Trigonometrical ratios of multiple and sub-multiple angles Questions in Hindi

(D) दिया गया है $2 \cos \theta = x + \frac{1}{x}$,जिसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$2 \cos 3 \theta = 2 [4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta] = 8 \cos^3 \theta - 6 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right)$ का मान रखने पर:
$2 \cos 3 \theta = 8 \left[ \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right) \right]^3 - 6 \left[ \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right) \right]$
$= 8 \left[ \frac{1}{8} \left(x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) \right) \right] - 3 \left(x + \frac{1}{x}\right)$
$= \left(x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) \right) - 3 \left(x + \frac{1}{x}\right)$
$= x^3 + \frac{1}{x^3}$.

(B) दिया गया है $a \sin \theta = b \cos \theta$,अतः $\tan \theta = \frac{b}{a}$ है।
हमें $a \cos 2 \theta + b \sin 2 \theta$ का मान ज्ञात करना है।
$\tan \theta$ के पदों में सूत्रों का उपयोग करने पर:
$a \cos 2 \theta + b \sin 2 \theta = a \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + b \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)$
$\tan \theta = \frac{b}{a}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= a \left( \frac{1 - \frac{b^2}{a^2}}{1 + \frac{b^2}{a^2}} \right) + b \left( \frac{2 \left( \frac{b}{a} \right)}{1 + \frac{b^2}{a^2}} \right)$
$= a \left( \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} \right) + b \left( \frac{2b}{a} \cdot \frac{a^2}{a^2 + b^2} \right)$
$= \frac{a(a^2 - b^2)}{a^2 + b^2} + \frac{2ab^2}{a^2 + b^2}$
$= \frac{a^3 - ab^2 + 2ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^3 + ab^2}{a^2 + b^2}$
$= \frac{a(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = a$.

(B) दिया गया है $3 \sin \theta = 2 \sin 3 \theta$.
सर्वसमिका $\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$3 \sin \theta = 2(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$
$3 \sin \theta = 6 \sin \theta - 8 \sin^3 \theta$
$8 \sin^3 \theta - 3 \sin \theta = 0$
$\sin \theta (8 \sin^2 \theta - 3) = 0$
इसका अर्थ है $\sin \theta = 0$ या $\sin^2 \theta = \frac{3}{8}$.
चूंकि $0 < \theta < \pi$,$\sin \theta$ धनात्मक और अशून्य होना चाहिए।
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$.

(A) दिया गया है: $\tan A = \frac{1}{2}$ और $\tan B = \frac{1}{3}$.
सबसे पहले,$\tan 2B = \frac{2 \tan B}{1 - \tan^2 B}$ सूत्र का उपयोग करके $\tan 2B$ ज्ञात करें।
$\tan 2B = \frac{2(\frac{1}{3})}{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{3}{4}$.
अब,$\tan (A + 2B) = \frac{\tan A + \tan 2B}{1 - \tan A \cdot \tan 2B}$ सूत्र का उपयोग करें।
$\tan (A + 2B) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 - (\frac{1}{2} \times \frac{3}{4})} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = 2$.

(A) दिया गया समीकरण $\sin x \cos x = \frac{1}{4}$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \sin x \cos x = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$\sin 2x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin 2x = \sin \frac{\pi}{6}$,इसलिए $2x$ का व्यापक हल $2x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$ है।
$n=0$ के लिए,$2x = \frac{\pi}{6} \implies x = \frac{\pi}{12}$.
$n=1$ के लिए,$2x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \implies x = \frac{5\pi}{12}$.
दोनों मान $x = \frac{\pi}{12}$ और $x = \frac{5\pi}{12}$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में स्थित हैं।

(B) दिया गया है $\sec x = \frac{25}{24}$,अतः $\cos x = \frac{24}{25}$.
चूँकि $x$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\sin x = \sqrt{1 - (\frac{24}{25})^2} = \frac{7}{25}$.
अब,$(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = 1 + \sin x = 1 + \frac{7}{25} = \frac{32}{25}$.
प्रथम चतुर्थांश में $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}$ धनात्मक है,इसलिए $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{32}{25}} = \frac{4 \sqrt{2}}{5} = \frac{8}{5 \sqrt{2}}$.

