Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $E = \cos 13^{\circ} \sin 17^{\circ} \sin 21^{\circ} \cos 47^{\circ}$.
$4$ વડે ગુણીને ભાગતા:
$E = \frac{1}{4} (2 \cos 13^{\circ} \cos 47^{\circ}) (2 \sin 17^{\circ} \sin 21^{\circ})$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ અને $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{4} (\cos 60^{\circ} + \cos 34^{\circ}) (\cos 4^{\circ} - \cos 38^{\circ})$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$E = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} + \cos 34^{\circ}) (\cos 4^{\circ} - \cos 38^{\circ})$.
આ પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા અંતિમ પરિણામ મળે છે.

(A) ધારો કે $P = \sin \frac{\pi}{12} \sin \frac{2 \pi}{12} \sin \frac{3 \pi}{12} \sin \frac{4 \pi}{12} \sin \frac{5 \pi}{12} \sin \frac{6 \pi}{12}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$,$\sin \frac{2 \pi}{12} = \frac{1}{2}$,$\sin \frac{3 \pi}{12} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin \frac{4 \pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin \frac{5 \pi}{12} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$,$\sin \frac{6 \pi}{12} = 1$.
તેથી,$P = \left( \frac{6-2}{16} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{2}} \right) = \frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{16 \sqrt{2}}$.

(A) આપેલ છે $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\tan ^3\left(\frac{\pi}{4}+\beta\right)$.
ધારો કે $x = \frac{\pi}{4}+\alpha$ અને $y = \frac{\pi}{4}+\beta$. તેથી $\tan x = \tan^3 y$.
$\tan(A+B)$ ના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\tan x = \frac{1+\tan \alpha}{1-\tan \alpha}$ અને $\tan y = \frac{1+\tan \beta}{1-\tan \beta}$.
$\tan x = \tan^3 y$ પરથી,યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા,આપણને $\tan(\alpha+\beta)\cot(\alpha-\beta) = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A+B+C+D=2 \pi$. આપણે $S = \sin A + \sin B + \sin C + \sin D$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin x + \sin y = 2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$.
$C+D = 2 \pi - (A+B)$ હોવાથી,$\frac{C+D}{2} = \pi - \frac{A+B}{2}$.
તેથી,$\sin \left(\frac{C+D}{2}\right) = \sin \left(\pi - \frac{A+B}{2}\right) = \sin \left(\frac{A+B}{2}\right)$.
આ કિંમત મૂકતા:
$S = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \left[ \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + \cos \left(\frac{C-D}{2}\right) \right]$.
$\cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = -4 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A+D}{2}\right)$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $2 \tan (A+B) = 3 \tan (A-B)$.
ધારો કે $X = A+B$ અને $Y = A-B$. તેથી $2 \tan X = 3 \tan Y$,એટલે કે $\frac{\tan X}{\tan Y} = \frac{3}{2}$.
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{\tan X + \tan Y}{\tan X - \tan Y} = \frac{3+2}{3-2} = 5$.
નિત્યસમ $\frac{\sin(X+Y)}{\sin(X-Y)} = \frac{\tan X + \tan Y}{\tan X - \tan Y}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin(A+B+A-B)}{\sin(A+B-(A-B))} = 5$.
$\frac{\sin 2A}{\sin 2B} = 5$.
તેથી,$\sin 2A = 5 \sin 2B$.

