Types of Flow, Equation of Continuity and Flow Rate Questions in Gujarati

(N/A) સ્થાયી પ્રવાહ એટલે એવો પ્રવાહીનો પ્રવાહ જેમાં કોઈ પણ બિંદુએ પ્રવાહીના કણોનો વેગ સમયની સાપેક્ષમાં અચળ રહે છે.
સ્થાયી પ્રવાહનું એક ઉદાહરણ અચળ આડછેદ ધરાવતી પાઇપમાંથી અચળ દરથી વહેતું પાણી છે.
આ કિસ્સામાં,પાઇપની અંદરના કોઈપણ ચોક્કસ બિંદુએ,તેમાંથી પસાર થતા પાણીના કણોનો વેગ સમય સાથે બદલાતો નથી.

(B) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને પ્રવાહીનો વેગ $v$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે,એટલે કે $A_1v_1 = A_2v_2$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $v \propto \frac{1}{A}$.
તેથી,જ્યારે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટે છે (સાંકડી નળીમાં),ત્યારે પ્રવાહનો દર જાળવી રાખવા માટે પ્રવાહીનો વેગ $v$ વધવો જોઈએ.

(A) સાતત્યનું સમીકરણ દળ સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પરથી તારવવામાં આવે છે.
જ્યારે અદબનીય (incompressible) તરલ બદલાતા આડછેદવાળી પાઇપમાંથી વહેતું હોય,ત્યારે સમાન સમયગાળામાં પાઇપમાં પ્રવેશતા તરલનું દળ અને પાઇપમાંથી બહાર નીકળતા તરલનું દળ સમાન હોવું જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આને $A_1 v_1 = A_2 v_2$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ તરલનો વેગ છે.

(C) પાણી ક્યાંય સંગ્રહિત થતું ન હોવાથી,ગંગાનો કદ પ્રવાહ દર એ ભાગીરથી અને અલકનંદાના કદ પ્રવાહ દરના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ:
$A_g v_g = A_b v_b + A_a v_a \quad \dots(i)$
આડછેદના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $A_b : A_a : A_g = 1 : 2 : 3$ આપેલ છે,તેથી:
$A_b = x, A_a = 2x, A_g = 3x$
ઝડપનો ગુણોત્તર $v_b : v_a = 1 : 1.5 = 1 : \frac{3}{2}$ આપેલ છે,તેથી:
$v_b = y, v_a = 1.5y = \frac{3}{2}y$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3x \cdot v_g = x \cdot y + 2x \cdot \left(\frac{3}{2}y\right)$
$3x \cdot v_g = xy + 3xy = 4xy$
$v_g = \frac{4}{3}y$
હવે,ગંગાની ઝડપ અને અલકનંદાની ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_g}{v_a} = \frac{\frac{4}{3}y}{\frac{3}{2}y} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$

(B) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,નળીના કોઈપણ ભાગમાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2}$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{A_2}{A_1}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) અદબનીય પ્રવાહીના સ્થાયી પ્રવાહ માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,પાઈપમાં કદનો પ્રવાહ દર (ડિસ્ચાર્જ) અચળ રહે છે.
$A_P V_P = A_Q V_Q$
જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $V$ એ પાણીનો વેગ છે.
કારણ કે $A = \frac{\pi d^2}{4}$,તેથી:
$\frac{\pi d_P^2}{4} V_P = \frac{\pi d_Q^2}{4} V_Q$
$d_P^2 V_P = d_Q^2 V_Q$
$V_P = \left( \frac{d_Q}{d_P} \right)^2 V_Q$
અહીં $d_P = 2 \times 10^{-2} \, m$ અને $d_Q = 4 \times 10^{-2} \, m$ આપેલ છે:
$V_P = \left( \frac{4 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-2}} \right)^2 V_Q$
$V_P = (2)^2 V_Q$
$V_P = 4 V_Q$
આમ,પાઈપ $P$ માં પાણીનો વેગ પાઈપ $Q$ કરતા ચાર ગણો છે.