(C) हम जानते हैं कि $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$.
$\theta = \frac{\pi}{8}$ रखने पर,$\tan \frac{\pi}{4} = \frac{2\tan \frac{\pi}{8}}{1-\tan^2 \frac{\pi}{8}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan \frac{\pi}{4} = 1$,मान लीजिए $y = \tan \frac{\pi}{8}$।
तब $1 = \frac{2y}{1-y^2}$,जिसका अर्थ है $1 - y^2 = 2y$,या $y^2 + 2y - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{\pi}{8}$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $\tan \frac{\pi}{8} > 0$ होगा।
अतः,$\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$।

(C) सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\tan 160^{\circ} - \tan 110^{\circ}}{1 + \tan 160^{\circ} \tan 110^{\circ}} = \tan(160^{\circ} - 110^{\circ}) = \tan 50^{\circ}$
चूँकि $\tan 50^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 40^{\circ}) = \cot 40^{\circ} = \frac{1}{\tan 40^{\circ}}$
डबल एंगल सूत्र $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,$\theta = 20^{\circ}$ रखने पर:
$\tan 40^{\circ} = \frac{2\tan 20^{\circ}}{1 - \tan^2 20^{\circ}} = \frac{2p}{1 - p^2}$
अतः,$\frac{1}{\tan 40^{\circ}} = \frac{1 - p^2}{2p}$.

(D) दिया गया है $\tan x = \frac{3}{4}$ और $\pi < x < \frac{3 \pi}{2}$।
चूँकि $x$ तीसरे चतुर्थांश में है,$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$।
अतः,$\sec x = -\frac{5}{4}$ (क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में $\sec x < 0$),जिसका अर्थ है $\cos x = -\frac{4}{5}$।
$\pi < x < \frac{3 \pi}{2}$ के लिए,$\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3 \pi}{4}$ है।
अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4})$ में $\cos \frac{x}{2}$ ऋणात्मक होता है।
अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}$।
$\cos x = -\frac{4}{5}$ रखने पर,$\cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1 - 4/5}{2}} = -\sqrt{\frac{1/5}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$।

(B) हम जानते हैं कि $3A = 2A + A$ होता है।
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर:
$\tan 3A = \tan(2A + A) = \frac{\tan 2A + \tan A}{1 - \tan 2A \tan A}$।
वज्र गुणन करने पर:
$\tan 3A(1 - \tan 2A \tan A) = \tan 2A + \tan A$।
$\tan 3A - \tan 3A \tan 2A \tan A = \tan 2A + \tan A$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan 3A \tan 2A \tan A = \tan 3A - \tan 2A - \tan A$।

(D) दिया गया समीकरण: $3 \sin 2 \theta = 2 \sin 3 \theta$.
सर्वसमिकाओं $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ और $\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$3(2 \sin \theta \cos \theta) = 2(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$.
$6 \sin \theta \cos \theta = 6 \sin \theta - 8 \sin^3 \theta$.
चूंकि $0 < \theta < \pi$,$\sin \theta \neq 0$,इसलिए $2 \sin \theta$ से भाग देने पर:
$3 \cos \theta = 3 - 4 \sin^2 \theta$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3 \cos \theta = 3 - 4(1 - \cos^2 \theta) = 3 - 4 + 4 \cos^2 \theta$.
$4 \cos^2 \theta - 3 \cos \theta - 1 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(4 \cos \theta + 1)(\cos \theta - 1) = 0$.
इससे $\cos \theta = 1$ (जो संभव नहीं है) या $\cos \theta = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

(B) हम जानते हैं कि $\tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}$.
मान लीजिए $\theta = 10^{\circ}$,तो $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3\tan 10^{\circ} - \tan^3 10^{\circ}}{1 - 3\tan^2 10^{\circ}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{3} = \frac{(3\tan 10^{\circ} - \tan^3 10^{\circ})^2}{(1 - 3\tan^2 10^{\circ})^2}$.
$(1 - 3\tan^2 10^{\circ})^2 = 3(9\tan^2 10^{\circ} - 6\tan^4 10^{\circ} + \tan^6 10^{\circ})$.
$1 - 6\tan^2 10^{\circ} + 9\tan^4 10^{\circ} = 27\tan^2 10^{\circ} - 18\tan^4 10^{\circ} + 3\tan^6 10^{\circ}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $3\tan^6 10^{\circ} - 27\tan^4 10^{\circ} + 33\tan^2 10^{\circ} = 1$.

