एक रॉकेट को पृथ्वी की सतह से $5 \; km/s$ की गति से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। पृथ्वी पर वापस लौटने से पहले रॉकेट पृथ्वी की सतह से कितनी दूर जाएगा? (पृथ्वी का द्रव्यमान $M_e = 6.0 \times 10^{24} \; kg$,पृथ्वी की औसत त्रिज्या $R_e = 6.4 \times 10^{6} \; m$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^2 kg^{-2}$)

(A) माना रॉकेट का द्रव्यमान $m$ है और प्राप्त की गई ऊँचाई $h$ है।
पृथ्वी की सतह पर,कुल ऊर्जा $E_i$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E_i = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M_e m}{R_e}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,वेग $v = 0$ है,इसलिए कुल ऊर्जा $E_f$ केवल स्थितिज ऊर्जा है:
$E_f = -\frac{G M_e m}{R_e + h}$
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$E_i = E_f$:
$\frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M_e m}{R_e} = -\frac{G M_e m}{R_e + h}$
$m$ से भाग देने और पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{v^2}{2} = G M_e \left( \frac{1}{R_e} - \frac{1}{R_e + h} \right) = G M_e \left( \frac{h}{R_e(R_e + h)} \right)$
$g = \frac{G M_e}{R_e^2}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $G M_e = g R_e^2$:
$\frac{v^2}{2} = \frac{g R_e^2 h}{R_e(R_e + h)} = \frac{g R_e h}{R_e + h}$
$h$ के लिए हल करने पर:
$v^2(R_e + h) = 2 g R_e h \implies v^2 R_e = h(2 g R_e - v^2)$
$h = \frac{R_e v^2}{2 g R_e - v^2}$
मान रखने पर $v = 5 \times 10^3 \; m/s$,$R_e = 6.4 \times 10^6 \; m$,$g = 9.8 \; m/s^2$:
$h = \frac{6.4 \times 10^6 \times (5 \times 10^3)^2}{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6 - (5 \times 10^3)^2}$
$h = \frac{6.4 \times 10^6 \times 25 \times 10^6}{125.44 \times 10^6 - 25 \times 10^6} = \frac{160 \times 10^{12}}{100.44 \times 10^6} \approx 1.593 \times 10^6 \; m \approx 1.6 \times 10^6 \; m$.