Trigonometrical ratios of multiple and sub-multiple angles Questions in Hindi

(B) दिया गया है $\sin \theta = -\frac{4}{5}$ और $\theta$ $III$ चतुर्थांश में है।
चूँकि $\theta$ $III$ चतुर्थांश में है,$\cos \theta$ ऋणात्मक होगा।
$\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = -\sqrt{1 - (-\frac{4}{5})^2} = -\frac{3}{5}$.
हम जानते हैं कि $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$.
$\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ होने के कारण,$\frac{\pi}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{3\pi}{4}$ होगा।
अतः $\frac{\theta}{2}$ $II$ चतुर्थांश में स्थित है,जहाँ कोसाइन ऋणात्मक होता है।
इसलिए,$\cos \frac{\theta}{2} = -\sqrt{\frac{1 - 3/5}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.

(B) दिया गया है कि $\cos \theta = \frac{1}{2}\left( x + \frac{1}{x} \right)$.
$\Rightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \cos \theta$.
हम जानते हैं कि $x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2 + \frac{1}{x^2} = (2 \cos \theta)^2 - 2 = 4 \cos^2 \theta - 2$.
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $4 \cos^2 \theta - 2 = 2(2 \cos^2 \theta - 1) = 2 \cos 2\theta$.
अतः,$\frac{1}{2}\left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) = \frac{1}{2} \times 2 \cos 2\theta = \cos 2\theta$.

(C) हम जानते हैं कि $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ और $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ होता है।
$\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x}$
$= \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}$
सर्वसमिकाओं $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ और $2\sin x \cos x = \sin 2x$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = \frac{2\cos 2x}{\sin 2x} = 2\cot 2x$.

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{1 + \sin A - \cos A}{1 + \sin A + \cos A}$
सर्वसमिकाओं $1 - \cos A = 2 \sin^2 \frac{A}{2}$,$1 + \cos A = 2 \cos^2 \frac{A}{2}$,और $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin^2 \frac{A}{2} + 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{2 \cos^2 \frac{A}{2} + 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}$
$= \frac{2 \sin \frac{A}{2} (\sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2})}{2 \cos \frac{A}{2} (\cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2})}$
$= \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}} = \tan \frac{A}{2}$
ट्रिक: $A = 60^\circ$ रखने पर.
$\frac{1 + \sin 60^\circ - \cos 60^\circ}{1 + \sin 60^\circ + \cos 60^\circ} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
चूँकि $\tan \frac{60^\circ}{2} = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$,अतः सही विकल्प $(C)$ है।

(A) हम $\tan(A+B)$ और $\tan(A-B)$ के विस्तार सूत्रों का उपयोग करते हैं।
दी गई अभिव्यक्ति: $\tan \left( \frac{\pi }{4} + \theta \right) - \tan \left( \frac{\pi }{4} - \theta \right)$.
$\tan \frac{\pi }{4} = 1$ रखने पर:
$= \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} - \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$.
हर समान करने पर:
$= \frac{(1 + \tan \theta)^2 - (1 - \tan \theta)^2}{1 - \tan^2 \theta}$.
सरल करने पर:
$= \frac{4 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = 2 \left( \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \right)$.
चूंकि $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$,इसलिए उत्तर $2 \tan 2\theta$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\tan x + \tan \left( \frac{\pi}{3} + x \right) + \tan \left( \frac{2\pi}{3} + x \right) = 3$.
$\tan(A+B)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{\sqrt{3} + \tan x}{1 - \sqrt{3} \tan x}$ और $\tan \left( \frac{2\pi}{3} + x \right) = \frac{-\sqrt{3} + \tan x}{1 + \sqrt{3} \tan x}$.
योग करने पर: $\tan x + \frac{\sqrt{3} + \tan x}{1 - \sqrt{3} \tan x} + \frac{\tan x - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3} \tan x} = \tan x + \frac{8 \tan x}{1 - 3 \tan^2 x}$.
$= \frac{3(3 \tan x - \tan^3 x)}{1 - 3 \tan^2 x} = 3 \tan 3x$.
अतः,$3 \tan 3x = 3$ होने पर $\tan 3x = 1$ प्राप्त होता है।

