Types of Flow, Equation of Continuity and Flow Rate Questions in Hindi

(N/A) स्थायी प्रवाह तरल प्रवाह का वह प्रकार है जिसमें किसी भी बिंदु पर तरल के कणों का वेग समय के सापेक्ष स्थिर रहता है।
स्थायी प्रवाह का एक उदाहरण एक समान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली पाइप से स्थिर दर पर बहता हुआ पानी है।
इस स्थिति में,पाइप के अंदर किसी भी विशिष्ट बिंदु पर,उससे गुजरने वाले पानी के कणों का वेग समय के साथ नहीं बदलता है।

(B) असंपीड्य तरल के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और तरल का वेग $v$ का गुणनफल स्थिर रहता है,अर्थात $A_1v_1 = A_2v_2$ होता है।
इसका तात्पर्य है कि $v \propto \frac{1}{A}$।
इसलिए,जब अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ कम हो जाता है (संकीर्ण नली में),तो प्रवाह दर को बनाए रखने के लिए तरल का वेग $v$ बढ़ जाता है।

(A) सांतत्य समीकरण द्रव्यमान संरक्षण के सिद्धांत से प्राप्त होता है।
जब एक असंपीड्य (incompressible) तरल एक बदलते अनुप्रस्थ काट वाले पाइप से बहता है,तो समान समय अंतराल में पाइप में प्रवेश करने वाले तरल का द्रव्यमान और पाइप से बाहर निकलने वाले तरल का द्रव्यमान समान होना चाहिए।
गणितीय रूप से,इसे $A_1 v_1 = A_2 v_2$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v$ तरल का वेग है।

(C) चूंकि पानी कहीं भी जमा नहीं होता है,इसलिए गंगा का आयतन प्रवाह दर भागीरथी और अलकनंदा के आयतन प्रवाह दर के योग के बराबर होना चाहिए।
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार:
$A_g v_g = A_b v_b + A_a v_a \quad \dots(i)$
अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल का अनुपात $A_b : A_a : A_g = 1 : 2 : 3$ दिया गया है,इसलिए:
$A_b = x, A_a = 2x, A_g = 3x$
चाल का अनुपात $v_b : v_a = 1 : 1.5 = 1 : \frac{3}{2}$ दिया गया है,इसलिए:
$v_b = y, v_a = 1.5y = \frac{3}{2}y$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3x \cdot v_g = x \cdot y + 2x \cdot \left(\frac{3}{2}y\right)$
$3x \cdot v_g = xy + 3xy = 4xy$
$v_g = \frac{4}{3}y$
अब,गंगा की चाल और अलकनंदा की चाल का अनुपात है:
$\frac{v_g}{v_a} = \frac{\frac{4}{3}y}{\frac{3}{2}y} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$

(B) असंपीड्य द्रव के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,नली के किसी भी बिंदु पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और द्रव का वेग का गुणनफल स्थिर रहता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
चाल का अनुपात $\frac{v_1}{v_2}$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{A_2}{A_1}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) असंपीड्य तरल के स्थिर प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण के अनुसार,पाइप में आयतन प्रवाह दर (डिस्चार्ज) स्थिर रहती है।
$A_P V_P = A_Q V_Q$
जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $V$ पानी का वेग है।
चूंकि $A = \frac{\pi d^2}{4}$,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{\pi d_P^2}{4} V_P = \frac{\pi d_Q^2}{4} V_Q$
$d_P^2 V_P = d_Q^2 V_Q$
$V_P = \left( \frac{d_Q}{d_P} \right)^2 V_Q$
दिया गया है $d_P = 2 \times 10^{-2} \, m$ और $d_Q = 4 \times 10^{-2} \, m$:
$V_P = \left( \frac{4 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-2}} \right)^2 V_Q$
$V_P = (2)^2 V_Q$
$V_P = 4 V_Q$
अतः,पाइप $P$ में पानी का वेग पाइप $Q$ के वेग का चार गुना है।

