Set Based probability Questions in Gujarati

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
એક પાસા પર,અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5\}$ છે અને વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{4, 6\}$ છે. નોંધો કે $1$ એ અવિભાજ્ય કે વિભાજ્ય નથી.
આપણને એક પાસા પર અવિભાજ્ય અને બીજા પર વિભાજ્ય સંખ્યા મળે તેની સંભાવના જોઈએ છે.
શક્ય પરિણામો છે:
$(2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)$ (પ્રથમ પર અવિભાજ્ય,બીજા પર વિભાજ્ય)
$(4, 2), (6, 2), (4, 3), (6, 3), (4, 5), (6, 5)$ (પ્રથમ પર વિભાજ્ય,બીજા પર અવિભાજ્ય)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $6 + 6 = 12$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે $P(A)$ એ વિદ્યાર્થી $A$ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ વિદ્યાર્થી $B$ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{2}{5}$ અને $P(B) = \frac{3}{4}$.
પ્રશ્ન ત્યારે ઉકેલાય છે જો તેમાંથી ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી તેને ઉકેલે.
$P(\text{પ્રશ્ન ઉકેલાય}) = 1 - P(\text{પ્રશ્ન ન ઉકેલાય})$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર રીતે પ્રયાસ કરતા હોવાથી,બંનેમાંથી કોઈ પણ પ્રશ્ન ન ઉકેલે તેની સંભાવના $P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$ છે.
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$P(\text{પ્રશ્ન ઉકેલાય}) = 1 - (\frac{3}{5} \times \frac{1}{4}) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$.

(A) ધારો કે $M$ એ ગણિતનો વર્ગ ભરતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $P$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાનનો વર્ગ ભરતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે. આપેલ છે: $P(M) = 40 \%$,$P(P) = 30 \%$,અને $P(M \cap P) = 20 \%$.
માત્ર ગણિતનો વર્ગ ભરતા વિદ્યાર્થીઓની સંભાવના $P(M) - P(M \cap P) = 40 \% - 20 \% = 20 \%$ છે.
માત્ર ભૌતિકવિજ્ઞાનનો વર્ગ ભરતા વિદ્યાર્થીઓની સંભાવના $P(P) - P(M \cap P) = 30 \% - 20 \% = 10 \%$ છે.
વિદ્યાર્થી ફક્ત એક જ વર્ગ ભરે તેની સંભાવના એ માત્ર ગણિત અને માત્ર ભૌતિકવિજ્ઞાનના વર્ગ ભરતા વિદ્યાર્થીઓની સંભાવનાનો સરવાળો છે: $20 \% + 10 \% = 30 \%$.
અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,$30 \% = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$.

(B) સમીકરણ $2x^2+x-1=0$ માટે,$2x^2+2x-x-1=0 \Rightarrow 2x(x+1)-1(x+1)=0$,તેથી $x = \frac{1}{2}, -1$. સંભાવના $P \in [0, 1]$ હોવાથી,આપણે $P_1 = \frac{1}{2}$ લઈએ છીએ.
સમીકરણ $3x^2-10x+3=0$ માટે,$3x^2-9x-x+3=0 \Rightarrow 3x(x-3)-1(x-3)=0$,તેથી $x = \frac{1}{3}, 3$. સંભાવના $P \in [0, 1]$ હોવાથી,આપણે $P_2 = \frac{1}{3}$ લઈએ છીએ.
સમીકરણ $6x^2+11x-2=0$ માટે,$6x^2+12x-x-2=0 \Rightarrow 6x(x+2)-1(x+2)=0$,તેથી $x = \frac{1}{6}, -2$. સંભાવના $P \in [0, 1]$ હોવાથી,આપણે $P_3 = \frac{1}{6}$ લઈએ છીએ.
સંભાવનાઓનો સરવાળો $P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1$.
ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી,ઘટનાઓ નિઃશેષ છે.