(D) हम सूत्र $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \theta) = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$\theta = \frac{\pi}{5}$ और $n = 4$ है।
$\cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} \cos \frac{8\pi}{5} = \frac{\sin(2^4 \cdot \frac{\pi}{5})}{2^4 \sin \frac{\pi}{5}} = \frac{\sin \frac{16\pi}{5}}{16 \sin \frac{\pi}{5}}$.
चूंकि $\sin \frac{16\pi}{5} = \sin(3\pi + \frac{\pi}{5}) = -\sin \frac{\pi}{5}$,
अतः व्यंजक $-\frac{\sin \frac{\pi}{5}}{16 \sin \frac{\pi}{5}} = -\frac{1}{16}$ हो जाता है।

(C) हम सर्वसमिका $\tan \theta \tan(60^\circ - \theta) \tan(60^\circ + \theta) = \tan 3\theta$ का उपयोग करेंगे।
दी गई व्यंजक $E = \tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 60^\circ \tan 80^\circ$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $E = \tan 60^\circ (\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ)$।
ध्यान दें कि $\tan 80^\circ = \tan(60^\circ + 20^\circ)$ और $\tan 40^\circ = \tan(60^\circ - 20^\circ)$ है।
$\theta = 20^\circ$ के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\tan 20^\circ \tan(60^\circ - 20^\circ) \tan(60^\circ + 20^\circ) = \tan(3 \times 20^\circ) = \tan 60^\circ$।
इस मान को $E$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \tan 60^\circ \times \tan 60^\circ = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$।

(D) हम सूत्र $\cos \theta \cos(2\theta) \cos(4\theta) = \frac{\sin(8\theta)}{8\sin \theta}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$\theta = 20^\circ$ है।
अतः,$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{\sin(8 \times 20^\circ)}{8 \sin 20^\circ}$ होगा।
$= \frac{\sin 160^\circ}{8 \sin 20^\circ}$।
चूंकि $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$ है,
$= \frac{\sin 20^\circ}{8 \sin 20^\circ} = \frac{1}{8}$।

(B) दिया गया है $x = \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ$।
$2 \sin 10^\circ$ से गुणा और भाग करने पर:
$x = \frac{2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{2 \sin 10^\circ}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{2 \sin 10^\circ} = \frac{2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{4 \sin 10^\circ}$
$x = \frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{4 \sin 10^\circ} = \frac{2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ}{8 \sin 10^\circ}$
$x = \frac{\sin 80^\circ}{8 \sin 10^\circ}$
चूंकि $\sin 80^\circ = \cos 10^\circ$:
$x = \frac{\cos 10^\circ}{8 \sin 10^\circ} = \frac{1}{8} \cot 10^\circ$।

(A) हम जानते हैं कि $3A = 2A + A$.
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर: $\tan 3A = \tan(2A + A)$.
सूत्र $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 3A = \frac{\tan 2A + \tan A}{1 - \tan 2A \tan A}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$\tan 3A(1 - \tan 2A \tan A) = \tan 2A + \tan A$.
$\tan 3A - \tan 3A \tan 2A \tan A = \tan 2A + \tan A$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan 3A - \tan 2A - \tan A = \tan 3A \tan 2A \tan A$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $2\cos x - (\cos 5x + \cos 3x)$
सूत्र $\cos C + \cos D = 2\cos\left(\frac{C+D}{2}\right)\cos\left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos 5x + \cos 3x = 2\cos(4x)\cos(x)$
इस मान को अभिव्यक्ति में रखने पर:
$2\cos x - 2\cos 4x \cos x = 2\cos x(1 - \cos 4x)$
सर्वसमिका $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,जहाँ $2\theta = 4x$ (अतः $\theta = 2x$):
$2\cos x(2\sin^2 2x) = 4\cos x \sin^2 2x$
चूँकि $\sin 2x = 2\sin x \cos x$,इसलिए $\sin^2 2x = 4\sin^2 x \cos^2 x$:
$4\cos x(4\sin^2 x \cos^2 x) = 16\cos^3 x \sin^2 x$
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(D) हम सूत्र $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$\theta = \frac{\pi}{7}$ और $n = 3$ है।
अतः,$\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} = \frac{\sin(2^3 \cdot \frac{\pi}{7})}{2^3 \sin(\frac{\pi}{7})}$.
$= \frac{\sin(\frac{8\pi}{7})}{8 \sin(\frac{\pi}{7})}$.
चूँकि $\sin(\frac{8\pi}{7}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin(\frac{\pi}{7})$ है।
$= \frac{-\sin(\frac{\pi}{7})}{8 \sin(\frac{\pi}{7})} = -\frac{1}{8}$.

