Trigonometrical ratios of multiple and sub-multiple angles Questions in Hindi

(D) हमारे पास $\sqrt{\frac{1 - \sin A}{1 + \sin A}}$ है।
सर्वसमिका $\sin A = \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right)$ का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{\frac{1 - \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right)}{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right)}}$ प्राप्त होता है।
अर्ध-कोण सूत्रों $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)$ और $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{\frac{2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{A}{2} \right)}{2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{A}{2} \right)}} = \sqrt{\tan^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{A}{2} \right)} = \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{A}{2} \right)$.

(A) माना $E = \frac{\sin 3\theta - \cos 3\theta}{\sin \theta + \cos \theta} + 1$.
सर्वसमिकाओं $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ और $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ का उपयोग करने पर:
अंश $N = \sin 3\theta - \cos 3\theta = 3(\sin \theta + \cos \theta) - 4(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta)$.
घनों के योग $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ के सूत्र का उपयोग करने पर:
$N = (\sin \theta + \cos \theta) [3 - 4(1 - \sin \theta \cos \theta)]$.
अतः,$\frac{N}{\sin \theta + \cos \theta} = 3 - 4 + 4\sin \theta \cos \theta = 4\sin \theta \cos \theta - 1$.
इस व्यंजक में $1$ जोड़ने पर:
$E = (4\sin \theta \cos \theta - 1) + 1 = 4\sin \theta \cos \theta$.
सर्वसमिका $2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$E = 2(2\sin \theta \cos \theta) = 2\sin 2\theta$.

(B) हम जानते हैं कि $\tan \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta}$.
$\theta = 7\frac{1}{2}^\circ$ रखने पर,$2\theta = 15^\circ$ प्राप्त होता है।
$\tan 7\frac{1}{2}^\circ = \frac{1 - \cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}$.
$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ रखने पर,
सरल करने पर उत्तर $\sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{x - 1}{2x}}$.
हम जानते हैं कि $\cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 - \sin^2 \frac{\theta}{2} = 1 - \frac{x - 1}{2x} = \frac{2x - x + 1}{2x} = \frac{x + 1}{2x}$.
अतः,$\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{x + 1}{2x}}$.
अब,$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}$.
सूत्र $\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \theta = \frac{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{1 - \frac{x - 1}{x + 1}} = \frac{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}} = \frac{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{\frac{2}{x + 1}} = (x + 1) \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = \sqrt{(x + 1)^2 \cdot \frac{x - 1}{x + 1}} = \sqrt{(x + 1)(x - 1)} = \sqrt{x^2 - 1}$.

(B) दिया गया है $x + \frac{1}{x} = 2 \cos \theta$।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ जानते हैं।
$a = x$ और $b = \frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3 \left(x \cdot \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)$
$= (2 \cos \theta)^3 - 3(1)(2 \cos \theta)$
$= 8 \cos^3 \theta - 6 \cos \theta$
$= 2(4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 2 \cos 3\theta$.

(C) हम जानते हैं कि $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
व्यंजक $= \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ$ है।
सर्वसमिका $\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ का उपयोग करने पर:
यहाँ,$\theta = 20^\circ$,इसलिए $\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \sin 20^\circ \sin(60^\circ - 20^\circ) \sin(60^\circ + 20^\circ) = \frac{1}{4} \sin(3 \times 20^\circ) = \frac{1}{4} \sin 60^\circ = \frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$ है।
अतः,कुल व्यंजक $= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3}{16}$ है।

(C) हम सर्वसमिका $\tan \theta = \cot \theta - 2\cot 2\theta$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\cot \theta - \tan \theta = 2\cot 2\theta$.
व्यंजक $E = \tan \alpha + 2\tan 2\alpha + 4\tan 4\alpha + 8\cot 8\alpha$ पर विचार करें।
सर्वसमिका $\tan \theta = \cot \theta - 2\cot 2\theta$ का उपयोग करते हुए:
$8\cot 8\alpha + 4\tan 4\alpha = 4(2\cot 8\alpha + \tan 4\alpha) = 4(\cot 4\alpha) = 4\cot 4\alpha$.
अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$E = \tan \alpha + 2\tan 2\alpha + 4\cot 4\alpha$.
पुनः,$4\cot 4\alpha + 2\tan 2\alpha = 2(2\cot 4\alpha + \tan 2\alpha) = 2(\cot 2\alpha) = 2\cot 2\alpha$ का उपयोग करते हुए।
अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$E = \tan \alpha + 2\cot 2\alpha$.
$2\cot 2\alpha = \cot \alpha - \tan \alpha$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$E = \tan \alpha + (\cot \alpha - \tan \alpha) = \cot \alpha$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया है,$\text{cosec} \theta = \frac{p + q}{p - q}$.
$\frac{1}{\sin \theta} = \frac{p + q}{p - q}$.
योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta} = \frac{(p + q) + (p - q)}{(p + q) - (p - q)} = \frac{2p}{2q} = \frac{p}{q}$.
हम जानते हैं कि $1 + \sin \theta = \left( \cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} \right)^2$ और $1 - \sin \theta = \left( \cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} \right)^2$.
अतः,$\left( \frac{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}} \right)^2 = \frac{p}{q}$.
अंश और हर को $\cos \frac{\theta}{2}$ से विभाजित करने पर:
$\left( \frac{1 + \tan \frac{\theta}{2}}{1 - \tan \frac{\theta}{2}} \right)^2 = \frac{p}{q}$.
सूत्र $\tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{1 + \tan \frac{\theta}{2}}{1 - \tan \frac{\theta}{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{p}{q}$.
व्युत्क्रम लेने पर:
$\cot^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{q}{p}$.
अतः,$\cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \sqrt{\frac{q}{p}}$.