(A) कथन सत्य है क्योंकि जब पानी लंबवत ऊपर की ओर बहता है,तो गुरुत्वाकर्षण गति के विपरीत कार्य करता है,जिससे वेग कम हो जाता है। सांतत्य समीकरण $(A_1v_1 = A_2v_2)$ के अनुसार,जैसे-जैसे वेग $(v)$ घटता है,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ बढ़ना चाहिए,जिससे धारा फैल जाती है। इसके विपरीत,जब नीचे की ओर बहता है,तो गुरुत्वाकर्षण वेग को बढ़ाता है,जिससे धारा संकरी हो जाती है।
कारण भी सत्य है; सांतत्य समीकरण एक असंपीड्य तरल के लिए द्रव्यमान संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है,जो बताता है कि आयतन प्रवाह दर $(Q = Av)$ स्थिर रहती है।
चूंकि धारा के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल में परिवर्तन सीधे गुरुत्वाकर्षण के कारण वेग में परिवर्तन के कारण होता है,और क्षेत्रफल तथा वेग के बीच का संबंध स्थिर आयतन प्रवाह दर द्वारा नियंत्रित होता है,इसलिए कारण,कथन की सही व्याख्या करता है।

(C) असंपीड्य द्रव के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,ट्यूब के सभी बिंदुओं पर अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और द्रव के वेग का गुणनफल स्थिर रहता है।
$A_1 V_1 = A_2 V_2$
दिया गया है:
$A_1 = 2.0\,cm^2 = 2.0 \times 10^2\,mm^2 = 200\,mm^2$
$V_1 = 4\,cm/s$
$A_2 = 10\,mm^2$
समीकरण में मान रखने पर:
$200\,mm^2 \times 4\,cm/s = 10\,mm^2 \times V_2$
$800 = 10 \times V_2$
$V_2 = 80\,cm/s$
अतः,बाहर निकलने वाले द्रव की गति $80\,cm/s$ है।

(D) असंपीड्य द्रव के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,नली के सभी बिंदुओं पर अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल और प्रवाह के वेग का गुणनफल स्थिर रहता है।
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
यहाँ,$A_1 = \pi r_1^2$ और $A_2 = \pi r_2^2$ है।
दिया गया है: $r_1 = 2 \ cm$,$r_2 = 1 \ cm$,और $v_1 = 2 \ m/s$।
मान रखने पर:
$\pi (2)^2 \times 2 = \pi (1)^2 \times v_2$
$4 \times 2 = 1 \times v_2$
$v_2 = 8 \ m/s$।

(D) असंपीड्य तरल के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और तरल का वेग का गुणनफल प्रवाह के सभी बिंदुओं पर स्थिर रहता है: $A_1 V_1 = A_2 V_2$।
यहाँ,पाइप के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
बिंदु $A$ पर,त्रिज्या $R$ है,इसलिए क्षेत्रफल $A_A = \pi R^2$ और वेग $V_A = V$ है।
बिंदु $B$ पर,त्रिज्या $\frac{R}{3}$ है,इसलिए क्षेत्रफल $A_B = \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{9}$ है।
सांतत्य समीकरण का उपयोग करने पर: $(\pi R^2) \times V = \left(\frac{\pi R^2}{9}\right) \times V_B$।
दोनों पक्षों से $\pi R^2$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $V = \frac{V_B}{9}$।
अतः,बिंदु $B$ पर वेग $V_B = 9V$ होगा।

(C) प्रवाह की दर (आयतन प्रवाह दर) $Q = A \times v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v$ पानी का वेग है।
दिया गया है,$Q = \pi \times 10^{-1} \,m^3/s$.
पाइप की त्रिज्या $r = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (0.1)^2 = \pi \times 0.01 \,m^2$.
सांतत्य समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = Q / A$.
$v = (\pi \times 10^{-1}) / (\pi \times 0.01) = 0.1 / 0.01 = 10 \,m/s$.
अतः,पानी का वेग $10 \,m/s$ है।

(B) सांतत्य समीकरण (Equation of continuity) के अनुसार,पूरी प्रणाली में पानी के प्रवाह की दर स्थिर रहती है।
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
यहाँ,$A_1 = \pi R^2$ पाइप का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $v_1 = v$ पाइप में पानी की गति है।
स्प्रिंकलर में $n$ छिद्र हैं,जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है। छिद्रों का कुल अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A_2 = n \pi r^2$ है।
मान लीजिए कि $v'$ स्प्रिंकलर से बाहर निकलने वाले पानी की गति है।
इन मानों को सांतत्य समीकरण में रखने पर:
$\pi R^2 v = (n \pi r^2) v'$
$v'$ के लिए हल करने पर:
$v' = \frac{\pi R^2 v}{n \pi r^2} = \frac{R^2 v}{n r^2}$