(D) અંકો ${4, 5, 6, 7, 8, 9}$ નો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન સાથે બનતી $4$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $6^4 = 1296$ છે.
સંખ્યા $N = d_1 d_2 d_3 d_4$ માટે,અંકોનો સરવાળો $S = d_1 + d_2 + d_3 + d_4$ થાય.
સંખ્યા $3$ વડે ત્યારે જ વિભાજ્ય હોય જો તેના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
દરેક શેષ $0, 1, 2$ માટે બે અંકો ઉપલબ્ધ છે.
કોઈપણ $d_1, d_2, d_3$ માટે,$d_4$ ની પસંદગી એવી રીતે કરવી પડે કે જેથી સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય.
કુલ $6$ વિકલ્પોમાંથી $2$ વિકલ્પો અનુકૂળ હોવાથી,સંભાવના $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ થાય.

(D) $2$ થી $1001$ સુધીની કુલ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1001 - 2 + 1 = 1000$ છે.
આપણે એવી સંખ્યાઓ $n$ શોધી રહ્યા છીએ કે જેના માટે $n \equiv 1 \pmod{7}$ થાય.
$2$ થી શરૂ થતી આવી સંખ્યાઓની શ્રેણી $8, 15, 22, \dots, 995$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 8$,સામાન્ય તફાવત $d = 7$,અને અંતિમ પદ $l = 995$ છે.
સૂત્ર $l = a + (m - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$995 = 8 + (m - 1)7$
$987 = (m - 1)7$
$m - 1 = 141$
$m = 142$.
જરૂરી સંભાવના $\frac{m}{\text{કુલ સંખ્યાઓ}} = \frac{142}{1000} = \frac{71}{500}$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$P(A)=0.6$,$P(B)=0.4$ અને $P(A \cap B)=0$.
આપણે $A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = 0.6 + 0.4 - 0 = 1.0$.
તેથી,$P(\overline{A \cup B}) = 1 - 1.0 = 0$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $7$ થી વધુ હોય તેવા સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 8$: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ પરિણામો)
સરવાળો $= 9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $= 10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ પરિણામો)
સરવાળો $= 11$: $(5,6), (6,5)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 12$: $(6,6)$ ($1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.
જરૂરી સંભાવના $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ છે.

(B) ધારો કે $S$ એ બે પાસાઓનો સરવાળો $7$ હોય તેવા પરિણામોનો નિદર્શાવકાશ છે.
શક્ય પરિણામો:
$S = \{(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $3$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે છે.
સાનુકૂળ પરિણામો:
$E = \{(3, 4), (4, 3)\}$
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$.
જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(D) કુલ શક્ય પરિણામો,$n(S) = 6 \times 6 = 36$.
સરવાળો $10$ કે તેથી વધુ હોય તેવા સાનુકૂળ પરિણામો:
$E = \{(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા,$n(E) = 6$.
માગેલ સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(A) આપેલ છે,$P(A)=0.5, P(B)=0.4$ અને $P(A \cup B)=0.6$.
$(i) \ P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.6 = 0.3$. તેથી,$(i) \rightarrow (3)$.
$(ii) \ P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.3 = 0.2$. તેથી,$(ii) \rightarrow (2)$.
$(iii) \ P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.4 - 0.3 = 0.1$. તેથી,$(iii) \rightarrow (4)$.
$(iv) \ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.6 = 0.4$. તેથી,$(iv) \rightarrow (1)$.
આમ,સાચી જોડ $(i)-3, (ii)-2, (iii)-4, (iv)-1$ છે.

(C) આપેલ છે,$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\overline{A \cap B}) = \frac{7}{10}$.
$P(A \cap B) + P(\overline{A \cap B}) = 1$ હોવાથી:
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$.
વળી,બે ઘટનાઓના યોગગણ માટેનું સૂત્ર:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{5} = P(A) + \frac{2}{5} - \frac{3}{10}$.
$P(A) = \frac{4}{5} - \frac{2}{5} + \frac{3}{10}$.
$P(A) = \frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{4+3}{10} = \frac{7}{10}$.