(D) हम जानते हैं कि $\sin 6\theta = 2\sin 3\theta \cos 3\theta$ होता है।
$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ और $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\sin 6\theta = 2(3\sin\theta - 4\sin^3\theta)(4\cos^3\theta - 3\cos\theta)$
इस व्यंजक को सरल करने पर हमें $32\cos^5\theta \sin\theta - 32\cos^3\theta \sin\theta + 3\sin 2\theta$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर,$x = \sin 2\theta$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\cot(A) = \frac{1 + \cos(2A)}{\sin(2A)}$.
माना $A = 7\frac{1}{2}^{\circ}$,अतः $2A = 15^{\circ}$.
$\cot(7\frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{1 + \cos(15^{\circ})}{\sin(15^{\circ})}$.
$\cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ रखने पर,
$\cot(7\frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर,हमें $\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2$ प्राप्त होता है,जो कि $\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}$ है।

(A) माना $y = \frac{\tan x}{\tan 3x}$.
सूत्र $\tan 3x = \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{\tan x}{\frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}} = \frac{1 - 3\tan^2 x}{3 - \tan^2 x}$.
माना $t = \tan^2 x$,जहाँ $t \ge 0$. तब $y = \frac{1 - 3t}{3 - t}$.
$t$ के लिए हल करने पर: $y(3 - t) = 1 - 3t \implies 3y - yt = 1 - 3t \implies t(3 - y) = 1 - 3y \implies t = \frac{1 - 3y}{3 - y}$.
चूँकि $t = \tan^2 x \ge 0$,इसलिए $\frac{1 - 3y}{3 - y} \ge 0$.
यह असमिका $y \in [1/3, 3)$ के लिए सत्य है।
अतः,$y$ का मान कभी भी $(1/3, 3)$ अंतराल के बीच नहीं होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin 3\alpha = 4\sin \alpha \sin (x + \alpha )\sin (x - \alpha )$
सर्वसमिका $\sin (x + \alpha )\sin (x - \alpha ) = \sin^2 x - \sin^2 \alpha$ का उपयोग करने पर:
$\sin 3\alpha = 4\sin \alpha (\sin^2 x - \sin^2 \alpha)$
सर्वसमिका $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$ का उपयोग करने पर:
$3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha = 4\sin \alpha \sin^2 x - 4\sin^3 \alpha$
$3\sin \alpha = 4\sin \alpha \sin^2 x$
यह मानते हुए कि $\sin \alpha \neq 0$,$\sin \alpha$ से विभाजित करने पर:
$3 = 4\sin^2 x$
$\sin^2 x = \frac{3}{4} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$
$\sin^2 x = \sin^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)$
$\sin^2 x = \sin^2 \theta$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi \pm \theta$ है।
अतः,$x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(A) दिया गया है $\cos \theta = 1 - 2x^2$ और $x = \cos 40^\circ$.
$x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$\cos \theta = 1 - 2\cos^2 40^\circ$.
सर्वसमिका $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = -(2\cos^2 40^\circ - 1) = -\cos(2 \times 40^\circ) = -\cos 80^\circ$.
$0^\circ$ से $360^\circ$ के बीच $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम $\cos(180^\circ - A) = -\cos A$ और $\cos(180^\circ + A) = -\cos A$ गुणधर्म का उपयोग करेंगे।
अतः,$\cos \theta = \cos(180^\circ - 80^\circ) = \cos 100^\circ$ और $\cos \theta = \cos(180^\circ + 80^\circ) = \cos 260^\circ$.
इसलिए,$\theta$ के संभावित मान $100^\circ$ और $260^\circ$ हैं।