(B) हम जानते हैं कि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए $\cos^4(\pi - \theta) = \cos^4 \theta$.
अतः,$\cos^4 \frac{7\pi}{8} = \cos^4 \frac{\pi}{8}$ और $\cos^4 \frac{5\pi}{8} = \cos^4 \frac{3\pi}{8}$.
व्यंजक $2(\cos^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8})$ हो जाता है।
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$\cos^4 \theta = \frac{3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$.
$\theta = \frac{\pi}{8}$ के लिए,$\cos^4 \frac{\pi}{8} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8}$.
$\theta = \frac{3\pi}{8}$ के लिए,$\cos^4 \frac{3\pi}{8} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8}$.
योग करने पर,$2(\frac{3 + 2\sqrt{2}}{8} + \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8}) = 2(\frac{6}{8}) = \frac{3}{2}$.

(D) हम जानते हैं कि $\tan \theta$ के पदों में $\cos 2 \theta$ का सूत्र है:
$\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$
दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{1}{3}$,इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos 2 \theta = \frac{1 - (\frac{1}{3})^2}{1 + (\frac{1}{3})^2} = \frac{1 - \frac{1}{9}}{1 + \frac{1}{9}}$
$\cos 2 \theta = \frac{\frac{8}{9}}{\frac{10}{9}} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

(A) हम जानते हैं कि $1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$.
इस सर्वसमिका का उपयोग करके,हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 \theta}} = \sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos 4 \theta)}}$
$= \sqrt{2+\sqrt{2(2 \cos^2 2 \theta)}}$
$= \sqrt{2+\sqrt{4 \cos^2 2 \theta}}$
$= \sqrt{2+2 \cos 2 \theta}$
$= \sqrt{2(1+\cos 2 \theta)}$
$= \sqrt{2(2 \cos^2 \theta)}$
$= \sqrt{4 \cos^2 \theta} = 2 \cos \theta$

(A) हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} 2 \theta = \frac{1}{\sin 2 \theta}$ और $\cot 2 \theta = \frac{\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\operatorname{cosec} 2 \theta - \cot 2 \theta = \frac{1}{\sin 2 \theta} - \frac{\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta} = \frac{1 - \cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos 2 \theta = 2 \sin^2 \theta$ और $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin^2 \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हम सर्वसमिका $\sin^{2}(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करते हैं।
$\theta = \frac{\pi}{8}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 - \cos\left(2 \times \frac{\pi}{8}\right)}{2}$
$= \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}$
चूंकि $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$= \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}$.

(A) हम जानते हैं कि $\tan \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{1-\cos A}{\sin A}$ सूत्र का उपयोग करने पर।
$A = \frac{\pi}{4}$ रखने पर,हमें $\frac{A}{2} = \frac{\pi}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1-\cos(\pi/4)}{\sin(\pi/4)}$.
$\cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ मान रखने पर:
$\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}-1$.

(A) हम जानते हैं कि $\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ होता है।
इन मानों को $b \cos 2 \theta + a \sin 2 \theta$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= b \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + a \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)$
दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{a}{b}$,इसलिए:
$= b \left( \frac{1 - \frac{a^2}{b^2}}{1 + \frac{a^2}{b^2}} \right) + a \left( \frac{2 \frac{a}{b}}{1 + \frac{a^2}{b^2}} \right)$
$= b \left( \frac{b^2 - a^2}{b^2 + a^2} \right) + \frac{2a^2 b}{b^2 + a^2}$
$= \frac{b^3 - a^2 b + 2a^2 b}{b^2 + a^2} = \frac{b(b^2 + a^2)}{b^2 + a^2} = b$.

(B) हम सर्वसमिका $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\cot \theta = \tan \theta + 2 \cot 2\theta$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2 \cot 2\theta = \cot \theta - \tan \theta$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $E = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + 8 \cot 8A$ पर विचार करें।
सर्वसमिका $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ का उपयोग करते हुए:
$\tan A = \cot A - 2 \cot 2A$
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = (\cot A - 2 \cot 2A) + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + 8 \cot 8A$
यह दृष्टिकोण जटिल है,इसलिए आइए $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ का बार-बार उपयोग करके चरण-दर-चरण सरल करें:
$8 \cot 8A = 4 \cot 4A - 4 \tan 4A$
$E = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + (4 \cot 4A - 4 \tan 4A) = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \cot 4A$
अब,$4 \cot 4A = 2 \cot 2A - 2 \tan 2A$
$E = \tan A + 2 \tan 2A + (2 \cot 2A - 2 \tan 2A) = \tan A + 2 \cot 2A$
अंत में,$2 \cot 2A = \cot A - \tan A$
$E = \tan A + (\cot A - \tan A) = \cot A$.

