જો શ્રેણીનું r-મું પદ (2r + 1)2^{-r} હોય,તો ત | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) અહીં $r$-મું પદ $T_r = (2r + 1)2^{-r} = \frac{2r + 1}{2^r}$ છે.અનંત પદોનો સરવાળો $S_{\infty} = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r + 1}{2^r} = \sum_{r=1}

Vedclass · Accepted Answer

$5$

Vedclass · Answer

(C) અહીં $r$-મું પદ $T_r = (2r + 1)2^{-r} = \frac{2r + 1}{2^r}$ છે.અનંત પદોનો સરવાળો $S_{\infty} = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r + 1}{2^r} = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r}{2^r} + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{2^r}$ છે.ધારો કે $S = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r + 1}{2^r} = \frac{3}{2} + \frac{5}{4} + \frac{7}{8} + \frac{9}{16} + \dots$આ એક સમાંતર-સમગુણોત્તર શ્રેણી છે. તેને $\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા:$\frac{1}{2}S = \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{7}{16} + \dots$બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:$S - \frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + (\frac{5}{4} - \frac{3}{4}) + (\frac{7}{8} - \frac{5}{8}) + \dots$$\frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + \frac{2}{4} + \frac{2}{8} + \frac{2}{16} + \dots$$\frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + 2(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots)$કૌંસમાં રહેલી શ્રેણી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a = \frac{1}{4}$ અને $r = \frac{1}{2}$ છે,તેથી તેનો સરવાળો $\frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ થાય.$\frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + 2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$.તેથી,$S = 5$.

જો શ્રેણીનું $r$-મું પદ $(2r + 1)2^{-r}$ હોય,તો તેના અનંત પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

Similar Questions

જો $(10)^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + \dots + 10(11)^9 = k(10)^9$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

જો $x, y, z$ એ $G.P.$ માં ત્રણ ધન સંખ્યાઓ હોય,તો $\frac{1 + \ln x}{2}, \frac{1 + \ln y}{4}, \frac{1 + \ln z}{8}$ એ શેમાં છે?

$12 + 16 + 24 + 40 + \dots$ શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થશે?

શ્રેણી $1 + \frac{3}{7} + \frac{5}{7^2} + \frac{7}{7^3} + \dots$ નું $n$મું પદ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module