निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ तथा $\tan \frac{x}{2},$ ज्ञात कीजिए
$\sin x=\frac{1}{4}, x$ द्वितीय चतुर्थांश में है
Here, $x$ is in quadrant $II$.
i.e., $\frac{\pi}{2} < x < \pi$
$\Rightarrow \frac{\pi}{4}<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}$
Therefore, $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}, \tan \frac{x}{2}$ are all positive.
It is given that $\sin x=\frac{1}{4}$
$\cos ^{2} x=1-\sin ^{2} x=1-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$
$\Rightarrow \cos x=-\frac{\sqrt{15}}{4}[\cos x \text { is negative in quadrant II }]$
$\sin ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}-\frac{1-\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}{2}=\frac{4+\sqrt{15}}{8}$
$\Rightarrow \sin \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{4+\sqrt{15}}{8}} \quad\left[\because \sin \frac{x}{2} \text { is negative }\right]$
$=\sqrt{\frac{4+\sqrt{15}}{8} \times \frac{2}{2}}$
$=\sqrt{\frac{8+2 \sqrt{15}}{16}}$
$=\frac{\sqrt{8+2 \sqrt{15}}}{4}$
$\cos ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}=\frac{1+\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}{2}=\frac{4-\sqrt{15}}{8}$
$\Rightarrow \cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{4-\sqrt{15}}{8}} \quad\left[\because \cos \frac{x}{2} \text { is positve }\right]$
$=\sqrt{\frac{4+\sqrt{15}}{8} \times \frac{2}{2}}$
$=\sqrt{\frac{8-2 \sqrt{15}}{16}}$
$=\frac{\sqrt{8-2 \sqrt{15}}}{4}$
$\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{\left(\frac{\sqrt{8+2 \sqrt{15}}}{4}\right)}{\frac{\sqrt{8-2 \sqrt{15}}}{4}}=\frac{\sqrt{8+2 \sqrt{15}}}{\sqrt{8-2 \sqrt{15}}}$
$=\sqrt{\frac{8+2 \sqrt{15}}{8-2 \sqrt{15}}} \times \frac{8+2 \sqrt{15}}{8+2 \sqrt{15}}$
$=\sqrt{\frac{(8+2 \sqrt{15})^{2}}{64-60}}=\frac{8+2 \sqrt{15}}{2}=4+\sqrt{15}$
Thus, the respective values are $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ and $\tan \frac{x}{2}$
$\operatorname{are} \frac{\sqrt{8+2 \sqrt{15}}}{4}, \frac{\sqrt{8-2 \sqrt{15}}}{4}$ and $4+\sqrt{15}$
$75$ सेमी लंबाई वाले एक दोलायमान दोलक का एक सिरे से दूसरे सिरे तक दोलन करने से जो कोण बनता है, उसका माप रेडियन में ज्ञात कीजिए, जबकि उसके नोक द्वारा बनाए गए चाप की लंबाई निम्नलिखित हैं
$10$ सेमी
निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए
$240^{\circ}$
निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए ( $\pi=\frac{22}{7}$ का प्रयोग करें)
$\frac{5 \pi}{3}$
यदि $\sin \theta = \frac{{ - 4}}{5}$ तथा $\theta $ तीसरे चतुर्थांश में हो, तो $\cos \frac{\theta }{2} = $
यदि वृत्त की त्रिज्या $13$ मीटर तथा चाप की लम्बाई $1$ मीटर है, तो वृत्त के केन्द्र पर बना कोण होगा