Trigonometrical ratios of multiple and sub-multiple angles Questions in Hindi

(D) हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ और $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \left(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\right) \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right)$
$= \frac{(1 - \cos 2\theta)(1 + \cos 2\theta)}{4}$
$= \frac{1 - \cos^2 2\theta}{4}$
सर्वसमिका $\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2}$ प्राप्त होता है।
$= \frac{1 - \left(\frac{1 + \cos 4\theta}{2}\right)}{4}$
$= \frac{\frac{2 - 1 - \cos 4\theta}{2}}{4}$
$= \frac{1 - \cos 4\theta}{8}$

(C) हम सर्वसमिका $\tan \theta - \cot \theta = -2 \cot 2 \theta$ का उपयोग करते हैं।
दी गई व्यंजक: $S = \tan \alpha + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$.
$\tan \alpha = \cot \alpha - 2 \cot 2 \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S = (\cot \alpha - 2 \cot 2 \alpha) + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha + 2(\tan 2 \alpha - \cot 2 \alpha) + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
चूंकि $\tan 2 \alpha - \cot 2 \alpha = -2 \cot 4 \alpha$:
$S = \cot \alpha + 2(-2 \cot 4 \alpha) + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha - 4 \cot 4 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha + 4(\tan 4 \alpha - \cot 4 \alpha) + 8 \cot 8 \alpha$
चूंकि $\tan 4 \alpha - \cot 4 \alpha = -2 \cot 8 \alpha$:
$S = \cot \alpha + 4(-2 \cot 8 \alpha) + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha - 8 \cot 8 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha$.

(B) दिया गया है,$\alpha = \frac{180^{\circ}}{7}$,जिसका अर्थ है $7 \alpha = 180^{\circ} = \pi$.
हम जानते हैं कि $3 \sin \alpha - 4 \sin^{3} \alpha = \sin 3 \alpha$.
$\alpha$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 3 \alpha = \sin (7 \alpha - 4 \alpha)$.
चूंकि $7 \alpha = \pi$,इसलिए:
$\sin (\pi - 4 \alpha) = \sin 4 \alpha$.
अतः,$3 \sin \alpha - 4 \sin^{3} \alpha = \sin 4 \alpha$.

(C) हम हाइपरबोलिक सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं:
$1$. $\cosh x = 2 \cosh^2 \frac{x}{2} - 1 \implies \cosh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1+\cosh x}{2}}$
$2$. $\cosh x = 1 + 2 \sinh^2 \frac{x}{2} \implies \sinh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{2}}$
$3$. $\tanh \frac{x}{2} = \frac{\sinh x}{1+\cosh x} = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x}$
$4$. $\sinh x = 2 \sinh \frac{x}{2} \cosh \frac{x}{2}$
विकल्प $C$ का मूल्यांकन करने पर: $\frac{\sinh x}{\sqrt{2(\cosh x+1)}} = \frac{2 \sinh \frac{x}{2} \cosh \frac{x}{2}}{\sqrt{2(2 \cosh^2 \frac{x}{2})}} = \frac{2 \sinh \frac{x}{2} \cosh \frac{x}{2}}{2 \cosh \frac{x}{2}} = \sinh \frac{x}{2}$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) हमें $\tanh(x) = \frac{1}{3}$ दिया गया है।
$\tanh(3x) = \frac{3\tanh(x) + \tanh^3(x)}{1 + 3\tanh^2(x)}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tanh(x) = \frac{1}{3}$ का मान रखने पर:
$\tanh(3x) = \frac{3(\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3})^3}{1 + 3(\frac{1}{3})^2}$
$\tanh(3x) = \frac{1 + \frac{1}{27}}{1 + 3(\frac{1}{9})}$
$\tanh(3x) = \frac{\frac{28}{27}}{1 + \frac{1}{3}}$
$\tanh(3x) = \frac{\frac{28}{27}}{\frac{4}{3}}$
$\tanh(3x) = \frac{28}{27} \times \frac{3}{4} = \frac{7}{9}$

(D) दिया गया है कि $\tan \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{m}{n}$.
हम अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हैं: $\sin (x) = \frac{2 \tan (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)}$ और $\cos (x) = \frac{1 - \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)}$.
इन मानों को $m \sin (x) + n \cos (x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$m \left( \frac{2 \tan (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)} \right) + n \left( \frac{1 - \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)} \right)$
$= m \left( \frac{2(m/n)}{1 + (m^2/n^2)} \right) + n \left( \frac{1 - (m^2/n^2)}{1 + (m^2/n^2)} \right)$
$= \frac{2m^2 n + n^3 - nm^2}{m^2 + n^2} = \frac{n(m^2 + n^2)}{m^2 + n^2} = n$.