(A) दिया गया है कि $\sec \theta = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
हम सर्वसमिका $\sec \theta = \frac{1 + \tan^2(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$ का उपयोग करते हैं।
$\sec \theta$ का मान रखने पर:
$\frac{5}{4} = \frac{1 + \tan^2(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$5(1 - \tan^2(\theta/2)) = 4(1 + \tan^2(\theta/2))$.
$5 - 5\tan^2(\theta/2) = 4 + 4\tan^2(\theta/2)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$5 - 4 = 4\tan^2(\theta/2) + 5\tan^2(\theta/2)$.
$1 = 9\tan^2(\theta/2)$.
$\tan^2(\theta/2) = \frac{1}{9}$.
वर्गमूल लेने पर,हमें $\tan(\theta/2) = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\tan \frac{A}{2} = \frac{3}{2}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos A = 2 \cos^2 \frac{A}{2}$ और $1 - \cos A = 2 \sin^2 \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1 + \cos A}{1 - \cos A} = \frac{2 \cos^2 \frac{A}{2}}{2 \sin^2 \frac{A}{2}}$
$= \cot^2 \frac{A}{2}$
$= \left( \frac{1}{\tan \frac{A}{2}} \right)^2 = \left( \frac{1}{3/2} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$.

(D) दिया गया है कि $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूंकि $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $A = 30^\circ$ है।
अब,$\tan 3A$ की गणना करें:
$\tan 3A = \tan(3 \times 30^\circ) = \tan 90^\circ$।
चूंकि $\tan 90^\circ$ अपरिभाषित है,इसलिए इसका मान $\infty$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\sin 4\theta = 2\sin 2\theta \cos 2\theta$ होता है।
$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ और $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sin 4\theta = 2(2\sin \theta \cos \theta)(1 - 2\sin^2 \theta)$।
चूंकि $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ होता है,इसलिए:
$\sin 4\theta = 4\sin \theta (1 - 2\sin^2 \theta)\sqrt{1 - \sin^2 \theta}$।

(A) दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{b}{a}$.
अब,$a \cos 2\theta + b \sin 2\theta = a \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + b \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)$.
$\tan \theta = \frac{b}{a}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= a \left( \frac{1 - \frac{b^2}{a^2}}{1 + \frac{b^2}{a^2}} \right) + b \left( \frac{2 \frac{b}{a}}{1 + \frac{b^2}{a^2}} \right)$
$= a \left( \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} \right) + b \left( \frac{2ab}{a^2 + b^2} \right)$
$= \frac{a^3 - ab^2 + 2ab^2}{a^2 + b^2}$
$= \frac{a^3 + ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{a(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = a$.

(A) हमें दिया गया व्यंजक है: $\left( \frac{\sin 2A}{1 + \cos 2A} \right) \left( \frac{\cos A}{1 + \cos A} \right)$
$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ और $1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$ सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$= \left( \frac{2 \sin A \cos A}{2 \cos^2 A} \right) \left( \frac{\cos A}{1 + \cos A} \right)$
$= \left( \frac{\sin A}{\cos A} \right) \left( \frac{\cos A}{1 + \cos A} \right)$
$= \frac{\sin A}{1 + \cos A}$
$\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ और $1 + \cos A = 2 \cos^2 \frac{A}{2}$ सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{2 \cos^2 \frac{A}{2}}$
$= \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}} = \tan \frac{A}{2}$.