(A) વિધાન સાચું છે કારણ કે જ્યારે પાણી ઊભી રીતે ઉપરની તરફ વહે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ ગતિની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે,જેના કારણે વેગ ઘટે છે. સાતત્યના સમીકરણ $(A_1v_1 = A_2v_2)$ મુજબ,જેમ વેગ $(v)$ ઘટે છે,તેમ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ વધવું જોઈએ,જેના કારણે પ્રવાહ ફેલાય છે. તેનાથી વિપરીત,જ્યારે નીચેની તરફ વહે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ વેગમાં વધારો કરે છે,જેના કારણે પ્રવાહ સાંકડો થાય છે.
કારણ પણ સાચું છે; સાતત્યનું સમીકરણ અદબનીય પ્રવાહી માટે દળ સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે કદ પ્રવાહ દર $(Q = Av)$ અચળ રહે છે.
પ્રવાહના આડછેદના ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર સીધો ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે વેગમાં થતા ફેરફારને આભારી છે,અને ક્ષેત્રફળ તથા વેગ વચ્ચેનો સંબંધ અચળ કદ પ્રવાહ દર દ્વારા સંચાલિત થાય છે,તેથી કારણ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(C) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,ટ્યુબના તમામ બિંદુઓ પર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$A_1 V_1 = A_2 V_2$
આપેલ છે:
$A_1 = 2.0\,cm^2 = 2.0 \times 10^2\,mm^2 = 200\,mm^2$
$V_1 = 4\,cm/s$
$A_2 = 10\,mm^2$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$200\,mm^2 \times 4\,cm/s = 10\,mm^2 \times V_2$
$800 = 10 \times V_2$
$V_2 = 80\,cm/s$
તેથી,બહાર નીકળતા પ્રવાહીની ઝડપ $80\,cm/s$ છે.

(D) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,ટ્યુબના તમામ બિંદુઓ પર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
અહીં,$A_1 = \pi r_1^2$ અને $A_2 = \pi r_2^2$ છે.
આપેલ છે: $r_1 = 2 \ cm$,$r_2 = 1 \ cm$,અને $v_1 = 2 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\pi (2)^2 \times 2 = \pi (1)^2 \times v_2$
$4 \times 2 = 1 \times v_2$
$v_2 = 8 \ m/s$.

(D) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગનો ગુણાકાર પ્રવાહના તમામ બિંદુઓ પર અચળ રહે છે: $A_1 V_1 = A_2 V_2$.
અહીં,પાઇપના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
બિંદુ $A$ પર,ત્રિજ્યા $R$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A_A = \pi R^2$ અને વેગ $V_A = V$ છે.
બિંદુ $B$ પર,ત્રિજ્યા $\frac{R}{3}$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A_B = \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{9}$ છે.
સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $(\pi R^2) \times V = \left(\frac{\pi R^2}{9}\right) \times V_B$.
બંને બાજુથી $\pi R^2$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે: $V = \frac{V_B}{9}$.
તેથી,બિંદુ $B$ પર વેગ $V_B = 9V$ થશે.

(C) પ્રવાહનો દર (કદ પ્રવાહ દર) $Q = A \times v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ પાણીનો વેગ છે.
આપેલ છે,$Q = \pi \times 10^{-1} \,m^3/s$.
પાઇપની ત્રિજ્યા $r = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.1)^2 = \pi \times 0.01 \,m^2$.
સાતત્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = Q / A$.
$v = (\pi \times 10^{-1}) / (\pi \times 0.01) = 0.1 / 0.01 = 10 \,m/s$.
તેથી,પાણીનો વેગ $10 \,m/s$ છે.

(B) સાતત્યના સમીકરણ (Equation of continuity) મુજબ,સમગ્ર સિસ્ટમમાં પાણીનો પ્રવાહ દર અચળ રહે છે.
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
અહીં,$A_1 = \pi R^2$ એ પાઇપનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_1 = v$ એ પાઇપમાં પાણીની ઝડપ છે.
સ્પ્રિંકલરમાં $n$ કાણાં છે,જેમાં દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે. કાણાંનું કુલ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = n \pi r^2$ છે.
ધારો કે $v'$ એ સ્પ્રિંકલરમાંથી બહાર નીકળતા પાણીની ઝડપ છે.
આ કિંમતોને સાતત્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\pi R^2 v = (n \pi r^2) v'$
$v'$ માટે ઉકેલતા:
$v' = \frac{\pi R^2 v}{n \pi r^2} = \frac{R^2 v}{n r^2}$