(A) दिया गया है $\cos A = \frac{7}{25}$ और $A$ चतुर्थ चतुर्थांश में है,अर्थात $\frac{3 \pi}{2} < A < 2 \pi$।
चूंकि $\frac{3 \pi}{2} < A < 2 \pi$,इसलिए $\frac{3 \pi}{4} < \frac{A}{2} < \pi$ और $\frac{3 \pi}{8} < \frac{A}{4} < \frac{\pi}{2}$।
$\cos A = 2 \cos^2 \frac{A}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{1 + \cos A}{2} = \frac{1 + 7/25}{2} = \frac{16}{25}$।
चूंकि $\frac{A}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\cos \frac{A}{2} = -\frac{4}{5}$।
$\cos \frac{A}{2} = 2 \cos^2 \frac{A}{4} - 1$ का उपयोग करने पर,$2 \cos^2 \frac{A}{4} = 1 + \cos \frac{A}{2} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$,अतः $\cos^2 \frac{A}{4} = \frac{1}{10}$।
चूंकि $\frac{A}{4}$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\cos \frac{A}{4} = \frac{1}{\sqrt{10}}$।
साथ ही,$\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1 = 2 \left(\frac{7}{25}\right)^2 - 1 = -\frac{527}{625}$।
अतः,$\cos \frac{A}{4} + \cos \frac{A}{2} - \cos 2A = \frac{1}{\sqrt{10}} - \frac{4}{5} + \frac{527}{625} = \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{27}{625}$।

(D) दिया गया व्यंजक: $32 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{5A}{2}\right) = 16 \left[ 2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{5A}{2}\right) \right]$
सूत्र $2 \sin X \sin Y = \cos(X-Y) - \cos(X+Y)$ का उपयोग करने पर:
$= 16 \left[ \cos\left(\frac{5A}{2} - \frac{A}{2}\right) - \cos\left(\frac{5A}{2} + \frac{A}{2}\right) \right]$
$= 16 [ \cos(2A) - \cos(3A) ]$
$\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1$ और $\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$ का उपयोग करने पर:
$= 16 [ (2 \cos^2 A - 1) - (4 \cos^3 A - 3 \cos A) ]$
$\cos A = \frac{3}{4}$ रखने पर:
$= 16 \left[ 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 1 - 4\left(\frac{3}{4}\right)^3 + 3\left(\frac{3}{4}\right) \right]$
$= 16 \left[ \frac{9}{8} - 1 - \frac{27}{16} + \frac{9}{4} \right]$
$= 16 \left[ \frac{18 - 16 - 27 + 36}{16} \right] = 11$

(B) हम सूत्र $\prod_{k=2}^{n} \cos \frac{\pi}{2^k} = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{2^{n-1} \sin \frac{\pi}{2^n}}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$n = 10$ है।
गुणनफल $P = \cos \frac{\pi}{2^2} \cdot \cos \frac{\pi}{2^3} \cdots \cos \frac{\pi}{2^{10}}$ है।
सर्वसमिका $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cdots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin 2^n \theta}{2^n \sin \theta}$ का उपयोग करके,हम $\theta = \frac{\pi}{2^{10}}$ रखते हैं।
तब गुणनफल $\frac{\sin(2^9 \cdot \frac{\pi}{2^{10}})}{2^9 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})}$ होता है।
चूंकि $\sin \frac{\pi}{2} = 1$,इसलिए $P = \frac{1}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} = \frac{\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2^{10}})}{512}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$\sin^4 \theta \cos^2 \theta = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n} \cos 2n \theta$.
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ और $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^4 \theta \cos^2 \theta = (\sin^2 \theta)^2 \cos^2 \theta = \left(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\right)^2 \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right)$
$= \frac{1}{8} (1 - 2\cos 2\theta + \cos^2 2\theta)(1 + \cos 2\theta)$
$= \frac{1}{8} (1 - \cos 2\theta - \cos^2 2\theta + \cos^3 2\theta)$
$\cos^2 2\theta$ और $\cos^3 2\theta$ के सूत्रों का उपयोग करने पर,हमें $n=4$ के लिए $a_{2n}=0$ प्राप्त होता है।