(B) हम सूत्र $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
$\cos x \cos 7 x - \cos 5 x \cos 13 x = \frac{1}{2} [2 \cos 7 x \cos x - 2 \cos 13 x \cos 5 x]$
$= \frac{1}{2} [(\cos 8 x + \cos 6 x) - (\cos 18 x + \cos 8 x)]$
$= \frac{1}{2} [\cos 6 x - \cos 18 x]$
सूत्र $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [-2 \sin \frac{6 x + 18 x}{2} \sin \frac{6 x - 18 x}{2}]$
$= - \sin 12 x \sin(-6 x)$
$= \sin 12 x \sin 6 x$
चूँकि $\sin 12 x = 2 \sin 6 x \cos 6 x$,इसलिए:
$= (2 \sin 6 x \cos 6 x) \sin 6 x = 2 \sin ^{2} 6 x \cos 6 x$.

(B) हम सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ और $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1 = 1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करते हैं।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1 - (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) + (2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1)}{1 - (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) - (1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2})}$
$= \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \sin^2 \frac{\theta}{2} - 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}$
$= \frac{2 \cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})}{2 \sin \frac{\theta}{2} (\sin \frac{\theta}{2} - \cos \frac{\theta}{2})}$
$= \frac{2 \cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})}{-2 \sin \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})}$
$= -\frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} = -\cot \frac{\theta}{2}$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ है।
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ होती है।
अतः,$f(x) = \sin(3x)$।
अब,$x = \frac{\pi}{3}$ रखने पर:
$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(3 \times \frac{\pi}{3}\right) = \sin(\pi)$।
चूंकि $\sin(\pi) = 0$ होता है,इसलिए मान $0$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है,$\sin x - \sin y = \frac{1}{2} \dots (i)$ और $\cos x - \cos y = 1 \dots (ii)$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{2} \dots (iii)$
$-2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) = 1 \dots (iv)$
$(iv)$ को $(iii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{-2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{1}{1/2}$
$-\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = 2 \implies \tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = -2$.
सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = \frac{x+y}{2}$:
$\tan(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)} = \frac{2(-2)}{1 - (-2)^2} = \frac{-4}{1 - 4} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$.

(D) हम जानते हैं कि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
माना $E = \sin 10^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ} \cdot \sin 50^{\circ} \cdot \sin 70^{\circ}$.
$E = \frac{1}{2} \cdot (\sin 10^{\circ} \cdot \sin 50^{\circ} \cdot \sin 70^{\circ})$.
सर्वसमिका $\sin \theta \cdot \sin(60^{\circ}-\theta) \cdot \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = 10^{\circ}$:
$\sin 10^{\circ} \cdot \sin 50^{\circ} \cdot \sin 70^{\circ} = \sin 10^{\circ} \cdot \sin(60^{\circ}-10^{\circ}) \cdot \sin(60^{\circ}+10^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin(3 \times 10^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
अतः,$E = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16}$.

(B) माना $y = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 8 \theta}}}$.
हम जानते हैं कि $1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$.
इस सर्वसमिका का उपयोग करके,हम व्यंजक को चरण-दर-चरण सरल करते हैं:
$y = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1 + \cos 8 \theta)}}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(2 \cos^2 4 \theta)}}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{4 \cos^2 4 \theta}}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 \theta}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2(1 + \cos 4 \theta)}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2(2 \cos^2 2 \theta)}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{4 \cos^2 2 \theta}}$
$y = \sqrt{2+2 \cos 2 \theta}$
$y = \sqrt{2(1 + \cos 2 \theta)}$
$y = \sqrt{2(2 \cos^2 \theta)}$
$y = \sqrt{4 \cos^2 \theta} = 2 \cos \theta$.

(C) हम सूत्र $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$ जानते हैं।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर,हमें $\tan \frac{\pi}{8} = \frac{\sin(\pi/4)}{1 + \cos(\pi/4)}$ प्राप्त होता है।
$\sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का मान रखने पर:
$\tan \frac{\pi}{8} = \frac{1/\sqrt{2}}{1 + 1/\sqrt{2}} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+1)/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$.