(B) दिया गया है $\sin n\theta = \sum\limits_{r = 0}^n b_r \sin^r \theta$.
चूंकि $n$ विषम है,$\sin n\theta$ एक विषम फलन है,इसलिए $\sin \theta$ के पदों में विस्तार में केवल $\sin \theta$ की विषम घातें होनी चाहिए।
अतः,$b_0 = 0$ और $b_2 = b_4 = \dots = 0$.
$\sin n\theta = \text{Im}((\cos \theta + i \sin \theta)^n)$ का उपयोग करने पर,$\sin n\theta = \binom{n}{1} \sin \theta \cos^{n-1} \theta - \binom{n}{3} \sin^3 \theta \cos^{n-3} \theta + \dots$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sin n\theta = \binom{n}{1} \sin \theta (1 - \sin^2 \theta)^{(n-1)/2} - \binom{n}{3} \sin^3 \theta (1 - \sin^2 \theta)^{(n-3)/2} + \dots$.
$\sin \theta$ का गुणांक पहले पद से प्राप्त होता है: $\binom{n}{1} \sin \theta (1)^{(n-1)/2} = n \sin \theta$.
इसलिए,$b_1 = n$ और $b_0 = 0$.

(B) हम जानते हैं कि $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$,इसलिए $\sin^3 x = \frac{1}{4}(3 \sin x - \sin 3x)$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^3 x \sin 3x = \frac{1}{4}(3 \sin x - \sin 3x) \sin 3x$
$= \frac{3}{4} \sin x \sin 3x - \frac{1}{4} \sin^2 3x$
$= \frac{3}{8}(2 \sin 3x \sin x) - \frac{1}{8}(2 \sin^2 3x)$
सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ और $2 \sin^2 A = 1 - \cos 2A$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{3}{8}(\cos 2x - \cos 4x) - \frac{1}{8}(1 - \cos 6x)$
$= -\frac{1}{8} + \frac{3}{8} \cos 2x - \frac{3}{8} \cos 4x + \frac{1}{8} \cos 6x$
इसकी तुलना $\sum_{m=0}^n c_m \cos mx = c_0 + c_1 \cos x + \dots + c_n \cos nx$ से करने पर,हम देखते हैं कि उच्चतम आवृत्ति वाला पद $\cos 6x$ है,इसलिए $n = 6$।

(B) दिया गया है $k = \sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{5\pi}{18} \sin \frac{7\pi}{18}$.
सर्वसमिका $\sin \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ का उपयोग करने पर:
$k = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18} \right) \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{18} \right) \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{18} \right)$
$k = \cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{\pi}{9}$.
सूत्र $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta = \frac{\sin 8\theta}{8 \sin \theta}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{9}$:
$k = \frac{\sin \left( 8 \cdot \frac{\pi}{9} \right)}{8 \sin \frac{\pi}{9}} = \frac{\sin \frac{8\pi}{9}}{8 \sin \frac{\pi}{9}}$.
चूँकि $\sin \frac{8\pi}{9} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{9} \right) = \sin \frac{\pi}{9}$:
$k = \frac{\sin \frac{\pi}{9}}{8 \sin \frac{\pi}{9}} = \frac{1}{8}$.

(A) दिया गया व्यंजक $E = \frac{\sqrt{1 - \sin x} + \sqrt{1 + \sin x}}{\sqrt{1 - \sin x} - \sqrt{1 + \sin x}}$ है।
$1 \pm \sin x = (\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2})^2$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{1 \pm \sin x} = |\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}|$ प्राप्त होता है।
$\frac{5\pi}{2} < x < 3\pi$ के लिए,$\frac{5\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2}$ है।
इस अंतराल में,$\cos \frac{x}{2} < 0$ और $\sin \frac{x}{2} < 0$ है,और $|\cos \frac{x}{2}| > |\sin \frac{x}{2}|$ है।
अतः,$\sqrt{1 - \sin x} = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$ और $\sqrt{1 + \sin x} = -(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$E = \frac{-2\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}} = -\cot \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $f(x) = \cot x + \cot(60^\circ + x) + \cot(120^\circ + x)$.
सर्वसमिका $\cot A + \cot B = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B}$ का उपयोग करने पर:
$\cot(60^\circ + x) + \cot(120^\circ + x) = \frac{\sin(180^\circ + 2x)}{\sin(60^\circ + x)\sin(60^\circ - x)} = \frac{-\sin 2x}{\sin^2 60^\circ - \sin^2 x}$.
हर में $\sin^2 60^\circ - \sin^2 x = \frac{3}{4} - \sin^2 x = \frac{3 - 4\sin^2 x}{4}$ रखने पर:
$\cot(60^\circ + x) + \cot(120^\circ + x) = \frac{-8\sin x \cos x}{3 - 4\sin^2 x}$.
अब,$f(x) = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{8\sin x \cos x}{3 - 4\sin^2 x} = \frac{3\cos x - 12\sin^2 x \cos x}{3\sin x - 4\sin^3 x} = 3\cot 3x$.