(C) हम सूत्र $\prod_{k=1}^{n} \cos \frac{\theta}{2^k} = \frac{\sin \theta}{2^n \sin(\theta/2^n)}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$\theta = \frac{\pi}{2}$ और $n=4$ है।
अतः,$\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{32} = \frac{\sin(\pi/2)}{2^4 \sin(\pi/32)} = \frac{1}{16 \sin(\pi/32)}$ है।
यह $\frac{1}{16} \operatorname{cosec} \frac{\pi}{32} = 2^{-4} \operatorname{cosec} \frac{\pi}{32}$ के बराबर है।
$2^m \operatorname{cosec} \frac{\pi}{n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m = -4$ और $n = 32$ प्राप्त होता है।
अतः,$m+n = -4 + 32 = 28$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \tan \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + \tan \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = 3$.
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करके पदों का विस्तार करने पर:
$\tan \theta + \frac{\tan \theta + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan \theta} + \frac{\tan \theta - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3} \tan \theta} = 3$.
भिन्नों को जोड़ने पर:
$\tan \theta + \frac{8 \tan \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} = 3$.
$\frac{9 \tan \theta - 3 \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} = 3$.
$3 \left( \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} \right) = 3$.
चूंकि $\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$,इसलिए $3 \tan 3\theta = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan 3\theta = 1$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया है $630^{\circ} < \theta < 810^{\circ}$,$4$ से विभाजित करने पर $157.5^{\circ} < \frac{\theta}{4} < 202.5^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = -\frac{7}{24}$ और $\theta$ चौथे चतुर्थांश में है,इसलिए $\cos \theta = \frac{24}{25}$ प्राप्त होता है।
अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करने पर $\cos \frac{\theta}{2} = \frac{7}{5 \sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः $\cos^2 \frac{\theta}{4} = \frac{1 + \cos \frac{\theta}{2}}{2} = \frac{5 \sqrt{2} + 7}{10 \sqrt{2}}$।
चूँकि $157.5^{\circ} < \frac{\theta}{4} < 202.5^{\circ}$ है,इसलिए $\cos \frac{\theta}{4}$ ऋणात्मक होगा,अतः $\cos \frac{\theta}{4} = -\sqrt{\frac{7 + 5 \sqrt{2}}{10 \sqrt{2}}}$।

(A) माना $x = \frac{\pi}{8}$ है। तब $\frac{3\pi}{8} = 3x$ है।
व्यंजक $\cos^3 x \cos 3x + \sin^3 x \sin 3x$ है।
हम जानते हैं कि $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ और $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ होता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^3 x (4\cos^3 x - 3\cos x) + \sin^3 x (3\sin x - 4\sin^3 x) = 4\cos^6 x - 3\cos^4 x + 3\sin^4 x - 4\sin^6 x$.
$= 4(\cos^6 x - \sin^6 x) - 3(\cos^4 x - \sin^4 x) = \cos^3 2x$.
चूँकि $x = \frac{\pi}{8}$ है,इसलिए $2x = \frac{\pi}{4}$ है।
$\cos^3(\frac{\pi}{4}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(A) हमारे पास व्यंजक $\left(\frac{\sin 3 \theta}{\sin \theta}\right)^2-\left(\frac{\cos 3 \theta}{\cos \theta}\right)^2$ है।
$\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ और $\cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$= (3 - 4 \sin^2 \theta)^2 - (4 \cos^2 \theta - 3)^2$
$= (4 \cos^2 \theta - 1)^2 - (4 \cos^2 \theta - 3)^2$
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= (2)(8 \cos^2 \theta - 4) = 16 \cos^2 \theta - 8$
$= 8(2 \cos^2 \theta - 1) = 8 \cos 2 \theta$.
$a \cos b \theta$ के साथ तुलना करने पर,$a = 8$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a: b = 8: 2 = 4: 1$.

(C) दिया गया है $\cos \theta = \frac{-3}{5}$।
चूंकि $\cos \theta < 0$ है और $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित होना चाहिए।
अतः,$\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$।
$2$ से भाग देने पर,$\frac{\pi}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{\theta}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,जहाँ $\tan \frac{\theta}{2}$ ऋणात्मक होता है।
सूत्र $\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \frac{\theta}{2} = - \sqrt{\frac{1 - (\frac{-3}{5})}{1 + (\frac{-3}{5})}}$
$= - \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}}}$
$= - \sqrt{\frac{8/5}{2/5}}$
$= - \sqrt{4} = -2$.