(C) दिया गया है,$\sqrt{\frac{1+\cos A}{1-\cos A}}=\frac{x}{y}$.
सर्वसमिकाओं $1+\cos A = 2\cos^{2}\frac{A}{2}$ और $1-\cos A = 2\sin^{2}\frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{\frac{2\cos^{2}\frac{A}{2}}{2\sin^{2}\frac{A}{2}}} = \frac{x}{y}$
$\cot\frac{A}{2} = \frac{x}{y} \implies \tan\frac{A}{2} = \frac{y}{x}$.
अब,सूत्र $\tan A = \frac{2\tan\frac{A}{2}}{1-\tan^{2}\frac{A}{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan A = \frac{2(\frac{y}{x})}{1-(\frac{y}{x})^{2}} = \frac{\frac{2y}{x}}{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}}}$
$\tan A = \frac{2y}{x} \times \frac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}} = \frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}$.

(C) दिया गया है,$\tan x = \frac{3}{4}$ और $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$।
चूंकि $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$,$2$ से भाग देने पर $\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{x}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
दूसरे चतुर्थांश में,$\cos \theta$ ऋणात्मक होता है।
हम जानते हैं कि $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + (\frac{3}{4})^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$।
इसलिए,$\sec x = \pm \frac{5}{4}$।
चूंकि $x$ तीसरे चतुर्थांश में है,$\cos x$ ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $\cos x = -\frac{4}{5}$।
अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$।
$\cos x$ का मान रखने पर,$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{1/5}{2} = \frac{1}{10}$।
चूंकि $\frac{x}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\cos \frac{x}{2}$ ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,$\cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$।

(D) दिया है: $\sin \theta = \frac{3}{5}$.
चूंकि $\theta$ प्रथम चतुर्थांश में नहीं है और $\sin \theta$ धनात्मक है,इसलिए $\theta$ द्वितीय चतुर्थांश में होना चाहिए।
अतः,$\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac{4}{5}$.
अब,$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \left(\frac{3}{5}\right) \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25}$.
$\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta = 1 - 2 \left(\frac{9}{25}\right) = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}$.
$\tan 2 \theta = \frac{\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = \frac{-24/25}{7/25} = -\frac{24}{7}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$15 \sin 2 \theta - 20 \cos 2 \theta - 7 \tan 2 \theta = 15 \left(-\frac{24}{25}\right) - 20 \left(\frac{7}{25}\right) - 7 \left(-\frac{24}{7}\right)$.
$= -\frac{72}{5} - \frac{28}{5} + 24 = -\frac{100}{5} + 24 = -20 + 24 = 4$.

(C) हम अर्ध-कोण सूत्र जानते हैं: $\sin^2(\frac{A}{2}) = \frac{1 - \cos A}{2}$.
माना $A = 45^{\circ}$. तब $\frac{A}{2} = 22 \frac{1}{2}^{\circ}$.
$A$ का मान रखने पर:
$\sin^2(22 \frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{1 - \cos 45^{\circ}}{2}$
$= \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}$
$= \frac{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{4}$
अतः,$\sin(22 \frac{1}{2}^{\circ}) = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}$.

(A) हम जानते हैं कि $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$,जिसका अर्थ है $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
अब,$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2$.
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^4 x = \frac{1 + \cos^2 2x + 2\cos 2x}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\cos^2 2x$.
सर्वसमिका $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ का उपयोग करके,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\left(\frac{1 + \cos 4x}{2}\right)$.
$\cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos 4x$.
$\cos^4 x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$.

(B) हम जानते हैं कि $\theta = \frac{\pi}{9}$ के लिए,$3\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
$\tan(3\theta) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$।
सूत्र $\tan(3\theta) = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta} = \sqrt{3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(3\tan\theta - \tan^3\theta)^2 = 3(1 - 3\tan^2\theta)^2$।
$9\tan^2\theta + \tan^6\theta - 6\tan^4\theta = 3(1 + 9\tan^4\theta - 6\tan^2\theta)$।
$9\tan^2\theta + \tan^6\theta - 6\tan^4\theta = 3 + 27\tan^4\theta - 18\tan^2\theta$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan^6\theta - 33\tan^4\theta + 27\tan^2\theta + 1 = 4$।

