सौर मंडल में,किस राशि का संरक्षण होता है?

समान त्रिज्या $R$ वाले लेकिन $M$ और $4M$ द्रव्यमान वाले दो एकसमान ठोस गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी $6R$ है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। दोनों गोलों को स्थिर रखा गया है। $m$ द्रव्यमान के एक प्रक्षेप्य को $M$ द्रव्यमान वाले गोले की सतह से सीधे दूसरे गोले के केंद्र की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। प्रक्षेप्य की न्यूनतम चाल $v$ के लिए व्यंजक प्राप्त करें ताकि वह दूसरे गोले की सतह तक पहुँच सके।

मान लीजिए कि $R$ और $2R$ त्रिज्या वाले दो ग्रह (गोलाकार),जिनका द्रव्यमान क्रमशः $M$ और $9M$ है,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $8R$ है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $m$ द्रव्यमान के एक उपग्रह को $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह की सतह से सीधे दूसरे ग्रह के केंद्र की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। उपग्रह को दूसरे ग्रह की सतह तक पहुँचने के लिए आवश्यक न्यूनतम गति $v = \sqrt{\frac{a}{7} \frac{GM}{R}}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
[दिया गया है: दोनों ग्रह अपनी स्थिति में स्थिर हैं]

एक वस्तु को पृथ्वी की सतह से $u = \sqrt{Rg}$ वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $g$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है। वस्तु द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

जब कोई वस्तु पृथ्वी से दूर जाती है और पृथ्वी के करीब आती है,तो उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में क्या परिवर्तन होता है?

एक पिंड को पृथ्वी की सतह से $u \ m \ s^{-1}$ के वेग से फेंका जाता है। पृथ्वी की सतह से वह अधिकतम ऊँचाई (मीटर में) क्या होगी जहाँ तक वह पहुँचेगा? ($R=$ पृथ्वी की त्रिज्या,$g=$ गुरुत्वीय त्वरण)