(A) પાસાની બાજુઓ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$ છે.
અહીં $1$ બેકી સંખ્યા $(2)$ અને $5$ એકી સંખ્યાઓ $(3, 5, 7, 11, 13)$ છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો એકી ત્યારે જ થાય જો એક સંખ્યા બેકી અને બીજી એકી હોય.
ધારો કે $E$ એ બેકી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે અને $O$ એ એકી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે.
$P(E) = \frac{1}{6}$ અને $P(O) = \frac{5}{6}$.
સરવાળો એકી હોવાની બે શક્યતાઓ છે: (પ્રથમ પાસા પર બેકી,બીજા પર એકી) અથવા (પ્રથમ પાસા પર એકી,બીજા પર બેકી).
જરૂરી સંભાવના $= P(E) \times P(O) + P(O) \times P(E)$
$= \left(\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}\right)$
$= \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

(D) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $5 + 4 + 3 = 12$.
કાળા દડાની સંખ્યા = $5$.
લાલ દડાની સંખ્યા = $3$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (કાળો અથવા લાલ) = $5 + 3 = 8$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

(C) આપણને $P(A \cap \overline{B}) = 0.1$,$P(\overline{A} \cap B) = 0.2$,અને $P(B) = 0.5$ આપેલ છે.
$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)$ હોવાથી,$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા,$0.5 = P(A \cap B) + 0.2$,તેથી $P(A \cap B) = 0.3$.
હવે,$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) = 0.3 + 0.1 = 0.4$.
આપણે $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ શોધવું છે. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = 0.4 + 0.5 - 0.3 = 0.6$.
તેથી,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0.6 = 0.4$.

(C) બિન-લીપ વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે,એટલે કે $52$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ.
આ વધારાનો દિવસ અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે.
ધારો કે $E_1$ એ $53$ રવિવાર મેળવવાની ઘટના છે,$E_2$ એ $53$ મંગળવાર મેળવવાની ઘટના છે,અને $E_3$ એ $53$ ગુરુવાર મેળવવાની ઘટના છે.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$53$ રવિવાર અથવા $53$ મંગળવાર અથવા $53$ ગુરુવાર મેળવવાની સંભાવના $P(E_1 \cup E_2 \cup E_3) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3)$ થશે.
$P(E_1) = \frac{1}{7}$,$P(E_2) = \frac{1}{7}$,અને $P(E_3) = \frac{1}{7}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$ છે.

(D) આપણને આપેલ છે કે $P(A \cup B) = P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ હોવાથી,આપેલ શરત મૂકતા:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$2P(A \cap B) = P(A) + P(B)$.
વળી,$A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$ અને $A \cap B \subseteq B \subseteq A \cup B$ હોવાથી,$P(A \cup B) = P(A \cap B)$ શરત સૂચવે છે કે $P(A) = P(B) = P(A \cap B)$.
આનો અર્થ એ છે કે $P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = 0$ અને $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0$.
આમ,વિકલ્પો $A$,$B$,અને $C$ સત્ય છે.
જોકે,$P(A) + P(B) = 2P(A \cap B)$,જે હંમેશા $1$ હોવું જરૂરી નથી. તેથી,વિકલ્પ $D$ સત્ય નથી.

(B) પૂર્ણાંકોનો ગણ $S = \{x \in Z \mid -25 \leq x \leq 25, x \neq 0\}$ છે. કુલ ઘટકોની સંખ્યા $50$ છે.
અસમતા $x + 6 \leq \frac{135}{x}$ ને ઉકેલતા,આપણને $\frac{x^2 + 6x - 135}{x} \leq 0$ મળે છે.
અંશના અવયવ પાડતા,$\frac{(x + 15)(x - 9)}{x} \leq 0$ મળે છે.
ચિહ્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,અસમતાનો ઉકેલ $x \in (-\infty, -15] \cup (0, 9]$ છે.
આને આપેલ ગણ $S$ સાથે છેદતા,આપણને $x \in [-25, -15] \cup \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ મળે છે.
$[-25, -15]$ માં પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $11$ છે અને $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માં પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $9$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 11 + 9 = 20$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}$.

(D) આપેલ છે કે,$P(A \cup B)=0.8$ અને $P(A \cap B)=0.3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
તેથી,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) = 0.8 + 0.3 = 1.1$.
આપણે $P(A^C) + P(B^C)$ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $P(E^C) = 1 - P(E)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A^C) + P(B^C) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
$P(A) + P(B)$ ની કિંમત મૂકતા:
$P(A^C) + P(B^C) = 2 - 1.1 = 0.9$.