(B) આપણે નિત્યસમ $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જેનો અર્થ છે $\cos^3 \theta = \frac{1}{4}(\cos 3\theta + 3\cos \theta)$.
આ કિંમત $k = \cos^3 80^{\circ} + \cos^3 40^{\circ} - \cos^3 20^{\circ}$ માં મૂકતા:
$k = \frac{1}{4}(\cos 240^{\circ} + 3\cos 80^{\circ}) + \frac{1}{4}(\cos 120^{\circ} + 3\cos 40^{\circ}) - \frac{1}{4}(\cos 60^{\circ} + 3\cos 20^{\circ})$
$k = \frac{1}{4} [(\cos 240^{\circ} + \cos 120^{\circ} - \cos 60^{\circ}) + 3(\cos 80^{\circ} + \cos 40^{\circ} - \cos 20^{\circ})]$
$\cos 240^{\circ} = -\frac{1}{2}$,$\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$,અને $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,પ્રથમ ભાગ $(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$ થાય.
બીજા ભાગ માટે,$\cos 80^{\circ} + \cos 40^{\circ} = 2\cos 60^{\circ} \cos 20^{\circ} = 2(\frac{1}{2})\cos 20^{\circ} = \cos 20^{\circ}$.
આમ,$3(\cos 80^{\circ} + \cos 40^{\circ} - \cos 20^{\circ}) = 3(\cos 20^{\circ} - \cos 20^{\circ}) = 0$.
તેથી,$k = \frac{1}{4}(-\frac{3}{2} + 0) = -\frac{3}{8}$.
હવે $\frac{4k}{3} = \frac{4}{3} \times (-\frac{3}{8}) = -\frac{1}{2}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા: $\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\cos x + \sin x)^2 = (\frac{1}{2})^2$.
$\cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4}$.
$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ હોવાથી,$1 + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4}$.
$2 \sin x \cos x = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$.
હવે,$(\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - (-\frac{3}{4}) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.
તેથી,$\cos x - \sin x = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$.
કિસ્સો $1$: $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$ અને $\cos x - \sin x = \frac{\sqrt{7}}{2}$.
સરવાળો કરતા $2 \cos x = \frac{1+\sqrt{7}}{2} \implies \cos x = \frac{1+\sqrt{7}}{4}$.
બાદબાકી કરતા $2 \sin x = \frac{1-\sqrt{7}}{2} \implies \sin x = \frac{1-\sqrt{7}}{4}$.
તેથી $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1-\sqrt{7}}{1+\sqrt{7}} = \frac{-4+\sqrt{7}}{3}$.
કિસ્સો $2$: $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$ અને $\cos x - \sin x = -\frac{\sqrt{7}}{2}$.
સરવાળો કરતા $2 \cos x = \frac{1-\sqrt{7}}{2} \implies \cos x = \frac{1-\sqrt{7}}{4}$.
બાદબાકી કરતા $2 \sin x = \frac{1+\sqrt{7}}{2} \implies \sin x = \frac{1+\sqrt{7}}{4}$.
તેથી $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1+\sqrt{7}}{1-\sqrt{7}} = \frac{-4-\sqrt{7}}{3}$.
$0 < x < \pi$ હોવાથી,$\sin x > 0$. કિસ્સો $1$ માં $\sin x < 0$ છે,જે અસ્વીકાર્ય છે. કિસ્સો $2$ માં $\sin x > 0$ છે,જે સ્વીકાર્ય છે. તેથી,$\tan x = \frac{-4-\sqrt{7}}{3}$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1) 3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$(2) \frac{3 \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cos B}{\cos A} \implies 3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{3}{2} \sin 2A = \sin 2B \implies 3 \sin 2A = 2 \sin 2B$
$(1)$ પરથી,$3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$\implies 3(1 - \sin^2 A) + 2(1 - \sin^2 B) = 4$
$\implies 5 - 3 \sin^2 A - 2 \sin^2 B = 4$
$\implies 3 \sin^2 A + 2 \sin^2 B = 1$
તેમજ,$(2)$ પરથી,$3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9 \sin^2 A \cos^2 A = 4 \sin^2 B \cos^2 B$
$\implies 9 \sin^2 A (1 - \sin^2 A) = 4 \sin^2 B (1 - \sin^2 B)$
ધારો કે $u = \sin^2 A$ અને $v = \sin^2 B$. આપણી પાસે $3u + 2v = 1 \implies v = \frac{1 - 3u}{2}$ છે.
વર્ગ કરેલા સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$9u(1 - u) = 4(\frac{1 - 3u}{2})(1 - \frac{1 - 3u}{2})$
$\implies 9u - 9u^2 = 2(1 - 3u)(\frac{1 + 3u}{2})$
$\implies 9u - 9u^2 = 1 - 9u^2$
$\implies 9u = 1 \implies u = \frac{1}{9}$
તેથી $v = \frac{1 - 3(1/9)}{2} = \frac{1 - 1/3}{2} = \frac{2/3}{2} = \frac{1}{3}$.
આમ $\sin^2 A = \frac{1}{9} \implies \sin A = \frac{1}{3}$ અને $\sin^2 B = \frac{1}{3} \implies \sin B = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
લઘુકોણ $A, B$ માટે,$\sin A = 1/3, \cos A = \sqrt{8}/3, \sin B = 1/\sqrt{3}, \cos B = \sqrt{2/3}$.
$\sin(A+2B) = \sin A \cos 2B + \cos A \sin 2B = \sin A (1 - 2\sin^2 B) + \cos A (2 \sin B \cos B)$
$= (1/3)(1 - 2/3) + (\sqrt{8}/3)(2 \cdot 1/\sqrt{3} \cdot \sqrt{2/3}) = 1/9 + 8/9 = 1$.
તેથી,$A + 2B = \frac{\pi}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $\sin \alpha = \sin \beta$ અને $\cos \alpha = \cos \beta$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = (\sin \beta)^2 + (\cos \beta)^2$
$1 = 1$.
વૈકલ્પિક રીતે,સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha$ અને $z_2 = \cos \beta + i \sin \beta$ ધ્યાનમાં લો.
$\cos \alpha = \cos \beta$ અને $\sin \alpha = \sin \beta$ હોવાથી,$z_1 = z_2$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $e^{i \alpha} = e^{i \beta}$,જેનો અર્થ થાય છે $e^{i(\alpha - \beta)} = 1$.
