Radiation by Stefan's Boltzmann Law Questions in Hindi

(D) दिया गया है: $\lambda_1 = 0.26 \mu m$,$\lambda_2 = 0.13 \mu m$.
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda T = \text{नियतांक}$.
इसलिए,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{0.13}{0.26} = \frac{1}{2}$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,उत्सर्जन क्षमता $E \propto T^4$ होती है।
अतः,उत्सर्जन क्षमता का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ होगा।
$\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$.
अतः,अनुपात $1:16$ है।

(A) दिया गया है: $\lambda_m = 289.8 \ nm = 289.8 \times 10^{-9} \ m$.
वीन नियतांक $b = 2898 \ \mu m \ K = 2898 \times 10^{-6} \ m \ K$.
स्टीफन नियतांक $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W m^{-2} K^{-4}$.
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = b$.
अतः,तारे का तापमान $T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2898 \times 10^{-6}}{289.8 \times 10^{-9}} = 10^4 \ K$.
विकिरण तीव्रता (उत्सर्जन शक्ति) $E$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $E = \sigma T^4$.
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4$.
$E = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16}$.
$E = 5.67 \times 10^8 \ W/m^2$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,किसी पिंड द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma e A T^4$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गोले समान पदार्थ के हैं,इसलिए उनकी उत्सर्जकता $e$ समान है। गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
अतः,विकिरित शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{\sigma e (4 \pi r_1^2) T_1^4}{\sigma e (4 \pi r_2^2) T_2^4} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ होगा।
यहाँ $r_1 = 5 \ m$,$r_2 = 2 \ m$,$T_1 = 200 \ K$,और $T_2 = 250 \ K$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{5}{2} \right)^2 \left( \frac{200}{250} \right)^4$.
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{25}{4} \right) \left( \frac{4}{5} \right)^4 = \left( \frac{25}{4} \right) \left( \frac{256}{625} \right)$.
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{25}{625} \times \frac{256}{4} = \frac{1}{25} \times 64 = \frac{64}{25}$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा प्रति सेकंड विकिरित ऊष्मीय ऊर्जा $(Q)$ का सूत्र है: $Q = \sigma A T^4$,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है,$A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है,और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
चूँकि दोनों वस्तुओं $A$ और $B$ के पृष्ठीय क्षेत्रफल समान हैं $(A_A = A_B = A)$,इसलिए विकिरित ऊर्जा का अनुपात होगा:
$\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{\sigma A T_A^4}{\sigma A T_B^4} = \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$
तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलने पर:
$T_A = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_B = 177^{\circ} C = 177 + 273 = 450 \ K$
मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{Q_A}{Q_B} = \left(\frac{300}{450}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^4$
$\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{16}{81}$
अतः,$A$ और $B$ द्वारा प्रति सेकंड विकिरित ऊष्मीय ऊर्जा का अनुपात $16: 81$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा (शक्ति) उसके परम तापमान $(T)$ की चौथी घात के समानुपाती होती है:
$P \propto T^4$
मान लीजिए कि सूर्य का प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ है और प्राप्त होने वाली प्रारंभिक शक्ति $P_1$ है।
जब तापमान दोगुना हो जाता है,तो नया तापमान $T_2 = 2T$ होता है।
नई प्राप्त शक्ति $P_2$ इस प्रकार है:
$P_2 \propto (T_2)^4$
$P_2 \propto (2T)^4$
$P_2 \propto 16T^4$
इसलिए,नई शक्ति और प्रारंभिक शक्ति का अनुपात है:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{16T^4}{T^4} = 16$
अतः,पृथ्वी पर प्राप्त होने वाली ऊर्जा की दर $16$ गुना बढ़ जाएगी।

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,परम तापमान $T$ पर एक निकाय द्वारा विकिरित ऊष्मा ऊर्जा की दर $P = \sigma A e T^{4}$ द्वारा दी जाती है।
जब $T_{1}$ परम तापमान पर स्थित एक निकाय को $T_{2}$ परम तापमान वाले एक घेरे में रखा जाता है,तो ऊष्मा विनिमय की शुद्ध दर $P_{net} = \sigma A e (T_{2}^{4} - T_{1}^{4})$ होती है।
यहाँ,परम तापमान $T_{1} = (t_{1} + 273) \ K$ और $T_{2} = (t_{2} + 273) \ K$ हैं।
चूंकि निकाय कक्ष से ऊष्मा अवशोषित कर रहा है,इसलिए ऊष्मा अवशोषण की दर उनके परम तापमानों की चौथी घात के अंतर के समानुपाती होती है।
अतः,अवशोषित ऊष्मा की दर $(t_{2} + 273)^{4} - (t_{1} + 273)^{4}$ के समानुपाती है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,$T$ तापमान पर एक कृष्णिका द्वारा $T_0$ तापमान वाले वातावरण में ऊष्मा हानि की दर $E \propto (T^4 - T_0^4)$ होती है।
दिए गए तापमान $T_1 = 327^{\circ} C = 600 \ K$,$T_2 = 427^{\circ} C = 700 \ K$ और $T_0 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ हैं।
ऊष्मा हानि की दरों का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$ है।
मान रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{(600)^4 - (300)^4}{(700)^4 - (300)^4}$.
$(100)^4$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{6^4 - 3^4}{7^4 - 3^4} = \frac{1296 - 81}{2401 - 81}$.
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{1215}{2320}$.
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{243}{464}$ प्राप्त होता है।