(D) આપેલ છે કે,$P(B) = \frac{3}{2} P(A)$ અને $P(C) = \frac{1}{2} P(B)$.
$A, B$ અને $C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ હોવાથી,તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
$P(A)$ ના સ્વરૂપમાં કિંમતો મૂકતા:
$P(A) + \frac{3}{2} P(A) + \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} P(A) \right) = 1$
$P(A) \left( 1 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} \right) = 1$
$P(A) \left( \frac{4 + 6 + 3}{4} \right) = 1$
$\frac{13}{4} P(A) = 1 \implies P(A) = \frac{4}{13}$
હવે,$P(C)$ શોધીએ:
$P(C) = \frac{3}{4} P(A) = \frac{3}{4} \times \frac{4}{13} = \frac{3}{13}$
$A$ અને $C$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(A \cup C) = P(A) + P(C)$:
$P(A \cup C) = \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{7}{13}$

(A) આપેલ છે કે $P(A \cap B) = \frac{3}{25}$ અને $P(B - A) = \frac{8}{25}$.
ગણ અને સંભાવનાના ગુણધર્મો મુજબ,ઘટના $B$ ને બે અલગ-અલગ ગણના યોગ તરીકે દર્શાવી શકાય છે: $(B - A)$ અને $(A \cap B)$.
તેથી,$P(B) = P(B - A) + P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(B) = \frac{8}{25} + \frac{3}{25} = \frac{11}{25}$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 4x + c = 0$ છે.
વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac \geq 0$
$a = 1, b = 4$ કિંમતો મૂકતા:
$4^2 - 4(1)(c) \geq 0$
$16 - 4c \geq 0$
$16 \geq 4c$
$c \leq 4$.
$c$ એ ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માંથી પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી $c$ ની શક્ય કિંમતો $\{1, 2, 3, 4\}$ છે.
કુલ $9$ શક્ય પરિણામોમાંથી $4$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{4}{9}$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
તેથી,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$P(A) + P(B) = 0.8 + 0.3 = 1.1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ અને $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$.
આમ,$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
$P(A) + P(B) = 1.1$ મૂકતા,આપણને $P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 2 - 1.1 = 0.9$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$P(A) = 0.25$ અને $P(B) = 0.50$.
બંને ઘટનાઓ એકસાથે બનવાની સંભાવના $P(A \cap B) = 0.14$ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = 0.25 + 0.50 - 0.14 = 0.61$.
$A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ છે,જે $P(\overline{A \cup B})$ ની બરાબર છે.
$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.61 = 0.39$.

(C) ધારો કે $P(A), P(B), P(C)$ એ અનુક્રમે $A, B, C$ દ્વારા ફુગ્ગાને નિશાન લગાવવાની સંભાવનાઓ છે.
$P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$,તેથી $P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$P(B) = \frac{3}{5}$,તેથી $P(\bar{B}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
$P(C) = \frac{2}{3}$,તેથી $P(\bar{C}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
ઓછામાં ઓછા બે વ્યક્તિ નિશાન લગાવે તેનો અર્થ છે કે બરાબર બે વ્યક્તિ નિશાન લગાવે અથવા ત્રણેય નિશાન લગાવે.
સંભાવના (બરાબર બે નિશાન લગાવે) = $P(A)P(B)P(\bar{C}) + P(A)P(\bar{B})P(C) + P(\bar{A})P(B)P(C)$
$= (\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{3}) + (\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{3})$
$= \frac{6}{45} + \frac{8}{45} + \frac{6}{45} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$.
સંભાવના (ત્રણેય નિશાન લગાવે) = $P(A)P(B)P(C) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{20}{45} + \frac{12}{45} = \frac{32}{45}$.