(D) दिया गया समीकरण: $(\sin x)(\cos x) = \frac{1}{4}$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \sin x \cos x = \frac{2}{4}$
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर: $\sin 2x = \frac{1}{2}$
चूंकि $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $2x \in (0, \pi)$।
$\sin 2x = \frac{1}{2}$ के लिए $2x$ के मान $2x = \frac{\pi}{6}$ और $2x = \frac{5\pi}{6}$ हैं।
अतः,$x = \frac{\pi}{12}$ और $x = \frac{5\pi}{12}$ प्राप्त होते हैं।
दोनों मान $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ अंतराल में स्थित हैं।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\frac{\pi}{12}$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया है $\cos^4 \theta = a \cos 4\theta + b \cos 2\theta + c$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos^4 \theta = \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} (1 + 2 \cos 2\theta + \cos^2 2\theta)$.
$\cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2}$ रखने पर:
$\cos^4 \theta = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{1}{4} \left(\frac{1 + \cos 4\theta}{2}\right)$.
$= \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cos 4\theta$.
$= \frac{1}{8} \cos 4\theta + \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{3}{8}$.
तुलना करने पर,$a = \frac{1}{8}$,$b = \frac{1}{2}$,और $c = \frac{3}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a, b, c) = \left(\frac{1}{8}, \frac{1}{2}, \frac{3}{8}\right)$.

(A) हमारे पास है,$\sin (5 \theta) = \sin (3 \theta + 2 \theta)$.
$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\sin (5 \theta) = \sin 3 \theta \cos 2 \theta + \cos 3 \theta \sin 2 \theta$.
गुणक कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sin (5 \theta) = (3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)(2 \cos^2 \theta - 1) + (4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta)(2 \sin \theta \cos \theta)$.
पदों का विस्तार करने पर:
$\sin (5 \theta) = 16 \sin \theta \cos^4 \theta - 12 \sin \theta \cos^2 \theta + \sin \theta$.

(D) हम जानते हैं कि $\cos 5 \theta = \cos (4 \theta + \theta)$ है।
सूत्र $\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos 5 \theta = \cos 4 \theta \cos \theta - \sin 4 \theta \sin \theta$
$= (2 \cos ^2 2 \theta - 1) \cos \theta - (2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta) \sin \theta$
$= \{2(2 \cos ^2 \theta - 1)^2 - 1\} \cos \theta - 4 \sin ^2 \theta \cos \theta (2 \cos ^2 \theta - 1)$
$= (8 \cos ^4 \theta - 8 \cos ^2 \theta + 1) \cos \theta - 4(1 - \cos ^2 \theta) \cos \theta (2 \cos ^2 \theta - 1)$
$= 16 \cos ^5 \theta - 20 \cos ^3 \theta + 5 \cos \theta$

(C) हम जानते हैं कि $\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin(2 \theta)}$.
यहाँ,$\theta = \frac{3 \pi}{16}$,इसलिए $2 \theta = \frac{3 \pi}{8}$.
अतः,व्यंजक $\frac{2}{\sin(3 \pi / 8)}$ हो जाता है।
$\sin(3 \pi / 8) = \cos(\pi / 8) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.
इसलिए,$\frac{2}{\sin(3 \pi / 8)} = \frac{4}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} = 2 \sqrt{2} \sqrt{2-\sqrt{2}}$.

(D) हम जानते हैं कि $\sin 6 \theta = \sin 3(2 \theta)$.
सर्वसमिका $\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A$ का उपयोग करने पर:
$\sin 6 \theta = 3 \sin 2 \theta - 4 \sin^3 2 \theta$.
$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 6 \theta = 3(2 \sin \theta \cos \theta) - 4(2 \sin \theta \cos \theta)^3$
$= 6 \sin \theta \cos \theta - 32 \sin^3 \theta \cos^3 \theta$
$= 6 \sin \theta \cos \theta - 32 \sin \theta \cos^3 \theta (1 - \cos^2 \theta)$
$= 32 \cos^5 \theta \sin \theta - 32 \cos^3 \theta \sin \theta + 3 \sin 2 \theta$.
दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,$3x = 3 \sin 2 \theta$,अतः $x = \sin 2 \theta$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $x = \log_e \left[ \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right]$.
परिभाषा के अनुसार,$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
यहाँ,$e^x = \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$.
तब $e^{-x} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) = \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta}$.
$\sinh x$ के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$\sinh x = \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} - \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} \right) = -\tan 2\theta$.