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{1}{\tan 3A - \tan A} - \frac{1}{\cot 3A - \cot A}$
चूंकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,इसलिए $\frac{1}{\cot 3A - \cot A} = \frac{1}{\frac{1}{\tan 3A} - \frac{1}{\tan A}} = \frac{\tan A \tan 3A}{\tan A - \tan 3A} = -\frac{\tan A \tan 3A}{\tan 3A - \tan A}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$= \frac{1}{\tan 3A - \tan A} - (-\frac{\tan A \tan 3A}{\tan 3A - \tan A})$
$= \frac{1 + \tan A \tan 3A}{\tan 3A - \tan A}$
सर्वसमिका $\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}$ का उपयोग करते हुए,$\tan(3A - A) = \frac{\tan 3A - \tan A}{1 + \tan 3A \tan A}$.
अतः,$\frac{1 + \tan 3A \tan A}{\tan 3A - \tan A} = \frac{1}{\tan(3A - A)} = \frac{1}{\tan 2A} = \cot 2A$.

(A) दिया गया व्यंजक: $\csc A - 2 \cot 2A \cos A$
$= \frac{1}{\sin A} - \frac{2 \cos A \cos 2A}{\sin 2A}$
$= \frac{1}{\sin A} - \frac{2 \cos A \cos 2A}{2 \sin A \cos A}$
$= \frac{1}{\sin A} - \frac{\cos 2A}{\sin A}$
$= \frac{1 - \cos 2A}{\sin A}$
सर्वसमिका $1 - \cos 2A = 2 \sin^2 A$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin^2 A}{\sin A}$
$= 2 \sin A$

(A) दिया गया व्यंजक: $\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos 4\theta}}$
सर्वसमिका $1 + \cos 2A = 2\cos^2 A$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 + 2\cos 4\theta = 2(1 + \cos 4\theta) = 2(2\cos^2 2\theta) = 4\cos^2 2\theta$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \sqrt{2 + \sqrt{4\cos^2 2\theta}}$
$= \sqrt{2 + 2\cos 2\theta}$
पुनः,सर्वसमिका $1 + \cos 2A = 2\cos^2 A$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 + 2\cos 2\theta = 2(1 + \cos 2\theta) = 2(2\cos^2 \theta) = 4\cos^2 \theta$.
$= \sqrt{4\cos^2 \theta}$
$= 2\cos \theta$.

(C) हम जानते हैं कि $\cos 3\theta$ के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है:
$\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$
दिए गए समीकरण $\cos 3\theta = \alpha \cos \theta + \beta \cos^3 \theta$ के साथ इसकी तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha = -3$ और $\beta = 4$
अतः,$(\alpha, \beta) = (-3, 4)$.

(B) हम जानते हैं कि $\tan 3A$ का सूत्र $\tan 3A = \frac{3\tan A - \tan^3 A}{1 - 3\tan^2 A}$ है।
दिया गया है $\tan A = \frac{1}{2}$।
सूत्र में $\tan A$ का मान रखने पर:
$\tan 3A = \frac{3(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^3}{1 - 3(\frac{1}{2})^2}$
$= \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{8}}{1 - 3(\frac{1}{4})}$
$= \frac{\frac{12-1}{8}}{1 - \frac{3}{4}}$
$= \frac{\frac{11}{8}}{\frac{1}{4}}$
$= \frac{11}{8} \times 4 = \frac{11}{2}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}$
चूंकि $1 \pm \sin x = (\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2})^2$,इसलिए $\sqrt{1 \pm \sin x} = |\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}|$।
द्वितीय चतुर्थांश में,$\frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$ होता है,जहाँ $\cos \frac{x}{2} > \sin \frac{x}{2} > 0$ है।
अतः,$\sqrt{1 + \sin x} = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$ और $\sqrt{1 - \sin x} = \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}$।
मान रखने पर: $E = \frac{2 \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}} = \cot \frac{x}{2}$।

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $(\sec 2A + 1)\sec^2 A$
$\sec 2A = \frac{1}{\cos 2A} = \frac{1+\tan^2 A}{1-\tan^2 A}$ और $\sec^2 A = 1+\tan^2 A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \left( \frac{1+\tan^2 A}{1-\tan^2 A} + 1 \right)(1+\tan^2 A)$
$= \left( \frac{1+\tan^2 A + 1 - \tan^2 A}{1-\tan^2 A} \right)(1+\tan^2 A)$
$= \left( \frac{2}{1-\tan^2 A} \right)(1+\tan^2 A)$
$= \frac{2(1+\tan^2 A)}{1-\tan^2 A} = 2 \sec 2A$

