$R$ त्रिज्या का पतला वृत्तीय तार अपने ऊध्वाधर व्यास के परितः कोणीय आवृत्ति $\omega$ से घूर्णन कर रहा है। यह दर्शाइए कि इस तार में डली कोई मणिका $\omega \leq \sqrt{g / R}$ के लिए अपने निम्नतम बिंदु पर रहती है। $\omega=\sqrt{2 g / R}$ के लिए. केंद्र से मनके को जोड़ने वाला त्रिज्य सदिश ऊध्वाधर अधोमुखी दिशा से कितना कोण बनाता है। ( घर्षण को उपेक्षणीय मानिए। )

Let the radius vector joining the bead with the centre make an angle $\theta$, with the vertical downward direction.

$OP =R=$ Radius of the circle

$N=$ Normal reaction

The respective vertical and horizontal equations of forces can be written as:

$M g=N \cos \theta$

$m l \omega^{2}=N$

In $\Delta$ $OPQ$, we have:

$\sin \theta=\frac{l}{R}$

$l=R \sin \theta$

$m(R \sin \theta) \omega^{2}=N \sin \theta$

$m R \omega^{2}=N$

$m g=m R \omega^{2} \cos \theta$

$\cos \theta=\frac{ g }{R \omega^{2}}$

since $\cos \theta \leq 1,$ the bead will remain at its lowermost point for $\frac{g}{R \omega^{2}} \leq 1,$ i.e., for $\omega \leq \sqrt{\frac{g}{R}}$

For $\omega=\sqrt{\frac{2 g }{R}} {\text { or }} \omega^{2}=\frac{2 g }{R}$

On equatingabove equations

$\frac{2 g}{R}=\frac{g}{R \cos \theta}$

$\cos \theta=\frac{1}{2}$

$\therefore \theta=\cos ^{-1}(0.5)=60^{\circ}$