Radiation by Stefan's Boltzmann Law Questions in Hindi

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda T = b$ (नियतांक),इसलिए $T \propto \frac{1}{\lambda}$ होता है।
चूंकि नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{3}$ है,इसलिए नया तापमान $T' = 3T$ हो जाता है।
कृष्णिका की उत्सर्जन शक्ति स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $E = \sigma T^4$।
अतः,नई उत्सर्जन शक्ति $E'$ होगी:
$E' = \sigma (T')^4 = \sigma (3T)^4 = 81 \sigma T^4$।
चूंकि $E = \sigma T^4$ है,इसलिए हमें $E' = 81 E$ प्राप्त होता है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन के नियम के अनुसार,ऊष्मा विकिरण की दर $E$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है:
$E = \sigma T^4$
$\Rightarrow E \propto T^4$
दिया गया है:
$T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$
$E_1 = 5 \ cal / cm^2 \ s$
$T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$
अनुपात का उपयोग करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
$\frac{E_2}{5} = \left(\frac{1200}{400}\right)^4$
$\frac{E_2}{5} = (3)^4$
$\frac{E_2}{5} = 81$
$E_2 = 81 \times 5 = 405 \ cal / cm^2 \ s$

(D) सही विकल्प $D$ है।
अवधारणा:
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,किसी पिंड की उत्सर्जक शक्ति $(E)$ का सूत्र $E = e \sigma T^4$ है,जहाँ $e$ उत्सर्जकता है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
यह दिया गया है कि दोनों गोलों की उत्सर्जक शक्ति समान है,इसलिए $E_1 = E_2$।
अतः,$e_1 \sigma T_1^4 = e_2 \sigma T_2^4$।
इससे $\frac{T_1^4}{T_2^4} = \frac{e_2}{e_1}$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जकता का अनुपात $e_1 : e_2 = 1 : 4$ दिया गया है,इसलिए $\frac{e_2}{e_1} = \frac{4}{1} = 4$।
इस प्रकार,$\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4 = 4$।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर,$\frac{T_1}{T_2} = (4)^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$।
अतः,$T_1 : T_2$ का अनुपात $\sqrt{2} : 1$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,$T$ तापमान पर $R$ त्रिज्या वाले एक काले गोले से विकिरण की दर $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = 4\pi R^2$ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
अतः,$E \propto R^2 T^4$.
मान लीजिए प्रारंभिक दर $E_1 = E$ है,जहाँ त्रिज्या $R_1 = R$ और तापमान $T_1 = T$ है।
नई दर $E_2$ के लिए त्रिज्या $R_2 = \frac{R}{3}$ और तापमान $T_2 = 3T$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2 \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{E_2}{E} = \left(\frac{R/3}{R}\right)^2 \left(\frac{3T}{T}\right)^4 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 (3)^4 = \frac{1}{9} \times 81 = 9$.
इसलिए,$E_2 = 9E$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका की उत्सर्जन क्षमता $E$ उसके परम तापमान $T$ (केल्विन में) की चौथी घात के सीधे समानुपाती होती है।
$E = \sigma T^4$
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 273^{\circ} C = 273 + 273 = 546 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 0^{\circ} C = 0 + 273 = 273 \ K$.
प्रारंभिक उत्सर्जन क्षमता $E_1 = R$.
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{R} = \left( \frac{273}{546} \right)^4$
$\frac{E_2}{R} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$
$E_2 = \frac{R}{16}$.