(D) हमारे पास व्यंजक $\frac{\sec 8\theta - 1}{\sec 4\theta - 1}$ है।
कोसाइन में बदलने पर,$\frac{\frac{1}{\cos 8\theta} - 1}{\frac{1}{\cos 4\theta} - 1} = \frac{1 - \cos 8\theta}{\cos 8\theta} \times \frac{\cos 4\theta}{1 - \cos 4\theta}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $1 - \cos 2A = 2 \sin^2 A$ का उपयोग करने पर,$1 - \cos 8\theta = 2 \sin^2 4\theta$ और $1 - \cos 4\theta = 2 \sin^2 2\theta$ होता है।
इन मानों को रखने पर,$\frac{2 \sin^2 4\theta}{\cos 8\theta} \times \frac{\cos 4\theta}{2 \sin^2 2\theta}$ प्राप्त होता है।
$\sin 4\theta = 2 \sin 2\theta \cos 2\theta$ का विस्तार करने पर,$\frac{\sin 8\theta}{\cos 8\theta} \times \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} = \tan 8\theta \cot 2\theta$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\theta = 3\alpha$ और $\sin 3\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
माना $\cos 3\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
हमें $E = a \csc \alpha - b \sec \alpha = \frac{a}{\sin \alpha} - \frac{b}{\cos \alpha} = \frac{a \cos \alpha - b \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$ का मान ज्ञात करना है।
$a = \sqrt{a^2 + b^2} \sin 3\alpha$ और $b = \sqrt{a^2 + b^2} \cos 3\alpha$ रखने पर:
$E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} (\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} \sin(3\alpha - \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} \sin 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
चूंकि $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:
$E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} (2 \sin \alpha \cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = 2\sqrt{a^2 + b^2}$.

(B) माना व्यंजक $E = (\cot 7.5^{\circ} - \tan 7.5^{\circ}) - (\cot 67.5^{\circ} - \tan 67.5^{\circ})$ है।
सर्वसमिका $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ का उपयोग करने पर.
प्रथम भाग के लिए,$2 \cot 15^{\circ} = 2(2 + \sqrt{3})$.
दूसरे भाग के लिए,$2 \cot 135^{\circ} = -2$.
अतः,$E = 2(2 + \sqrt{3}) - (-2) = 6 + 2\sqrt{3}$.
यह एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया है $A = 580^\circ$।
हम जानते हैं कि $\sqrt{1 + \sin A} = |\sin(A/2) + \cos(A/2)|$ और $\sqrt{1 - \sin A} = |\sin(A/2) - \cos(A/2)|$।
$A/2 = 290^\circ$ के लिए,जो चतुर्थ चतुर्थांश में है,$\sin(290^\circ) + \cos(290^\circ) < 0$ और $\sin(290^\circ) - \cos(290^\circ) < 0$ होता है।
अतः,$\sqrt{1 + \sin A} + \sqrt{1 - \sin A} = -(\sin(A/2) + \cos(A/2)) - (\sin(A/2) - \cos(A/2)) = -2 \sin(A/2)$।
इस प्रकार,$2 \sin(A/2) = -(\sqrt{1 + \sin A} + \sqrt{1 - \sin A})$।

(D) हम जानते हैं कि $\sin t = \frac{2 \tan(t/2)}{1 + \tan^2(t/2)}$ और $\cos t = \frac{1 - \tan^2(t/2)}{1 + \tan^2(t/2)}$.
माना $y = \tan(t/2)$. तब समीकरण $\frac{2y}{1+y^2} + \frac{1-y^2}{1+y^2} = \frac{1}{5}$ हो जाता है।
$5(1+y^2)$ से गुणा करने पर,$5(2y + 1 - y^2) = 1 + y^2$ प्राप्त होता है।
$10y + 5 - 5y^2 = 1 + y^2$.
$6y^2 - 10y - 4 = 0$.
$2$ से भाग देने पर,$3y^2 - 5y - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(3y + 1)(y - 2) = 0$.
अतः,$y = 2$ या $y = -\frac{1}{3}$।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{\sec 8\theta - 1}{\sec 4\theta - 1} = \frac{4 - 4 \tan^2 2\theta - 8 \tan^4 2\theta}{1 - 6 \tan^2 2\theta + \tan^4 2\theta}$ की तुलना करने पर $a=4, b=-4, c=-6, d=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a - b + c - d = 4 - (-4) + (-6) - 1 = 4 + 4 - 6 - 1 = 1$.

(A) हम सर्वसमिका $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ का उपयोग करेंगे।
चरण $1$: पहले दो पदों को सरल करने पर: $\cot 5^o - \tan 5^o = 2 \cot 10^o$.
चरण $2$: इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $2 \cot 10^o - 2 \tan 10^o - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o$.
चरण $3$: $2$ कॉमन लेने पर: $2(\cot 10^o - \tan 10^o) - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o = 2(2 \cot 20^o) - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o = 4 \cot 20^o - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o$.
चरण $4$: $4$ कॉमन लेने पर: $4(\cot 20^o - \tan 20^o) - 8 \cot 40^o = 4(2 \cot 40^o) - 8 \cot 40^o = 8 \cot 40^o - 8 \cot 40^o = 0$.

