Set Based probability Questions in Gujarati

(A) નિદર્શાવકાશ $S$ માં $6 \times 6 = 36$ પરિણામો છે.
$E_1 = \{(1, 1)\} \implies p_1 = \frac{1}{36}$.
$E_4 = \{(1, 4), (2, 2), (4, 1)\} \implies p_4 = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
$E_{10} = \{(2, 5), (5, 2)\} \implies p_{10} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $p_1 = \frac{1}{36} \approx 0.0277$,$p_{10} = \frac{2}{36} \approx 0.0555$,$p_4 = \frac{3}{36} \approx 0.0833$.
આમ,$p_1 < p_{10} < p_4$ સાચું છે.

(B) બિન-લીપ વર્ષમાં કુલ દિવસોની સંખ્યા $365$ હોય છે.
બિન-લીપ વર્ષમાં $52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ હોય છે ($52 \times 7 = 364$ દિવસ).
આમ,બિન-લીપ વર્ષમાં હંમેશા $52$ રવિવાર હોય છે.
બાકી રહેલો $1$ દિવસ રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર અથવા શનિવાર હોઈ શકે છે.
આ $7$ શક્ય પરિણામોમાંથી,માત્ર $1$ પરિણામ રવિવાર છે.
$\therefore$ કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 7$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{1}{7}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $ax^{2} + bx + 1 = 0$ છે.
સમીકરણના વાસ્તવિક બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^{2} - 4ac \geq 0$.
અહીં $c = 1$ હોવાથી,$b^{2} - 4a \geq 0$ મળે.
$(a, b)$ માટે શક્ય જોડીઓ $(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)$ છે,જે દરેકની સંભાવના $1/4$ છે.
દરેક જોડી માટે $b^{2} - 4a \geq 0$ ની શરત તપાસતા:
$1$. $(1, 1)$ માટે: $1^{2} - 4(1) = -3 < 0$ (વાસ્તવિક નથી).
$2$. $(1, 2)$ માટે: $2^{2} - 4(1) = 0 \geq 0$ (વાસ્તવિક છે).
$3$. $(2, 1)$ માટે: $1^{2} - 4(2) = -7 < 0$ (વાસ્તવિક નથી).
$4$. $(2, 2)$ માટે: $2^{2} - 4(2) = -4 < 0$ (વાસ્તવિક નથી).
માત્ર જોડી $(1, 2)$ શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1/4$ છે.

(A) ધારો કે $X$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી સફળ થાય છે. $X_1, X_2, X_3$ એ અનુક્રમે પરીક્ષા $I, II, III$ માં પાસ થવાની ઘટનાઓ છે.
આપેલ છે કે $P(X_1) = p$,$P(X_2) = q$,અને $P(X_3) = 1/2$.
વિદ્યાર્થી સફળ થાય છે જો $(X_1 \cap X_2)$ અથવા $(X_1 \cap X_3)$ થાય.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X) = P(X_1 \cap X_2) + P(X_1 \cap X_3) - P(X_1 \cap X_2 \cap X_3)$.
પરીક્ષાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી:
$P(X) = p \cdot q + p \cdot (1/2) - p \cdot q \cdot (1/2)$.
$P(X) = 1/2$ આપેલ છે:
$1/2 = pq + p/2 - pq/2$.
$1/2 = p/2 + pq/2$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$1 = p + pq$.
$1 = p(1+q)$.

(D) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પાસા પર બેકી સંખ્યા મળવાની ઘટના છે. $A$ માટેના શક્ય પરિણામો $18$ છે.
ધારો કે $B$ એ સરવાળો $8$ મળવાની ઘટના છે. $B$ માટેના શક્ય પરિણામો $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ છે,એટલે કે $|B| = 5$.
છેદગણ $A \cap B$ માં એવા પરિણામો છે જ્યાં પ્રથમ પાસો બેકી હોય અને સરવાળો $8$ હોય,જે $(2,6), (4,4), (6,2)$ છે. તેથી,$|A \cap B| = 3$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \cup B) = \frac{18}{36} + \frac{5}{36} - \frac{3}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.