(A) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, टंकी की सतह पर आयतन प्रवाह दर और नल पर आयतन प्रवाह दर समान होनी चाहिए: $A_1 v_1 = A_2 v_2$।
यहाँ, $A_1 = 750 \,cm^2 = 750 \times 10^{-4} \,m^2$ और $A_2 = 500 \,mm^2 = 500 \times 10^{-6} \,m^2$ है।
नल पर पानी की चाल $v_2 = 30 \,cm/s = 0.3 \,m/s$ है।
पानी की सतह के नीचे गिरने की चाल $v_1 = \frac{dh}{dt}$ है।
मान रखने पर: $(750 \times 10^{-4}) \cdot \frac{dh}{dt} = (500 \times 10^{-6}) \times (0.3)$।
$\frac{dh}{dt} = \frac{500 \times 10^{-6} \times 0.3}{750 \times 10^{-4}} = \frac{150 \times 10^{-6}}{750 \times 10^{-4}} = 0.2 \times 10^{-2} \,m/s = 2 \times 10^{-3} \,m/s$।
दिया गया है कि $\frac{dh}{dt} = x \times 10^{-3} \,m/s$, अतः $x = 2$ प्राप्त होता है।

(B) असंपीड्य द्रव के लिए निरंतरता के समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,पाइप के किसी भी बिंदु पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और द्रव के वेग का गुणनफल स्थिर रहता है।
$A_1 V_1 = A_2 V_2$
यहाँ,$A_1$ पाइप का क्षेत्रफल है,$V$ पाइप में वेग है,$A_n$ नोजल का क्षेत्रफल है और $V_1$ नोजल पर वेग है।
$A_1 = \frac{\pi d^2}{4}$ और $A_n = \frac{\pi d_n^2}{4}$,जहाँ $d_n$ नोजल का व्यास है।
इन मानों को निरंतरता के समीकरण में रखने पर:
$\frac{\pi d^2}{4} \times V = \frac{\pi d_n^2}{4} \times V_1$
$d^2 V = d_n^2 V_1$
$d_n^2 = d^2 \frac{V}{V_1}$
$d_n = d \sqrt{\frac{V}{V_1}}$

(A) धारा रेखीय प्रवाह में,किसी विशिष्ट बिंदु पर द्रव का वेग समय के साथ हमेशा स्थिर रहता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि द्रव का प्रत्येक कण एक सुव्यवस्थित पथ का अनुसरण करता है,और कणों के बीच कोई मिश्रण या पथों का एक-दूसरे को काटना नहीं होता है। इसलिए,यह कथन कि किसी दिए गए बिंदु पर वेग 'कभी भी स्थिर नहीं होता है' गलत है।

(A) परिभाषा के अनुसार,एक सुव्यवस्थित प्रवाह में,तरल के किसी भी चुने हुए बिंदु पर प्रवाह का वेग हमेशा समान रहता है,अर्थात,यह समय के साथ नहीं बदलता है। हालांकि तरल के पथ में एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर वेग भिन्न हो सकता है,लेकिन किसी भी निश्चित बिंदु पर,वेग सदिश समय के साथ नहीं बदलता है।

(C) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,असंपीड्य द्रव के लिए पाइप के किसी भी बिंदु पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और प्रवाह का वेग का गुणनफल स्थिर रहता है: $A_1 V_1 = A_2 V_2$।
यहाँ,$A_1$ पाइप का क्षेत्रफल है,$V$ पाइप में वेग है,$A_2$ नोजल का क्षेत्रफल है और $V_1$ नोजल पर वेग है।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi (d/2)^2$ होता है,इसलिए $A \propto d^2$ होगा।
इसे सांतत्य समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $d^2 V = d_2^2 V_1$।
नोजल के व्यास $d_2$ के लिए हल करने पर: $d_2^2 = d^2 \frac{V}{V_1}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $d_2 = d \sqrt{\frac{V}{V_1}}$।

(C) दिया गया है: प्रवाह दर $Q = 0.314 \,m^3/s$ और त्रिज्या $r = 10 \,cm = 0.1 \,m$ है।
सांतत्य समीकरण (Equation of continuity) का उपयोग करते हुए, $Q = A \times v$, जहाँ $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
मान रखने पर: $0.314 = \pi \times (0.1)^2 \times v$.
$\pi \approx 3.14$ लेने पर, हमें प्राप्त होता है $0.314 = 3.14 \times 0.01 \times v$.
$0.314 = 0.0314 \times v$.
$v = \frac{0.314}{0.0314} = 10 \,m/s$.