(C) अवधारणा: स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,तापमान $T$ पर $A$ क्षेत्रफल वाली एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित कुल विकिरण ऊर्जा $E = \sigma A T^4$ होती है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
$R$ त्रिज्या वाले एक गोलाकार तारे के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ होता है।
अतः,$E = \sigma (4 \pi R^2) T^4$.
तारे $(P)$ के लिए: त्रिज्या $= R$,तापमान $= T$.
अतः,$E_P = \sigma (4 \pi R^2) T^4$.
तारे $(Q)$ के लिए: त्रिज्या $= 8R$,तापमान $= T/4$.
अतः,$E_Q = \sigma (4 \pi (8R)^2) (T/4)^4$.
अनुपात की गणना:
$\frac{E_P}{E_Q} = \frac{\sigma (4 \pi R^2) T^4}{\sigma (4 \pi (64 R^2)) (T^4 / 256)} = \frac{T^4}{64 R^2 \cdot (T^4 / 256)} = \frac{256}{64} = 4$.
इस प्रकार,$(P)$ और $(Q)$ द्वारा उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा का अनुपात $4:1$ है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$E = \sigma A T^4$,जहाँ $T = 27^{\circ}C = 300 \ K$ है।
जब लंबाई और चौड़ाई को उनके प्रारंभिक मानों के $1/3$ तक कम किया जाता है,तो नया क्षेत्रफल $A' = (L/3) \times (B/3) = A/9$ हो जाता है।
नया तापमान $T' = 327^{\circ}C = 600 \ K$ है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित नई ऊर्जा $E' = \sigma A' (T')^4$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{E'}{E} = \frac{A'}{A} \times \left(\frac{T'}{T}\right)^4$।
मान रखने पर: $\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times \left(\frac{600}{300}\right)^4 = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$।
अतः,$E' = \frac{16 E}{9}$।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक पूर्णतः कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,जिसे $P = \sigma A T^4$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ शक्ति का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = 16$ दिया गया है।
संबंध $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ का उपयोग करते हुए,हम मान रखते हैं:
$16 = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर:
$\left(2^4\right)^{1/4} = \frac{T_2}{T_1}$
$2 = \frac{T_2}{T_1}$
अतः,$T_2 = 2 \ T_1$।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है,$A$ क्षेत्रफल है और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
प्रारंभिक स्थिति: $E = \sigma A T_1^4$,जहाँ $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम स्थिति: $E' = \sigma A' T_2^4$,जहाँ $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
क्षेत्रफल $A = \ell \times b$ है। यदि लंबाई और चौड़ाई को उनके प्रारंभिक मानों के $\frac{1}{3}$ तक कम कर दिया जाए,तो नया क्षेत्रफल $A' = (\frac{\ell}{3}) \times (\frac{b}{3}) = \frac{A}{9}$ होगा।
अनुपात लेने पर: $\frac{E'}{E} = \frac{A'}{A} \times (\frac{T_2}{T_1})^4$.
मान रखने पर: $\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times (\frac{600}{300})^4 = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$.
अतः,$E' = \frac{16 E}{9}$.

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) से ऊर्जा उत्सर्जन की दर $R$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,जिसे $R \propto T^4$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी स्थिर रहती है,इसलिए पृथ्वी द्वारा प्राप्त ऊर्जा की दर सूर्य से उत्सर्जित ऊर्जा की दर के सीधे समानुपाती होती है।
मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T_1$ है और अंतिम तापमान $T_2 = 2T_1$ है।
प्राप्त ऊर्जा की दरों का अनुपात $\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{R_2}{R_1} = (2)^4 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,पृथ्वी द्वारा प्राप्त ऊर्जा की दर $16$ गुना बढ़ जाएगी।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,विकिरण की दर $R$ कृष्णिका के परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है: $R \propto T^4$.
माना प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ है और प्रारंभिक विकिरण दर $R_1$ है।
तापमान में $50 \%$ की वृद्धि होने पर,नया तापमान $T_2 = T + 0.5T = 1.5T$ होगा।
नई विकिरण दर $R_2$ इस प्रकार होगी:
$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = (1.5)^4 = 5.0625 \approx 5$.
अतः,$R_2 \approx 5R_1$.
विकिरण की दर में प्रतिशत वृद्धि:
$\text{प्रतिशत वृद्धि} = \left(\frac{R_2 - R_1}{R_1}\right) \times 100 = \left(\frac{5R_1 - R_1}{R_1}\right) \times 100 = 4 \times 100 = 400 \%$.

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, विकिरण की दर $P$ (या $E$) $P = e \sigma A T^{4}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $A = 4 \pi r^{2}$ है।
गोले $S_{1}$ के लिए: $E = e \sigma (4 \pi R^{2}) T^{4}$।
गोले $S_{2}$ के लिए: $E' = e \sigma (4 \pi (3R)^{2}) (T/3)^{4}$।
$E' = e \sigma (4 \pi \cdot 9R^{2}) (T^{4} / 81)$।
$E' = e \sigma (4 \pi R^{2}) T^{4} \cdot (9 / 81)$।
$E' = E \cdot (1 / 9) = E/9$।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है,और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $E_1 = \sigma A_1 T_1^4$ है और अंतिम स्थिति $E_2 = \sigma A_2 T_2^4$ है।
दिया गया है कि लंबाई और चौड़ाई को उनके प्रारंभिक मान के $1/3$ तक कम कर दिया जाता है,इसलिए नया क्षेत्रफल $A_2 = (L/3) \times (B/3) = A_1 / 9$ होगा।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{A_2}{A_1} \times \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$।
मान रखने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{1}{9} \times \left(\frac{600}{300}\right)^4 = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$।
अतः,$E_2 = \frac{16}{9} E$।