તેથી,કોઈ પૂર્ણાંક $n$ માટે $\alpha - \beta = 2 n \pi$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta + 2 \tan 2 \theta + 4 \cot 4 \theta = \cot \theta$.
ધારો કે $\theta = \frac{\pi}{5} = 36^{\circ}$.
તેથી પદાવલિ $\tan \frac{\pi}{5} + 2 \tan \frac{2 \pi}{5} + 4 \cot \frac{4 \pi}{5}$ બને છે.
નિત્યસમ $\tan \theta + 2 \tan 2 \theta + 4 \cot 4 \theta = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\theta = \frac{\pi}{5}$ મૂકતા,આપણને $\tan \frac{\pi}{5} + 2 \tan \frac{2 \pi}{5} + 4 \cot \frac{4 \pi}{5} = \cot \frac{\pi}{5}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે $2 \cos \theta + \sin \theta = 1$. $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ હોવાથી,$\cos \theta \ge 0$.
ધારો કે $\cos \theta = x$ અને $\sin \theta = y$. તેથી $2x + y = 1 \implies y = 1 - 2x$.
$x^2 + y^2 = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x^2 + (1 - 2x)^2 = 1$.
$x^2 + 1 - 4x + 4x^2 = 1 \implies 5x^2 - 4x = 0$.
તેથી,$x(5x - 4) = 0$,જે $x = 0$ અથવા $x = \frac{4}{5}$ આપે છે.
કિસ્સો $1$: જો $x = 0$,તો $\cos \theta = 0$. $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$ અથવા $-\frac{\pi}{2}$.
જો $\theta = \frac{\pi}{2}$,$\sin \theta = 1$,તો $k = 7(0) + 6(1) = 6$.
જો $\theta = -\frac{\pi}{2}$,$\sin \theta = -1$,તો $k = 7(0) + 6(-1) = -6$.
કિસ્સો $2$: જો $x = \frac{4}{5}$,તો $\cos \theta = \frac{4}{5}$. $y = 1 - 2x$ હોવાથી,$y = 1 - 2(\frac{4}{5}) = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$.
તેથી $k = 7(\frac{4}{5}) + 6(-\frac{3}{5}) = \frac{28}{5} - \frac{18}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
$k$ ની શક્ય કિંમતો $6, -6, 2$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\left(\sqrt{\sin^2 x - \sin x + \frac{1}{2}}\right) 2^{\sec^2 y} = 1$ છે.
આને $\sqrt{(\sin x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}} = 2^{-\sec^2 y}$ તરીકે લખી શકાય.
બધા $y$ માટે જ્યાં $\sec y$ વ્યાખ્યાયિત છે,$\sec^2 y \geq 1$ હોવાથી $2^{-\sec^2 y} \leq 2^{-1} = \frac{1}{2}$ થાય.
વળી,$\sin^2 x - \sin x + \frac{1}{2} = (\sin x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$ છે.
આ પદની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{4}$ છે (જ્યારે $\sin x = \frac{1}{2}$),તેથી વર્ગમૂળની કિંમત ઓછામાં ઓછી $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ થાય.
ગુણાકાર $1$ થવા માટે,$\sqrt{\sin^2 x - \sin x + \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ અને $2^{\sec^2 y} = 2$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\sec^2 y = 1$.
$\sec^2 y = 1 \implies \cos^2 y = 1 \implies y = 0$ ($0 \leq y \leq 3$ હોવાથી).
$\sqrt{\sin^2 x - \sin x + \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \implies \sin x = \frac{1}{2}$.
અંતરાલ $0 \leq x \leq 3$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ ના બે ઉકેલો છે: $x = \frac{\pi}{6}$ અને $x = \frac{5\pi}{6}$.
આમ,ઉકેલો $(x, y)$ ની સંખ્યા $2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin \theta + 2 \cos \theta = 1$.
પુનઃગોઠવતા,$\sin \theta = 1 - 2 \cos \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\sin^2 \theta = (1 - 2 \cos \theta)^2$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 - \cos^2 \theta = 1 - 4 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta$.
સાદુરૂપ આપતા: $5 \cos^2 \theta - 4 \cos \theta = 0$.
તેથી,$\cos \theta (5 \cos \theta - 4) = 0$.
$\theta$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવાથી,$\cos \theta \neq 0$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{4}{5}$.
કિંમત મુકતા: $\sin \theta = 1 - 2(\frac{4}{5}) = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$.
હવે,$7 \cos \theta + 6 \sin \theta = 7(\frac{4}{5}) + 6(-\frac{3}{5}) = \frac{28}{5} - \frac{18}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણો $\sin x + \sin y = \sin(x + y)$ અને $|x| + |y| = 1$ છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$.
આથી $\sin \frac{x+y}{2} [\cos \frac{x-y}{2} - \cos \frac{x+y}{2}] = 0$ મળે.
$\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \frac{x+y}{2} [2 \sin \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2}] = 0$ મળે.
તેથી,$\sin \frac{x+y}{2} = 0$ અથવા $\sin \frac{x}{2} = 0$ અથવા $\sin \frac{y}{2} = 0$.
આનાથી $x + y = 0$ અથવા $x = 0$ અથવા $y = 0$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: જો $x + y = 0$,તો $|x| + |-x| = 1$ $\Rightarrow 2|x| = 1$ $\Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$. જોડીઓ: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
કિસ્સો $2$: જો $x = 0$,તો $|0| + |y| = 1$ $\Rightarrow |y| = 1$ $\Rightarrow y = \pm 1$. જોડીઓ: $(0, 1), (0, -1)$.
કિસ્સો $3$: જો $y = 0$,તો $|x| + |0| = 1$ $\Rightarrow |x| = 1$ $\Rightarrow x = \pm 1$. જોડીઓ: $(1, 0), (-1, 0)$.
કુલ અલગ ક્રમયુક્ત જોડીઓની સંખ્યા $2 + 2 + 2 = 6$ છે.