(D) एक आदर्श तरल के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,पाइप के किसी भी बिंदु पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और तरल के वेग का गुणनफल स्थिर रहता है।
इसलिए,$A_A v_A = A_B v_B$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v$ वेग है।
वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ व्यास है।
अतः,$\frac{v_A}{v_B} = \frac{A_B}{A_A} = \frac{\frac{\pi (d_B)^2}{4}}{\frac{\pi (d_A)^2}{4}} = \left( \frac{d_B}{d_A} \right)^2$.
यहाँ $d_A = 5 \ cm$ और $d_B = 10 \ cm$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{v_A}{v_B} = \left( \frac{10}{5} \right)^2 = (2)^2 = \frac{4}{1}$.
अतः,$A$ और $B$ पर तरल के वेग का अनुपात $4:1$ है।

(D) धारा रेखीय प्रवाह में एक असंपीड्य द्रव के लिए सांतत्य समीकरण के अनुसार, नली के सभी अनुप्रस्थ काटों पर आयतन प्रवाह दर $(Q = Av)$ स्थिर रहती है।
इसलिए, द्रव के प्रवाह की दर $M$ और $N$ दोनों बिंदुओं पर समान होती है।

(B) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, पूरी प्रणाली में आयतन प्रवाह दर स्थिर रहती है।
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$
यहाँ, $A_{1} = 8 \,cm^{2} = 8 \times 10^{-4} \,m^{2}$ है।
नली के अंदर गति $v_{1} = 0.15 \,m \,min^{-1} = \frac{0.15}{60} \,m \,s^{-1} = 0.0025 \,m \,s^{-1}$ है।
$40$ छिद्रों का कुल क्षेत्रफल $A_{2} = 40 \times 10^{-8} \,m^{2}$ है।
इन मानों को सांतत्य समीकरण में रखने पर:
$(8 \times 10^{-4}) \times (0.0025) = (40 \times 10^{-8}) \times v_{2}$
$v_{2} = \frac{8 \times 10^{-4} \times 0.0025}{40 \times 10^{-8}}$
$v_{2} = \frac{2 \times 10^{-6}}{40 \times 10^{-8}} = \frac{200}{40} = 5 \,m \,s^{-1}$।
अतः, जिस गति से द्रव बाहर निकलता है वह $5 \,m \,s^{-1}$ है।

(B) दिया गया है: नली की त्रिज्या $r_1 = 2 \,cm = 0.02 \,m$।
प्रत्येक छिद्र की त्रिज्या $r_2 = 0.4 \,mm = 0.0004 \,m$।
छिद्रों की संख्या $n = 50$।
नली के अंदर द्रव की गति $v_1 = 0.04 \,ms^{-1}$।
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, नली के अंदर आयतन प्रवाह दर सभी छिद्रों से होने वाली कुल आयतन प्रवाह दर के बराबर होनी चाहिए:
$A_1 v_1 = n A_2 v_2$
क्षेत्रफल का मान रखने पर $\pi r_1^2 v_1 = n \pi r_2^2 v_2$
$r_1^2 v_1 = n r_2^2 v_2$
$(0.02)^2 \times 0.04 = 50 \times (0.0004)^2 \times v_2$
$4 \times 10^{-4} \times 0.04 = 50 \times 16 \times 10^{-8} \times v_2$
$1.6 \times 10^{-5} = 800 \times 10^{-8} \times v_2$
$1.6 \times 10^{-5} = 8 \times 10^{-6} \times v_2$
$v_2 = \frac{1.6 \times 10^{-5}}{8 \times 10^{-6}} = 0.2 \times 10 = 2 \,ms^{-1}$।

(A) दिया गया है: पहले पाइप का व्यास,$d_1 = 2 \,cm$। त्रिज्या $r_1 = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$।
दूसरे पाइप का व्यास,$d_2 = 4 \,cm$। त्रिज्या $r_2 = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$।
असंपीड्य तरल के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,आयतन प्रवाह दर स्थिर रहती है: $A_1 v_1 = A_2 v_2$।
यहाँ,$A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
मान रखने पर: $\pi (r_1)^2 v_1 = \pi (r_2)^2 v_2$।
$(10^{-2})^2 v_1 = (2 \times 10^{-2})^2 v_2$।
$10^{-4} v_1 = 4 \times 10^{-4} v_2$।
$v_1 = 4 v_2$।
अतः,$2 \,cm$ व्यास वाले पाइप में प्रवाह का वेग $4 \,cm$ व्यास वाले पाइप के वेग का $4$ गुना है।