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,$r$ त्रिज्या और $T$ तापमान वाले एक गोलाकार कृष्ण पिंड द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^{4}$ होती है,जहाँ $A = 4 \pi r^{2}$ सतह का क्षेत्रफल है।
चूँकि दोनों पिंड समान शक्ति का विकिरण करते हैं,इसलिए $P_{1} = P_{2}$ होगा।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4 \pi r_{1}^{2} \sigma T_{1}^{4} = 4 \pi r_{2}^{2} \sigma T_{2}^{4}$ प्राप्त होता है।
समान पदों $4 \pi \sigma$ को हटाने पर,$r_{1}^{2} T_{1}^{4} = r_{2}^{2} T_{2}^{4}$ प्राप्त होता है।
अनुपात $\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} = \frac{T_{2}^{4}}{T_{1}^{4}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}} = \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{2}$ प्राप्त होता है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$E = \sigma A T_1^4$,जहाँ $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
जब लंबाई और चौड़ाई को उनके प्रारंभिक मानों के $1/3$ तक कम किया जाता है,तो नया क्षेत्रफल $A' = (l/3) \times (b/3) = A/9$ हो जाता है।
नया तापमान $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$ है।
नई उत्सर्जित ऊर्जा $E' = \sigma A' T_2^4$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{E'}{E} = \frac{A'}{A} \times \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times \left(\frac{600}{300}\right)^4$.
$\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$.
अतः,$E' = \frac{16 E}{9}$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊष्मा विकिरण की दर $E$,परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^{4}$।
दिया गया है:
$T_{1} = 227^{\circ} C = 227 + 273 = 500 \ K$
$T_{2} = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 \ K$
$E_{1} = 5 \ cal/cm^{2}-s$
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{4}$
$\frac{E_{2}}{5} = \left(\frac{1000}{500}\right)^{4}$
$\frac{E_{2}}{5} = (2)^{4} = 16$
$E_{2} = 16 \times 5 = 80 \ cal/cm^{2}-s$
अतः,विकिरित ऊष्मा की दर $80 \ cal/cm^{2}-s$ होगी।

(C) किसी पिंड द्वारा विकिरित ऊर्जा स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $Q = A \varepsilon \sigma T^{4} t$.
चूंकि समय $t$,उत्सर्जन क्षमता $\varepsilon$,और स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक $\sigma$ दोनों के लिए समान हैं,इसलिए विकिरित ऊर्जा $Q$,$A T^{4}$ के समानुपाती है।
चूंकि $A = 4 \pi r^{2}$,इसलिए $Q \propto r^{2} T^{4}$ है।
तापमान को केल्विन में बदलने पर: $T_{1} = 127 + 273 = 400 \ K$ और $T_{2} = 527 + 273 = 800 \ K$.
विकिरित ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} \left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{4}$
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \left(\frac{8}{2}\right)^{2} \left(\frac{400}{800}\right)^{4}$
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = (4)^{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{4}$
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = 16 \times \frac{1}{16} = 1$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,ऊष्मा खोने की दर $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों वस्तुएं काली हैं,समान पदार्थ से बनी हैं और समान वातावरण में समान तापमान पर ठंडी हो रही हैं,इसलिए ऊष्मा खोने की दर सीधे उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होती है।
मान लीजिए दोनों वस्तुओं का आयतन $V$ है। $r$ त्रिज्या वाले गोले के लिए,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$। $a$ भुजा वाले घन के लिए,$V = a^3$।
आयतन समान होने के कारण,$a^3 = \frac{4}{3} \pi r^3$,जिसका अर्थ है $a = (\frac{4}{3} \pi r^3)^{1/3}$।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_s = 4 \pi r^2$ है।
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_c = 6 a^2 = 6 (\frac{4}{3} \pi r^3)^{2/3}$ है।
ऊष्मा खोने की दर का अनुपात $\frac{A_s}{A_c} = \frac{4 \pi r^2}{6 (\frac{4}{3} \pi r^3)^{2/3}}$ है।
इसे सरल करने पर,$\frac{A_s}{A_c} = (\frac{\pi}{6})^{1/3}$ प्राप्त होता है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $R = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$T$ गोले का तापमान है और $T_0$ परिवेश का तापमान है।
दिया गया है: $T_1 = 627^{\circ} C = 627 + 273 = 900 \ K$,$T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$,और $T_0 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
ऊष्मा हानि की दरों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$ है।
मान रखने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{900^4 - 300^4}{600^4 - 300^4} = \frac{(300 \times 3)^4 - 300^4}{(300 \times 2)^4 - 300^4}$.
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{300^4 (3^4 - 1)}{300^4 (2^4 - 1)} = \frac{81 - 1}{16 - 1} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3} \approx 5.33$.
अतः,अनुपात लगभग $5.3$ है।

