$R$ त्रिज्या का एक पतला वृत्ताकार लूप अपने ऊर्ध्वाधर व्यास के परितः $\omega$ कोणीय आवृत्ति के साथ घूमता है। दर्शाइए कि तार के लूप पर एक छोटा मनका $\omega \leq \sqrt{g / R}$ के लिए अपने सबसे निचले बिंदु पर रहता है। $\omega = \sqrt{2g / R}$ के लिए केंद्र को मनके से जोड़ने वाले त्रिज्या सदिश द्वारा ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा के साथ बनाया गया कोण क्या है? घर्षण की उपेक्षा करें।

(D) मान लीजिए कि मनके $P$ को केंद्र $O$ से जोड़ने वाला त्रिज्या सदिश ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
मान लीजिए मनके का द्रव्यमान $m$ है।
मनके पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. तार से अभिलंब प्रतिक्रिया $N$,जो $P$ पर स्पर्शरेखा के लंबवत कार्य करती है।
बलों का वियोजन करने पर:
अभिलंब प्रतिक्रिया का ऊर्ध्वाधर घटक $N \cos \theta$ भार $mg$ को संतुलित करता है,इसलिए $N \cos \theta = mg$.
अभिलंब प्रतिक्रिया का क्षैतिज घटक $N \sin \theta$ आवश्यक अभिकेंद्र बल $m \omega^2 r$ प्रदान करता है,जहाँ $r = R \sin \theta$ मनके के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
अतः,$N \sin \theta = m \omega^2 (R \sin \theta)$.
चूंकि $\theta \neq 0$ के लिए $\sin \theta \neq 0$,हमें $N = m R \omega^2$ प्राप्त होता है।
$N$ का मान ऊर्ध्वाधर समीकरण में रखने पर: $(m R \omega^2) \cos \theta = mg$.
इसलिए,$\cos \theta = \frac{g}{R \omega^2}$.
चूंकि $\cos \theta \leq 1$,मनका सबसे निचले बिंदु $(\theta = 0)$ पर रहेगा यदि $\frac{g}{R \omega^2} \geq 1$,जिसका अर्थ है $\omega \leq \sqrt{\frac{g}{R}}$.
$\omega = \sqrt{\frac{2g}{R}}$ के लिए,हमारे पास $\omega^2 = \frac{2g}{R}$ है।
इसे $\cos \theta$ के व्यंजक में रखने पर:
$\cos \theta = \frac{g}{R (2g/R)} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^{\circ}$.