(B) दिया गया व्यंजक: $(1+\sec 2\theta)(1+\sec 4\theta) = (1+\frac{1}{\cos 2\theta})(1+\frac{1}{\cos 4\theta})$
$= (\frac{\cos 2\theta + 1}{\cos 2\theta})(\frac{\cos 4\theta + 1}{\cos 4\theta})$
सर्वसमिका $1 + \cos 2A = 2\cos^2 A$ का उपयोग करने पर:
$= (\frac{2\cos^2 \theta}{\cos 2\theta})(\frac{2\cos^2 2\theta}{\cos 4\theta})$
$= \frac{2\cos^2 \theta}{\cos 2\theta} \cdot \frac{2\cos^2 2\theta}{\cos 4\theta}$
$= \cot \theta \cdot \tan 4\theta$ प्राप्त होता है।

(B) माना $A = \tan \left(\frac{7 \pi}{8}\right)$.
चूंकि $\frac{7 \pi}{8} = \pi - \frac{\pi}{8}$,इसलिए $A = \tan \left(\pi - \frac{\pi}{8}\right) = -\tan \left(\frac{\pi}{8}\right)$.
सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,$\theta = \frac{\pi}{8}$ लें।
$\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2 \tan \left(\frac{\pi}{8}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{\pi}{8}\right)} = 1$.
$\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = -A$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2(-A)}{1 - (-A)^2} = 1$.
$-2A = 1 - A^2 \Rightarrow A^2 - 2A - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $A = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$A = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
चूंकि $\frac{7 \pi}{8}$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\tan \left(\frac{7 \pi}{8}\right) < 0$.
अतः,$A = 1 - \sqrt{2}$.

(C) हम जानते हैं कि $\tan(2x)$ का सूत्र $\frac{2 \tan(x)}{1-\tan^2(x)}$ होता है।
दी गई असमिका $\frac{2 \tan(x)}{1-\tan^2(x)} > 0$ से,हमें $\tan(2x) > 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $2x \in (0, \pi)$ होगा।
$(0, \pi)$ अंतराल में $\tan(2x) > 0$ होने के लिए,$2x$ को प्रथम चतुर्थांश में होना चाहिए,अर्थात $0 < 2x < \frac{\pi}{2}$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $0 < x < \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ का परिसर $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ है।

(D) हम सर्वसमिका $\tan \theta - \cot \theta = -2 \cot 2 \theta$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $S = \tan \alpha + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$।
$\cot \alpha$ जोड़ने और घटाने पर:
$S = (\tan \alpha - \cot \alpha) + \cot \alpha + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = -2 \cot 2 \alpha + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
$S = -2(\cot 2 \alpha - \tan 2 \alpha) + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
चूंकि $\cot 2 \alpha - \tan 2 \alpha = 2 \cot 4 \alpha$,इसलिए:
$S = -2(2 \cot 4 \alpha) + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
$S = -4 \cot 4 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
$S = -4(\cot 4 \alpha - \tan 4 \alpha) + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
चूंकि $\cot 4 \alpha - \tan 4 \alpha = 2 \cot 8 \alpha$,इसलिए:
$S = -4(2 \cot 8 \alpha) + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
$S = -8 \cot 8 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha = \cot \alpha$।

(D) हम जानते हैं कि $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x}$।
दिया गया है $\sinh x = \frac{5}{12}$,इसलिए $\cosh x = \sqrt{1 + (\frac{5}{12})^2} = \sqrt{1 + \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{169}{144}} = \frac{13}{12}$।
सर्वसमिका $\cosh x = 2 \cosh^2 \frac{x}{2} - 1$ का उपयोग करने पर:
$2 \cosh^2 \frac{x}{2} - 1 = \frac{13}{12}$
$2 \cosh^2 \frac{x}{2} = \frac{13}{12} + 1 = \frac{25}{12}$
$\cosh^2 \frac{x}{2} = \frac{25}{24}$
$\cosh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{25}{24}} = \frac{5}{2 \sqrt{6}}$।

(A) हम सर्वसमिका $\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta = \cos \theta (4 \cos^2 \theta - 3)$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$4 \cos^2 \theta - 3 = \frac{\cos 3\theta}{\cos \theta}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$(4 \cos^2 9^{\circ} - 3)(4 \cos^2 27^{\circ} - 3) = \left( \frac{\cos 27^{\circ}}{\cos 9^{\circ}} \right) \left( \frac{\cos 81^{\circ}}{\cos 27^{\circ}} \right)$
$= \frac{\cos 81^{\circ}}{\cos 9^{\circ}}$
$= \frac{\cos(90^{\circ} - 9^{\circ})}{\cos 9^{\circ}}$
$= \frac{\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}} = \tan 9^{\circ}$.