(D) स्टीफन के नियम के अनुसार,किसी पिंड द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा उसके परम ताप की चौथी घात के समानुपाती होती है।
$E = \sigma T^4$
जहाँ $E$ प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा है,$T$ केल्विन में परम ताप है,और $\sigma$ स्टीफन नियतांक है।
$\sigma$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sigma = \frac{E}{T^4}$.
$E$ का मात्रक $\frac{J}{m^2 s}$ है।
इसलिए,$\sigma$ का मात्रक $\frac{J}{m^2 s K^4}$ है।
ऊर्जा की विमा $[M L^2 T^{-2}]$,क्षेत्रफल की $[L^2]$,समय की $[T]$ और तापमान की $[K]$ है।
$\sigma = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L^2] [T] [K^4]} = [M^1 L^0 T^{-3} K^{-4}]$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन के नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में विकिरित ऊष्मीय ऊर्जा परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^{4}$.
मान लीजिए कि $T$ तापमान पर प्रारंभिक विकिरित ऊर्जा $E$ है।
मान लीजिए कि $3T$ तापमान पर विकिरित ऊर्जा $E^{\prime}$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है: $\frac{E^{\prime}}{E} = \left( \frac{3T}{T} \right)^{4}$.
$\frac{E^{\prime}}{E} = (3)^{4} = 81$.
अतः,$E^{\prime} = 81 E$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^{4}$।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$।
अंतिम तापमान $T_{2} = 627^{\circ} C = 627 + 273 = 900 \ K$।
प्रारंभिक उत्सर्जित ऊर्जा $E_{1} = 0.5 \ J/s$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{4}$।
मान रखने पर: $\frac{E_{2}}{0.5} = \left(\frac{900}{300}\right)^{4}$।
$\frac{E_{2}}{0.5} = (3)^{4} = 81$।
$E_{2} = 81 \times 0.5 = 40.5 \ J/s$।

(A) दिया गया है: परिवेश का तापमान $T_0 = 300 \ K$ है।
$T_1 = 600 \ K$ पर शीतलन की दर $H$ है।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $Q \propto (T^4 - T_0^4)$ होती है।
अतः,$H = k(T_1^4 - T_0^4)$ और $Q_2 = k(T_2^4 - T_0^4)$ जहाँ $T_2 = 900 \ K$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{Q_2}{H} = \frac{T_2^4 - T_0^4}{T_1^4 - T_0^4}$.
मान रखने पर: $\frac{Q_2}{H} = \frac{(900)^4 - (300)^4}{(600)^4 - (300)^4}$.
$(300)^4$ से विभाजित करने पर: $\frac{Q_2}{H} = \frac{3^4 - 1^4}{2^4 - 1^4} = \frac{81 - 1}{16 - 1} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3}$.
अतः,$Q_2 = \frac{16}{3} H$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, प्रति इकाई क्षेत्रफल विकिरित शक्ति $E$, कृष्णिका के परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है:
$E = \sigma T^4$
दिया गया है कि अंतिम उत्सर्जकता $E_2$, प्रारंभिक उत्सर्जकता $E_1$ की $16$ गुना है:
$E_2 = 16 E_1$
अनुपात में स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\sigma T_2^4}{\sigma T_1^4} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$16 = \left( \frac{T_2}{T} \right)^4$
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर:
$\sqrt[4]{16} = \frac{T_2}{T}$
$2 = \frac{T_2}{T}$
$T_2 = 2 \,T$