(C) माना $P = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$.
$2 \sin \frac{\pi}{7}$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{7}} \left( 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} \right) \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{7}} \left( \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \right) \cos \frac{3\pi}{7}$
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = \frac{1}{4 \sin \frac{\pi}{7}} \left( 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \right) \cos \frac{3\pi}{7} = \frac{1}{4 \sin \frac{\pi}{7}} \sin \frac{4\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$
चूंकि $\sin \frac{4\pi}{7} = \sin \left( \pi - \frac{3\pi}{7} \right) = \sin \frac{3\pi}{7}$:
$P = \frac{1}{4 \sin \frac{\pi}{7}} \sin \frac{3\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \left( 2 \sin \frac{3\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7} \right)$
$P = \frac{\sin \frac{6\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}}$
चूंकि $\sin \frac{6\pi}{7} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{7} \right) = \sin \frac{\pi}{7}$:
$P = \frac{\sin \frac{\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}} = \frac{1}{8}$.

(B) हम जानते हैं कि $\cot \theta = \tan(90^\circ - \theta)$.
दिया गया व्यंजक: $\tan 20^\circ \cot 10^\circ \cot 50^\circ = \tan 20^\circ \tan(90^\circ - 10^\circ) \tan(90^\circ - 50^\circ)$.
$= \tan 20^\circ \tan 80^\circ \tan 40^\circ$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ$.
सर्वसमिका $\tan \theta \tan(60^\circ - \theta) \tan(60^\circ + \theta) = \tan 3\theta$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = 20^\circ$:
$= \tan(3 \times 20^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$.

(B) दिया है $\csc \theta = \frac{p + q}{p - q}$,अतः $\sin \theta = \frac{p - q}{p + q}$.
सर्वसमिका $\cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\cot \frac{\pi}{4} \cot \frac{\theta}{2} - 1}{\cot \frac{\pi}{4} + \cot \frac{\theta}{2}} = \frac{\cot \frac{\theta}{2} - 1}{\cot \frac{\theta}{2} + 1}$ का उपयोग करने पर.
यह पद $\frac{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}$ में सरल हो जाता है।
इस पद का वर्ग करने पर,हमें $\frac{\cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} - 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta = \frac{p - q}{p + q}$ रखने पर:
$\frac{1 - \frac{p - q}{p + q}}{1 + \frac{p - q}{p + q}} = \frac{p + q - p + q}{p + q + p - q} = \frac{2q}{2p} = \frac{q}{p}$.
वर्गमूल लेने पर,$\left| \cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) \right| = \sqrt{\frac{q}{p}}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $P = \cos \frac{\pi}{2^2} \cdot \cos \frac{\pi}{2^3} \cdot \dots \cdot \cos \frac{\pi}{2^{10}}$.
सर्वसमिका $\cos \theta \cdot \cos 2\theta \cdot \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ का उपयोग करते हुए,$\theta = \frac{\pi}{2^{10}}$ और $n = 9$ रखने पर.
अतः $P = \frac{\sin(2^9 \cdot \frac{\pi}{2^{10}})}{2^9 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} = \frac{1}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})}$.
दिया गया व्यंजक $P \cdot \sin \frac{\pi}{2^{10}} = \frac{1}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} \cdot \sin \frac{\pi}{2^{10}} = \frac{1}{512}$ है।

हम जानते हैं कि $3x = 2x + x$.
इसलिए,$\tan 3x = \tan (2x + x)$.
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x \tan x}$.
वज्र गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$\tan 3x (1 - \tan 2x \tan x) = \tan 2x + \tan x$.
$\tan 3x - \tan 3x \tan 2x \tan x = \tan 2x + \tan x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan 3x - \tan 2x - \tan x = \tan 3x \tan 2x \tan x$.
अतः,$\tan 3x \tan 2x \tan x = \tan 3x - \tan 2x - \tan x$.

हमारे पास $L.H.S. = \frac{\sin 5x - 2\sin 3x + \sin x}{\cos 5x - \cos x}$ है।
योग-से-गुणनफल सूत्रों $\sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$ और $\cos A - \cos B = -2\sin(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करते हुए:
$L.H.S. = \frac{(\sin 5x + \sin x) - 2\sin 3x}{\cos 5x - \cos x}$
$L.H.S. = \frac{2\sin 3x \cos 2x - 2\sin 3x}{-2\sin 3x \sin 2x}$
$L.H.S. = \frac{2\sin 3x(\cos 2x - 1)}{-2\sin 3x \sin 2x}$
$L.H.S. = -\frac{\cos 2x - 1}{\sin 2x} = \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x}$
द्विगुण कोण सर्वसमिकाओं $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ और $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करते हुए:
$L.H.S. = \frac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x = R.H.S.$