(B) दिया गया है: होज़ पाइप का आंतरिक व्यास, $d_1 = 4 \,cm$। त्रिज्या $r_1 = \frac{d_1}{2} = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$।
होज़ पाइप से पानी की गति, $v_1 = 1 \,ms^{-1}$।
नोजल से पानी की गति, $v_2 = 4 \,ms^{-1}$।
मान लीजिए नोजल का व्यास $d_2$ है और इसकी त्रिज्या $r_2$ है।
असंपीड्य तरल के लिए निरंतरता के समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, $A_1 v_1 = A_2 v_2$।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है $\pi r_1^2 v_1 = \pi r_2^2 v_2$।
$r_2^2 = \frac{r_1^2 v_1}{v_2} = \frac{(2 \times 10^{-2} \,m)^2 \times 1 \,ms^{-1}}{4 \,ms^{-1}}$।
$r_2^2 = \frac{4 \times 10^{-4}}{4} \,m^2 = 10^{-4} \,m^2$।
वर्गमूल लेने पर, $r_2 = 10^{-2} \,m = 1 \,cm$।
नोजल का व्यास $d_2 = 2 r_2 = 2 \times 1 \,cm = 2 \,cm$ है।

(A) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,पानी के आयतन प्रवाह की दर स्थिर रहती है।
पहले पाइप के लिए,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_1 = \pi (D/2)^2$ है और गति $v$ है।
दूसरे पाइप के लिए,पानी $n$ छिद्रों से बाहर निकलता है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $a = \pi (d/2)^2$ है। मान लीजिए कि इन छिद्रों से बाहर निकलने वाले पानी की गति $v'$ है।
प्रवाह दरों को बराबर करने पर: $A_1 v = n \times a \times v'$.
मान रखने पर: $\pi (D/2)^2 v = n \times \pi (d/2)^2 v'$.
समीकरण को सरल करने पर: $(D^2/4) v = n (d^2/4) v'$.
$v'$ के लिए हल करने पर: $v' = \frac{D^2 v}{n d^2}$.

(D) दिया गया है, पानी के प्रवाह की दर $Q = 12 \pi \text{ लीटर/मिनट}$ है।
इसे $SI$ इकाइयों $(m^3/s)$ में परिवर्तित करने पर:
$Q = \frac{12 \pi \times 10^{-3} \text{ m}^3}{60 \text{ s}} = 0.2 \pi \times 10^{-3} \text{ m}^3/s = 2 \pi \times 10^{-4} \text{ m}^3/s$.
पाइप का व्यास $d = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ है, इसलिए त्रिज्या $r = 0.01 \text{ m} = 10^{-2} \text{ m}$ होगी।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (10^{-2})^2 = \pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$ है।
सांतत्य समीकरण (Equation of continuity) का उपयोग करने पर, $Q = A \times v$, जहां $v$ पानी का वेग है:
$2 \pi \times 10^{-4} = (\pi \times 10^{-4}) \times v$.
$v$ के लिए हल करने पर:
$v = \frac{2 \pi \times 10^{-4}}{\pi \times 10^{-4}} = 2 \text{ m/s}$.

(B) असंपीड्य तरल के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और तरल के वेग का गुणनफल प्रवाह के सभी बिंदुओं पर स्थिर रहता है:
$A_A v_A = A_B v_B$
यह दिया गया है कि पाइप बेलनाकार है,इसलिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
बिंदु $A$ पर,त्रिज्या $2R$ है,इसलिए $A_A = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2$।
बिंदु $B$ पर,त्रिज्या $R$ है,इसलिए $A_B = \pi R^2$।
बिंदु $B$ पर वेग $v_B = 4v$ दिया गया है।
इन मानों को सांतत्य समीकरण में रखने पर:
$4\pi R^2 \times v_A = \pi R^2 \times 4v$
दोनों पक्षों को $4\pi R^2$ से विभाजित करने पर:
$v_A = v$