(D) આપેલ છે $\tanh x = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = \frac{3}{5}$.
$5e^{2x} - 5 = 3e^{2x} + 3$ $\Rightarrow 2e^{2x} = 8$ $\Rightarrow e^{2x} = 4$ $\Rightarrow e^x = 2$.
આપેલ છે $\operatorname{sech} y = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{2}{e^y + e^{-y}} = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{2e^y}{e^{2y} + 1} = \frac{3}{5}$.
$10e^y = 3e^{2y} + 3 \Rightarrow 3(e^y)^2 - 10e^y + 3 = 0$.
ધારો કે $t = e^y$,તો $3t^2 - 10t + 3 = 0$ $\Rightarrow (3t - 1)(t - 3) = 0$ $\Rightarrow t = 3$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
કારણ કે $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$,તેથી $e^{x+y} = 2 \times 3 = 6$ અથવા $e^{x+y} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $e^{x+y}$ એક પૂર્ણાંક છે,તેથી $e^{x+y} = 6$.

(A) આપેલ સમીકરણ $8^{1+\cos ^2 x+\cos ^4 x+\ldots}=4^3$ છે.
ઘાતાંક એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=\cos^2 x$ છે,જ્યાં $|\cos^2 x| < 1$,તેથી સરવાળો $\frac{1}{1-\cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x}$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $8^{\frac{1}{\sin^2 x}} = 4^3$.
બંને બાજુ આધાર $2$ લેતા: $(2^3)^{\frac{1}{\sin^2 x}} = (2^2)^3$.
$2^{\frac{3}{\sin^2 x}} = 2^6$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $\frac{3}{\sin^2 x} = 6$.
$\sin^2 x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$x \in (-\pi, \pi)$ માટે,ઉકેલો $x = \pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{3\pi}{4}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\cosh \alpha + \sinh \alpha = e^3$.
વ્યાખ્યાઓ $\cosh \alpha = \frac{e^\alpha + e^{-\alpha}}{2}$ અને $\sinh \alpha = \frac{e^\alpha - e^{-\alpha}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{e^\alpha + e^{-\alpha}}{2} + \frac{e^\alpha - e^{-\alpha}}{2} = e^3$
$e^\alpha = e^3 \Rightarrow \alpha = 3$.
હવે,$\sinh x$ ના સમીકરણમાં $\alpha = 3$ મૂકતા:
$\sinh x = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,તેથી $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
તેથી,$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5}$.
$\alpha = 3$ હોવાથી,વિકલ્પો તપાસતા: $\frac{\alpha}{\alpha+2} = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે: $\sin \beta=2 \sin \alpha \dots (i)$
અને $3 \cos \beta=2 \cos \alpha \Rightarrow \cos \beta=\frac{2}{3} \cos \alpha \dots (ii)$
સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = (2 \sin \alpha)^2 + (\frac{2}{3} \cos \alpha)^2$
$1 = 4 \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} \cos^2 \alpha$
$1 = 4 \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} (1 - \sin^2 \alpha)$
$1 = 4 \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} - \frac{4}{9} \sin^2 \alpha$
$1 - \frac{4}{9} = \frac{32}{9} \sin^2 \alpha$ $\Rightarrow \frac{5}{9} = \frac{32}{9} \sin^2 \alpha$ $\Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{5}{32}$
તેવી જ રીતે,$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{5}{32} = \frac{27}{32}$
હવે,$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
$\cos \beta = \frac{2}{3} \cos \alpha$ અને $\sin \beta = 2 \sin \alpha$ મુકતા:
$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha (\frac{2}{3} \cos \alpha) - \sin \alpha (2 \sin \alpha)$
$\cos(\alpha + \beta) = \frac{2}{3} \cos^2 \alpha - 2 \sin^2 \alpha$
$\cos(\alpha + \beta) = \frac{2}{3} (\frac{27}{32}) - 2 (\frac{5}{32}) = \frac{18}{32} - \frac{10}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$
તેથી,$\sec(\alpha + \beta) = \frac{1}{\cos(\alpha + \beta)} = 4$.

(D) આપેલ છે: $\tan A = \tan \alpha \coth x = \cot \beta \tanh x$ ...$(i)$
$(i)$ પરથી,$\tan \alpha = \tan A \tanh x$ અને $\tan \beta = \frac{\tanh x}{\tan A}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan A \tanh x + \frac{\tanh x}{\tan A}}{1 - (\tan A \tanh x)(\frac{\tanh x}{\tan A})}$
$= \frac{\tanh x (\tan A + \frac{1}{\tan A})}{1 - \tanh^2 x}$
$= \frac{\tanh x (\frac{\tan^2 A + 1}{\tan A})}{\operatorname{sech}^2 x}$
$= \frac{\sinh x}{\cosh x} \cdot \frac{\sec^2 A}{\tan A} \cdot \cosh^2 x$
$= \sinh x \cosh x \cdot \frac{1}{\cos^2 A} \cdot \frac{\cos A}{\sin A}$
$= \frac{2 \sinh x \cosh x}{2 \sin A \cos A} = \frac{\sinh 2x}{\sin 2A} = \sinh 2x \operatorname{cosec} 2A$.

(B) ધારો કે $S = \sum_{k=0}^4 \sin^2 \left( (2k+1) \frac{\pi}{20} \right)$.
સરવાળાને વિસ્તૃત કરતા:
$S = \sin^2 \frac{\pi}{20} + \sin^2 \frac{3\pi}{20} + \sin^2 \frac{5\pi}{20} + \sin^2 \frac{7\pi}{20} + \sin^2 \frac{9\pi}{20}$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \cos^2 \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 \frac{\pi}{20} = \cos^2 \frac{9\pi}{20}$ અને $\sin^2 \frac{3\pi}{20} = \cos^2 \frac{7\pi}{20}$.
તેથી,$S = (\sin^2 \frac{9\pi}{20} + \cos^2 \frac{9\pi}{20}) + (\sin^2 \frac{7\pi}{20} + \cos^2 \frac{7\pi}{20}) + \sin^2 \frac{\pi}{4}$.
$S = 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = \frac{1+\cos \theta-\sin \theta}{1+\cos \theta+\sin \theta}+\frac{1+\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta}$ છે.
છેદ સમાન લેતા,આપણને મળે:
$E = \frac{(1+\cos \theta-\sin \theta)^2 + (1+\cos \theta+\sin \theta)^2}{(1+\cos \theta+\sin \theta)(1+\cos \theta-\sin \theta)}$.
નિત્યસમ $(a-b)^2 + (a+b)^2 = 2(a^2+b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1+\cos \theta$ અને $b = \sin \theta$ છે:
અંશ $= 2((1+\cos \theta)^2 + \sin^2 \theta) = 2(1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 2(1 + 2\cos \theta + 1) = 2(2 + 2\cos \theta) = 4(1+\cos \theta)$.
છેદ $= (1+\cos \theta)^2 - \sin^2 \theta = 1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta - (1 - \cos^2 \theta) = 2\cos^2 \theta + 2\cos \theta = 2\cos \theta(1+\cos \theta)$.
આમ,$E = \frac{4(1+\cos \theta)}{2\cos \theta(1+\cos \theta)} = \frac{2}{\cos \theta} = 2 \sec \theta$.