(C) माना $y = \log \sec x$. तब $\sec x = e^y$,जिसका अर्थ है $\cos x = e^{-y}$.
हम जानते हैं कि $\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$.
साथ ही,$\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} = \frac{\cot^2(x/2) - 1}{\cot^2(x/2) + 1}$.
अतिपरवलयिक फलनों (hyperbolic functions) का उपयोग करते हुए,$\coth(y/2) = \frac{1 + e^{-y}}{1 - e^{-y}} = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}}{1 - \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}} = \frac{2}{2\tan^2(x/2)} = \cot^2(x/2)$.
चूंकि $\cot^2(x/2) = \operatorname{cosec}^2(x/2) - 1$,इसलिए $\coth(y/2) = \operatorname{cosec}^2(x/2) - 1$.
अतः,$\frac{y}{2} = \operatorname{coth}^{-1}(\operatorname{cosec}^2(x/2) - 1)$,जिससे $y = 2 \operatorname{coth}^{-1}(\operatorname{cosec}^2(x/2) - 1)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$90^{\circ} < A < 180^{\circ}$ और $\sin A = \frac{4}{5}$।
चूँकि $90^{\circ} < A < 180^{\circ}$,इसलिए $45^{\circ} < \frac{A}{2} < 90^{\circ}$ होगा।
इस अंतराल में,$\tan \frac{A}{2}$ का मान $1$ से अधिक होना चाहिए।
सूत्र $\sin A = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A}{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{4}{5} = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A}{2}}$
$4(1 + \tan^2 \frac{A}{2}) = 10 \tan \frac{A}{2}$
$2 \tan^2 \frac{A}{2} - 5 \tan \frac{A}{2} + 2 = 0$
$(2 \tan \frac{A}{2} - 1)(\tan \frac{A}{2} - 2) = 0$
इससे $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{2}$ या $\tan \frac{A}{2} = 2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $45^{\circ} < \frac{A}{2} < 90^{\circ}$,इसलिए $\tan \frac{A}{2} > 1$,अतः $\tan \frac{A}{2} = 2$।

(C) दिया गया है $540^{\circ} < \theta < 630^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\theta$ $3^{rd}$ चतुर्थांश में है।
चूंकि $\tan \theta = \frac{5}{12}$,हमारे पास $\sin \theta = -\frac{5}{13}$ और $\cos \theta = -\frac{12}{13}$ है।
$\frac{\theta}{2}$ के लिए,$270^{\circ} < \frac{\theta}{2} < 315^{\circ}$ है,जो $4^{th}$ चतुर्थांश है।
$4^{th}$ चतुर्थांश में,$\cos \frac{\theta}{2} > 0$ और $\sin \frac{\theta}{2} < 0$ होता है।
$\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$-\frac{12}{13} = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$,जिससे $2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1}{13}$ प्राप्त होता है,अतः $\cos \frac{\theta}{2} = \frac{1}{\sqrt{26}}$।
तब $\sin \frac{\theta}{2} = -\frac{5}{\sqrt{26}}$ होगा।
हर $\sqrt{-(12 \sec \theta + 5 \operatorname{cosec} \theta)} = \sqrt{26}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,व्यंजक $\frac{\frac{1}{\sqrt{26}} - 5(-\frac{5}{\sqrt{26}})}{\sqrt{26}} = \frac{26}{26} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया है $\tan \alpha = \frac{-12}{5}$. चूँकि $\alpha$ दूसरे चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $\alpha$ चौथे चतुर्थांश में है। अतः,$\frac{\alpha}{2} \in (135^{\circ}, 180^{\circ})$.
$\tan \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}}$ का उपयोग करने पर,$\frac{-12}{5} = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}}$ प्राप्त होता है।
$6 \tan^2 \frac{\alpha}{2} - 5 \tan \frac{\alpha}{2} - 6 = 0$ को हल करने पर,$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{-2}{3}$ प्राप्त होता है। चूँकि $\frac{\alpha}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
दिया है $\cot \beta = \frac{7}{24}$. चूँकि $\beta$ पहले चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $\beta$ तीसरे चतुर्थांश में है। अतः,$\cos \beta = \frac{-7}{25}$.
$\cos \beta = 2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{-7}{25} = 2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - 1$,जिससे $\cos^2 \frac{\beta}{2} = \frac{9}{25}$ प्राप्त होता है। चूँकि $\frac{\beta}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\cos \frac{\beta}{2} = \frac{-3}{5}$ और $\sin \frac{\beta}{2} = \frac{4}{5}$,अतः $\cot \frac{\beta}{2} = \frac{-3}{4}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{13} (\frac{2}{\sqrt{13}}) + (\frac{-3}{5}) + (\frac{-2}{3})(\frac{-3}{4}) = 2 - \frac{3}{5} + \frac{1}{2} = \frac{20 - 6 + 5}{10} = \frac{19}{10}$.

