एक पिंड $10$ मिनट में $62^{\circ}C$ से $50^{\circ}C$ तक और अगले $10$ मिनट में $42^{\circ}C$ तक ठंडा हो जाता है। परिवेश का तापमान ........ $^{\circ}C$ है।

एक ही पदार्थ से बने दो ठोस गोले $A$ और $B$ की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_A$ और $r_B$ हैं। दोनों गोलों को न्यूटन के शीतलन नियम के लिए मान्य परिस्थितियों में समान तापमान से ठंडा किया जाता है। $A$ और $B$ के तापमान परिवर्तन की दर का अनुपात क्या है?

एक पिंड ऐसे वातावरण में ठंडा होता है जिसका तापमान स्थिर $\theta_0$ है। मान लीजिए कि यह न्यूटन के शीतलन के नियम का पालन करता है। इसके तापमान $\theta$ को समय $t$ के विरुद्ध आलेखित किया गया है। बिंदुओं $P(\theta = \theta_2)$ और $Q(\theta = \theta_1)$ पर वक्र के स्पर्शरेखाएँ खींची गई हैं। ये स्पर्शरेखाएँ समय अक्ष के साथ $\varphi_2$ और $\varphi_1$ कोण बनाती हैं,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,किसी पिंड के ठंडे होने की दर $(\Delta \theta )^n$ के समानुपाती होती है,जहाँ $\Delta \theta$ पिंड और उसके परिवेश के तापमान का अंतर है,और $n$ का मान है

एक वस्तु ऐसे वातावरण में ठंडी होती है जिसका तापमान स्थिर $\theta_0$ है। यह मानते हुए कि यह न्यूटन के शीतलन के नियम का पालन करती है,इसके तापमान $\theta$ को समय $t$ के विरुद्ध आलेखित किया गया है। बिंदुओं $A(\theta = \theta_1)$ और $B(\theta = \theta_2)$ पर वक्र के स्पर्शरेखा खींची गई है। ये स्पर्शरेखा समय-अक्ष पर $\alpha_1$ और $\alpha_2$ कोण बनाती हैं,जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है। तो:

न्यूटन के शीतलन नियम का पालन करने वाला एक गर्म पिंड अपने अधिकतम मान $80\,^oC$ से $30\,^oC$ के परिवेशी तापमान तक ठंडा हो रहा है। इसे $80\,^oC$ से $40\,^oC$ तक ठंडा होने में $5\,minutes$ लगते हैं। तो इसे $62\,^oC$ से $32\,^oC$ तक ठंडा होने में कितने मिनट लगेंगे? (दिया है: $\ln 2 = 0.693, \ln 5 = 1.609$)