(B) दी गई व्यंजक: $2\sin A\cos^3 A - 2\sin^3 A\cos A$
$2\sin A\cos A$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= 2\sin A\cos A(\cos^2 A - \sin^2 A)$
$\sin 2A = 2\sin A\cos A$ और $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A$ सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$= \sin 2A \cos 2A$
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \frac{1}{2}(2\sin 2A \cos 2A)$
$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर (जहाँ $\theta = 2A$):
$= \frac{1}{2}\sin 4A$

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin \theta + \sin 2\theta}{1 + \cos \theta + \cos 2\theta}$
सर्वसमिकाओं $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ और $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
अंश: $\sin \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = \sin \theta (1 + 2 \cos \theta)$
हर: $1 + \cos \theta + (2 \cos^2 \theta - 1) = \cos \theta + 2 \cos^2 \theta = \cos \theta (1 + 2 \cos \theta)$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\sin \theta (1 + 2 \cos \theta)}{\cos \theta (1 + 2 \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(B) दिया है,$\frac{2\sin \alpha}{1 + \cos \alpha + \sin \alpha} = y$।
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\frac{2(2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2})}{2\cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = y$
$\frac{2\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}} = y$।
अब,व्यंजक $E = \frac{1 - \cos \alpha + \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}$ पर विचार करें।
सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{2\sin^2 \frac{\alpha}{2} + 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{(\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2})^2} = \frac{2\sin \frac{\alpha}{2}(\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2})}{(\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2})^2} = \frac{2\sin \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2}} = y$।

(A) दिया गया है $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
चूँकि $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
अतः,$\tan \beta = \frac{1}{3}$.
अब,$\tan 2\beta = \frac{2 \tan \beta}{1 - \tan^2 \beta} = \frac{2(1/3)}{1 - 1/9} = \frac{3}{4}$.
$\tan(\alpha + 2\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan 2\beta}{1 - \tan \alpha \tan 2\beta} = \frac{1/7 + 3/4}{1 - (1/7)(3/4)} = \frac{25/28}{25/28} = 1$.
अतः,$\alpha + 2\beta = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $2\beta = \frac{\pi}{4} - \alpha$.

(A) दिया गया है $\tan A = \frac{1 - \cos B}{\sin B}$।
अर्ध-कोण सूत्रों $1 - \cos B = 2\sin^2(B/2)$ और $\sin B = 2\sin(B/2)\cos(B/2)$ का उपयोग करने पर:
$\tan A = \frac{2\sin^2(B/2)}{2\sin(B/2)\cos(B/2)} = \frac{\sin(B/2)}{\cos(B/2)} = \tan(B/2)$।
अतः,$A = B/2$,जिसका अर्थ है $2A = B$।
इसलिए,$\tan 2A = \tan B$।

(B) दी गई व्यंजक: $\frac{\sec 8A - 1}{\sec 4A - 1}$
$= \frac{\frac{1}{\cos 8A} - 1}{\frac{1}{\cos 4A} - 1} = \frac{1 - \cos 8A}{\cos 8A} \times \frac{\cos 4A}{1 - \cos 4A}$
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin^2 4A}{\cos 8A} \times \frac{\cos 4A}{2 \sin^2 2A}$
$= \frac{(2 \sin 4A \cos 4A) \sin 4A}{\cos 8A \times 2 \sin^2 2A}$
चूंकि $2 \sin 4A \cos 4A = \sin 8A$:
$= \frac{\sin 8A}{\cos 8A} \times \frac{\sin 4A}{2 \sin^2 2A} = \tan 8A \times \frac{2 \sin 2A \cos 2A}{2 \sin^2 2A}$
$= \tan 8A \times \frac{\cos 2A}{\sin 2A} = \tan 8A \times \cot 2A = \frac{\tan 8A}{\tan 2A}$