(B) हम जानते हैं कि $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$। इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\frac{\cot ^2 15^{\circ}-1}{\cot ^2 15^{\circ}+1} = \frac{\frac{\cos ^2 15^{\circ}}{\sin ^2 15^{\circ}}-1}{\frac{\cos ^2 15^{\circ}}{\sin ^2 15^{\circ}}+1}$
$= \frac{\cos ^2 15^{\circ}-\sin ^2 15^{\circ}}{\cos ^2 15^{\circ}+\sin ^2 15^{\circ}}$
सर्वसमिकाओं $\cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x$ और $\cos ^2 x + \sin ^2 x = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\cos(2 \times 15^{\circ})}{1} = \cos 30^{\circ}$
चूँकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए अंतिम उत्तर $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।

(A) दिया है,$\cot A=\frac{11}{60}$। चूंकि $A$ प्रथम चतुर्थांश में नहीं है और $\cot A > 0$ है,इसलिए $A$ को तीसरे चतुर्थांश $(Q_3)$ में होना चाहिए। अतः,$\tan A = \frac{60}{11}$।
दिया है $\cos B = \frac{7}{25}$। चूंकि $B$ प्रथम चतुर्थांश में नहीं है और $\cos B > 0$ है,इसलिए $B$ को चौथे चतुर्थांश $(Q_4)$ में होना चाहिए।
$Q_4$ में,$\sin B = -\sqrt{1 - \cos^2 B} = -\sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2} = -\frac{24}{25}$।
अतः,$\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{-24/25}{7/25} = -\frac{24}{7}$।
सूत्र $\tan B = \frac{2 \tan(B/2)}{1 - \tan^2(B/2)}$ का उपयोग करते हुए,$-\frac{24}{7} = \frac{2 \tan(B/2)}{1 - \tan^2(B/2)}$।
माना $t = \tan(B/2)$। तब $-\frac{24}{7} = \frac{2t}{1-t^2}$ $\Rightarrow -24 + 24t^2 = 14t$ $\Rightarrow 12t^2 - 7t - 12 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $12t^2 - 16t + 9t - 12 = 0$ $\Rightarrow 4t(3t - 4) + 3(3t - 4) = 0$ $\Rightarrow (4t + 3)(3t - 4) = 0$।
अतः,$t = \frac{4}{3}$ या $t = -\frac{3}{4}$।
चूंकि $B \in Q_4$,$\frac{3\pi}{2} < B < 2\pi \Rightarrow \frac{3\pi}{4} < \frac{B}{2} < \pi$। इसका अर्थ है कि $\frac{B}{2}$ दूसरे चतुर्थांश $(Q_2)$ में है,जहाँ $\tan(B/2)$ ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$\tan(B/2) = -\frac{3}{4}$।
अब,$\tan(A + B/2) = \frac{\tan A + \tan(B/2)}{1 - \tan A \cdot \tan(B/2)} = \frac{\frac{60}{11} - \frac{3}{4}}{1 - (\frac{60}{11})(-\frac{3}{4})} = \frac{\frac{240 - 33}{44}}{1 + \frac{180}{44}} = \frac{207/44}{224/44} = \frac{207}{224}$।
चूंकि $\tan(A + B/2) > 0$ है,इसलिए कोण $(A + B/2)$ प्रथम चतुर्थांश $(Q_1)$ में स्थित है।

(D) हम जानते हैं कि $\sin 5 \theta = \sin(3 \theta + 2 \theta) = \sin 3 \theta \cos 2 \theta + \cos 3 \theta \sin 2 \theta$.
$\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$,$\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$,$\cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$,और $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin 5 \theta = 5 \sin \theta \cos^4 \theta - 10 \sin^3 \theta \cos^2 \theta + \sin^5 \theta$.
इसे $a \cos^4 \theta \sin \theta + b \cos^2 \theta \sin^3 \theta + c \sin^5 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 5$,$b = -10$,और $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$abc = 5 \times (-10) \times 1 = -50$.

(C) दिया गया है $\cos \theta = \frac{-3}{5}$ और $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$।
चूंकि $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$,इसलिए $\frac{\pi}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{3\pi}{4}$,जो $2^{nd}$ चतुर्थांश में स्थित है।
$2^{nd}$ चतुर्थांश में,$\sin \frac{\theta}{2} > 0$,$\cos \frac{\theta}{2} < 0$,और $\tan \frac{\theta}{2} < 0$ होता है।
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\cos \theta = 1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ $\Rightarrow \frac{-3}{5} = 1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ $\Rightarrow 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{8}{5}$ $\Rightarrow \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{4}{5}$.
चूंकि $\sin \frac{\theta}{2} > 0$,इसलिए $\sin \frac{\theta}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ $\Rightarrow \frac{-3}{5} = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ $\Rightarrow 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1}{5}$.
चूंकि $\cos \frac{\theta}{2} < 0$,इसलिए $\cos \frac{\theta}{2} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
तब $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} = \frac{2/\sqrt{5}}{-1/\sqrt{5}} = -2$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\tan \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} + 2 \cos \frac{\theta}{2} = -2 + \frac{2}{\sqrt{5}} + 2 \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) = -2 + \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}} = -2$.