(A) આપેલ છે: $m \tan (\theta-30^{\circ})=n \tan (\theta+120^{\circ})$
$\tan (\theta+120^{\circ}) = -\cot (\theta+30^{\circ})$ હોવાથી,
$\frac{n}{m} = -\tan (\theta-30^{\circ}) \tan (\theta+30^{\circ})$
$\tan (A-B) \tan (A+B) = \frac{\tan^2 A - \tan^2 B}{1 - \tan^2 A \tan^2 B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n}{m} = \frac{\tan^2 30^{\circ} - \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta \tan^2 30^{\circ}}$
હવે,$\frac{m+n}{m-n} = \frac{1 + n/m}{1 - n/m} = \frac{\cos 2\theta}{\cos 60^{\circ}} = 2 \cos 2\theta$

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $P = \prod_{k=1}^{7} \left(1+\cos \frac{k\pi}{8}\right)$ છે.
નિત્યસમ $1+\cos \theta = 2\cos^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$1+\cos \frac{k\pi}{8} = 2\cos^2 \frac{k\pi}{16}$ મળે.
વૈકલ્પિક રીતે,$\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ હોવાથી,$1+\cos(\pi - \theta) = 1-\cos \theta$ થાય.
પદોની જોડી બનાવતા: $\left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{7\pi}{8}\right) = (1+\cos \frac{\pi}{8})(1-\cos \frac{\pi}{8}) = 1-\cos^2 \frac{\pi}{8} = \sin^2 \frac{\pi}{8}$.
તે જ રીતે,$\left(1+\cos \frac{2\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{6\pi}{8}\right) = (1+\cos \frac{\pi}{4})(1-\cos \frac{\pi}{4}) = 1-\cos^2 \frac{\pi}{4} = \sin^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$.
અને $\left(1+\cos \frac{3\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5\pi}{8}\right) = (1+\cos \frac{3\pi}{8})(1-\cos \frac{3\pi}{8}) = 1-\cos^2 \frac{3\pi}{8} = \sin^2 \frac{3\pi}{8}$.
વચ્ચેનું પદ $\left(1+\cos \frac{4\pi}{8}\right) = 1+\cos \frac{\pi}{2} = 1+0 = 1$ છે.
આમ,$P = \sin^2 \frac{\pi}{8} \cdot \sin^2 \frac{3\pi}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$.
$\sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8}$ હોવાથી,$P = \sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8})^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} (\sin \frac{\pi}{4})^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.

(B) આપેલ છે કે $3 \sin^4 x + 2 \cos^4 x = \frac{6}{5}$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ મૂકતા:
$3 \sin^4 x + 2(1 - \sin^2 x)^2 = \frac{6}{5}$
$3 \sin^4 x + 2(1 + \sin^4 x - 2 \sin^2 x) = \frac{6}{5}$
$5 \sin^4 x - 4 \sin^2 x + 2 = \frac{6}{5}$
$25 \sin^4 x - 20 \sin^2 x + 4 = 0$
$(5 \sin^2 x - 2)^2 = 0$
$\sin^2 x = \frac{2}{5}$,તેથી $\cos^2 x = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
હવે,$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,તેથી $\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x = 4 \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$.
$\sin 2x = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.
$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 = 2(\frac{3}{5}) - 1 = \frac{1}{5}$.
$\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{2 \sqrt{6} / 5}{1 / 5} = 2 \sqrt{6}$.

(D) આપેલ છે $f_n(x) = \frac{1}{2n} [\sin^{2n} x + \cos^{2n} x]$.
આપણે $f_1(x) + f_2(x) - f_3(x)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$f_1(x) = \frac{1}{2} [\sin^2 x + \cos^2 x] = \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}$.
$f_2(x) = \frac{1}{4} [\sin^4 x + \cos^4 x] = \frac{1}{4} [(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x] = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \sin^2 x \cos^2 x$.
$f_3(x) = \frac{1}{6} [\sin^6 x + \cos^6 x] = \frac{1}{6} [1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x] = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} \sin^2 x \cos^2 x$.
હવે,$f_1(x) + f_2(x) - f_3(x) = \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \sin^2 x \cos^2 x) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2} \sin^2 x \cos^2 x)$.
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{6 + 3 - 2}{12} = \frac{7}{12}$.

(A) આપેલ છે કે $\cos \theta, \sin \theta, \cot \theta$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cot \theta}{\sin \theta}$.
$\Rightarrow \tan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin ^2 \theta}$ $\Rightarrow \sin ^3 \theta = \cos ^2 \theta$.
$\cos ^2 \theta = 1 - \sin ^2 \theta$ હોવાથી,$\sin ^3 \theta = 1 - \sin ^2 \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\sin ^3 \theta + \sin ^2 \theta = 1$.
હવે,પદાવલિ $E = \sin ^9 \theta + \sin ^6 \theta + 3 \sin ^5 \theta + \sin ^3 \theta + \sin ^2 \theta$ ધ્યાનમાં લો.
$\sin ^3 \theta = \cos ^2 \theta$ અને $\sin ^2 \theta = 1 - \sin ^3 \theta$ મૂકતા:
$E = (\sin ^3 \theta)^3 + (\sin ^3 \theta)^2 + 3 \sin ^5 \theta + (\sin ^3 \theta + \sin ^2 \theta)$.
$E = (\cos ^2 \theta)^3 + (\cos ^2 \theta)^2 + 3 \sin ^5 \theta + 1$.
$\cos ^2 \theta = \sin ^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = (\sin ^3 \theta)^3 + (\sin ^3 \theta)^2 + 3 \sin ^5 \theta + 1 = \sin ^9 \theta + \sin ^6 \theta + 3 \sin ^5 \theta + 1$.
$\sin ^3 \theta + \sin ^2 \theta = 1$ હોવાથી,સાદું રૂપ આપતા જવાબ $2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $\cosh x = \operatorname{cosec} \theta$.
નિત્યસમ $\cosh x = \frac{1 + \tanh^2(x/2)}{1 - \tanh^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 + \tanh^2(x/2)}{1 - \tanh^2(x/2)} = \operatorname{cosec} \theta$.
યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા:
$\frac{2}{2 \tanh^2(x/2)} = \frac{\operatorname{cosec} \theta + 1}{\operatorname{cosec} \theta - 1}$.
$\coth^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta} = \frac{(\cos(\theta/2) + \sin(\theta/2))^2}{(\cos(\theta/2) - \sin(\theta/2))^2}$.
અંશ અને છેદને $\cos^2(\theta/2)$ વડે ભાગતા:
$\coth^2 \frac{x}{2} = \left( \frac{1 + \tan(\theta/2)}{1 - \tan(\theta/2)} \right)^2 = \tan^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right)$.
નોંધ: $\tan^2(\pi/4 + \theta/2)$ એ $\cot^2(\pi/4 - \theta/2)$ ને સમાન છે.