(C) गोले के ऊर्जा विनिमय की शुद्ध दर स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $P = \varepsilon \sigma A (T^4 - T_s^4)$.
दिया गया है:
उत्सर्जन क्षमता $\varepsilon = 0.5$
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$
सतह क्षेत्रफल $A = 4 \ m^2$
गोले का तापमान $T = 400 \ K$
वातावरण का तापमान $T_s = 200 \ K$
सूत्र में मान रखने पर:
$P = 0.5 \times (5.67 \times 10^{-8}) \times 4 \times [400^4 - 200^4]$
$P = 2 \times 5.67 \times 10^{-8} \times [(4 \times 10^2)^4 - (2 \times 10^2)^4]$
$P = 11.34 \times 10^{-8} \times [256 \times 10^8 - 16 \times 10^8]$
$P = 11.34 \times 10^{-8} \times [240 \times 10^8]$
$P = 11.34 \times 240 = 2721.6 \ W$.

(D) दिया गया है: $T_1 = 0^{\circ} C = (0 + 273) \text{ K} = 273 \text{ K}$.
$T_2 = 273^{\circ} C = (273 + 273) \text{ K} = 546 \text{ K}$.
स्टीफन-बोल्ट्ज़मान के नियम के अनुसार,विकिरण की दर $E$,परम ताप $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है:
$E \propto T^4$.
इसलिए,विकिरण की दरों का अनुपात:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
मान रखने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{546}{273}\right)^4 = (2)^4 = 16$.
अतः,$E_2 = 16 E_1 = 16 E \text{ J}s^{-1}$.

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन के नियम के अनुसार,धातु की सतह से विकिरण के उत्सर्जन की दर $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
दो स्थितियों के लिए अनुपात लेने पर,$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{A_2}{A_1}\right) \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ प्राप्त होता है।
दिया गया है:
$A_1 = 8 \ cm \times 4 \ cm = 32 \ cm^2$
$A_2 = 4 \ cm \times 2 \ cm = 8 \ cm^2$
$T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$
इन मानों को अनुपात सूत्र में रखने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{8}{32}\right) \left(\frac{600}{400}\right)^4$
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{1}{4}\right) \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{1}{4} \times \frac{81}{16} = \frac{81}{64}$.
अतः,$E_2 = \left(\frac{81}{64}\right) E \ Js^{-1}$।

(B) विकिरण द्वारा ऊष्मा हानि की दर स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $\frac{dQ}{dt} = \sigma A e (T^4 - T_0^4)$.
यहाँ $dQ = -mc dT$,जहाँ $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi r^3)$ और $A = 4 \pi r^2$ है।
अतः,$-mc \frac{dT}{dt} = \sigma A T^4$ ($T_0 = 0 \ K$ लेने पर)।
समय $t$ के लिए समाकलन करने पर: $t = -\frac{mc}{\sigma A} \int_{200}^{100} T^{-4} dT$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $t = \frac{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3) C}{\sigma (4 \pi r^2)} \cdot \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{T^3} \right]_{100}^{200}$।
इस गणना से अंतिम उत्तर $\frac{1}{48} \frac{r \rho C}{\sigma} \mu s$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प $(b)$ है।

(C) मान लीजिए कि बीच वाली प्लेट का तापमान $T_0$ है।
चूंकि प्लेटें स्थिर अवस्था में हैं,इसलिए बीच वाली प्लेट द्वारा अवशोषित ऊष्मा उसके द्वारा उत्सर्जित ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ होती है।
बीच वाली प्लेट के लिए,तीसरी प्लेट ($3 T$ पर) से प्राप्त ऊष्मा $\sigma A (3 T)^4 - \sigma A T_0^4$ है।
पहली प्लेट ($2 T$ पर) को दी गई ऊष्मा $\sigma A T_0^4 - \sigma A (2 T)^4$ है।
स्थिर अवस्था में:
$\sigma A (3 T)^4 - \sigma A T_0^4 = \sigma A T_0^4 - \sigma A (2 T)^4$
$(3 T)^4 + (2 T)^4 = 2 T_0^4$
$81 T^4 + 16 T^4 = 2 T_0^4$
$97 T^4 = 2 T_0^4$
$T_0^4 = \frac{97}{2} T^4$
$T_0 = \left(\frac{97}{2}\right)^{\frac{1}{4}} T$