(C) हम सूत्र $2\sin X \sin Y = \cos(X - Y) - \cos(X + Y)$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $32\sin \left( \frac{A}{2} \right)\sin \left( \frac{5A}{2} \right) = 16 \times 2\sin \left( \frac{A}{2} \right)\sin \left( \frac{5A}{2} \right)$.
$= 16 \left[ \cos\left( \frac{5A}{2} - \frac{A}{2} \right) - \cos\left( \frac{5A}{2} + \frac{A}{2} \right) \right]$.
$= 16 (\cos 2A - \cos 3A)$.
$\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ और $\cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A$ का उपयोग करने पर:
$= 16 [ (2\cos^2 A - 1) - (4\cos^3 A - 3\cos A) ]$.
दिया है $\cos A = \frac{3}{4}$,इसलिए $\cos^2 A = \frac{9}{16}$ और $\cos^3 A = \frac{27}{64}$.
$= 16 \left[ \left( 2 \times \frac{9}{16} - 1 \right) - \left( 4 \times \frac{27}{64} - 3 \times \frac{3}{4} \right) \right]$.
$= 16 \left[ \left( \frac{9}{8} - 1 \right) - \left( \frac{27}{16} - \frac{9}{4} \right) \right]$.
$= 16 \left[ \frac{1}{8} - \left( \frac{27 - 36}{16} \right) \right] = 16 \left[ \frac{1}{8} - \left( -\frac{9}{16} \right) \right]$.
$= 16 \left( \frac{2 + 9}{16} \right) = 11$.

(B) दिया गया है $\tan \alpha = \frac{1}{7}$.
सूत्र $\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2\alpha = \frac{1 - (1/7)^2}{1 + (1/7)^2} = \frac{1 - 1/49}{1 + 1/49} = \frac{48/49}{50/49} = \frac{48}{50} = \frac{24}{25}$.
अब,दिया गया है $\tan \beta = \frac{1}{3}$.
सूत्र $\sin 2\beta = \frac{2 \tan \beta}{1 + \tan^2 \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 2\beta = \frac{2(1/3)}{1 + (1/3)^2} = \frac{2/3}{1 + 1/9} = \frac{2/3}{10/9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{3}{5}$.
चूंकि $\sin 2\beta = \frac{3}{5}$,इसलिए $\cos 2\beta = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \frac{4}{5}$.
अब,$\sin 4\beta = 2 \sin 2\beta \cos 2\beta = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$.
अतः,$\cos 2\alpha = \sin 4\beta$.

(B) दिया गया है $\cos A = \frac{3}{4}$.
हम गुणन-से-योग सूत्र का उपयोग करते हैं: $2\sin X \cos Y = \sin(X+Y) + \sin(X-Y)$.
$32\sin \frac{A}{2}\cos \frac{5A}{2} = 16(2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{5A}{2})$
$= 16(\sin(3A) + \sin(-2A))$
$= 16(\sin 3A - \sin 2A)$
$= 16((3\sin A - 4\sin^3 A) - 2\sin A \cos A)$
$= 16\sin A(3 - 4\sin^2 A - 2\cos A)$
चूंकि $\cos A = \frac{3}{4}$,$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$,इसलिए $\sin A = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
$= 16 \times \frac{\sqrt{7}}{4} \times (3 - 4(\frac{7}{16}) - 2(\frac{3}{4}))$
$= 4\sqrt{7} \times (3 - \frac{7}{4} - \frac{3}{2})$
$= 4\sqrt{7} \times (\frac{12 - 7 - 6}{4})$
$= 4\sqrt{7} \times (-\frac{1}{4}) = -\sqrt{7}$.

(D) हमारे पास $\frac{\cos A}{1 - \sin A}$ है।
अंश और हर को $(1 + \sin A)$ से गुणा करने पर:
$\frac{\cos A(1 + \sin A)}{(1 - \sin A)(1 + \sin A)} = \frac{\cos A(1 + \sin A)}{1 - \sin^2 A} = \frac{\cos A(1 + \sin A)}{\cos^2 A} = \frac{1 + \sin A}{\cos A}$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ और $\cos A = \cos^2 \frac{A}{2} - \sin^2 \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2})^2}{(\cos \frac{A}{2} - \sin \frac{A}{2})(\cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2})} = \frac{\cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2} - \sin \frac{A}{2}}$.
अंश और हर को $\cos \frac{A}{2}$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{1 + \tan \frac{A}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2}} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{A}{2} \right)$.

