Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Hindi

(A) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
अतः,$r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = \frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$.
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)} [(s-c) + (s-a) + (s-b)]$.
चूंकि $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\frac{\Delta^2}{\Delta^2/s} [3s - (a+b+c)]$.
$a+b+c = 2s$ का उपयोग करने पर:
$s [3s - 2s] = s^2$.
चूंकि $r = \frac{\Delta}{s}$,इसलिए $s = \frac{\Delta}{r}$,अर्थात $s^2 = \frac{\Delta^2}{r^2}$.

(B) दिया गया है कि $\sin A, \sin B, \sin C$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
अतः,$a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
मान लीजिए $p_1, p_2, p_3$ क्रमशः भुजाओं $a, b, c$ के संगत शीर्षलंब हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ है।
इसका अर्थ है कि $p_1 = \frac{2\Delta}{a}, p_2 = \frac{2\Delta}{b}, p_3 = \frac{2\Delta}{c}$ है।
चूँकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में होंगे।
अतः,$\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
इस प्रकार,शीर्षलंब $p_1, p_2, p_3$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(D) $\Delta PQR$ में ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर,हमारे पास $\frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q} = \frac{r}{\sin R} = 2R_{c}$ है,जहाँ $R_{c}$ त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या है।
अतः,$\sin P = \frac{p}{2R_{c}}$,$\sin Q = \frac{q}{2R_{c}}$,और $\sin R = \frac{r}{2R_{c}}$।
दिया गया समीकरण $r^{2} \sin P \sin Q = pq$ है।
$\sin P$ और $\sin Q$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$r^{2} \left( \frac{p}{2R_{c}} \right) \left( \frac{q}{2R_{c}} \right) = pq$
$r^{2} \frac{pq}{4R_{c}^{2}} = pq$
चूँकि $p, q \neq 0$,हम दोनों पक्षों को $pq$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{r^{2}}{4R_{c}^{2}} = 1$
$r^{2} = 4R_{c}^{2}$
$r = 2R_{c}$
चूँकि $r = 2R_{c} \sin R$,हमारे पास $2R_{c} \sin R = 2R_{c}$ है।
$\sin R = 1$
$R = 90^{\circ}$।
अतः,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(B) $\Delta PQR$ में,कोणों का योग $P+Q+R = 180^{\circ}$ होता है।
चूंकि $P+R = 180^{\circ}-Q$,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2pr \sin \left(\frac{P+R-Q}{2}\right) = 2pr \sin \left(\frac{180^{\circ}-Q-Q}{2}\right)$
$= 2pr \sin \left(\frac{180^{\circ}-2Q}{2}\right)$
$= 2pr \sin (90^{\circ}-Q)$
$= 2pr \cos Q$
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए,$\cos Q = \frac{p^{2}+r^{2}-q^{2}}{2pr}$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2pr \left(\frac{p^{2}+r^{2}-q^{2}}{2pr}\right)$
$= p^{2}+r^{2}-q^{2}$.

(B) दिया गया है कि कोण $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A+C$. चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,हमें $3B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,अर्थात $B = 60^{\circ}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,हमारे पास $a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C$ है।
इसलिए,$\frac{a+c}{b} = \frac{\sin A + \sin C}{\sin B}$.
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sin A + \sin C = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
चूंकि $A+C = 2B$,हमारे पास $\frac{A+C}{2} = B$ है।
अतः,$\frac{a+c}{b} = \frac{2 \sin B \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)}{\sin B} = 2 \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.

(A) दिया गया है: $a = 2 \sqrt{2}$,$b = 6$,और $A = 45^{\circ}$.
ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करते हुए: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
मान रखने पर: $\frac{2 \sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{6}{\sin B}$.
$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{6 \times \sin 45^{\circ}}{2 \sqrt{2}}$.
$\sin B = \frac{6 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} = \frac{6}{2 \times 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.
चूंकि $\sin B$ का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए $\sin B = 1.5$ संभव नहीं है।
अतः,कोई त्रिभुज संभव नहीं है।

(C) दिया गया संबंध: $\sin A \sin B = \frac{ab}{c^2}$
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
अतः,$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,और $\sin C = \frac{c}{2R}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{a}{2R}\right) \left(\frac{b}{2R}\right) = \frac{ab}{c^2}$
$\frac{ab}{4R^2} = \frac{ab}{c^2}$
$ab$ को हटाने पर:
$\frac{1}{4R^2} = \frac{1}{c^2}$ $\Rightarrow c^2 = 4R^2$ $\Rightarrow c = 2R$.
चूंकि $c = 2R$,इसलिए $\frac{c}{\sin C} = 2R \Rightarrow \sin C = \frac{c}{2R} = 1$.
अतः,$C = 90^{\circ}$.
इस प्रकार,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है.

(C) $\triangle ABC$ में ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2}{2/3} = \frac{3}{\sin B}$
$3 = \frac{3}{\sin B}$
$\sin B = 1$
अतः,$B = 90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन होगा।

(B) दिया है,$a^{2} \cos^{2} A - b^{2} - c^{2} = 0$
$\Rightarrow a^{2} \cos^{2} A = b^{2} + c^{2}$
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$.
$b^{2} + c^{2} = a^{2} \cos^{2} A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos A = \frac{a^{2} \cos^{2} A - a^{2}}{2bc} = \frac{-a^{2}(1 - \cos^{2} A)}{2bc} = \frac{-a^{2} \sin^{2} A}{2bc}$.
चूँकि $a, b, c > 0$ और $0 < A < \pi$ के लिए $\sin^{2} A > 0$ है,इसलिए $\cos A < 0$ होगा।
अतः,$A$ को द्वितीय चतुर्थांश में स्थित होना चाहिए,अर्थात $\frac{\pi}{2} < A < \pi$।

(B) हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,$A+B+C = \pi$,इसलिए $A+C = \pi - B$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$\frac{A+C-B}{2} = \frac{\pi-B-B}{2} = \frac{\pi}{2} - B$ प्राप्त होता है।
अतः,$2ac \sin \left(\frac{A-B+C}{2}\right) = 2ac \sin \left(\frac{\pi}{2}-B\right)$।
सर्वसमिका $\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर,$2ac \cos B$ प्राप्त होता है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ है।
इस मान को रखने पर,$2ac \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right) = a^2+c^2-b^2$ प्राप्त होता है।

(D) माना त्रिभुज के कोण $2x, 3x,$ और $7x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $2x + 3x + 7x = 180^{\circ}$.
$12x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 15^{\circ}$.
अतः,कोण $30^{\circ}, 45^{\circ},$ और $105^{\circ}$ हैं।
सबसे छोटी भुजा $a$ सबसे छोटे कोण $30^{\circ}$ के सम्मुख होती है।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = 2R$,जहाँ $R = 10 \text{ cm}$.
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = 2 \times 10$.
$a = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \text{ cm}$.