(B) एक कृष्णिका से विकिरित शक्ति $P$,स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है ... $(i)$
गोलाकार पिंड के लिए,पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ ... (ii)
यह दिया गया है कि तापमान $T$,त्रिज्या $R$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अतः $T \propto \frac{1}{R}$ या $T = \frac{k}{R}$ ... (iii)
समीकरण (ii) और (iii) को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \sigma (4 \pi R^2) \left( \frac{k}{R} \right)^4$
$P = \sigma 4 \pi R^2 \cdot \frac{k^4}{R^4}$
$P = \frac{4 \pi \sigma k^4}{R^2}$
अतः,$P \propto \frac{1}{R^2}$.
जब त्रिज्या दोगुनी की जाती है $(R' = 2R)$,तो नई शक्ति $P'$ होगी:
$P' \propto \frac{1}{(2R)^2} = \frac{1}{4R^2} = \frac{1}{4} P$
इसलिए,विकिरित शक्ति प्रारंभिक मान की $\frac{1}{4}$ गुनी हो जाएगी।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,$T_S$ तापमान वाले परिवेश में $T$ तापमान पर एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित ऊर्जा की शुद्ध दर $E = \sigma A (T^4 - T_S^4)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $T_1 = 600 \ K$,$T_2 = 900 \ K$ और $T_S = 300 \ K$ दिया गया है।
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1^4 - T_S^4}{T_2^4 - T_S^4}$ है।
मान रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{(600)^4 - (300)^4}{(900)^4 - (300)^4}$।
$(300)^4$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{(300)^4 [2^4 - 1^4]}{(300)^4 [3^4 - 1^4]}$।
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{16 - 1}{81 - 1} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}$।

(C) बोल्ट्ज़मैन नियतांक $A$ की विमा $[M L^2 T^{-2} K^{-1}]$ है।
प्लांक नियतांक $B$ की विमा $[M L^2 T^{-1}]$ है।
प्रकाश की गति $C$ की विमा $[L T^{-1}]$ है।
अब,$A^4 B^{-3} C^{-2}$ की विमाओं की गणना करें:
$= [M L^2 T^{-2} K^{-1}]^4 \times [M L^2 T^{-1}]^{-3} \times [L T^{-1}]^{-2}$
$= [M^4 L^8 T^{-8} K^{-4}] \times [M^{-3} L^{-6} T^3] \times [L^{-2} T^2]$
$= [M^{4-3} L^{8-6-2} T^{-8+3+2} K^{-4}]$
$= [M^1 L^0 T^{-3} K^{-4}]$.
स्टीफन नियतांक $\sigma$ को स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम $E = \sigma T^4$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $E$ प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में विकीर्ण ऊर्जा है $(E = \frac{\text{ऊर्जा}}{\text{क्षेत्रफल} \times \text{समय}})$।
$E$ की विमा $[M L^2 T^{-2}] / [L^2 T] = [M T^{-3}]$ है।
अतः,$\sigma$ की विमा $= E / T^4 = [M T^{-3}] / [K^4] = [M L^0 T^{-3} K^{-4}]$.
इसकी तुलना गणना की गई विमा से करने पर,हम पाते हैं कि यह स्टीफन नियतांक के अनुरूप है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{max} T = b$,जहाँ $b = 2.9 \times 10^{-3} m K$ वीन का नियतांक है।
दिया गया है $\lambda_{max} = 2900 Å = 2900 \times 10^{-10} m = 2.9 \times 10^{-7} m$.
मान रखने पर,$T = \frac{b}{\lambda_{max}} = \frac{2.9 \times 10^{-3}}{2.9 \times 10^{-7}} = 10^4 K$.
एक आदर्श रेडिएटर (कृष्णिका) द्वारा उत्सर्जित विकिरण की तीव्रता स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $E = \sigma T^4$.
दिया गया है $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} W m^{-2} K^{-4}$.
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4 = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16} = 5.67 \times 10^8 W m^{-2}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति सेकंड विकिरित ऊर्जा $E$ वस्तु के पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होती है,यह मानते हुए कि तापमान $T$ और उत्सर्जकता $e$ स्थिर रहते हैं।
$E = e \sigma A T^4 \implies E \propto A$
$r$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले के लिए,पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_{sphere} = 4 \pi r^2$ होता है।
जब गोले को दो अर्धगोलों में काटा जाता है,तो प्रत्येक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r^2$ और समतल वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल $\pi r^2$ होता है।
इसलिए,एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_{hemisphere} = 2 \pi r^2 + \pi r^2 = 3 \pi r^2$ है।
एक अर्धगोले द्वारा विकिरित ऊर्जा और पूरे गोले द्वारा विकिरित ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_{hemisphere}}{E_{sphere}} = \frac{A_{hemisphere}}{A_{sphere}} = \frac{3 \pi r^2}{4 \pi r^2} = \frac{3}{4}$ है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार एक पिंड की विकिरित शक्ति $P \propto T^4$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $T_1 = 400 \,K$ पर $P_1 = 1000 \,W$।
हमें $T_2 = 800 \,K$ पर $P_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$।
मान रखने पर: $\frac{P_2}{1000} = \left(\frac{800}{400}\right)^4$।
$\frac{P_2}{1000} = (2)^4 = 16$।
$P_2 = 16 \times 1000 = 16000 \,W$।