(D) दिया गया है $\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\sin \theta - \cos \theta)^2 = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2$.
$1 - \sin(2\theta) = \frac{1}{3} \Rightarrow \sin(2\theta) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
अब,$\cos(4\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta) = 1 - 2(\frac{2}{3})^2 = 1 - 2(\frac{4}{9}) = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
आगे,$\sin(6\theta) = 3\sin(2\theta) - 4\sin^3(2\theta) = 3(\frac{2}{3}) - 4(\frac{2}{3})^3 = 2 - 4(\frac{8}{27}) = 2 - \frac{32}{27} = \frac{54 - 32}{27} = \frac{22}{27}$.
अंत में,$\sin(2\theta) + \cos(4\theta) + \sin(6\theta) = \frac{2}{3} + \frac{1}{9} + \frac{22}{27} = \frac{18 + 3 + 22}{27} = \frac{43}{27}$.

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं: $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ और $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1 - (1 - 2 \sin^2 \theta) + 2 \sin \theta \cos \theta}{1 + (2 \cos^2 \theta - 1) + 2 \sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{2 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta}{2 \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{2 \sin \theta (\sin \theta + \cos \theta)}{2 \cos \theta (\cos \theta + \sin \theta)}$
$= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.

(A) हम जानते हैं कि $\cot \theta - \tan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{\cos 2 \theta}{\frac{1}{2} \sin 2 \theta} = 2 \cot 2 \theta$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\cot \theta - \tan \theta - 2 \tan 2 \theta - 4 \tan 4 \theta = 2 \cot 2 \theta - 2 \tan 2 \theta - 4 \tan 4 \theta$.
अब,$2(\cot 2 \theta - \tan 2 \theta) = 2(2 \cot 4 \theta) = 4 \cot 4 \theta$.
इस मान को पुनः रखने पर:
$4 \cot 4 \theta - 4 \tan 4 \theta = 4(\cot 4 \theta - \tan 4 \theta) = 4(2 \cot 8 \theta) = 8 \cot 8 \theta$.

(B) दिया गया है,$3 \sin x + 4 \cos x = 5$.
अर्ध-कोण सूत्रों $\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ और $\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$3 \left( \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} \right) + 4 \left( \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} \right) = 5$.
दोनों पक्षों को $(1 + \tan^2(x/2))$ से गुणा करने पर:
$6 \tan(x/2) + 4 - 4 \tan^2(x/2) = 5(1 + \tan^2(x/2))$.
$6 \tan(x/2) + 4 - 4 \tan^2(x/2) = 5 + 5 \tan^2(x/2)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$6 \tan(x/2) - 9 \tan^2(x/2) = 5 - 4$.
$6 \tan(x/2) - 9 \tan^2(x/2) = 1$.

(C) हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\tan x + \tan \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \tan \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 3 \tan 3x$ होती है।
दिया गया है कि $\tan x + \tan \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \tan \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 3$ है।
इस मान को सर्वसमिका में रखने पर,हमें $3 \tan 3x = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan 3x = 1$।

(B) दिया गया है $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} = -\frac{4}{3}$.
$6 \tan A = -4 + 4 \tan^2 A \Rightarrow 2 \tan^2 A - 3 \tan A - 2 = 0$.
$\tan A$ के लिए हल करने पर: $(2 \tan A + 1)(\tan A - 2) = 0$,अतः $\tan A = -\frac{1}{2}$ या $\tan A = 2$.
चूँकि $\tan A < 0$,इसलिए $\tan A = -\frac{1}{2}$ है।
अब,$\cos 2A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5}$.
सर्वसमिका $\cos 6A = 4 \cos^3 2A - 3 \cos 2A$ का उपयोग करने पर:
$\cos 6A = 4 \left(\frac{3}{5}\right)^3 - 3 \left(\frac{3}{5}\right) = 4 \left(\frac{27}{125}\right) - \frac{9}{5} = \frac{108}{125} - \frac{225}{125} = -\frac{117}{125}$.