(B) माना $A = 22 \frac{1}{2}^{\circ} = \frac{45^{\circ}}{2}$.
अर्ध-कोण सूत्र $\cos A = \sqrt{\frac{1 + \cos 2A}{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\cos \left(\frac{45^{\circ}}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos 45^{\circ}}{2}}$
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$\cos \left(22 \frac{1}{2}\right)^{\circ} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}$
$= \sqrt{\frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}}{2}}$
$= \sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2 \sqrt{2}}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(B) हम जानते हैं कि $\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin(2\theta)}$.
$\theta = \frac{\pi}{24}$ रखने पर,$\tan \frac{\pi}{24} + \cot \frac{\pi}{24} = \frac{2}{\sin(\frac{\pi}{12})}$.
चूंकि $\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{1}{2} \left(\tan \frac{\pi}{24} + \cot \frac{\pi}{24}\right) = \frac{1}{\sin(15^\circ)} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$.
दिए गए समीकरण $\sqrt{a^2+a} + \sqrt{a} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ से तुलना करने पर,$a = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया है,$\tan \frac{\theta}{2} = \operatorname{cosec} \theta - \sin \theta$
$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1}{\sin \theta} - \sin \theta = \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} = \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}$
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{(1 - \tan^2 \frac{\theta}{2})^2}{2 \tan \frac{\theta}{2} (1 + \tan^2 \frac{\theta}{2})}$
मान लीजिए $x = \tan^2 \frac{\theta}{2}$,तो $x^2 + 4x - 1 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = -2 \pm \sqrt{5}$
चूँकि $\tan^2 \frac{\theta}{2} > 0$,इसलिए $x = -2 + \sqrt{5}$.

(D) हम सर्वसमिका $\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\cos^3 A = \frac{1}{4} (\cos 3A + 3 \cos A)$।
प्रत्येक पद के लिए इसे लागू करने पर:
$\cos^3 \theta = \frac{1}{4} (\cos 3\theta + 3 \cos \theta)$
$\cos^3(120^{\circ} + \theta) = \frac{1}{4} (\cos(360^{\circ} + 3\theta) + 3 \cos(120^{\circ} + \theta)) = \frac{1}{4} (\cos 3\theta + 3 \cos(120^{\circ} + \theta))$
$\cos^3(\theta - 120^{\circ}) = \frac{1}{4} (\cos(3\theta - 360^{\circ}) + 3 \cos(\theta - 120^{\circ})) = \frac{1}{4} (\cos 3\theta + 3 \cos(\theta - 120^{\circ}))$
इनका योग करने पर:
योग $= \frac{1}{4} [3 \cos 3\theta + 3 (\cos \theta + \cos(120^{\circ} + \theta) + \cos(\theta - 120^{\circ}))]$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\cos(120^{\circ} + \theta) + \cos(\theta - 120^{\circ}) = 2 \cos \theta \cos 120^{\circ} = 2 \cos \theta (-1/2) = -\cos \theta$
इस मान को वापस रखने पर:
योग $= \frac{1}{4} [3 \cos 3\theta + 3 (\cos \theta - \cos \theta)] = \frac{3}{4} \cos 3\theta$।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin(x+3\alpha) + 3\sin(x-\alpha) = 0$
$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$(\sin x \cos 3\alpha + \cos x \sin 3\alpha) + 3(\sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha) = 0$
$\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$ और $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$ का उपयोग करने पर:
$\sin x(4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha) + \cos x(3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha) + 3\sin x \cos \alpha - 3\cos x \sin \alpha = 0$
$\sin x(4\cos^3 \alpha) - 4\cos x \sin^3 \alpha = 0$
$4\sin x \cos^3 \alpha = 4\cos x \sin^3 \alpha$
$\tan x = \tan^3 \alpha$

(C) हमें दिया गया है कि $\cosh(x) = \frac{5}{4}$ है।
हाइपरबोलिक फलन के सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\cosh(3x) = 4\cosh^3(x) - 3\cosh(x)$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cosh(3x) = 4\left(\frac{5}{4}\right)^3 - 3\left(\frac{5}{4}\right)$
$= 4\left(\frac{125}{64}\right) - \frac{15}{4}$
$= \frac{125}{16} - \frac{15}{4}$
$= \frac{125 - 60}{16} = \frac{65}{16}$.

