Change in Gravitational Potential Energy, Energy Conservation Questions in Hindi

(A) पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_1 = -\frac{G M m}{R}$ द्वारा दी जाती है।
सतह से $h = \frac{R}{3}$ ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + \frac{R}{3} = \frac{4R}{3}$ होती है।
इस ऊँचाई पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -\frac{G M m}{r} = -\frac{G M m}{4R/3} = -\frac{3 G M m}{4R}$ है।
पिंड को ऊपर उठाने में किया गया कार्य गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = U_2 - U_1 = \left( -\frac{3 G M m}{4R} \right) - \left( -\frac{G M m}{R} \right)$.
$W = \frac{G M m}{R} - \frac{3 G M m}{4R} = \frac{4 G M m - 3 G M m}{4R} = \frac{G M m}{4R}$.

(A) पलायन वेग $v_E = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह पर,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E_1 = KE_1 + PE_1 = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$ है।
$v = \alpha v_E = \alpha \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $KE_1 = \frac{1}{2}m(\alpha^2 \cdot \frac{2GM}{R}) = \frac{GMm\alpha^2}{R}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E_1 = \frac{GMm\alpha^2}{R} - \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{R}(\alpha^2 - 1)$।
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,वेग $0$ है,इसलिए $KE_2 = 0$ और $PE_2 = -\frac{GMm}{R+h}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$E_1 = E_2$:
$\frac{GMm}{R}(\alpha^2 - 1) = -\frac{GMm}{R+h}$।
$\alpha^2 - 1 = -\frac{R}{R+h} = -\frac{6400}{6400+800} = -\frac{6400}{7200} = -\frac{8}{9}$।
$\alpha^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$।
इसलिए,$\alpha = \frac{1}{3}$।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_1 = -\frac{GMm}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
$h = 3R$ की ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + 3R = 4R$ है।
इस ऊँचाई पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -\frac{GMm}{4R}$ है।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_2 - U_1$ है।
$\Delta U = -\frac{GMm}{4R} - \left(-\frac{GMm}{R}\right) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$।
संबंध $g = \frac{GM}{R^2}$ का उपयोग करते हुए,हमें $GM = gR^2$ प्राप्त होता है।
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में रखने पर:
$\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4}mgR$।

(A) माना $m = 1 \ kg$ प्रत्येक गोले का द्रव्यमान है और $r = 2 \ m$ त्रिज्या है। किन्हीं दो गोलों के केंद्रों के बीच की प्रारंभिक दूरी $d_i = 10 \ m$ है।
टक्कर के समय,गोले एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं। चूंकि वे समान हैं,इसलिए टक्कर के समय किन्हीं दो गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी $d_f = 2r = 2 \times 2 = 4 \ m$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक स्थिति में कुल ऊर्जा = अंतिम स्थिति में कुल ऊर्जा: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
प्रारंभ में,$K_i = 0$ है। तीन गोलों की प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा $U = -3 \times \frac{G m^2}{d}$ है।
अतः,$-3 \frac{G m^2}{d_i} = -3 \frac{G m^2}{d_f} + 3 \times (\frac{1}{2} m v^2)$,जहाँ $v$ प्रत्येक गोले की गति है।
$3m/2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $v^2 = 2 G m (\frac{1}{d_f} - \frac{1}{d_i})$.
मान रखने पर: $v^2 = 2 \times G \times 1 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{10}) = 2 G (\frac{5-2}{20}) = 2 G (\frac{3}{20}) = \frac{3 G}{10}$.
इसलिए,$v = \sqrt{\frac{3 G}{10}}$.

