોણીય વેગમાન $(J)$ ના સ્વરૂપમાં ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{J^2}{2 I}$ છે.
$I = m R^2$ મૂકતા,આપણને $K = \frac{J^2}{2 m R^2}$ મળે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કુલ ઊર્જા $(E)$ અને ગતિઊર્જા $(K)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -K$ છે.
તેથી,$E = -\frac{J^2}{2 m R^2}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $m$ દળ ધરાવતો ઉપગ્રહ $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $a$ (કક્ષાની ત્રિજ્યા) અંતરે ભ્રમણ કરતો હોય ત્યારે તેની ઊર્જાઓ નીચે મુજબ છે:
ગતિઊર્જા,$K = \frac{GMm}{2a}$
સ્થિતિઊર્જા,$V = -\frac{GMm}{a}$
કુલ ઊર્જા,$E = K + V = \frac{GMm}{2a} - \frac{GMm}{a} = -\frac{GMm}{2a}$
આ સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$V = -\frac{GMm}{a} = -2 \left( \frac{GMm}{2a} \right) = -2K$
તેથી,$K = -V / 2$.

(B) પૃથ્વીના દળ $M$ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{G M m}{r}$ છે.
ઉપગ્રહની ગતિ ઉર્જા $K = \frac{G M m}{2 r}$ છે.
કુલ ઉર્જા $E$ એ સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E = U + K = -\frac{G M m}{r} + \frac{G M m}{2 r} = -\frac{G M m}{2 r}$.
$U$ અને $E$ ના સૂત્રોની સરખામણી કરતા:
$U = -\frac{G M m}{r}$
$E = -\frac{G M m}{2 r}$
તેથી,$U = 2 \times (-\frac{G M m}{2 r}) = 2 E$.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની ઉર્જા $E = -\frac{GM_E m}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ વર્તુળાકાર કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
આપવાની જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_f - E_i$ છે.
$\Delta E = \left( -\frac{GM_E m}{2(3R_E)} \right) - \left( -\frac{GM_E m}{2(1.5R_E)} \right)$
$\Delta E = \frac{GM_E m}{2R_E} \left( \frac{1}{1.5} - \frac{1}{3} \right) = \frac{GM_E m}{2R_E} \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{GM_E m}{6R_E}$.
સંબંધ $g = \frac{GM_E}{R_E^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $GM_E = gR_E^2$ મળે છે.
આ કિંમતને $\Delta E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta E = \frac{gR_E^2 m}{6R_E} = \frac{1}{6} mgR_E$.
અહીં $m = 100 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $R_E = 6 \times 10^6 \ m$ આપેલ છે:
$\Delta E = \frac{1}{6} \times 100 \times 10 \times 6 \times 10^6 = 1000 \times 10^6 \ J$.
તેને $\alpha \times 10^6 \ J$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1000$ મળે છે.