(A) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, ટાંકીની સપાટી પરનો કદ પ્રવાહ દર અને નળ પાસેનો કદ પ્રવાહ દર સમાન હોવો જોઈએ: $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
અહીં, $A_1 = 750 \,cm^2 = 750 \times 10^{-4} \,m^2$ અને $A_2 = 500 \,mm^2 = 500 \times 10^{-6} \,m^2$.
નળ પાસે પાણીની ઝડપ $v_2 = 30 \,cm/s = 0.3 \,m/s$ છે.
પાણીની સપાટી નીચે ઉતરવાની ઝડપ $v_1 = \frac{dh}{dt}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(750 \times 10^{-4}) \cdot \frac{dh}{dt} = (500 \times 10^{-6}) \times (0.3)$.
$\frac{dh}{dt} = \frac{500 \times 10^{-6} \times 0.3}{750 \times 10^{-4}} = \frac{150 \times 10^{-6}}{750 \times 10^{-4}} = 0.2 \times 10^{-2} \,m/s = 2 \times 10^{-3} \,m/s$.
આપેલ છે કે $\frac{dh}{dt} = x \times 10^{-3} \,m/s$, તેથી $x = 2$ મળે છે.

(B) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,પાઇપના કોઈપણ બિંદુએ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$A_1 V_1 = A_2 V_2$
અહીં,$A_1$ એ પાઇપનું ક્ષેત્રફળ છે,$V$ એ પાઇપમાં વેગ છે,$A_n$ એ નોઝલનું ક્ષેત્રફળ છે અને $V_1$ એ નોઝલ પરનો વેગ છે.
$A_1 = \frac{\pi d^2}{4}$ અને $A_n = \frac{\pi d_n^2}{4}$,જ્યાં $d_n$ એ નોઝલનો વ્યાસ છે.
આ કિંમતોને સાતત્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\pi d^2}{4} \times V = \frac{\pi d_n^2}{4} \times V_1$
$d^2 V = d_n^2 V_1$
$d_n^2 = d^2 \frac{V}{V_1}$
$d_n = d \sqrt{\frac{V}{V_1}}$

(A) સુરેખ પ્રવાહમાં,કોઈ ચોક્કસ બિંદુએ પ્રવાહીનો વેગ સમય સાથે હંમેશા અચળ રહે છે. આનું કારણ એ છે કે પ્રવાહીનો દરેક કણ એક સુનિશ્ચિત માર્ગને અનુસરે છે,અને કણો વચ્ચે કોઈ મિશ્રણ કે માર્ગોનું એકબીજાને ઓળંગવું થતું નથી. તેથી,એવું વિધાન કે કોઈ આપેલ બિંદુએ વેગ 'ક્યારેય અચળ હોતો નથી' તે ખોટું છે.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,સ્ટ્રીમલાઇન પ્રવાહમાં,પ્રવાહીના કોઈપણ પસંદ કરેલા બિંદુએ પ્રવાહનો વેગ હંમેશા સમાન રહે છે,એટલે કે,તે સમય સાથે બદલાતો નથી. જોકે પ્રવાહીના માર્ગમાં એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ વેગ બદલાઈ શકે છે,પરંતુ કોઈપણ નિશ્ચિત બિંદુએ,વેગ સદિશ સમય સાથે બદલાતો નથી.

(C) સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ,અદબનીય પ્રવાહી માટે પાઇપના કોઈપણ બિંદુએ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $A_1 V_1 = A_2 V_2$.
અહીં,$A_1$ એ પાઇપનું ક્ષેત્રફળ છે,$V$ એ પાઇપમાં વેગ છે,$A_2$ એ નોઝલનું ક્ષેત્રફળ છે અને $V_1$ એ નોઝલ પાસેનો વેગ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,$A \propto d^2$ થાય.
આ કિંમત સાતત્યના સમીકરણમાં મૂકતા: $d^2 V = d_2^2 V_1$.
નોઝલના વ્યાસ $d_2$ માટે ઉકેલતા: $d_2^2 = d^2 \frac{V}{V_1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $d_2 = d \sqrt{\frac{V}{V_1}}$.

(C) આપેલ છે: પ્રવાહનો દર $Q = 0.314 \,m^3/s$ અને ત્રિજ્યા $r = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
સાતત્ય સમીકરણ (Equation of continuity) મુજબ, $Q = A \times v$, જ્યાં $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.314 = \pi \times (0.1)^2 \times v$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા, આપણને મળે છે $0.314 = 3.14 \times 0.01 \times v$.
$0.314 = 0.0314 \times v$.
$v = \frac{0.314}{0.0314} = 10 \,m/s$.