(N/A) हम सर्वसमिका $\cos^{2} A - \cos^{2} B = \sin(A+B) \sin(B-A)$ का उपयोग करते हैं।
वैकल्पिक रूप से,सूत्र $\cos^{2} A - \cos^{2} B = (\cos A + \cos B)(\cos A - \cos B)$ का उपयोग करते हुए:
$L.H.S. = (\cos 2x + \cos 6x)(\cos 2x - \cos 6x)$
योग से गुणनफल सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\cos 2x + \cos 6x = 2 \cos \left( \frac{2x+6x}{2} \right) \cos \left( \frac{2x-6x}{2} \right) = 2 \cos 4x \cos(-2x) = 2 \cos 4x \cos 2x$
$\cos 2x - \cos 6x = -2 \sin \left( \frac{2x+6x}{2} \right) \sin \left( \frac{2x-6x}{2} \right) = -2 \sin 4x \sin(-2x) = 2 \sin 4x \sin 2x$
इन परिणामों का गुणा करने पर:
$L.H.S. = (2 \cos 4x \cos 2x)(2 \sin 4x \sin 2x)$
$= (2 \sin 4x \cos 4x)(2 \sin 2x \cos 2x)$
द्विगुणित कोण सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$= \sin 8x \sin 4x = R.H.S.$

(N/A) $L.H.S. = \sin 2x + 2 \sin 4x + \sin 6x$
$= (\sin 6x + \sin 2x) + 2 \sin 4x$
$= 2 \sin \left( \frac{6x + 2x}{2} \right) \cos \left( \frac{6x - 2x}{2} \right) + 2 \sin 4x$
$= 2 \sin 4x \cos 2x + 2 \sin 4x$
$= 2 \sin 4x (\cos 2x + 1)$
सर्वसमिका $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \sin 4x (2 \cos^2 x - 1 + 1)$
$= 2 \sin 4x (2 \cos^2 x)$
$= 4 \cos^2 x \sin 4x = R.H.S.$

(N/A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ जानते हैं: $\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$ और $\cos^2 A - \sin^2 A = \cos 2A$.
$L.H.S. = \frac{\sin x - \sin 3x}{\sin^2 x - \cos^2 x}$
$= \frac{2 \cos \left( \frac{x+3x}{2} \right) \sin \left( \frac{x-3x}{2} \right)}{-(\cos^2 x - \sin^2 x)}$
$= \frac{2 \cos(2x) \sin(-x)}{-\cos 2x}$
चूँकि $\sin(-x) = -\sin x$,इसलिए:
$= \frac{2 \cos 2x (-\sin x)}{-\cos 2x}$
$= 2 \sin x = R.H.S.$

हम जानते हैं कि $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$.
$L.H.S. = \tan 4x = \tan 2(2x)$.
सूत्र $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = 2x$:
$= \frac{2 \tan 2x}{1 - \tan^2 2x}$.
$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{2 \left( \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \right)}{1 - \left( \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \right)^2}$.
$= \frac{\frac{4 \tan x}{1 - \tan^2 x}}{1 - \frac{4 \tan^2 x}{(1 - \tan^2 x)^2}}$.
$= \frac{\frac{4 \tan x}{1 - \tan^2 x}}{\frac{(1 - \tan^2 x)^2 - 4 \tan^2 x}{(1 - \tan^2 x)^2}}$.
$= \frac{4 \tan x (1 - \tan^2 x)}{(1 - \tan^2 x)^2 - 4 \tan^2 x}$.
$= \frac{4 \tan x (1 - \tan^2 x)}{1 + \tan^4 x - 2 \tan^2 x - 4 \tan^2 x}$.
$= \frac{4 \tan x (1 - \tan^2 x)}{1 - 6 \tan^2 x + \tan^4 x} = R.H.S.$

(N/A) $L.H.S. = \cos 4x$
$= \cos 2(2x)$
$= 1 - 2 \sin^2 2x$ ($\cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A$ का उपयोग करते हुए)
$= 1 - 2(2 \sin x \cos x)^2$ ($\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करते हुए)
$= 1 - 2(4 \sin^2 x \cos^2 x)$
$= 1 - 8 \sin^2 x \cos^2 x$
$= R.H.S.$

$L.H.S. = \cos 6x$
$= \cos 3(2x)$
$= 4 \cos^3 2x - 3 \cos 2x$ ($\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$ का उपयोग करते हुए)
$= 4[(2 \cos^2 x - 1)^3 - 3(2 \cos^2 x - 1)]$ ($\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ का उपयोग करते हुए)
$= 4[8 \cos^6 x - 1 - 3(4 \cos^4 x)(1) + 3(2 \cos^2 x)(1)^2] - 6 \cos^2 x + 3$
$= 4[8 \cos^6 x - 12 \cos^4 x + 6 \cos^2 x - 1] - 6 \cos^2 x + 3$
$= 32 \cos^6 x - 48 \cos^4 x + 24 \cos^2 x - 4 - 6 \cos^2 x + 3$
$= 32 \cos^6 x - 48 \cos^4 x + 18 \cos^2 x - 1$
$= R.H.S.$

(B) माना $x = \frac{\pi}{8}$. तब $2x = \frac{\pi}{4}$.
सूत्र $\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \frac{\pi}{4} = \frac{2 \tan \frac{\pi}{8}}{1 - \tan^2 \frac{\pi}{8}}$
चूँकि $\tan \frac{\pi}{4} = 1$,माना $y = \tan \frac{\pi}{8}$. तब:
$1 = \frac{2y}{1 - y^2}$
$1 - y^2 = 2y$
$y^2 + 2y - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$
चूँकि $\frac{\pi}{8}$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\tan \frac{\pi}{8} > 0$. अतः,$y = \sqrt{2} - 1$.