(C) हम जानते हैं कि $\tan \frac{A}{2} = \frac{\sin(A/2)}{\cos(A/2)}$.
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\sin(A/2) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}$ और $\cos(A/2) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$.
अतः,$\tan \frac{A}{2} = \frac{\pm \sqrt{(1 - \cos A)/2}}{\pm \sqrt{(1 + \cos A)/2}} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}}$.

(A) दिया गया है $\sin \alpha = \frac{-3}{5}$ और $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (अर्थात $\alpha$ तृतीय चतुर्थांश में है)।
चूंकि $\alpha$ तृतीय चतुर्थांश में है,$\cos \alpha$ ऋणात्मक होगा।
$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{-3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$।
$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ होने के कारण,$2$ से भाग देने पर $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{\alpha}{2}$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है,जहाँ $\cos$ ऋणात्मक होता है।
सूत्र $\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + (-4/5)}{2}} = -\sqrt{\frac{1/5}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$।

(B) दिया गया व्यंजक: $\sec 2x - \tan 2x = \frac{1 - \sin 2x}{\cos 2x}$
सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$,और $1 = \cos^2 x + \sin^2 x$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x} = \frac{(\cos x - \sin x)^2}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}$
$= \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan x}$
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए:
$= \tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right)$.

(A) दिया गया है $\tan \theta = t.$
हम जानते हैं कि $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2t}{1 - t^2}$ और $\sec 2\theta = \frac{1}{\cos 2\theta} = \frac{1 + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}.$
अतः,$\tan 2\theta + \sec 2\theta = \frac{2t}{1 - t^2} + \frac{1 + t^2}{1 - t^2}.$
$= \frac{2t + 1 + t^2}{1 - t^2} = \frac{(1 + t)^2}{(1 - t)(1 + t)}.$
$= \frac{1 + t}{1 - t}.$

(C) दिया गया है $\cos \theta = \frac{1}{2}\left( a + \frac{1}{a} \right).$
सर्वसमिका $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ का उपयोग करने पर,
$\cos 3\theta = 4 \left[ \frac{1}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right) \right]^3 - 3 \left[ \frac{1}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right) \right]$
$\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left( a^3 + \frac{1}{a^3} \right).$

(C) दिया गया है $A = 133^\circ$,अतः $\frac{A}{2} = 66.5^\circ$।
चूँकि $45^\circ < \frac{A}{2} < 90^\circ$,इसलिए $\sin \frac{A}{2} > \cos \frac{A}{2} > 0$ है।
हम जानते हैं कि $1 + \sin A = (\sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2})^2$।
अतः,$\sqrt{1 + \sin A} = \sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2} \dots (i)$।
इसी प्रकार,$1 - \sin A = (\sin \frac{A}{2} - \cos \frac{A}{2})^2$।
अतः,$\sqrt{1 - \sin A} = |\sin \frac{A}{2} - \cos \frac{A}{2}|$।
चूँकि $\sin \frac{A}{2} > \cos \frac{A}{2}$ है,इसलिए $\sqrt{1 - \sin A} = \sin \frac{A}{2} - \cos \frac{A}{2} \dots (ii)$।
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$\sqrt{1 + \sin A} - \sqrt{1 - \sin A} = (\sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2}) - (\sin \frac{A}{2} - \cos \frac{A}{2}) = 2\cos \frac{A}{2}$।