(C) ધારો કે $G$ એ છોકરી અને $B$ એ છોકરો દર્શાવે છે. દરેક જૂથ માટેની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
જૂથ $A$: $P(G_A) = \frac{3}{4}$,$P(B_A) = \frac{1}{4}$
જૂથ $B$: $P(G_B) = \frac{2}{4}$,$P(B_B) = \frac{2}{4}$
જૂથ $C$: $P(G_C) = \frac{1}{4}$,$P(B_C) = \frac{3}{4}$
આપણે $1$ છોકરી અને $2$ છોકરાઓ પસંદ કરવાના છે. શક્ય કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:

કિસ્સો	$A, B, C$ માંથી પસંદગી	સંભાવના
$1$	$G, B, B$	$\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{64}$
$2$	$B, G, B$	$\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{64}$
$3$	$B, B, G$	$\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{64}$

કુલ સંભાવના $= \frac{18}{64} + \frac{6}{64} + \frac{2}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$.

(B) સંખ્યાઓનો ગણ $S = \{1, 2, 3, \ldots, 1000\}$ છે,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 1000$ છે.
આપણે એવી સંખ્યાઓ $n$ શોધી રહ્યા છીએ કે જેના માટે $n \equiv 1 \pmod{7}$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $n = 7k + 1$ સ્વરૂપની છે,જ્યાં $k$ એક પૂર્ણાંક છે.
$1 \le n \le 1000$ માટે,આપણી પાસે $1 \le 7k + 1 \le 1000$ છે.
બધા ભાગોમાંથી $1$ બાદ કરતા: $0 \le 7k \le 999$.
$7$ વડે ભાગતા: $0 \le k \le \frac{999}{7} \approx 142.71$.
કારણ કે $k$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,$k$ ની કિંમતો $0, 1, 2, \ldots, 142$ હોઈ શકે છે.
આવી કિંમતોની સંખ્યા $142 - 0 + 1 = 143$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 143$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{143}{1000}$ છે.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે એવી જોડી $(x, y)$ શોધવાની છે કે જેના માટે $x^2 + y^2 \leq 25$ થાય,જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
દરેક $x$ ની કિંમત માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
જો $x = 1$,તો $1^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 24$. શક્ય $y$ કિંમતો $\{1, 2, 3, 4\}$ છે ($4$ પરિણામો).
જો $x = 2$,તો $2^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 21$. શક્ય $y$ કિંમતો $\{1, 2, 3, 4\}$ છે ($4$ પરિણામો).
જો $x = 3$,તો $3^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 16$. શક્ય $y$ કિંમતો $\{1, 2, 3, 4\}$ છે ($4$ પરિણામો).
જો $x = 4$,તો $4^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 9$. શક્ય $y$ કિંમતો $\{1, 2, 3\}$ છે ($3$ પરિણામો).
જો $x = 5$,તો $5^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 0$. કોઈ શક્ય $y$ કિંમત નથી કારણ કે $y \geq 1$.
જો $x = 6$,તો $6^2 + y^2 \leq 25$. કોઈ શક્ય $y$ કિંમત નથી.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 4 + 4 + 4 + 3 = 15$.
સંભાવના $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $P(A)$ એ પ્રથમ વ્યક્તિ દ્વારા લક્ષ્ય ભેદવાની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ બીજી વ્યક્તિ દ્વારા લક્ષ્ય ભેદવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$ અને $P(B) = \frac{1}{5}$.
જો તેમનામાંથી ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ લક્ષ્યને ભેદે તો લક્ષ્ય ભેદાયું કહેવાય.
લક્ષ્ય બિલકુલ ન ભેદાય તેની સંભાવના ગણવી સરળ છે.
પ્રથમ વ્યક્તિ લક્ષ્ય ચૂકી જાય તેની સંભાવના $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
બીજી વ્યક્તિ લક્ષ્ય ચૂકી જાય તેની સંભાવના $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
તેઓ સ્વતંત્ર રીતે પ્રયાસ કરતા હોવાથી,બંને લક્ષ્ય ચૂકી જાય તેની સંભાવના $P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$ છે.
તેથી,લક્ષ્ય ભેદાય તેની સંભાવના $1 - P(A' \cap B') = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે બોક્સ $Q$ માંથી પસંદ કરેલી ચિઠ્ઠી પરનો નંબર $x$ છે અને બોક્સ $P$ માંથી પસંદ કરેલી ચિઠ્ઠી પરનો નંબર $y$ છે. $x$ અને $y$ બંને પૂર્ણાંકો છે જેથી $1 \leq x, y \leq 100$.
આપણને શરત આપવામાં આવી છે કે $y = x^2$.
કારણ કે $y \leq 100$,તેથી $x^2 \leq 100$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x \leq 10$.
આમ,શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ નીચે મુજબ છે: $(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25), (6, 36), (7, 49), (8, 64), (9, 81), (10, 100)$.
આવા $10$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
દરેક બોક્સમાંથી એક ચિઠ્ઠી પસંદ કરતી વખતે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $100 \times 100 = 10000$ છે.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{10}{10000} = \frac{1}{1000}$.
આને ટકાવારીમાં ફેરવતા: $\frac{1}{1000} \times 100\% = 0.1\%$.