(A) આપેલ છે: $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{5} \sin \theta$
$\cos \theta = (\sqrt{5} + 1) \sin \theta$
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$
ધારો કે $x = \cos \theta + \sin \theta$.
$x^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$
$\cos \theta = (\sqrt{5} + 1) \sin \theta$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{\cos \theta}{\sqrt{5} + 1}$ મળે.
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 \theta + \frac{\cos^2 \theta}{(\sqrt{5} + 1)^2} = 1$
સાદુરૂપ આપતા,$\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{5} \cos \theta$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec ^2 x = 1 + \tan ^2 x$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$1 + \tan ^2 x + 5 \tan x + 5$
$= \tan ^2 x + 5 \tan x + 6$
હવે,$\tan x$ ના સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$= \tan ^2 x + 2 \tan x + 3 \tan x + 6$
$= \tan x(\tan x + 2) + 3(\tan x + 2)$
$= (\tan x + 2)(\tan x + 3)$

(A) આપેલ છે $\sin x + a \cos x = b$ ... $(i)$
ધારો કે $y = |a \sin x - \cos x|$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$(\sin x + a \cos x)^2 = b^2$
$\sin^2 x + a^2 \cos^2 x + 2a \sin x \cos x = b^2$ ... $(ii)$
$(a \sin x - \cos x)^2 = y^2$
$a^2 \sin^2 x + \cos^2 x - 2a \sin x \cos x = y^2$ ... $(iii)$
$(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\sin^2 x + a^2 \cos^2 x) + (a^2 \sin^2 x + \cos^2 x) = b^2 + y^2$
$\sin^2 x (1 + a^2) + \cos^2 x (a^2 + 1) = b^2 + y^2$
$(a^2 + 1)(\sin^2 x + \cos^2 x) = b^2 + y^2$
$a^2 + 1 = b^2 + y^2$
$y^2 = a^2 - b^2 + 1$
$y = \sqrt{a^2 - b^2 + 1}$

(C) ધારો કે $x = 30^{\circ}-\alpha$ અને $y = 60^{\circ}-\alpha$. તેથી $x+y = 90^{\circ}-2\alpha$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(x+y) = \tan(90^{\circ}-2\alpha) = \cot 2\alpha = \frac{1}{\tan 2\alpha}$.
$\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = \frac{1}{\tan 2\alpha}$.
ગુણાકાર કરતા:
$\tan 2\alpha (\tan x + \tan y) = 1 - \tan x \tan y$.
પદોને ગોઠવતા:
$\tan 2\alpha \tan x + \tan 2\alpha \tan y + \tan x \tan y = 1$.
$x = 30^{\circ}-\alpha$ અને $y = 60^{\circ}-\alpha$ ની કિંમત મૂકતા:
$\tan 2\alpha \tan(30^{\circ}-\alpha) + \tan 2\alpha \tan(60^{\circ}-\alpha) + \tan(60^{\circ}-\alpha) \tan(30^{\circ}-\alpha) = 1$.

(D) આપેલ છે કે,$f(x) = \frac{\cot x}{1 + \cot x}$ અને $\alpha + \beta = \frac{5 \pi}{4}$.
$\cot(\alpha + \beta) = \cot(\frac{5 \pi}{4}) = 1$ હોવાથી,$\frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta} = 1$ મળે.
આથી $\cot \alpha \cot \beta - 1 = \cot \alpha + \cot \beta$,એટલે કે $\cot \alpha \cot \beta = 1 + \cot \alpha + \cot \beta$.
હવે,$f(\alpha) f(\beta) = \frac{\cot \alpha}{1 + \cot \alpha} \times \frac{\cot \beta}{1 + \cot \beta} = \frac{\cot \alpha \cot \beta}{1 + \cot \alpha + \cot \beta + \cot \alpha \cot \beta}$.
$\cot \alpha + \cot \beta = \cot \alpha \cot \beta - 1$ મૂકતા,$f(\alpha) f(\beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta}{1 + (\cot \alpha \cot \beta - 1) + \cot \alpha \cot \beta} = \frac{\cot \alpha \cot \beta}{2 \cot \alpha \cot \beta} = \frac{1}{2}$.

(B) આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $a = \sin^2 \theta$ અને $b = \cos^2 \theta$.
તેથી $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3$.
$= (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)((\sin^2 \theta)^2 - \sin^2 \theta \cos^2 \theta + (\cos^2 \theta)^2)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$= 1 \cdot (\sin^4 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \cos^4 \theta)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા:
$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$.
તેથી,$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = (1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1$.