(D) આદર્શ પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,પાઇપના કોઈપણ બિંદુએ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
તેથી,$A_A v_A = A_B v_B$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
વર્તુળાકાર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે.
આમ,$\frac{v_A}{v_B} = \frac{A_B}{A_A} = \frac{\frac{\pi (d_B)^2}{4}}{\frac{\pi (d_A)^2}{4}} = \left( \frac{d_B}{d_A} \right)^2$.
અહીં $d_A = 5 \ cm$ અને $d_B = 10 \ cm$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{v_A}{v_B} = \left( \frac{10}{5} \right)^2 = (2)^2 = \frac{4}{1}$.
આમ,$A$ અને $B$ આગળ પ્રવાહીના વેગનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) સુરેખ વહનમાં અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, નળીના દરેક આડછેદ પાસે કદ વહનનો દર $(Q = Av)$ અચળ રહે છે.
તેથી, પ્રવાહીના વહનનો દર $M$ અને $N$ બંને બિંદુઓ પાસે સમાન હોય છે.

(B) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, સમગ્ર સિસ્ટમમાં કદનો પ્રવાહ દર અચળ રહે છે.
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$
અહીં, $A_{1} = 8 \,cm^{2} = 8 \times 10^{-4} \,m^{2}$.
ટ્યુબની અંદરની ઝડપ $v_{1} = 0.15 \,m \,min^{-1} = \frac{0.15}{60} \,m \,s^{-1} = 0.0025 \,m \,s^{-1}$ છે.
$40$ છિદ્રોનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A_{2} = 40 \times 10^{-8} \,m^{2}$ છે.
આ કિંમતોને સાતત્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(8 \times 10^{-4}) \times (0.0025) = (40 \times 10^{-8}) \times v_{2}$
$v_{2} = \frac{8 \times 10^{-4} \times 0.0025}{40 \times 10^{-8}}$
$v_{2} = \frac{2 \times 10^{-6}}{40 \times 10^{-8}} = \frac{200}{40} = 5 \,m \,s^{-1}$.
આમ, પ્રવાહી જે ઝડપે બહાર નીકળે છે તે $5 \,m \,s^{-1}$ છે.

(B) આપેલ છે: નળીની ત્રિજ્યા $r_1 = 2 \,cm = 0.02 \,m$.
દરેક છિદ્રની ત્રિજ્યા $r_2 = 0.4 \,mm = 0.0004 \,m$.
છિદ્રોની સંખ્યા $n = 50$.
નળીની અંદર પ્રવાહીનો વેગ $v_1 = 0.04 \,ms^{-1}$.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, નળીની અંદરનો કદ પ્રવાહ દર એ તમામ છિદ્રોમાંથી બહાર આવતા કુલ કદ પ્રવાહ દર જેટલો હોવો જોઈએ:
$A_1 v_1 = n A_2 v_2$
ક્ષેત્રફળની કિંમત મૂકતા $\pi r_1^2 v_1 = n \pi r_2^2 v_2$
$r_1^2 v_1 = n r_2^2 v_2$
$(0.02)^2 \times 0.04 = 50 \times (0.0004)^2 \times v_2$
$4 \times 10^{-4} \times 0.04 = 50 \times 16 \times 10^{-8} \times v_2$
$1.6 \times 10^{-5} = 800 \times 10^{-8} \times v_2$
$1.6 \times 10^{-5} = 8 \times 10^{-6} \times v_2$
$v_2 = \frac{1.6 \times 10^{-5}}{8 \times 10^{-6}} = 0.2 \times 10 = 2 \,ms^{-1}$.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પાઇપનો વ્યાસ,$d_1 = 2 \,cm$. ત્રિજ્યા $r_1 = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$.
બીજી પાઇપનો વ્યાસ,$d_2 = 4 \,cm$. ત્રિજ્યા $r_2 = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$.
અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,કદ પ્રવાહ દર અચળ રહે છે: $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
અહીં,$A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\pi (r_1)^2 v_1 = \pi (r_2)^2 v_2$.
$(10^{-2})^2 v_1 = (2 \times 10^{-2})^2 v_2$.
$10^{-4} v_1 = 4 \times 10^{-4} v_2$.
$v_1 = 4 v_2$.
તેથી,$2 \,cm$ વ્યાસવાળી પાઇપમાં પ્રવાહનો વેગ એ $4 \,cm$ વ્યાસવાળી પાઇપના વેગ કરતા $4$ ગણો છે.