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$.
$\theta = 15^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1-\tan^2 15^{\circ}}{1+\tan^2 15^{\circ}} = \cos(2 \times 15^{\circ})$
$= \cos 30^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(B) दिया है,$\theta \in \left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right)$.
चूंकि $\pi < \theta < \frac{3 \pi}{2}$,$2$ से भाग देने पर $\frac{\pi}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{3 \pi}{4}$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल में,$\tan \left(\frac{\theta}{2}\right)$ ऋणात्मक होता है।
सूत्र $\cos \theta = \frac{1 - \tan^2(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1 - \tan^2(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)} = \frac{-3}{5}$ प्राप्त होता है।
वज्र-गुणन करने पर $5 - 5 \tan^2(\theta/2) = -3 - 3 \tan^2(\theta/2)$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर $8 = 2 \tan^2(\theta/2)$,जिसका अर्थ है $\tan^2(\theta/2) = 4$।
अतः,$\tan(\theta/2) = \pm 2$।
चूंकि $\frac{\theta}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\tan(\theta/2)$ ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,$\tan(\theta/2) = -2$।

(A) दिया गया है $y = \frac{2 \sin \theta}{1+\cos \theta+\sin \theta}$.
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$y = \frac{2(2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}$.
अब,व्यंजक $E = \frac{1-\cos \theta+\sin \theta}{1+\sin \theta}$ पर विचार करें।
$1-\cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $1+\sin \theta = (\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2})^2$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{2 \sin^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{(\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2})^2} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2}(\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2})}{(\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2})^2} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2}} = y$.

(C) हमारे पास $\operatorname{cosec} 2A + \cot 2A = \frac{1}{\sin 2A} + \frac{\cos 2A}{\sin 2A} = \frac{1 + \cos 2A}{\sin 2A}$ है।
सर्वसमिकाओं $1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$ और $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \cos^2 A}{2 \sin A \cos A} = \frac{\cos A}{\sin A} = \cot A$.
अब,$\cot A$ को $\tan A$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\tan^2 A + 1 - \tan^2 A}{\tan A} = \tan A + \frac{1 - \tan^2 A}{\tan A}$.
चूंकि $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$,इसलिए $\cot 2A = \frac{1 - \tan^2 A}{2 \tan A}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1 - \tan^2 A}{\tan A} = 2 \cot 2A$.
अतः,$\operatorname{cosec} 2A + \cot 2A = \tan A + 2 \cot 2A$.

(A) हम जानते हैं कि $\sin 5 \theta = 5 \sin \theta - 20 \sin ^3 \theta + 16 \sin ^5 \theta$ होता है।
$\sin \theta$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $\sin \theta \neq 0$):
$\frac{\sin 5 \theta}{\sin \theta} = 5 - 20 \sin ^2 \theta + 16 \sin ^4 \theta$।
$\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 5 - 20(1 - \cos ^2 \theta) + 16(1 - \cos ^2 \theta)^2$
$= 5 - 20 + 20 \cos ^2 \theta + 16(1 - 2 \cos ^2 \theta + \cos ^4 \theta)$
$= -15 + 20 \cos ^2 \theta + 16 - 32 \cos ^2 \theta + 16 \cos ^4 \theta$
$= 16 \cos ^4 \theta - 12 \cos ^2 \theta + 1$।

(A) माना $P = \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)$ है।
$2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = \frac{2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2 \theta$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \frac{\sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$P = \frac{2 \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{4 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} = \frac{\sin \left(\frac{4 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{4 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}$
पुनः अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$P = \frac{2 \sin \left(\frac{4 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} = \frac{\sin \left(\frac{8 \pi}{7}\right)}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}$
चूंकि $\sin \left(\frac{8 \pi}{7}\right) = \sin \left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = -\sin \left(\frac{\pi}{7}\right)$:
$P = \frac{-\sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} = -\frac{1}{8}$.

(A) गुणनफल $P = \cos A \cos 2 A \cos 2^2 A \ldots \cos 2^{n-1} A$ का मूल्यांकन करने के लिए,$2 \sin A$ से गुणा और भाग करें:
$P = \frac{1}{2 \sin A} (2 \sin A \cos A) \cos 2 A \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$P = \frac{1}{2 \sin A} (\sin 2 A \cos 2 A) \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = \frac{1}{2^2 \sin A} (2 \sin 2 A \cos 2 A) \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A = \frac{\sin 4 A}{2^2 \sin A} \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
इस प्रक्रिया को $n$ बार दोहराने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = \frac{\sin 2^n A}{2^n \sin A}$