(A) विकिरण द्वारा ऊष्मा स्थानांतरण की दर स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $P = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$। चूंकि वस्तु का तापमान,परिवेश का तापमान और सतह की प्रकृति (उत्सर्जकता $e$) समान रहती है,इसलिए ऊष्मा स्थानांतरण की दर बेलन के पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ के सीधे आनुपातिक होती है।
$\Rightarrow P \propto A$
$\Rightarrow \frac{P_2}{P_1} = \frac{A_2}{A_1} \Rightarrow P_2 = P_1 \times \frac{A_2}{A_1} \quad \dots(i)$
खींचने के दौरान बेलन का आयतन समान रहता है,इसलिए $V = \pi r_1^2 l_1 = \pi r_2^2 l_2$।
$l_2 = l_1 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = 5.0 \times \left( \frac{2.5}{0.5} \right)^2 = 5.0 \times 25 = 125 \ cm$।
बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2\pi r l + 2\pi r^2 = 2\pi r(l + r)$ होता है।
$A_1 = 2\pi (2.5)(5.0 + 2.5) = 2\pi (2.5)(7.5) = 37.5\pi \ cm^2$।
$A_2 = 2\pi (0.5)(125 + 0.5) = 2\pi (0.5)(125.5) = 125.5\pi \ cm^2$।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$P_2 = 1.0 \times \frac{125.5\pi}{37.5\pi} = \frac{125.5}{37.5} \approx 3.346 \ W \approx 3.35 \ W$।

(C) सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_2 = 227 + 273 = 500 \ K$
$T_0 = 27 + 273 = 300 \ K$
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,किसी वस्तु द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित शुद्ध ऊर्जा है:
$E = \varepsilon \sigma A (T^4 - T_0^4)$
अतः,ऊर्जा का अनुपात होगा:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2^4 - T_0^4}{T_1^4 - T_0^4}$
मान रखने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{500^4 - 300^4}{400^4 - 300^4}$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{625 \times 10^8 - 81 \times 10^8}{256 \times 10^8 - 81 \times 10^8}$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{544}{175} \approx 3.108$
इस प्रकार,अनुपात लगभग $3.1$ है।

(A) दिया गया है: कृष्णिका का तापमान $T = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 \,K$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 1 \,m^2$.
स्टीफन नियतांक $\sigma = 5.7 \times 10^{-8} \,W / m^2 / K^4$.
समय $t = 1 \,minute = 60 \,seconds$.
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ है।
$P = 5.7 \times 10^{-8} \times 1 \times (1000)^4 = 5.7 \times 10^{-8} \times 10^{12} = 5.7 \times 10^4 \,W$.
कुल विकिरित ऊष्मा $Q = P \times t$.
$Q = 5.7 \times 10^4 \times 60 = 342 \times 10^4 = 34.2 \times 10^5 \,J$.

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,$A$ क्षेत्रफल वाली और $T$ परम ताप पर स्थित एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
दी गई मान:
$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W m^{-2} K^{-4}$
$T = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 \ K$
$A = 200 \ mm^2 = 200 \times 10^{-6} \ m^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = (5.67 \times 10^{-8}) \times (200 \times 10^{-6}) \times (1000)^4$
$P = 5.67 \times 10^{-8} \times 200 \times 10^{-6} \times 10^{12}$
$P = 5.67 \times 2 \times 10^2 \times 10^{-14} \times 10^{12}$
$P = 11.34 \times 10^2 \times 10^{-2}$
$P = 11.34 \ J/s$.