दिया गया है $\tan x = \frac{3}{4}$ और $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$।
चूंकि $x$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\cos x$ ऋणात्मक है।
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 x = \frac{16}{25}$ प्राप्त होता है।
$\cos x < 0$ होने के कारण,$\cos x = -\frac{4}{5}$।
$\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ को $2$ से विभाजित करने पर,$\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल (दूसरे चतुर्थांश) में,$\sin \frac{x}{2} > 0$ और $\cos \frac{x}{2} < 0$ है।
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin^2 \frac{x}{2} = 1 - \cos x = 1 - (-\frac{4}{5}) = \frac{9}{5} \implies \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{9}{10} \implies \sin \frac{x}{2} = \frac{3}{\sqrt{10}}$।
$2 \cos^2 \frac{x}{2} = 1 + \cos x = 1 + (-\frac{4}{5}) = \frac{1}{5} \implies \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{10} \implies \cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$।
अंत में,$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin (x/2)}{\cos (x/2)} = \frac{3/\sqrt{10}}{-1/\sqrt{10}} = -3$।

(D) यहाँ $x$ दूसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ है।
$2$ से भाग देने पर,$\frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{x}{2}$ पहले चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ और $\tan \frac{x}{2}$ सभी धनात्मक हैं।
दिया है $\tan x = -\frac{4}{3}$,इसलिए $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$।
अतः,$\cos^2 x = \frac{9}{25}$,जिससे $\cos x = -\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है (क्योंकि $x$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\cos x < 0$)।
सूत्र $\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$-\frac{3}{5} = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$।
$2\cos^2 \frac{x}{2} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \Rightarrow \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{5}$।
चूँकि $\frac{x}{2}$ पहले चतुर्थांश में है,$\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$।
$\sin^2 \frac{x}{2} = 1 - \cos^2 \frac{x}{2} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$।
चूँकि $\frac{x}{2}$ पहले चतुर्थांश में है,$\sin \frac{x}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$।
अंत में,$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} = \frac{2/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}} = 2$।
अतः,$\sin \frac{x}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ और $\tan \frac{x}{2} = 2$ है।

(A) यहाँ $x$ चतुर्थांश $III$ में है,अर्थात $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.
अतः,$\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4}$.
इस अंतराल (द्वितीय चतुर्थांश) में,$\sin \frac{x}{2}$ धनात्मक है,जबकि $\cos \frac{x}{2}$ और $\tan \frac{x}{2}$ ऋणात्मक हैं।
सर्वसमिका $\cos x = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 - (-1/3)}{2} = \frac{2}{3}$.
चूँकि $\sin \frac{x}{2} > 0$,इसलिए $\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
सर्वसमिका $\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} = \frac{1 + (-1/3)}{2} = \frac{1}{3}$.
चूँकि $\cos \frac{x}{2} < 0$,इसलिए $\cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
अंततः,$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} = -\sqrt{2}$.

यहाँ $x$ द्वितीय चतुर्थांश में है,अतः $\frac{\pi}{2} < x < \pi$.
$2$ से भाग देने पर,$\frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $\frac{x}{2}$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ और $\tan \frac{x}{2}$ सभी धनात्मक हैं।
दिया है $\sin x = \frac{1}{4}$.
चूँकि $x$ द्वितीय चतुर्थांश में है,$\cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{4}$.
$\cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{4}$.
$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} = 4 + \sqrt{15}$.

(A) दिया गया है $L = \sin^{2}\left(\frac{\pi}{16}\right) - \sin^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
सर्वसमिका $\sin^{2} \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$L = \left(\frac{1 - \cos(\pi/8)}{2}\right) - \left(\frac{1 - \cos(\pi/4)}{2}\right)$
$L = \frac{1}{2} \left[ \cos(\pi/4) - \cos(\pi/8) \right] = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
दिया गया है $M = \cos^{2}\left(\frac{\pi}{16}\right) - \sin^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
सर्वसमिका $\cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ और $\sin^{2} \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$M = \left(\frac{1 + \cos(\pi/8)}{2}\right) - \left(\frac{1 - \cos(\pi/4)}{2}\right)$
$M = \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
अतः,विकल्प $A$ सही है.