(D) दिया गया है $\sin A = \frac{4}{5}$ और $90^\circ < A < 180^\circ$ (द्वितीय चतुर्थांश)।
द्वितीय चतुर्थांश में $\sin A$ धनात्मक और $\cos A$ ऋणात्मक होता है,इसलिए $\cos A = -\sqrt{1 - \sin^2 A} = -\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = -\frac{3}{5}$।
हम जानते हैं कि $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}}$।
चूंकि $90^\circ < A < 180^\circ$,इसलिए $45^\circ < \frac{A}{2} < 90^\circ$ होगा,अतः $\tan \frac{A}{2}$ धनात्मक होना चाहिए।
$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 - (-3/5)}{1 + (-3/5)}} = \sqrt{\frac{1 + 3/5}{1 - 3/5}} = \sqrt{\frac{8/5}{2/5}} = \sqrt{4} = 2$।

(A) दिया गया है कि $\tan \frac{\theta}{2} = t$ है।
हम जानते हैं कि $\tan \frac{\theta}{2}$ के पदों में $\cos \theta$ का मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है:
$\cos \theta = \frac{1 - \tan^2 \frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}}$.
$\tan \frac{\theta}{2} = t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$.
अतः,व्यंजक $\frac{1 - t^2}{1 + t^2}$,$\cos \theta$ के बराबर है।

(C) प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करते हैं:
$(a)$ $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$,जो अपरिमेय है।
$(b)$ $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$,जो अपरिमेय है।
$(c)$ $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{4}$,जो परिमेय है।
$(d)$ $\sin 15^\circ \cos 75^\circ = \sin^2 15^\circ = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$,जो अपरिमेय है।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(A) हम अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$.
$\theta = 30^\circ$ रखने पर,हमें $\cos 15^\circ = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $15^\circ$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $\cos 15^\circ > 0$ है।
अतः,$\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{2}}$।

(B) दिया गया समीकरण: $2\cos^2 \theta - 2\sin^2 \theta = 1$
$2$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 1$
सर्वसमिका $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2\cos 2\theta = 1$
$2$ से भाग देने पर: $\cos 2\theta = \frac{1}{2}$
चूंकि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$2\theta = 60^\circ$
अतः,$\theta = 30^\circ$.

(C) दिया गया है $\sin \alpha = \frac{336}{625}$ और $450^\circ < \alpha < 540^\circ$।
चूंकि $450^\circ < \alpha < 540^\circ$,$\alpha$ द्वितीय चतुर्थांश में है।
द्वितीय चतुर्थांश में $\cos \alpha$ ऋणात्मक होता है।
$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\frac{527}{625}$।
अब,$225^\circ < \frac{\alpha}{2} < 270^\circ$ होने के कारण,$\frac{\alpha}{2}$ तृतीय चतुर्थांश में है,जहाँ $\cos(\frac{\alpha}{2})$ ऋणात्मक होता है।
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\frac{7}{25}$।
अंत में,$112.5^\circ < \frac{\alpha}{4} < 135^\circ$ होने के कारण,$\frac{\alpha}{4}$ द्वितीय चतुर्थांश में है,जहाँ $\sin(\frac{\alpha}{4})$ धनात्मक होता है।
$\sin(\frac{\alpha}{4}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha/2)}{2}} = \frac{4}{5}$।

(D) दिया गया है $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\sin x + \cos x)^2 = (\frac{1}{5})^2$।
$\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{25}$।
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ और $2 \sin x \cos x = \sin 2x$,इसलिए $1 + \sin 2x = \frac{1}{25}$।
$\sin 2x = \frac{1}{25} - 1 = -\frac{24}{25}$।
अब,$\cos^2 2x = 1 - \sin^2 2x = 1 - (-\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}$।
$\cos 2x = \pm \frac{7}{25}$।
चूंकि $\sin 2x = -\frac{24}{25}$,इसलिए $\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{-24/25}{\pm 7/25} = \mp \frac{24}{7}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{24}{7}$ है।

(C) दी गई व्यंजक: $\cos^2 A(3 - 4\cos^2 A)^2 + \sin^2 A(3 - 4\sin^2 A)^2$
$= (3\cos A - 4\cos^3 A)^2 + (3\sin A - 4\sin^3 A)^2$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A$ और $\sin 3A = 3\sin A - 4\sin^3 A$ का उपयोग करने पर:
$= (-\cos 3A)^2 + (\sin 3A)^2$
$= \cos^2 3A + \sin^2 3A = 1$
अतः,व्यंजक का मान $1$ है।