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है:
$E \propto T^4$
मान लीजिए $T_1 = T$ तापमान पर $E_1 = E$ है।
मान लीजिए $T_2 = \frac{T}{2}$ तापमान पर नई विकिरण ऊर्जा $E_2$ है।
अनुपात विधि का उपयोग करते हुए:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{E_2}{E} = \left(\frac{T/2}{T}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4$
$\frac{E_2}{E} = \frac{1}{16}$
$E_2 = \frac{E}{16}$

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, $T$ तापमान वाले पिंड द्वारा $T_0$ तापमान वाले परिवेश में ऊष्मा हानि की दर $dQ/dt = \sigma A e (T^4 - T_0^4)$ होती है।
चूंकि पिंड समान हैं, इसलिए $\sigma$, $A$, और $e$ दोनों के लिए समान होंगे।
दिया गया है:
$T_1 = 277^{\circ} C = 550 \ K$
$T_2 = 67^{\circ} C = 340 \ K$
$T_0 = 27^{\circ} C = 300 \ K$
ऊष्मा हानि का अनुपात:
$\frac{dQ_1/dt}{dQ_2/dt} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4} = \frac{550^4 - 300^4}{340^4 - 300^4} \approx 19:1$.

(C) वस्तु के शीतलन की दर का सूत्र है: $\frac{d\theta}{dt} = \frac{\sigma A(T^4 - T_0^4)}{ms}$.
यहाँ,$\sigma = 5.73 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$,$A = 19.2 \times 10^{-4} \ m^2$,$T = 400 \ K$,$T_0 = 300 \ K$,$m = 34.38 \times 10^{-3} \ kg$,और $\frac{d\theta}{dt} = 0.04 \ K/s$.
विशिष्ट ऊष्मा $s$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $s = \frac{\sigma A(T^4 - T_0^4)}{m(\frac{d\theta}{dt})}$.
मान रखने पर: $s = \frac{(5.73 \times 10^{-8}) \times (19.2 \times 10^{-4}) \times (400^4 - 300^4)}{(34.38 \times 10^{-3}) \times 0.04}$.
गणना करने पर: $s = \frac{5.73 \times 19.2 \times 10^{-12} \times 175 \times 10^8}{1.3752 \times 10^{-3}}$.
अतः,$s = 1400 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा को स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दिया जाता है: $E = \sigma A T^4$,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है,$A$ सतह का क्षेत्रफल $(4\pi R^2)$ है और $T$ परम तापमान है।
सूर्य के लिए: $E_{\text{sun}} = \sigma (4\pi R_{\text{sun}}^2) T_{\text{sun}}^4$.
तारे $A$ के लिए: $E_{\text{star}} = \sigma (4\pi R_{\text{star}}^2) T_{\text{star}}^4$.
दिया गया है कि $E_{\text{star}} = 10000 E_{\text{sun}}$,इसलिए:
$\sigma (4\pi R_{\text{star}}^2) T_{\text{star}}^4 = 10000 \times \sigma (4\pi R_{\text{sun}}^2) T_{\text{sun}}^4$.
समान पदों को हटाने पर:
$R_{\text{star}}^2 T_{\text{star}}^4 = 10000 R_{\text{sun}}^2 T_{\text{sun}}^4$.
त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए:
$\left(\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}}\right)^2 = 10000 \left(\frac{T_{\text{sun}}}{T_{\text{star}}}\right)^4$.
दिए गए मानों को रखने पर ($T_{\text{sun}} = 6000 \ K$,$T_{\text{star}} = 2000 \ K$):
$\left(\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}}\right)^2 = 10000 \left(\frac{6000}{2000}\right)^4 = 10000 \times (3)^4 = 10000 \times 81 = 810000$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}} = \sqrt{810000} = 900$.
अतः,अनुपात $R_{\text{star}} : R_{\text{sun}} = 900 : 1$ है।

(D) दिया गया है: $\lambda_1 = 0.26 \mu m$,$\lambda_2 = 0.13 \mu m$.
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda T = \text{नियतांक}$.
इसलिए,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{0.13}{0.26} = \frac{1}{2}$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,उत्सर्जन क्षमता $E \propto T^4$ होती है।
अतः,उत्सर्जन क्षमता का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ होगा।
$\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$.
अतः,अनुपात $1:16$ है।