(D) $m$ द्रव्यमान के एक पिंड की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,$r = R$,इसलिए $U_i = -\frac{GMm}{R}$।
$h = R$ ऊंचाई के लिए,केंद्र से दूरी $r = R + R = 2R$ है। स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{2R}$ है।
आवश्यक ऊर्जा $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है:
$W = U_f - U_i = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{2R}$।
$h = 2R$ ऊंचाई के लिए,केंद्र से दूरी $r = R + 2R = 3R$ है। स्थितिज ऊर्जा $U_f' = -\frac{GMm}{3R}$ है।
आवश्यक ऊर्जा $W'$ है:
$W' = U_f' - U_i = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{3R} = \frac{2GMm}{3R}$।
चूंकि $W = \frac{GMm}{2R}$,इसलिए $\frac{GMm}{R} = 2W$ है।
इस मान को $W'$ के समीकरण में रखने पर:
$W' = \frac{2}{3} \times (2W) = \frac{4W}{3}$।

(C) $\text{ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए, सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई } h \text{ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।}$
$\text{सतह पर: } E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
$\text{अधिकतम ऊँचाई पर: } E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f \text{ को बराबर करने पर: } \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$m \text{ से भाग देने पर और } GM = gR^2 \text{ का उपयोग करने पर: } \frac{v^2}{2} - gR = - \frac{gR^2}{R+h}$
$\text{पुनर्व्यवस्थित करने पर: } \frac{gR^2}{R+h} = gR - \frac{v^2}{2} = gR(1 - \frac{v^2}{2gR})$
$\frac{R}{R+h} = 1 - \frac{v^2}{2gR} = 1 - \frac{(8000)^2}{2 \times 10 \times 6400 \times 10^3} = 1 - \frac{64 \times 10^6}{128 \times 10^6} = 1 - 0.5 = 0.5$
$\frac{R}{R+h} = 0.5 \implies R+h = 2R \implies h = R$
$\text{चूंकि } R = 6400 \,km, \text{ इसलिए अधिकतम ऊँचाई } h = 6400 \,km \text{ है।}$

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए।
सतह पर: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{G M m}{R}$.
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{G M m}{R+h}$.
$E_i = E_f$ को बराबर रखने पर:
$\frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{G M m}{R} = - \frac{G M m}{R+h}$.
$m$ से भाग देने और पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{v_0^2}{2} = G M \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = G M \left( \frac{h}{R(R+h)} \right)$.
चूँकि $g = \frac{G M}{R^2}$,इसलिए $G M = g R^2$.
$G M$ का मान रखने पर:
$\frac{v_0^2}{2} = g R^2 \left( \frac{h}{R(R+h)} \right) = \frac{g R h}{R+h}$.
$v_0^2 (R+h) = 2 g R h$.
$v_0^2 R + v_0^2 h = 2 g R h$.
$v_0^2 R = h (2 g R - v_0^2)$.
$h = \frac{R v_0^2}{2 g R - v_0^2}$.

(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान की वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,$r = R$,इसलिए $U_i = -\frac{GMm}{R}$।
सतह से $h = R$ ऊँचाई पर,केंद्र से दूरी $r = R + h = R + R = 2R$ होती है।
अतः,$h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{2R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$ है।
चूँकि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,$\Delta U = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{mgR}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,$r = R$,इसलिए $U_i = -\frac{GMm}{R}$।
सतह से $h = nR$ ऊँचाई पर,केंद्र से दूरी $r = R + nR = R(1+n)$ होगी।
अतः,$U_f = -\frac{GMm}{R(1+n)}$।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R(1+n)} - (-\frac{GMm}{R})$ है।
$\Delta U = \frac{GMm}{R} \left(1 - \frac{1}{1+n}\right) = \frac{GMm}{R} \left(\frac{1+n-1}{1+n}\right) = \frac{GMm}{R} \left(\frac{n}{1+n}\right)$।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$।
यह मान रखने पर,$\Delta U = \frac{gR^2 m}{R} \left(\frac{n}{n+1}\right) = \left(\frac{n}{n+1}\right) mgR$।

(A) पृथ्वी की सतह से $m$ द्रव्यमान को $h$ ऊँचाई तक ले जाने में किया गया कार्य $W$ गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i$.
यहाँ,सतह पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
$h = R$ ऊँचाई पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R+R} = -\frac{GMm}{2R}$ है।
अतः,$W = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$।
चूँकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए हम $GM = gR^2$ लिख सकते हैं।
इस मान को कार्य के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $W = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{mgR}{2}$।