(A) सांतत्य समीकरण (Equation of Continuity) के अनुसार,पहले पाइप में प्रवेश करने वाले पानी की आयतन प्रवाह दर दूसरे पाइप में $n$ छिद्रों के माध्यम से बाहर निकलने वाले पानी की कुल आयतन प्रवाह दर के बराबर होनी चाहिए।
माना $A_1$ पहले पाइप का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v$ उसमें पानी की गति है।
$A_1 = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2$
माना $A_2$ प्रत्येक छिद्र का क्षेत्रफल है और $v'$ प्रत्येक छिद्र से बाहर निकलने वाले पानी की गति है।
$A_2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$
बाहर निकलने वाली कुल प्रवाह दर $n \times A_2 \times v'$ है।
प्रवाह दरों की तुलना करने पर: $A_1 v = n A_2 v'$
$\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 v = n \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 v'$
$\frac{D^2}{4} v = n \frac{d^2}{4} v'$
$v' = \frac{D^2 v}{n d^2}$

(C) प्रत्येक गोलाकार छिद्र की त्रिज्या $r_1 = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ है।
प्रत्येक छिद्र का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r_1^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \,m^2$ है।
पाइप की त्रिज्या $r_2 = 2 \,cm = 0.02 \,m$ है।
पाइप का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_2 = \pi r_2^2 = \pi \times (0.02)^2 = 4\pi \times 10^{-4} \,m^2$ है।
पाइप में पानी की गति $v_2 = 25 \,cm/s = 0.25 \,m/s$ है।
मान लीजिए कि $n = 25$ छिद्रों से बाहर निकलते समय पानी की गति $v_1$ है।
सांतत्य समीकरण (Equation of continuity) के अनुसार, कुल प्रवाह दर स्थिर रहती है:
$n A_1 v_1 = A_2 v_2$
$25 \times (\pi \times 10^{-6}) \times v_1 = (4\pi \times 10^{-4}) \times 0.25$
$v_1 = \frac{4\pi \times 10^{-4} \times 0.25}{25 \times \pi \times 10^{-6}}$
$v_1 = \frac{10^{-4}}{25 \times 10^{-6}} = \frac{100}{25} = 4 \,m/s$.

(C) पाइप के माध्यम से द्रव को प्रवाहित करने के लिए आवश्यक शक्ति प्रति इकाई समय में किए गए कार्य द्वारा दी जाती है। एक क्षैतिज पाइप के लिए,कार्य मुख्य रूप से द्रव की गतिज ऊर्जा को दूर करने के लिए होता है। प्रति इकाई समय गतिज ऊर्जा (शक्ति) $P = \frac{1}{2} \dot{m} v^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\dot{m}$ द्रव्यमान प्रवाह दर है और $v$ द्रव का वेग है।
चूंकि द्रव्यमान प्रवाह दर $\dot{m} = \rho A v$ है (जहाँ $\rho$ घनत्व है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है),हमारे पास $\dot{m} \propto v$ है। इस प्रकार,$P \propto \dot{m} v^2 \propto \dot{m} (\frac{\dot{m}}{\rho A})^2 \propto \dot{m}^3$ होता है।
यदि प्रवाह दर $\dot{m}$ को $n$ के गुणक से बढ़ाया जाता है,तो नई शक्ति $P_1$ का मान $P_1 \propto (n \dot{m})^3 = n^3 \dot{m}^3$ होगा।
इसलिए,अनुपात $\frac{P_1}{P_0} = \frac{n^3 \dot{m}^3}{\dot{m}^3} = n^3$ प्राप्त होता है।
अतः,$P_1: P_0 = n^3: 1$ होगा।

(B) असंपीड्य तरल के लिए निरंतरता समीकरण (continuity equation) के अनुसार,आयतन प्रवाह दर स्थिर रहती है: $A_1 v_1 = N A_2 v_2$.
यहाँ,$A_1 = 30 \text{ cm}^2 = 3000 \text{ mm}^2$,$v_1 = 50 \text{ cm/s}$,$N = 10$,और $A_2 = 15 \text{ mm}^2$ है।
मान रखने पर: $3000 \text{ mm}^2 \times 50 \text{ cm/s} = 10 \times 15 \text{ mm}^2 \times v_2$.
$150000 \text{ mm}^2 \cdot \text{cm/s} = 150 \text{ mm}^2 \times v_2$.
$v_2 = \frac{150000}{150} \text{ cm/s} = 1000 \text{ cm/s}$.
$SI$ इकाइयों में बदलने पर: $v_2 = 1000 \text{ cm/s} = 10 \text{ m/s}$.