(B) આપેલ છે: હોઝ પાઈપનો આંતરિક વ્યાસ, $d_1 = 4 \,cm$. ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{d_1}{2} = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$.
હોઝ પાઈપમાંથી પાણીની ઝડપ, $v_1 = 1 \,ms^{-1}$.
નોઝલમાંથી પાણીની ઝડપ, $v_2 = 4 \,ms^{-1}$.
ધારો કે નોઝલનો વ્યાસ $d_2$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ મૂકતા, આપણને મળે છે $\pi r_1^2 v_1 = \pi r_2^2 v_2$.
$r_2^2 = \frac{r_1^2 v_1}{v_2} = \frac{(2 \times 10^{-2} \,m)^2 \times 1 \,ms^{-1}}{4 \,ms^{-1}}$.
$r_2^2 = \frac{4 \times 10^{-4}}{4} \,m^2 = 10^{-4} \,m^2$.
વર્ગમૂળ લેતા, $r_2 = 10^{-2} \,m = 1 \,cm$.
નોઝલનો વ્યાસ $d_2 = 2 r_2 = 2 \times 1 \,cm = 2 \,cm$ છે.

(A) સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ,પાણીનો કદ પ્રવાહ દર અચળ રહે છે.
પ્રથમ પાઇપ માટે,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi (D/2)^2$ છે અને ઝડપ $v$ છે.
બીજી પાઇપ માટે,પાણી $n$ છિદ્રો દ્વારા બહાર નીકળે છે,જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ $a = \pi (d/2)^2$ છે. ધારો કે આ છિદ્રોમાંથી બહાર નીકળતા પાણીની ઝડપ $v'$ છે.
પ્રવાહ દરોને સરખાવતા: $A_1 v = n \times a \times v'$.
કિંમતો મૂકતા: $\pi (D/2)^2 v = n \times \pi (d/2)^2 v'$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $(D^2/4) v = n (d^2/4) v'$.
$v'$ માટે ઉકેલતા: $v' = \frac{D^2 v}{n d^2}$.

(D) આપેલ છે કે, પાણીના વહનનો દર $Q = 12 \pi \text{ લિટર/મિનિટ}$ છે.
આને $SI$ એકમો $(m^3/s)$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$Q = \frac{12 \pi \times 10^{-3} \text{ m}^3}{60 \text{ s}} = 0.2 \pi \times 10^{-3} \text{ m}^3/s = 2 \pi \times 10^{-4} \text{ m}^3/s$.
પાઇપનો વ્યાસ $d = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.01 \text{ m} = 10^{-2} \text{ m}$ થાય.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (10^{-2})^2 = \pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$ મળે.
સાતત્ય સમીકરણ (Equation of continuity) મુજબ, $Q = A \times v$, જ્યાં $v$ એ પાણીનો વેગ છે:
$2 \pi \times 10^{-4} = (\pi \times 10^{-4}) \times v$.
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v = \frac{2 \pi \times 10^{-4}}{\pi \times 10^{-4}} = 2 \text{ m/s}$.

(B) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગનો ગુણાકાર પ્રવાહના તમામ બિંદુઓ પર અચળ રહે છે:
$A_A v_A = A_B v_B$
આપેલ છે કે પાઇપ નળાકાર છે,તેથી આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય.
બિંદુ $A$ પર,ત્રિજ્યા $2R$ છે,તેથી $A_A = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2$.
બિંદુ $B$ પર,ત્રિજ્યા $R$ છે,તેથી $A_B = \pi R^2$.
બિંદુ $B$ પર વેગ $v_B = 4v$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સાતત્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4\pi R^2 \times v_A = \pi R^2 \times 4v$
બંને બાજુ $4\pi R^2$ વડે ભાગતા:
$v_A = v$