(B) આપેલ છે કે,$\cos(x) + \cos^2(x) = 1$.
$\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ હોવાથી,આપણે $\sin^2(x) = \cos(x)$ લખી શકીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\sin^4(x) = \cos^2(x)$ મળે છે.
આ કિંમતોને $\sin^2(x) + \sin^4(x)$ માં મૂકતા,આપણને $\cos(x) + \cos^2(x)$ મળે છે.
$\cos(x) + \cos^2(x) = 1$ હોવાથી,અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય $1$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે $x: y: z = \tan \left(12^{\circ}+\alpha\right): \tan \left(12^{\circ}+\beta\right): \tan \left(12^{\circ}+\gamma\right)$.
ધારો કે $x = k \tan \left(12^{\circ}+\alpha\right)$,$y = k \tan \left(12^{\circ}+\beta\right)$,અને $z = k \tan \left(12^{\circ}+\gamma\right)$.
પદ $\frac{z+x}{z-x} \sin ^2(\gamma-\alpha)$ ધ્યાનમાં લો.
સૂત્ર $\frac{\tan A + \tan B}{\tan A - \tan B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin(A-B)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{z+x}{z-x} = \frac{\tan(12^{\circ}+\gamma) + \tan(12^{\circ}+\alpha)}{\tan(12^{\circ}+\gamma) - \tan(12^{\circ}+\alpha)} = \frac{\sin(24^{\circ} + \gamma + \alpha)}{\sin(\gamma - \alpha)}$.
તેથી,$\frac{z+x}{z-x} \sin ^2(\gamma-\alpha) = \sin(24^{\circ} + \gamma + \alpha) \sin(\gamma - \alpha)$.
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} [\cos(24^{\circ} + 2\alpha) - \cos(24^{\circ} + 2\gamma)]$.
તે જ રીતે,અન્ય પદોનો સરવાળો કરતા પરિણામ $0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $x=a \sin ^\alpha \theta \cos ^{\alpha+1} \theta$ અને $y=a \sin ^{\alpha+1} \theta \cos ^\alpha \theta$.
$x^2+y^2$ ની ગણતરી કરો:
$x^2+y^2 = a^2 \sin^{2\alpha} \theta \cos^{2\alpha+2} \theta + a^2 \sin^{2\alpha+2} \theta \cos^{2\alpha} \theta$
$= a^2 \sin^{2\alpha} \theta \cos^{2\alpha} \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a^2 (\sin \theta \cos \theta)^{2\alpha}$.
$xy$ ની ગણતરી કરો:
$xy = (a \sin ^\alpha \theta \cos ^{\alpha+1} \theta)(a \sin ^{\alpha+1} \theta \cos ^\alpha \theta) = a^2 (\sin \theta \cos \theta)^{2\alpha+1}$.
હવે,પદાવલિ ધ્યાનમાં લો:
$\frac{(x^2+y^2)^m}{(xy)^n} = \frac{(a^2 (\sin \theta \cos \theta)^{2\alpha})^m}{(a^2 (\sin \theta \cos \theta)^{2\alpha+1})^n} = \frac{a^{2m} (\sin \theta \cos \theta)^{2m\alpha}}{a^{2n} (\sin \theta \cos \theta)^{n(2\alpha+1)}}$
$= a^{2m-2n} (\sin \theta \cos \theta)^{2m\alpha - n(2\alpha+1)}$.
પદાવલિ $\theta$ થી સ્વતંત્ર હોવા માટે,$(\sin \theta \cos \theta)$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$2m\alpha - n(2\alpha+1) = 0$
$\Rightarrow 2m\alpha = n(2\alpha+1)$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{4 \sin^4 \theta + \sin^2 2\theta} + 4 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) = 2$.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રથમ પદ $\sqrt{4 \sin^4 \theta + 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \sqrt{4 \sin^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)} = \sqrt{4 \sin^2 \theta} = 2 |\sin \theta|$ થાય.
$2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$ નો ઉપયોગ કરતા,બીજું પદ $2(1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)) = 2(1 + \sin \theta)$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $2 |\sin \theta| + 2 + 2 \sin \theta = 2$,જેનું સાદું રૂપ $|\sin \theta| + \sin \theta = 0$ થાય.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\sin \theta \leq 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $\theta$ એ $3^{\text{rd}}$ અથવા $4^{\text{th}}$ ચરણમાં છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માટે,$\sqrt{\sin^2 \theta} = |\sin \theta|$ થાય,$\sin \theta$ નહીં. તેથી,$(R)$ ખોટું છે.

(D) આપેલ છે,$\cos 2 \theta \cdot \sec ^4 \theta + \sec ^2 \theta = 0$,જ્યાં $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.
$\sec \theta \neq 0$ હોવાથી,$\sec ^2 \theta$ વડે ભાગતા:
$\cos 2 \theta \cdot \sec ^2 \theta + 1 = 0$
$\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan ^2 \theta}{1 + \tan ^2 \theta}$ અને $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{1 - \tan ^2 \theta}{1 + \tan ^2 \theta}\right) (1 + \tan ^2 \theta) + 1 = 0$
$1 - \tan ^2 \theta + 1 = 0$
$2 - \tan ^2 \theta = 0$
$\tan ^2 \theta = 2$
$\tan ^2 \theta = \frac{\sin ^2 \theta}{1 - \sin ^2 \theta} = 2$ લેતા:
$\sin ^2 \theta = 2 - 2 \sin ^2 \theta$
$3 \sin ^2 \theta = 2$
$\sin ^2 \theta = \frac{2}{3}$

(B) આપેલ પદાવલિ: $18 - 16 \sin^2 \frac{A}{2} - 32 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{5A}{2}$
$= 18 - 8(2 \sin^2 \frac{A}{2}) - 16(2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{5A}{2})$
$2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ અને $2 \sin X \sin Y = \cos(X-Y) - \cos(X+Y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 18 - 8(1 - \cos A) - 16(\cos(2A) - \cos(3A))$
$= 18 - 8 + 8 \cos A - 16 \cos 2A + 16 \cos 3A$
$= 10 + 8 \cos A - 16(2 \cos^2 A - 1) + 16(4 \cos^3 A - 3 \cos A)$
$A$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી અને $\tan A = \frac{\sqrt{7}}{3}$ હોવાથી,$\cos A = -\frac{3}{4}$ મળે.
$\cos A = -\frac{3}{4}$ મૂકતા:
$= 10 + 8(-\frac{3}{4}) - 16(2(\frac{9}{16}) - 1) + 16(4(-\frac{27}{64}) - 3(-\frac{3}{4}))$
$= 10 - 6 - 16(\frac{18}{16} - 1) + 16(-\frac{27}{16} + \frac{9}{4})$
$= 4 - 16(\frac{2}{16}) + 16(\frac{-27+36}{16})$
$= 4 - 2 + 9 = 11$.