(D) हम जानते हैं कि $\cot \frac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{12}$ रखने पर,$\cot \frac{\pi}{24} = \csc \frac{\pi}{12} + \cot \frac{\pi}{12}$.
$\csc \frac{\pi}{12} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$ और $\cot \frac{\pi}{12} = 2+\sqrt{3}$.
अतः,$\cot \frac{\pi}{24} = \sqrt{6}+\sqrt{2}+2+\sqrt{3}$.

(C) हम जानते हैं कि $\cos 72^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ है।
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$\cos 72^{\circ} = 1 - 2\sin^{2} 36^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$\alpha = \sin 36^{\circ}$ रखने पर,$1 - 2\alpha^{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ प्राप्त होता है।
$4$ से गुणा करने पर,$4 - 8\alpha^{2} = \sqrt{5} - 1$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$5 - 8\alpha^{2} = \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(5 - 8\alpha^{2})^{2} = 5$ प्राप्त होता है।
$25 + 64\alpha^{4} - 80\alpha^{2} = 5$।
$64\alpha^{4} - 80\alpha^{2} + 20 = 0$।
$4$ से भाग देने पर,$16\alpha^{4} - 20\alpha^{2} + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha$ समीकरण $16x^{4} - 20x^{2} + 5 = 0$ का एक मूल है।

(A) माना $S = \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) + \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right) + \cos \left(\frac{6 \pi}{7}\right)$.
समांतर श्रेणी में कोसाइन के योग के सूत्र का उपयोग करने पर: $S = \frac{\sin(\frac{3 \pi}{7})}{\sin(\frac{\pi}{7})} \cos\left(\frac{4 \pi}{7}\right)$.
अंश और हर को $2 \sin(\frac{\pi}{7})$ से गुणा करने पर:
$S = \frac{2 \sin(\frac{3 \pi}{7}) \cos(\frac{4 \pi}{7})}{2 \sin(\frac{\pi}{7})}$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$S = \frac{\sin(\pi) + \sin(-\frac{\pi}{7})}{2 \sin(\frac{\pi}{7})}$
चूंकि $\sin(\pi) = 0$ और $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$:
$S = \frac{-\sin(\frac{\pi}{7})}{2 \sin(\frac{\pi}{7})} = -\frac{1}{2}$.

(A) माना $P = 96 \cos \frac{\pi}{33} \cos \frac{2 \pi}{33} \cos \frac{4 \pi}{33} \cos \frac{8 \pi}{33} \cos \frac{16 \pi}{33}$ है।
सूत्र $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $n=5$ और $\theta = \frac{\pi}{33}$ है।
$P = 96 \times \frac{\sin(2^5 \times \frac{\pi}{33})}{2^5 \sin \frac{\pi}{33}}$
$P = 96 \times \frac{\sin \frac{32 \pi}{33}}{32 \sin \frac{\pi}{33}}$
चूँकि $\sin \frac{32 \pi}{33} = \sin(\pi - \frac{\pi}{33}) = \sin \frac{\pi}{33}$ है,इसलिए:
$P = \frac{96}{32} \times \frac{\sin \frac{\pi}{33}}{\sin \frac{\pi}{33}}$
$P = 3 \times 1 = 3$.

(B) दिया गया है $\sec x + \tan x = 2$।
हम जानते हैं कि $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,जिसका अर्थ है $(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) = 1$।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sec x - \tan x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2 \sec x = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$,इसलिए $\sec x = \frac{5}{4}$।
अतः,$\cos x = \frac{4}{5}$।
अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 - 4/5}{2} = \frac{1}{10}$।
चूँकि $0 < x < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{4}$,अतः $\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{10}}$।
तब $\cos \frac{x}{2} = \sqrt{1 - \sin^2 \frac{x}{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$।
$\sin^2 \frac{x}{4} = \frac{1 - \cos \frac{x}{2}}{2} = \frac{1 - 3/\sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{10} - 3}{2 \sqrt{10}}$।
अंश और हर को $\sqrt{10} + 3$ से गुणा करने पर:
$\sin^2 \frac{x}{4} = \frac{(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3)}{2 \sqrt{10}(\sqrt{10} + 3)} = \frac{10 - 9}{2(10 + 3 \sqrt{10})} = \frac{1}{2(10 + 3 \sqrt{10})}$।
इसलिए,$\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{\sqrt{2(10 + 3 \sqrt{10})}}$।

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $4 \cos^3 \theta = \cos 3\theta + 3 \cos \theta$.
सर्वसमिका में $\theta = 20^{\circ}$ रखने पर:
$4 \cos^3 20^{\circ} = \cos(3 \times 20^{\circ}) + 3 \cos 20^{\circ}$
$4 \cos^3 20^{\circ} = \cos 60^{\circ} + 3 \cos 20^{\circ}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$4 \cos^3 20^{\circ} = \frac{1}{2} + 3 \cos 20^{\circ}$.