(A) સાતત્યના સમીકરણ (Equation of Continuity) મુજબ,પ્રથમ પાઇપમાં પ્રવેશતા પાણીનો કદનો પ્રવાહ દર એ બીજી પાઇપમાં રહેલા $n$ છિદ્રોમાંથી બહાર નીકળતા પાણીના કુલ કદના પ્રવાહ દર જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $A_1$ એ પ્રથમ પાઇપનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ તેમાં પાણીની ઝડપ છે.
$A_1 = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2$
ધારો કે $A_2$ એ દરેક છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v'$ એ દરેક છિદ્રમાંથી બહાર નીકળતા પાણીની ઝડપ છે.
$A_2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$
બહાર નીકળતો કુલ પ્રવાહ દર $n \times A_2 \times v'$ છે.
પ્રવાહ દરોને સરખાવતા: $A_1 v = n A_2 v'$
$\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 v = n \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 v'$
$\frac{D^2}{4} v = n \frac{d^2}{4} v'$
$v' = \frac{D^2 v}{n d^2}$

(C) દરેક ગોળાકાર છિદ્રની ત્રિજ્યા $r_1 = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ છે.
દરેક છિદ્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r_1^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \,m^2$ છે.
પાઇપની ત્રિજ્યા $r_2 = 2 \,cm = 0.02 \,m$ છે.
પાઇપનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r_2^2 = \pi \times (0.02)^2 = 4\pi \times 10^{-4} \,m^2$ છે.
પાઇપમાં પાણીની ઝડપ $v_2 = 25 \,cm/s = 0.25 \,m/s$ છે.
ધારો કે $n = 25$ છિદ્રોમાંથી બહાર નીકળતી વખતે પાણીની ઝડપ $v_1$ છે.
સાતત્ય સમીકરણ (Equation of continuity) મુજબ, કુલ પ્રવાહ દર અચળ રહે છે:
$n A_1 v_1 = A_2 v_2$
$25 \times (\pi \times 10^{-6}) \times v_1 = (4\pi \times 10^{-4}) \times 0.25$
$v_1 = \frac{4\pi \times 10^{-4} \times 0.25}{25 \times \pi \times 10^{-6}}$
$v_1 = \frac{10^{-4}}{25 \times 10^{-6}} = \frac{100}{25} = 4 \,m/s$.

(C) પાઇપ દ્વારા પ્રવાહીને વહન કરવા માટે જરૂરી પાવર એ એકમ સમયમાં થતા કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે. આડી પાઇપ માટે,કાર્ય મુખ્યત્વે પ્રવાહીની ગતિ ઊર્જાને દૂર કરવા માટે થાય છે. એકમ સમય દીઠ ગતિ ઊર્જા (પાવર) $P = \frac{1}{2} \dot{m} v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\dot{m}$ એ દળ પ્રવાહ દર છે અને $v$ એ પ્રવાહીનો વેગ છે.
દળ પ્રવાહ દર $\dot{m} = \rho A v$ હોવાથી (જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે),આપણી પાસે $\dot{m} \propto v$ છે. આમ,$P \propto \dot{m} v^2 \propto \dot{m} (\frac{\dot{m}}{\rho A})^2 \propto \dot{m}^3$ થાય.
જો પ્રવાહનો દર $\dot{m}$ ને $n$ ના અવયવ દ્વારા વધારવામાં આવે,તો નવો પાવર $P_1$ એ $P_1 \propto (n \dot{m})^3 = n^3 \dot{m}^3$ થશે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_0} = \frac{n^3 \dot{m}^3}{\dot{m}^3} = n^3$ મળે.
આમ,$P_1: P_0 = n^3: 1$ થાય.

(B) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,કદનો પ્રવાહ દર અચળ રહે છે: $A_1 v_1 = N A_2 v_2$.
અહીં,$A_1 = 30 \text{ cm}^2 = 3000 \text{ mm}^2$,$v_1 = 50 \text{ cm/s}$,$N = 10$,અને $A_2 = 15 \text{ mm}^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3000 \text{ mm}^2 \times 50 \text{ cm/s} = 10 \times 15 \text{ mm}^2 \times v_2$.
$150000 \text{ mm}^2 \cdot \text{cm/s} = 150 \text{ mm}^2 \times v_2$.
$v_2 = \frac{150000}{150} \text{ cm/s} = 1000 \text{ cm/s}$.
$SI$ એકમોમાં રૂપાંતર કરતા: $v_2 = 1000 \text{ cm/s} = 10 \text{ m/s}$.