(A) આપેલ છે કે,$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$,$P(A \cup B) = \frac{31}{45}$,અને $P(\bar{B}) = \frac{7}{10}$.
$P(B) = 1 - P(\bar{B})$ હોવાથી,$P(B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ મળે.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{31}{45} = P(A) + \frac{3}{10} - \frac{1}{6}$.
$P(A) = \frac{31}{45} + \frac{1}{6} - \frac{3}{10} = \frac{62 + 15 - 27}{90} = \frac{50}{90} = \frac{5}{9}$.
હવે,નિરપેક્ષતા તપાસતા: $P(A) \times P(B) = \frac{5}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$.
અહીં $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{12} \dots (1)$
$A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના $P(A' \cap B') = \frac{1}{2}$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = \frac{1}{2}$,તેથી $P(A \cup B) = \frac{1}{2}$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A) + P(B) - \frac{1}{12} = \frac{1}{2} \implies P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12} \dots (2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$P(A)$ અને $P(B)$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (P(A)+P(B))x + P(A)P(B) = 0$ ના બીજ છે.
$x^2 - \frac{7}{12}x + \frac{1}{12} = 0 \implies 12x^2 - 7x + 1 = 0$.
અવયવ પાડતા: $12x^2 - 4x - 3x + 1 = 0 \implies 4x(3x - 1) - 1(3x - 1) = 0 \implies (4x - 1)(3x - 1) = 0$.
આમ,$x = \frac{1}{4}$ અથવા $x = \frac{1}{3}$.
તેથી,સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{1}{3}$ અને $P(B) = \frac{1}{4}$ છે (અથવા તેનાથી ઉલટું).

(C) ધારો કે $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4},$ અને $P(D) = \frac{1}{5}$ એ $4$ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા વ્યક્તિગત રીતે પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
પ્રશ્ન ઓછામાં ઓછા એક વિદ્યાર્થી દ્વારા ઉકેલાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈપણ વિદ્યાર્થી પ્રશ્ન ઉકેલી શકતું નથી})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યાર્થી પ્રશ્ન ઉકેલવામાં નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના $P(\bar{X}) = 1 - P(X)$ છે.
આમ,$P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}, P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4},$ અને $P(\bar{D}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}.$
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,કોઈ પણ વિદ્યાર્થી પ્રશ્ન ન ઉકેલી શકે તેની સંભાવના $P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} \cap \bar{D}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) \times P(\bar{C}) \times P(\bar{D})$ છે.
$P(\text{કોઈ નહીં}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}.$
તેથી,પ્રશ્ન ઓછામાં ઓછા એક વિદ્યાર્થી દ્વારા ઉકેલાય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.

(B) સિક્કો ઉછાળવો એ એક સ્વતંત્ર ઘટના છે.
નિષ્પક્ષ સિક્કાના દરેક ઉછાળમાં બે સમાન સંભવિત પરિણામો હોય છે: છાપ $(H)$ અને કાંટો $(T)$.
કોઈપણ એક ઉછાળમાં કાંટો આવવાની સંભાવના $P(H) = \frac{1}{2}$ છે.
ચોથા ઉછાળનું પરિણામ અગાઉના ત્રણ ઉછાળના પરિણામો પર આધારિત નથી.
તેથી,ચોથા ઉછાળમાં કાંટો આવવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ રહે છે.

(C) ધારો કે $S = \{a, b, c, d, e\}$ એ $n = 5$ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે.
કોઈપણ ઘટક $x \in S$ માટે,ગણ $A$ અને $B$ માં તેની સભ્યપદ માટે $4$ શક્યતાઓ છે જેથી $A \cap B = \varnothing$ થાય:
$1$. $x \in A$ અને $x \notin B$
$2$. $x \notin A$ અને $x \in B$
$3$. $x \notin A$ અને $x \notin B$
($A \cap B = \varnothing$ હોવાથી $x \in A$ અને $x \in B$ શક્ય નથી)
$5$ ઘટકો હોવાથી,કુલ ક્રમયુક્ત જોડ $(A, B)$ ની સંખ્યા $(2^n) \times (2^n) = 2^5 \times 2^5 = 2^{10} = 4^5$ છે.
સાનુકૂળ જોડ $(A, B)$ ની સંખ્યા કે જેમાં $A \cap B = \varnothing$ હોય તે $3^5$ છે (કારણ કે દરેક ઘટક પાસે $3$ વિકલ્પો છે).
આમ,સંભાવના $P(E) = \frac{3^5}{4^5} = \frac{3^5}{(2^2)^5} = \frac{3^5}{2^{10}}$.
આને $\frac{3^p}{2^q}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 5$ અને $q = 10$ મળે છે.
તેથી,$p + q = 5 + 10 = 15$.