(C) ધારો કે $A$ એ $IITJEE$ માં ક્વોલિફાય થવાની ઘટના છે અને $B$ એ $EAMCET$ માં ક્વોલિફાય થવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(A) = \frac{1}{5}$ અને $P(B) = \frac{3}{5}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે તેમ માનતા,ઓછામાં ઓછી એક પરીક્ષામાં ક્વોલિફાય થવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{25}$.
તેથી,$P(A \cup B) = \frac{1}{5} + \frac{3}{5} - \frac{3}{25}$.
$P(A \cup B) = \frac{5}{25} + \frac{15}{25} - \frac{3}{25} = \frac{17}{25}$.

(A) ધારો કે $P(B)=x$. તો,$P(A)=\frac{2}{3} x$ અને $P(C)=\frac{1}{2} x$.
જો $A, B, C$ નિઃશેષ અને પરસ્પર નિવારક હોય,તો $P(A \cup B \cup C)=1$.
તેઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} x + x + \frac{1}{2} x = 1$.
$\frac{4x + 6x + 3x}{6} = 1 \Rightarrow \frac{13x}{6} = 1 \Rightarrow x = \frac{6}{13}$.
આમ,$P(A) = \frac{2}{3} \times \frac{6}{13} = \frac{4}{13}$,$P(B) = \frac{6}{13}$,અને $P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{6}{13} = \frac{3}{13}$.
હવે,$P(A \cup C) = P(A) + P(C) = \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{7}{13}$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) બે પાસા ફેંકતી વખતે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
$E$ એ સરવાળો $8$ મેળવવાની ઘટના છે. પરિણામો $\{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\}$ છે.
તેથી,$n(E) = 5$,અને $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{36}$. તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
$F$ એ બંને પાસા પર બેકી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે. પરિણામો $\{(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)\}$ છે.
તેથી,$n(F) = 9$,અને $P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
આમ,$I$ કે $II$ બંનેમાંથી એક પણ સાચું નથી.

(B) પાસા પર $5$ મળવાની સંભાવના $P(A) = \frac{1}{6}$ છે.
સિક્કા પર છાપ (tail) મળવાની સંભાવના $P(B) = \frac{1}{2}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,જરૂરી સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ છે.

(B) બિન-લીપ વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાના દિવસ બરાબર છે.
આ વધારાના દિવસ માટેનો નિદર્શાવકાશ $S = \{ \text{રવિવાર}, \text{સોમવાર}, \text{મંગળવાર}, \text{બુધવાર}, \text{ગુરુવાર}, \text{શુક્રવાર}, \text{શનિવાર} \}$ છે.
આ વધારાના દિવસ માટે $7$ શક્ય પરિણામો છે.
ધારો કે $A$ એ $53$ રવિવાર હોવાની ઘટના છે અને $B$ એ $53$ શનિવાર હોવાની ઘટના છે.
જો વધારાનો દિવસ રવિવાર હોય તો વર્ષમાં $53$ રવિવાર હશે,તેથી $P(A) = \frac{1}{7}$.
જો વધારાનો દિવસ શનિવાર હોય તો વર્ષમાં $53$ શનિવાર હશે,તેથી $P(B) = \frac{1}{7}$.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$53$ રવિવાર અથવા $53$ શનિવાર હોવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$ છે.