(C) આપેલ છે,$x=\log _e\left[\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\right]$
$\Rightarrow e^x =\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) = \frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta}$
હવે,$\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}\left[\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta} + \frac{\cos \theta+\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}\right]$
$= \frac{1}{2}\left[\frac{(\cos \theta-\sin \theta)^2+(\cos \theta+\sin \theta)^2}{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{2(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)}{\cos 2 \theta}\right] = \frac{1}{\cos 2 \theta} = \sec 2 \theta$
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
હવે,$\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}\left[\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta} - \frac{\cos \theta+\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}\right]$
$= \frac{1}{2}\left[\frac{(\cos \theta-\sin \theta)^2-(\cos \theta+\sin \theta)^2}{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{-4 \sin \theta \cos \theta}{\cos 2 \theta}\right] = \frac{-\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = -\tan 2 \theta$
તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(D) આપણને આપેલ છે કે $\tanh ^2 x = \tan ^2 \theta$.
નિત્યસમ $\cosh 2x = \frac{1 + \tanh ^2 x}{1 - \tanh ^2 x}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\tanh ^2 x = \tan ^2 \theta$ મૂકીએ:
$\cosh 2x = \frac{1 + \tan ^2 \theta}{1 - \tan ^2 \theta}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \tan ^2 \theta = \sec ^2 \theta$ અને $1 - \tan ^2 \theta = \frac{\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta} = \frac{\cos 2\theta}{\cos ^2 \theta}$.
આમ,$\cosh 2x = \frac{\sec ^2 \theta}{\frac{\cos 2\theta}{\cos ^2 \theta}} = \frac{1}{\cos ^2 \theta} \times \frac{\cos ^2 \theta}{\cos 2\theta} = \frac{1}{\cos 2\theta} = \sec 2\theta$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે,$\cos \theta = \frac{\cos \alpha - \cos \beta}{1 - \cos \alpha \cos \beta}$.
યોગ-વિયોગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \frac{\cos \alpha - \cos \beta}{1 - \cos \alpha \cos \beta}}{1 - \frac{\cos \alpha - \cos \beta}{1 - \cos \alpha \cos \beta}}$
$\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \beta)}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \beta)}$
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cot^2 \frac{\theta}{2} = \cot^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \frac{\beta}{2}$
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા:
$\tan^2 \frac{\theta}{2} = \tan^2 \frac{\alpha}{2} \cot^2 \frac{\beta}{2}$
વર્ગમૂળ લેતા:
$\tan \frac{\theta}{2} = \tan \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2}$

(D) ધારો કે પદાવલિ $E$ છે.
$E = \frac{1+\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha \tan (\alpha - \frac{3\pi}{4})} - \frac{1}{4} \sin 2 \alpha [\cot \frac{\alpha}{2} - \tan \frac{\alpha}{2}]$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,
$E = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{1}{6} \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$\cos^2 \theta = \frac{1}{6} \sin \theta \cdot \tan \theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{6 \cos \theta} \implies 6 \cos^3 \theta = \sin^2 \theta$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ હોવાથી,$6 \cos^3 \theta = 1 - \cos^2 \theta$.
$6 \cos^3 \theta + \cos^2 \theta - 1 = 0$.
ધારો કે $x = \cos \theta$. તો $6x^3 + x^2 - 1 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = \frac{1}{2}$ એ એક ઉકેલ છે.
$6x^3 + x^2 - 1$ ને $(2x - 1)$ વડે ભાગતા,આપણને $3x^2 + 2x + 1 = 0$ મળે છે.
$3x^2 + 2x + 1$ નો વિવેચક $D = 4 - 12 = -8 < 0$ છે,તેથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$.
વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ છે.

(D) ધારો કે $x = \cos \theta - 4 \sin \theta = 1$ અને $y = \sin \theta + 4 \cos \theta$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$x^2 + y^2 = (\cos \theta - 4 \sin \theta)^2 + (\sin \theta + 4 \cos \theta)^2$
$x^2 + y^2 = (\cos^2 \theta + 16 \sin^2 \theta - 8 \sin \theta \cos \theta) + (\sin^2 \theta + 16 \cos^2 \theta + 8 \sin \theta \cos \theta)$
$x^2 + y^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 16(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
$x^2 + y^2 = 1 + 16(1) = 17$
અહીં $x = 1$ હોવાથી,$1^2 + y^2 = 17$
$y^2 = 16$
$y = \pm 4$
તેથી,$\sin \theta + 4 \cos \theta = \pm 4$.

(A) ધારો કે $f(x) = 4 \cos \left(x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^2\right)$.
નિત્યસમ $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ 2 \cos \left(\frac{\pi}{3}+x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^2\right) \right]$
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos \left(2x^2\right) \right]$
$\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ હોવાથી:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ -\frac{1}{2} + \cos \left(2x^2\right) \right]$
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + 2 \cos \left(x^2\right) \cos \left(2x^2\right)$
ફરીથી $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + \cos \left(3x^2\right) + \cos \left(x^2\right)$
$f(x) = \cos \left(3x^2\right) \quad \dots (i)$
$\cos(\theta)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$f(x) = \cos \left(3x^2\right)$ ના અંતિમ મૂલ્યો $-1$ અને $1$ છે.

(B) આપણે સરવાળો $S = \sum_{k=1}^3 \cos^2 \left((2k-1) \frac{\pi}{12}\right)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$k=1, 2, 3$ માટે સરવાળો વિસ્તૃત કરતા:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{3\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right)$.
ખૂણાઓને સરળ બનાવતા:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right)$.
કારણ કે $\cos \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)$,તેથી $\cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sin^2 \left(\frac{\pi}{12}\right)$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \sin^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right)$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 1 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.