(D) दिया गया है $540^{\circ} < A < 630^{\circ}$,जो $3\pi < A < \frac{7\pi}{2}$ है।
इस अंतराल में,$A$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\cos A < 0$ और $\tan A > 0$ है।
चूँकि $|\cos A| = \frac{5}{13}$ और $\cos A < 0$,इसलिए $\cos A = -\frac{5}{13}$ है।
$\tan A = \sqrt{\sec^2 A - 1}$ का उपयोग करने पर,$\tan A = \sqrt{(\frac{13}{5})^2 - 1} = \frac{12}{5}$ प्राप्त होता है।
$\tan \frac{A}{2}$ के लिए,$\cos A = \frac{1 - \tan^2(A/2)}{1 + \tan^2(A/2)}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$-\frac{5}{13} = \frac{1 - \tan^2(A/2)}{1 + \tan^2(A/2)}$ $\Rightarrow 8\tan^2(A/2) = 18$ $\Rightarrow \tan^2(A/2) = \frac{9}{4}$ है।
चूँकि $270^{\circ} < \frac{A}{2} < 315^{\circ}$ है,इसलिए $\frac{A}{2}$ चौथे चतुर्थांश में है,अतः $\tan \frac{A}{2} = -\frac{3}{2}$ है।
अतः,$\tan \frac{A}{2} \tan A = (-\frac{3}{2}) \times (\frac{12}{5}) = -\frac{18}{5}$।

(D) दिया गया है $\cos ^3 x \sin 4 x = \sum_{r=0}^{n} a_{r} \sin rx$.
सर्वसमिका $\cos ^3 x = \frac{1}{4}(3 \cos x + \cos 3 x)$ का उपयोग करने पर:
$\cos ^3 x \sin 4 x = \frac{1}{4}(3 \cos x + \cos 3 x) \sin 4 x$
$= \frac{3}{4} \cos x \sin 4 x + \frac{1}{4} \cos 3 x \sin 4 x$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \frac{3}{8}(\sin 5 x + \sin 3 x) + \frac{1}{8}(\sin 7 x + \sin x)$
$= \frac{1}{8} \sin x + \frac{3}{8} \sin 3 x + \frac{3}{8} \sin 5 x + \frac{1}{8} \sin 7 x$
गुणांकों की तुलना करने पर,$a_1 = \frac{1}{8}, a_3 = \frac{3}{8}, a_5 = \frac{3}{8}, a_7 = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a_3 + a_5 = \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8}$ और $a_1 + a_7 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8}$.
इस प्रकार,$\frac{a_3 + a_5}{a_1 + a_7} = \frac{6/8}{2/8} = 3 : 1$.

(A) दिया गया है,$\cosh x = \frac{5}{4}$.
हम जानते हैं कि $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$,इसलिए $e^x + e^{-x} = \frac{5}{2}$.
सर्वसमिका $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ का उपयोग करने पर,$\sinh^2 x = (\frac{5}{4})^2 - 1 = \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16}$.
अतः,$\sinh x = \frac{3}{4}$ (मान लीजिए $x > 0$),जिसका अर्थ है कि $\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{3}{4}$,इसलिए $e^x - e^{-x} = \frac{3}{2}$.
हम सूत्र $\tanh 3x = \frac{3 \tanh x + \tanh^3 x}{1 + 3 \tanh^2 x}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5}$ ज्ञात करें।
अब,$\tanh 3x = \frac{3(\frac{3}{5}) + (\frac{3}{5})^3}{1 + 3(\frac{3}{5})^2} = \frac{\frac{9}{5} + \frac{27}{125}}{1 + 3(\frac{9}{25})} = \frac{\frac{225 + 27}{125}}{\frac{25 + 27}{25}} = \frac{252}{125} \times \frac{25}{52} = \frac{252}{5 \times 52} = \frac{252}{260} = \frac{63}{65}$.

(B) दिया गया है $\sin \theta = -\frac{3}{4}$.
हम जानते हैं कि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$.
$\cos^2 \theta = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.
अतः,$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$.
सूत्र $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
यदि $\cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है,तो $\sin 2 \theta = 2 \times (-\frac{3}{4}) \times (\frac{\sqrt{7}}{4}) = -\frac{3 \sqrt{7}}{8}$.
यदि $\cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$ है,तो $\sin 2 \theta = 2 \times (-\frac{3}{4}) \times (-\frac{\sqrt{7}}{4}) = \frac{3 \sqrt{7}}{8}$.
चूंकि दिए गए विकल्पों में $-\frac{3 \sqrt{7}}{8}$ शामिल है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।